Tetame i EG2050/2C1118 Systemplaerig, 14 mars 2009, 8:00 13:00, Q21, Q22 Tillåta hjälpmedel Vid dea tetame får följade hjälpmedel avädas: Miiräkare uta iformatio med akytig till kurse. E hadskrive, ekelsidig A4-sida med ega ateckigar (origial, ej kopia). Dea sida skall lämas i tillsammas med svarsbladet.
2
DEL I (OBLIGATORISK) Skriv alla svar på det bifogade svarsbladet. Några motiverigar eller beräkigar behöver ite redovisas. Del I ka totalt ge 40 poäg. Godkät betyg garateras vid 33 poäg. Om resultatet på del I uppgår till mist 31 poäg ges möjlighet att vid e extra skrivig komplettera till godkät betyg (E). Uppgift 1 (4 p) Besvara följade teorifrågor geom att välja ett alterativ, som du aser är korrekt. a) (2 p) E balasasvarig aktör har det ekoomiska asvaret för att systemet uder e viss hadelsperiod (t.ex. e timme) tillförs lika mycket eergi som es kuder förbrukar. I praktike hateras detta asvar geom att I) De balasasvarige är skyldig att köpa fiasiella derivat på förhadsmarkade, II) De balasasvarige är skyldig att köpa och sälja reglerkraft på realtidsmarkade, III) De balasasvarige är skyldig att köpa och sälja balaskraft på efterhadsmarkade. 1. Edast I är sat. 2. Edast II är sat. 3. Edast III är sat. 4. I och II är saa me ite III. 5. II och III är saa me ite I. b) (2 p) På e bilateral elmarkad gäller att I) Producetera är fria att sälja till vilka adra produceter, återförsäljare och kosumeter som helst, II) All elhadel måste ske via e elbörs, III) Kosumetera är fria att köpa frå vilke producet eller återförsäljare som helst. 1. Iget av påståedea är saa. 2. Edast I är sat. 3. Edast II är sat. 4. Edast III är sat. 5. I och III är saa me ite II. 3
Uppgift 2 (6 p) Atag att det råder perfekt kokurres på elmarkade i Lad, att alla aktörer har perfekt iformatio och att det ite fis ågra ät-, magasis- eller effektbegräsigar. Data för kraftverke i Lad ges i tabell 1. De rörliga produktioskostadera atas vara lijära i de agiva itervalle, d.v.s. då produktioe är oll är priset på de lägsta ivå och vid maximal produktio är priset maximalt. Kraftslag Tabell 1 Data för kraftverke i Lad. Produktioskapacitet [TWh/år] Rörlig kostad [ /MWh] Vattekraft 60 5 Kärkraft 60 90 100 Biobräsle 20 100 300 Fossila bräsle 10 200 400 a) (1 p) Hur mycket producerar biobräslekraftverke uder ett år om elpriset är 250 /MWh? b) (3 p) Vilket elpris får ma i Lad om elförbrukige ite är priskäslig och uppgår till 142 TWh/år? c) (2 p) Atag att elpriset i Lad är 320 /MWh. Strålige kraftverksaktiebolag äger ett kärkraftverk med e produktioskapacitet på 10 TWh per år. De rörliga produktioskostade är 100 /MWh och de fasta kostadera uppgår till 2000M /år. Hur stor vist gör företaget? 4
Uppgift 3 (6 p) a) (2 p) Ett visst elsystem ka delas i i fem område. Trasmissiosförbidelsera mella dessa område räkas upp i tabell 2. För detta elsystem gäller att I) Det fis två sykroa ät i elsystemet, II) Område A och område E tillhör samma sykroa ät, III) Område B och område E tillhör samma sykroa ät. 1. Iget av påståedea är sat. 2. Edast I är sat. 3. Edast II är sat. 4. I och III är saa me ite II. 5. II och III är saa me ite I. Tabell 2 Trasmissiosförbidelser i uppgift 3a. Förbidelse Kapacitet [MW] Typ A B 600 Högspäd likström (HVDC) A C 1 000 Växelström A D 1 200 Växelström B E 2 000 Växelström C D 1 500 Växelström D E 400 Högspäd likström (HVDC) b) (2 p) Vattekraftverket Sele har e reglerstyrka på 100 MW/Hz. Basproduktioe (d.v.s. produktioe då frekvese är exakt 50 Hz) är 50 MW och kraftverket har e istallerad effekt på 90 MW. För att udvika skador på turbiera ka ma ite producera midre ä 40 MW. Hur mycket kommer kraftverket att producera då frekvese i systemet är 50,14 Hz? c) (2 p) Betrakta ett elsystem som är idelat i två område, A och B. Det fis edast e trasmissiosförbidelse mella dessa två område. Dea förbidelse utgörs av e 400 kv växelströmsledig med e maximal överförigskapacitet på 900 MW. Ledige är försedd med skyddssystem som efter e viss tidsfördröjig kopplar bort ledige om de maximala kapacitete överskrids. Vid ett visst tillfälle överförs 500 MW frå område A till B. Vid detta tillfälle kopplas 200 MW produktio bort i område B till följd av ett trasformatorfel. Reglerstyrka i område A är 2 000 MW/Hz och reglerstyrka i område B är 3 000 MW/Hz. Hur stor blir överförige frå område A till område B efter att primärreglerige återställt balase mella produktio och kosumtio? (Svara 0 MW om förbidelse kopplas bort p.g.a. överbelastig.) 5
