. Saolihetslära. Kombiatori Vad är saolihetslära? Ma a allmät säga att iom saolihetslära försöer ma beräa chaser eller riser. Det a seda vara fråga om chase att via på lotto eller rise att bli sju i e sjudom. För att ua beräa olia saoliheter rävs att ma a beräa atalet möjligheter som a uppomma. I det här apitlet jobbar vi med ombiatori. Vi har olia regler vi a följa, och vi sall u se på ågra av dem. Multipliatiospricipe. Ma vill omma frå stade A till stade D via städera B och C. Mella A och B går två vägar, mella B och C går vägar och mella C och D går vägar. Hur måga olia rutter a ma välja mella Aoch D? Frå A till B a ma välja två olia rutter. Mella B och C a ma välja fyra olia rutter och frå C till D a ma välja mella två rutter. Atalet olia rutter mella A och D är: 6. Sats. Om ma står iför e serie valsituatioer umrerade,,, med,,, valmöjligheter, är det totala atalet valmöjligheter. Om ma har styce valsituatioer med valmöjligheter var, är det totala atalet valmöjligheter. Hur måga olia strytipsrader a ma tippa? De som tippar gör val. I varje val har ha tre möjligheter, X. Atalet ombiatioer är: 9. Kapitel - 7 -
Val med häsy till ordige. På hur måga sätt a persoer placeras i e ö? De första a väljas på olia sätt, de adra a väljas på olia sätt, de tredje på tre olia sätt, de fjärde på olia sätt och de sista på ett sätt. Atalet möjligheter blir eligt multipliatiospricipe: 0 olia sätt. Allmät a ma resoera på samma sätt för persoer. De första a väljas på olia sätt, de adra på olia sätt osv.. Atalet möjligheter är: ( )( ). Det är ju gasa opratist att varje gåg behöva sriva ut hela uttrycet och därför har ma ifört följade defiitio: Defiitio. Med! avses för alla ice-egativa aturliga tal :! ( )( ) Ytterligare har ma defiierat 0!! utläses faultet Vi sall ge ågra ituitiva förlarigar på ord som ofta ommer att dya upp iom ombiatorie och saolihetslära. I urse Propedeutis matemati I defiierade vi begreppe elemet och mägd. I det ovaståede exemplet allas e perso ett elemet. Gruppe på fem persoer räer vi på som e mägd. Att placera elemet ur e mägd i e bestämd ordig, eller som vi gjorde, placerade persoer ur e grupp i e bestämd ordig, allas att bilda e permutatio. Sats. Atalet permutatioer av e mägd beståede av elemet är! Styrelse i studetföreige Sigma består åtmiståe av ordförade, viceordförade, assör, sereterare, ompedieassör och värd. a) I år har sex persoer blivit ivalda till styrelse. På hur måga olia sätt a de fördela postera mella sig? Postera a fördelas på 6! olia sätt, detta med stöd av ovaståede sats. 6! 70 Kapitel - 8 -
b) På hur måga sätt a de båda assörspostera fördelas mella de sex ivalda? Till de första poste a det väljas mella 6 persoer och till de adra a ma välja mella de återståede persoera. Atalet ombiatioer är 6 0. Vi sall äma resultatet i b) i e sats. Vi såg ju på atalet permutatioer då vi valde elemet ur e mägd med 6 elemet. Sats. Atalet permutatioer om elemet ur e mägd med elemet är:! ( )( ) ( ( )) ( )! I exempel b) ova var ju och 6. Detta blev: 6! 