Uppgift 4 (12 p) Strömme Fallet Flisige Sjö Språget AB Elkraft äger tre vattekraftverk lokaliserade eligt figure ova. Dessutom äger ma det biobräsleeldade kraftverket Flisige. I ett korttidsplaerigsproblem för bolagets kraftverk har ma ifört följade beteckigar: Idex för vattekraftverke: Strömme 1, Fallet 2, Språget 3. C + = startkostad i Flisige, γ i = förvätad framtida produktiosekvivalet för vatte lagrat i magasi i,, 2, 3, D t = avtalad last timme t, t = 1,, 24, G t = elproduktio i Flisige, timme t, t = 1,, 24, λ 25 = förvätat elpris efter plaerigsperiodes slut, μ i, j = margiell produktiosekvivalet i vattekraftverk i, segmet j,, 2, 3, j = 1, 2, 3, Q i, j, t = tappig i vattekraftverk i, segmet j, timme t,, 2, 3, j = 1, 2, 3, t = 1,, 24. a) (3 p) Vilka beteckigar represeterar optimerigsvariabler respektive parametrar? b) (4 p) Formulera AB Elkrafts lastbalasbivillkor för timme t. Aväd beteckigara ova. c) (3 p) Vid istallerad effekt producerar vattekraftverket Fallet 100 MW och produktiosekvivalete är då 0,8 MWh/TE. Magasiet rymmer 5 400 000 m 3. Atag att kraftverket uppströms varke tappar eller spiller ågot vatte och att det lokala tillflödet är försumbart. Om ma börjar med ett fullt magasi, hur måga timmar ka ma då producera istallerad effekt i Fallet ia magasiet är tömt? 6
d) (2 p) AB Kraftverket äger ett termiskt kraftverk. Atag att bolaget vill formulera ett korttidsplaerigsproblem för detta kraftverk, där syftet är att maximera itäktera av såld el mius produktioskostadera uder 24 timmar. Ma har därför ifört följade målfuktio och bivillkor. maximera 24 t = 1 då G t u t G, t = 1,, 24, G t u t G, t = 1,, 24. Förutom ovaståede bivillkor krävs ett driftstatusbivillkor. Vilka av följade bivillkor ka avädas? I) u t u t 1 = s + t, II) u t u t 1 s + t, λ t III) u t u t 1 = s+ t s t. (( )G t C + s+ t ) β t 1. Det är edast möjligt att aväda bivillkor I. 2. Det är edast möjligt att aväda bivillkor II. 3. Det är edast möjligt att aväda bivillkor III. 4. Det är möjligt att aväda atige bivillkor I eller III. 5. Det är möjligt att aväda atige bivillkor II eller III De beteckigar som igår i problemet ova är β = rörlig produktioskostad i kraftverket, C + = startkostad för kraftverket, G t = elproduktio i kraftverket uder timme t, G = miimal elproduktio då kraftverket är i drift, G t = maximal elproduktio då kraftverket är i drift, λ t = elpris timme t, s+ t = startvariabel för timme t (1 om kraftverket startar produktioe i börja av timme t, aars 0), s t = stoppvariabel för timme t (1 om kraftverket stoppar produktioe i börja av timme t, aars 0), u t = driftstatus uder timme t (1 om kraftverket är i drift, 0 om det ite är i drift). 7
Uppgift 5 (12 p) Betrakta e elmarkad där laste ka atas vara ormalfördelad med vätevärdet 8000MW och stadardavvikelse 1 000 MW. På dea elmarkad fis vattekraftverk med e sammalagd istallerad effekt på 10 000 MW. Vattekraftverke ka atas vara 100% tillgägliga och har försumbar driftkostad. Dessutom fis ett termiskt kraftverk med 1000MW istallerad effekt, 90% tillgäglighet och driftkostade 10 /MWh. I tabell 3 visas ågra delresultat då ma geomför e stokastisk produktioskostadssimulerig av dea elmarkad. Tabell 3 Resultat frå e stokastisk produktioskostadssimulerig av elmarkade i uppgift 5a c. F 0( x) x x F 0( ξ) dξ F 2( ξ) dξ x = 7 000 x = 8 000 x = 9 000 x = 10 000 x = 11 000 x = 12 000 0,841 0,500 0,159 0,023 0,001 0,000 1 083,3 389,9 83,3 8,5 0,4 0,0 1 175,8 467,4 114,9 16,0 1,2 0,0 a) (1 p) Beräka EENS 0, d.v.s. de förvätade ickelevererade eergi om det ite fis ågra kraftverk i systemet. b) (3 p) Aväd stokastisk produktioskostadssimulerig för att beräka systemets förvätade driftkostad. c) (2 p) Aväd stokastisk produktioskostadssimulerig för att beräka riske för effektbrist i systemet. d) (2 p) Atag att samma system simuleras med Mote Carlo-tekik och att ma slumpat fram värdet 7000MW för de totala laste. Vad är slumptalskomplemetet till detta slumptal? e) (4 p) För att ta häsy till förlustera i trasmissioätet har ma geomfört e Mote Carlo-simulerig av systemet. För att uppå ett så bra resultat som möjligt har ma avät kotrollvariabelmetode. De detaljerade modelle tar häsy till förlustera. I de föreklade modelle har ma försummat elätet, vilket iebär att ma avät samma modell som i e stokastisk produktioskostadssimulerig. Resultate visas i tabell 4. Vilka skattig av ETOC och LOLP får ma? Tabell 4 Resultat frå Mote Carlo-simulerig av elmarkade i uppgift 5e. Atal scearier, Resultat frå detaljerad modell toc i lolo i Resultat frå föreklad modell toc i 10 000 975 000 41 745 000 35 lolo i 8
DEL II (FÖR HÖGRE BETYG ÄN GODKÄNT) Alla beteckigar som iförs skall förklaras. Lösigara skall vara så utförliga att det uta problem går att följa take- och beräkigsgåge. Svare på de olika uppgiftera skall lämas i på olika blad, me svar på deluppgifter (a, b, c, o.s.v) ka skrivas på samma blad. Fälte Nam, Blad r och Uppgift r skall fyllas i på varje blad. Del II ka ge totalt 60 poäg. Del II kommer edast att rättas om tetade erhållit mist 33 poäg på del I. Om så är fallet summeras resultatet på del I, del II och bouspoäge. Dea summa ligger till grud för vilket betyg (A, B, C, D, E) som ges på tetame. Uppgift 6 (10 p) Rikes eergimydighet har ställt upp ett framtidssceario för elmarkade år 2020. Eergimydighetes modell bygger på atagadet att det råder perfekt kokurres på elmarkade i Rike, att alla aktörer har perfekt iformatio och att det ite fis ågra ät-, magasis- eller effektbegräsigar. Eergimydighete atar också att elförbrukige i Rike år 2020 är 160 TWh/år och att produktioskapacitete består av 66 TWh/år vattekraft (rörlig kostad 1 /MWh), 60 TWh kärkraft (rörlig kostad 10 /MWh) samt 40 TWh/år fossila bräsle (de rörliga kostade ka atas vara lijär i itervallet 30 70 /MWh, d.v.s. då produktioe är oll är priset 30 /MWh och vid maximal produktio är priset 70 /MWh). Syftet med detta framtidssceario är att studera hur elmarkade påverkas om ma väljer att satsa på att bygga ya kärkraftverk eller på e storskalig utbyggad av vidkrafte. För att uderlätta det seare alterativet har det föreslagits att ma i Rike ska iföra ett system med gröa certifikat. För varje MWh som produceras i de ybyggda vidkraftverke erhåller ägare ett gröt certifikat. Kosumetera åläggs seda att köpa certifikat motsvarade 10% av deras elkosumtio, vilket alltså iebär att e kosumet med e årlig förbrukig på 100 MWh måste köpa 10 gröa certifikat per år. Eergimydighete bedömer att priset på de gröa certifikate skulle bli 20 per certifikat. a) (4 p) Atag att ett ytt kärkraftverk ka producera 7 TWh/år och att de rörliga kostadera uppgår till 10 /MWh meda de fasta kostadera är 280 M per kraftverk och år. Ju fler kärkraftverk som byggs i Rike desto lägre kommer elpriset att bli. Om alltför måga ya kärkraftverk byggs kommer elpriset att bli så lågt att itäktera frå såld el ite är tillräckliga för att täcka kostadera i de ybyggda verke. Hur måga ya kärkraftverk ka byggas i Rike uta att de ybyggda kärkraftverke blir olösamma? b) (4 p) Atag att ett e y vidkraftpark ka producera 1 TWh/år och att de rörliga kostadera uppgår till 1 /MWh meda de fasta kostadera är 67 M per vidkraftpark och år. Ju fler vidkraftparker som byggs i Rike desto lägre kommer elpriset att bli. Om alltför måga ya vidkraftparker byggs kommer elpriset att bli så lågt att itäktera frå såld el och sålda certifikat ite är tillräckliga för att täcka kostadera i de ybyggda verke. Hur måga ya vidkraftparker ka byggas i Rike uta att de ybyggda vidkraftparkera blir olösamma? c) (2 p) Vilket av alterative ova ger lägst total kostad för kosumetera på elmarkade i Rike? 9
Uppgift 7 (10 p) Elsystemet i Rike är uppdelat i två delar. I de orra dele av systemet fis stora mägder vattekraft, me huvuddele av laste ligger i de södra dele. Mella de två områdea fis ett flertal parallella växelströmsledigar. Det maximala flödet på dessa ledigar är 7 000 MW om ma överskrider dea gräs blir elsystemet istabilt och ma riskerar omfattade strömavbrott i hela eller delar av elsystemet. För att udvika detta tillåter ma vid omiell frekves ett sammalagt flöde som är lägre ä 7000MW, meda de resterade kapacitete är reserverad för de effektflöde som uppstår som e följd av primärreglerige. Riksät, som är systemoperatör i Rike, skall seast kl 8:00 meddela elmarkades aktörer vilke överförig som ka tillåtas frå orra till södra dele av systemet för varje timme ästföljade dag. Ett problem för Riksät är emellertid att de ite vet exakt vilke reglerstyrka som kommer att fias tillgäglig ästa dag. För e viss timme räkar Riksät med att reglerstyrka i orra dele av Rike kommer att ligga mella 2 000 MW/Hz och 3 000 MW/Hz och att reglerstyrka i södra dele av ladet ligger mella 1000MW/Hz och 1 250 MW/Hz. Hur mycket överförigskapacitet måste reserveras för primärreglerige om ma ska vara säker på att systemet klarar ett bortfall på 1 200 MW i södra Rike uta att ma överbelastar ledigara mella orra och södra Rike? Uppgift 8 (20 p) AB Verket äger ett kraftvärmeverk. Kraftverket består av tre paor där ma förbräer biobräsle och geererar åga. Åga leds seda till tre mottrycksturbier som driver varsi elgeerator. Åga leds därefter till kodesatorer, som leverar värme till fjärrvärmeätet. I kraftverket fis äve e elpaa d.v.s. ma har möjlighet att aväda el för att geerera värme till fjärrvärmeätet. Vid maximal belastig drar elpaa 25 MW. Verkigsgrade i elpaa är 99%. Slutlige fis äve e ackumulatortak, där ma ka lagra värmeeergi (i form av 98 C varmt vatte). De maximala lagrigskapacitete är 800 MWh värme. För e korttidsplaerig är värmeförlustera i ackumulatortake försumbara och ma ka ata att det ite fis ågra begräsigar i hur fort take ka fyllas respektive tömmas. a) (12 p) I mottrycksturbiera är förhålladet mella elproduktio och värmeproduktio kostat, d.v.s. för varje MW el som produceras får ma ut ett bestämt atal MW värme. Förhålladet mella elproduktioe och värmeproduktioe samt övriga data för turbiera framgår av tabell 5. Notera att produktioskostade ages per MWh el värmeproduktioe får ma så att säga på köpet. De el som produceras i kraftvärmeverket säljs på elbörse ElKräg. Ma ka ata att bolaget ka köpa och sälja så mycket ma öskar till de priser som ages i tabell 6. Värmelaste beror framför allt av utomhustemperature. E progos för värmebehovet återfis i tabell 6. AB Verket öskar köra kraftverket så att ma maximerar itäktera frå såld el mius produktioskostadera, samtidigt som ma varje timme leverar tillräckligt med värmeeergi till fjärrvärmeätet. Formulera bolagets plaerigsproblem för ästa dag som ett LP-problem. Ackumulatortake iehåller 700 MWh vid plaerigsperiodes börja och ska iehålla mist lika mycket vid plaerigsperiodes slut.för parametrara ska beteckigara i tabell 7 avädas (det är dock äve tilllåtet att lägga till ytterligare beteckigar om ma aser att det behövs). OBS! För att få full poäg på dea uppgift krävs att Beteckigara för optimerigsvariablera ska vara klart och tydligt defiierade. Optimerigsproblemet ska vara så formulerat att ma tydligt ka se vad som är målfuktio, vad som är bivillkor och vad som är variabelgräser. Möjliga värde för alla idex ska fias tydligt agivet vid alla ekvatioer. 10
Tabell 5 Data för AB Verkets kraftvärmeverk. Mottrycksturbi 1 Mottrycksturbi 2 Mottrycksturbi 3 Maximal elproduktio [MW] 30 40 25 Värmeproduktio per MW elproduktio [MW] 2,3 2,6 2,4 Driftkostad [SEK/MWh elproduktio] 390 390 390 Tabell 6 Progoser för ästa dag. Timme 0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 7-8 8-9 9-10 10-11 11-12 Elpris [SEK/MWh] 395 385 380 375 380 400 480 440 455 450 440 430 Värmelast [MWh] 180 180 180 180 180 180 160 160 160 140 140 140 Timme 12-13 13-14 14-15 15-16 16-17 17-18 18-19 19-20 20-21 21-22 22-23 23-24 Elpris [SEK/MWh] 425 420 415 410 410 425 450 430 405 405 395 390 Värmelast [MWh] 150 160 170 180 190 200 200 200 200 200 210 210 Tabell 7 Beteckigar till AB Verkets plaerigsproblem. Beteckig Förklarig Värde H Maximal elförbrukig i elpaa 25 η H Verkigsgrad i elpaa 0,99 M Maximalt värmeiehåll i ackumulatortake 800 M 0 Startiehåll i ackumulatortake 700 M 24 Mista tillåta värmeiehåll i ackumulatortake vid plaerigsperiodes slut 700 G g Maximal elproduktio i turbi g Se tabell 5 c g Erhålle värme i förhållade till elproduktioe i turbi g Se tabell 5 β Gg Rörlig produktioskostad i turbi g Se tabell 5 λ t Elpris timme t Se tabell 6 D t Värmelast timme t Se tabell 6 b) (8 p) Atag att ma i turbi 3 har möjlighet att i stället för att leverera värme till fjärrvärmeätet ka välja att kyla åga med vatte frå Å. I detta driftläge ökar de maximala elproduktioe i turbi 3 till 30 MW. Hur måste plaeriigsproblemet frå a-uppgifte formuleras om för att ta häsy till möjlighete att välja mella kraftvärmedrift och kodeskraftdrift i turbi 3? Glöm ite att defiiera alla ya variabler och parametrar som du iför! Tips: Iför e heltalsvariabel som ager driftläget för turbi 3. 11
Uppgift 9 (20 p) De sydamerikaska by Pueblo är ite aslute till det atioella ätet, uta har ett eget lokalt ät. Laste i Pueblo är ormalfördelad med medelvärdet 180 kw och stadardavvikelse 40 kw. Systemet försörjs av tre kraftverk: ett vattekraftverk och två dieselgeeratorer. Vattekraftverket är ett strömkraftverk (d.v.s. det fis iget vattemagasi) och har e istallerad effekt på 150 kw. Det mista uppmätta flödet i flode där vattekraftverket ligger är tillräckligt stort för att det ska kua köras på full effekt. Driftkostade i vattekraftverket är försumbar. De två dieselgeeratorera är på 100 respektive 50 kw. De större dieselgeerator har e driftkostad på 1 /kwh. Vid låg belastig är dock verkigsgrade mycket låg i dea geerator, så därför kör ma de aldrig på midre ä 40 kw. Om det behövs ka ma koppla i e varmvatteberedare som förbrukar evetuell överskottsproduktio. De midre dieselgeerator har e driftkostad på 2 /kwh. Vattekraftverket är 100% tillförlitligt meda de större dieselgeerator har e tillgäglighet på 90% och de midre dieselgeerator har e tillgäglighet på 80%. a) (1 p) För att kua simulera elmarkade i Pueblo med stokastisk produktioskostadssimulerig måste ma bortse frå e av de egeskaper hos kraftverke som räkats upp ova. Förklara vilke egeskap det är ma måste försumma och varför. b) (2 p) Figure på ästa sida visar lastes varaktighetskurva. Tag fram e approximatio av dea varaktighetskurva. Approximatioe ska bestå av segmet med e bredd på 50 kw, så att F 0( x) är kostat för itervalle x [0, 50), x [50, 100), o.s.v. För att få full poäg krävs att du di approximatio ite leder till grova över- eller uderskattigar av ETOC eller LOLP då de aväds i e stokastisk produktioskostadssimulerig. Tips: I praktike iebär uppgifte att du ska ta fram e lämplig trappstegskurva för att approximera F 0( x). c) (7 p) Aväd de approximativa varaktighetkurva för laste till att beräka systemets ETOC och LOLP med hjälp av stokastisk produktioskostadssimulerig. d) (10 p) Atag att ma i stället öskar simulera systemet med Mote Carlo-simulerig. För att få e så god oggrahet som möjligt avser ma att aväda kotrollvariabler och stratifierad samplig. Föreslå ett stratumträd för dea simulerig. Stratumträdet ska vara så utformat att det skiljer sådaa scearier där de detaljerade och de föreklade modelle ger samma resultat frå de scearier där ma får olika resultat frå de två modellera. Age äve för vilka stratum som vätevärdea ka beräkas teoretiskt. Glöm ite att motivera ditt svar! 12
F 0 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 x 50 100 150 200 250 300 kw 13
Svarsblad till del I Nam:... Persoummer:... Uppgift 1 a) Alterativ... är korrekt. b) Alterativ... är korrekt. Uppgift 2 a)... TWh/år b)... /MWh c)... M /år Uppgift 3 a) Alterativ... är korrekt. b)... MW c)... MW Uppgift 4 a) Parametrar:... Optimerigsvariabler:... b)... c)... timmar. d) Alterativ... är korrekt. Uppgift 5 a)... MWh/h b)... /h c)... % d)... MW e) ETOC... /h LOLP... %
Lösigsförslag till tetame i EG2050/2C1118 Systemplaerig, 14 mars 2009. Uppgift 1 a) 3, b) 5. Uppgift 2 a) Vid elpriset 250 /MWh utyttjas 150/200 = 75% av biobräslepotetiale, vilket ger e årlig produktio på 15 TWh/år. b) Atag att elpriset, λ, ligger i itervallet 200 till 300 /MWh. Vattekraft och kärkraft producerar 120 TWh och därmed måste de adra två kraftslage tillsammas producera 22 TWh. Bidraget frå biobräsle plus kolkodes ka skrivas λ 100 -----------------------20 300 100 λ 200 + -----------------------10. 400 200 Sätter ma detta uttryck lika med 22 och löser ekvatioe får ma elpriset λ =280 /MWh. c) Itäktera för Strålige uppgår till 10 TWh/år 320 /MWh = 3 200 M /år. Frå itäktera subtraherar vi de totala rörliga produktioskostade (10 TWh/år 100 /MWh = 1000M /år) och de fasta kostadera, vilket ger e vist på 200 M /år. Uppgift 3 a) 4. b) Sambadet mella frekves och elproduktio ger att kraftverket skulle producera G = G 0 R(f f 0 ) = 50 100(50,14 50) = 36 MW, vilket ite är lägre ä lägsta tillåta produktioe. Kraftverket kommer i stället att producera så lite som möjligt, d.v.s. 40 MW. c) Eftersom reglerstyrka i område A är 2 000/3 000 = 40% av de totala reglerstyrka kommer 40% av bortfallet (d.v.s. 80 MW) täckas av ökad produktio i område A. Dea produktiosökig måste exporteras till område B. Därmed ökar överförige till 580 MW, vilket ite kommer att överbelasta trasmissiosförbidelse. Uppgift 4 a) Parametrar: C +, γ i, D t, λ 25 och μ i, j. Optimerigsvariabler: G t och Q i, j, t. b) 3 3 μ i, j Q + i, j, t G t = D t. j = 1 c) Tappige vid istallerad effekt ges av sambadet Q = H/γ(Q) = 100/0,8 = 125 TE. Eftersom magasiet rymmer 5 400 000/3 600 = 1 500 TE så räcker ett fullt magasi till 12 timmars maximal produktio. d) 5. Uppgift 5 a) EENS 0 = E[D] = 8 000 MWh/h. b) I det här fallet är F 0 ( x ) = F 1 ( x ), eftersom vattekraftverke är 100% tillgägliga De förvätade elproduktioe i det termiska kraftverket beräkas därmed eligt F 1 EG 2 = EENS 1 EENS 2 = ( x ( x ) d x = 8,5 1,2 = 7,3 MWh/h. F 2 10 000 11 000 Således blir de förvätade driftkostade ETOC = 10EG 2 = 73 /h. F 2 F 1 F 1 c) LOLP = (11 000) = 0,9 (11 000) + 0,1 (11 000 1 000) = 0,9 0,001 + 0,1 0,023 = 0,0032 = 0,32 %. d) Normalfördelige är symmetrisk vilket betyder att om D = μ + X så är D* = μ X. I det här fallet måste slumptalskomplemetet därmed vara 9000MW. 1 e) m TOC = m ( TOC TOC ) + μ TOC = -- toc toc + 73 = i i = --------------- 1 ( 975 000 745 000 ) + 73 = 96 /h. 10 000 1 m LOLO = m ( LOLO LOLO ) + μ LOLO = -- lolo lolo + 0,0032 = i i = --------------- 1 ( 41 35 ) + 0,0032 = 0,0038 = 0,38%. 10 000 Uppgift 6 a) Vi börjar med att kostatera att uta ivesterigar i ya kraftverk kommer elpriset i Rike eligt dea modell att bli 64 /MWh (i och med att ma måste utyttja 34 TWh fossila bräsle) och att för varje TWh elproduktio med lägre rörlig margialkostad som tillförs kommer elpriset att sjuka med 1 /MWh. Vilket är då det lägsta elpris ma ka ha om ett ybyggt kärkraftverk ska vara lösamt? De fasta kostadera plus de rörliga kostadera vid maximal produktio uppgår till 280 + 10 7 = 350 M /år. För att ma ska få i mist så mycket måste elpriset vara 350/7 = 50 /MWh. Systemet ka alltså tillföras 14 TWh kärkraft per år vilket motsvarar två reaktorer uta att de ybyggda kraftverke blir olösamma. b) De fasta kostadera plus de rörliga kostadera vid maximal produktio i e vidkraftpark uppgår till 67 + 1 = 68 M /år. Dessa kostader ska täckas av itäktera frå såld el plus itäktera frå de gröa certifikate. De seare itäkte är 20 /certifikat 1000000certifikat/år = 20 M /år. Det krävs således ett elpris på mist 68 20 = 48 /MWh för att vidkrafte ite ska bli olösam. Detta iebär att det är möjligt att tillföra systemet 16 TWh vidkraft. Notera att vi då äve har balas mella utbud och efterfråga på de gröa certifikate, eftersom kosumetera måste köpa certifikat motsvarade 0,1 160 = 16 TWh. c) Om ma bygger ut kärkrafte blir de totala kostade för kosumetera helt ekelt elpriset gåger de totala kosumtioe, d.v.s. 50 160 = 8 000 M /år. Om ma bygger ut vidkrafte blir de totala kostade för kosumetera lika med kostadera för att köpa el plus kostade
för att köpa certifikat, d.v.s. 48 160 + 20 16 = 8 000 M /år. Bägge alterative är med adra ord likvärdiga ur kosumeteras syvikel (i alla fall om ma gör e krass ekoomisk bedömig). Uppgift 7 Om ett fel iträffar i södra Rike kommer e del av produktioe i södra Rike att ersättas med import frå de orra dele av ladet, d.v.s. flödet frå orra till södra Rike ökar. Det är de största täkbara ökige som bestämmer hur mycket överförigskapacitet som måste avsättas för primärreglerige. Ju större adel av reglerstyrka som ligger i orra Rike, desto större blir flödesökige. Det värsta fallet är således om ma har reglerstyrka 3000MW/Hz i orra Rike och 1000MW/Hz i södra Rike; produktiosökige i orra dele av ladet blir då 3 000/4 000 1200 = 900MW vid ett bortfall på 1200 MW i södra Rike. Alltså måste 900 MW av överförigskapacitete reserveras för primärreglerige. Uppgift 8 a) Problemet vi vill lösa är maximera värdet av såld el produktioskostad i turbiera produktioskostad i elpaa med häsy till lastbalas för fjärrvärme, eergibalas för ackumulatortake, begräsigar i produktioskapacitet, m.m. Imatig respektive uttag frå ackumulatortake ka hateras på olika sätt. E variat är att ha separata variabler för imatig respektive uttag. I de här lösige har vi i stället valt att betrakta uttag som egativ imatig. Parametrar Parametrara är defiierade i tabell 7 i uppgiftslydelse. Optimerigsvariabler G g, t = elproduktio i turbi g uder timme t, g = 1, 2, 3, t = 1,, 24, H t = elförbrukig i elpaa timme t, t = 1,, 24, M t = värmeiehåll i ackumulatortake vid slutet av timme t, t = 1,, 24, A t = värmeimatig till ackumulatortake uder timme t, t = 1,, 24. Målfuktio 24 3 maximera ( λ t β Gg )G gt, λ t H t. t = 1 g = 1 Bivillkor Lastbalas för fjärrvärme: 2 c g G + g, t η H H t = D t + A t, g = 1 t = 1,, 24. Eergibalas för ackumulatortake: M t = M t 1 + A t, t = 1,, 24. Variabelgräser 0 G g, t G g, g = 1, 2, 3, t = 1,, 24, 0 H t H, t = 1,, 24, 0 M t M, t = 1,, 23, M 24 M 24 M. b) Ett ekelt sätt att modellera de två driftlägea för turbi 3 är att iföra två olika turbimodeller och seda aväda e biär variabel för att välja vilke modell som ska avädas uder e viss timme. Låt idexet g =3 motsvara turbi 3 vid kraftvärmedrift (d.v.s. c 3 och är desamma som i a-uppgifte) och låt idexet g =4 motsvara turbi 3 vid kodeskraftdrift. Iför följade ya variabler: G 4, t = elproduktio uder timme t i turbi 3 vid kodeskraftdrift, t = 1,, 24, u 3, t = driftstatus för turbi 3 (1 vid kraftvärmedrift, 0 vid kodeskraftdrift), t = 1,, 24. Iför följade ya parametrar: G 4 = maximal elproduktio i turbi 3 vid kodeskraftdrift = 30, β G4 = rörlig produktioskostad i turbi 3 vid kodeskraftdrift = 390. G 3 Målfuktioe måste modifieras så att produktioskostadera i turbi 3 vid kodeskraftdrift igår: maximera 24 t = 1 4 ( λ t β Gg )G gt, λ t H t. g = 1 Lastbalase för fjärrvärme och eergibalase för ackumulatortake påverkas ite eftersom turbi 3 ite producerar ågo värme vid kodeskraftdrift. Däremot måste vi iföra ya bivillkor för att reglera sambadet mella driftstatus i turbi 3 och maximal elproduktio: G 3, t u 3, t G 3, t, t = 1,, 24, G 4, t (1 u 3, t ) G 3, t, t = 1,, 24. Slutlige måste vi iföra e udre gräs för elproduktioe i turbi 3 vid kodeskraftdrift samt age att driftstatuse i turbi 3 är e biär variabel: 0 G 4, t, t = 1,, 24, u 3, t {0, 1}, t = 1,, 24.
Uppgift 9 a) I e stokastisk produktioskostadssimulerig atas att kraftverke körs strikt efter stigade rörlig produktioskostad och att de lägsta produktioe i varje kraftverk är oll. Således är ma i e stokastisk produktioskostadssimulerig tvuge att bortse frå de udre gräser för elproduktioe i de stora dieselgeerator. b) Det viktiga då ma approximerar lastes varaktighetskurva är att yta uder varaktighetskurva (som motsvarar lastes vätevärde) ite ädras alltför mycket. E täkbar approximatio visas i figure eda: F 0 1 0,8 0,6 0,4 0,2 x 50 100 150 200 250 300 kw Med dea approximatio får ma följade varaktighetskurva för laste: F 0 ( x ) = 1 0,92 0,55 0,13 0,01 0 x < 100, 100 x < 150, 150 x < 200, 200 x < 250, 250 x < 300, 300 x. c) Eftersom vattekraftverket har lägst driftkostad börjar vi med att lägga i det: F 1 ( x ) = 1 F 0 ( x ) + 0 F 0 ( x 150 ) = F 0 ( x ). Därefter lägger vi i de större dieselgeerator. F 2 ( x ) = 0,9F 1 ( x ) + 0,1F 1 ( x 100 ) = = 0,9 1 + 0,1 1 = 1 x < 100, 0,9 0,92 + 0,1 1 = 0,928 0,9 0,55 + 0,1 1 = 0,595 0,9 0,13 + 0,1 0,92 = 0,209 0,9 0,01 + 0,1 0,55 = 0,064 0 + 0,1 0,13 = 0,013 0 + 0,1 0,01 = 0,001 0 100 x < 150, 150 x < 200, 200 x < 250, 250 x < 300, 300 x < 350, 350 x < 400, 400 x. De förvätade elproduktioe i de större dieselgeerator ka u beräkas eligt EG 2 = EENS 1 EENS 2 = F 1 ( x ) d x F 2 ( x ) d x = 150 250 = 50(0,55 + 0,13 + 0,01) 50( 0,064 + 0,013 + 0,001) = 32,0 kwh/h. De förvätade elproduktioe i de midre dieselgeerator ka beräkas eligt 300 EG 3 = 0,8 F 2 ( x ) d x = 0,8 50 0,064 = 2,56 kwh/h. 250 De förvätade driftkostade blir således ETOC = 1 EG 2 + 2 EG 3 = 37,12 /h. Riske för effektbrist ges av LOLP = F 3 ( 300 ) = 0,8F 2 ( 300 ) + 0,2F 2 ( 300 50 ) = 0,8 0,013 + 0,2 0,064 = 2,32%. d) Till att börja med ka ma kostatera att bägge modellera alltid kommer att ge samma värde på LOLO. När det gäller TOC skiljer sig de detaljerade och de föreklade modelle edast åt i sådaa scearier där det är bättre att köra de midre dieselgeerator i stället för att aväda de större eller då ma kopplar i varmvatteberedare för att slippa köra de större geerator på dellast. Dessa scearier ka ma riga i geom att aväda ett stratumträd med tillgäglig produktioskapacitet på ivå ärmast rote och last på de edersta ivå. Ett lämpligt stratumträd redovisas i tabelle eda. Skillad i resultat frå detaljerad Stratum, Tillgäglig kapacitet i dieselgeeratorera Last, D [kw] respektive föreklad modell h G 2 [kw] G 3 [kw] TOCD [ /h] LOLD 1 0 0 > 0 0 0 2 100 0 0 150 0 0 3 100 0 150 190 > 0 0 4 100 0 > 190 0 0 5 0 50 > 0 0 0 6 100 50 0 150 0 0 7 100 50 150 190 > 0 0 8 100 50 > 190 0 0