6 0.! Val uta häsy till ordige. Iom Sigma har ma bildat e årsfestommitté. Till dea sall två represetater frå styrelse väljas. På hur måga sätt a detta se? Detta är ite samma exempel som i b) ova. Här är det ju bara fråga om att välja två persoer av sex, de ibördes ordige mella dem spelar ige roll. I exempel b) bildade varje par av persoer två olia ombiatioer, då perso ett ude vara assör och perso två var ompedieassör, och vice versa. Rimligtvis borde atalet ombiatioer vara hälfte så måga ä om ma tar häsy till ordige. Detta betyder att två persoer sulle ua väljas till ommittee på olia sätt. Allmät a vi resoera liadat. Sall vi välja elemet ur e mägd på elemet uta häsy till ordige går det till på följade sätt: Om ma väljer med häsy till ordige sulle vi få:! olia permutatioer. ( )! Nu är vi ju i de sitauatioe att i detta atal igår! sätt, som edast siljer sig ifrå varadra i fråga om de utvaldas ibördes ordig. Vi måste alltså dividera uttrycet ova med! för att rätta till för detta. Vi a alltså välja elemet ur e mägd med elemet uta häsy till ordige på Kapitel - 9 -
! ( )!! sätt. Detta bruar betecas på ett speciellt sätt: Defiitio. Med, (läses över ) avses för de aturliga tale och ( > 0 och ): ( )( ) ( ( ))!.! ( )!! Vi bruar alla e följd uta bestämd ordig för e ombiatio (jfr. permutatio). Sats. Atalet ombiatioer om elemet av e mägd med elemet är:!.!( )! I e lass fis pojar och flicor. Klasse har 8 lärare. För att orda e lassresa väljs e ommitte, som består av pojar, flicor och lärare. Hur måga olia ommitteer a ma välja? Pojara a väljas på 8 sätt. sätt, flicora på sätt och lärara a väljas på Alla dessa grupper a ma ombiera fritt. Det betyder att det totala atalet sätt ma a välja ommitteer på är: 8 0 9 8 7 6 86000 6 7670 olia sätt.. Empiris saolihet Vad meas med saolihet? Vi sall se på ett lassist exempel. Kapitel - 60 -
Vi täer oss att vi astar tärig. När vi astar e tärig a vi få upp atige,,,, eller 6. Vi täer oss att vi har e symmetris tärig. Detta leder till att chase att få upp e etta är lia stor som chase att få upp e sexa. Vi sall u göra ett empirist försö (ett experimetellt försö). Vi sall asta e tärig atal gåger och se hur stor procet av aste som visar, osv. Deras procetuella adel allas de relativa frevese. I följade försö har jag simulerat tärigsast med 00, 00, 000 och 00000. 00 00 000 00000 0.900 0.760 0.70 0.67 0.000 0.800 0.60 0.67 0.00 0.800 0.70 0.6 0.800 0.60 0.80 0.66 0.900 0.00 0.690 0.68 6 0.00 0.0 0.60 0.67 S:a.000 De teoretisa saolihete för att få e etta är ma astar e tärig är: 0.66667 6 Vi ser att med större atal ast ommer vi i regel ärmare det talet. Vi ser ocså att sillade mella de största relativa frevese och de mista relativa frevese misar med större atal tärigsast. Saolihetera ärmar sig varadra, vilet vi ocså a se ur grafera. Detta ger upphov till följade sats: Sats. Atag att A är e bestämd hädelse, som asluter sig till ett slumpmässigt försö. Försöet utförs gåger och atalet försö som leder till att A iträffar atas vara (. Om de relativa frevese visar sig vara stabil, dvs om de varierar rig ett bestämt tal och ärmar sig detta tal allteftersom atalet försö öar, sägs talet vara de empirisa saolihete för hädelse A. Vi betecar talet (dvs de empirisa saolihete) P ( och sriver: ( P( lim.. Det lassisa saolihetsbegreppet Vi har defiierat saolihete utgåede frå empiris saolihet. Med empiris saolihet meade de saolihet ma får fram geom upprepade försö av samma experimet. Vi experimeterade och simulerade ast med e tärig. Dea defiitio Kapitel - 6 -
saar doc e del. Hela defiitioe bygger på experimet, som a få olia utfall beroede på förhållade i experiemetet osv. Vi sall därför bygga upp e mer matematis hållbar modell. Först måste vi defiiera e del begrepp. De olia resultat eller utfall ma a få vid ett försö allar vi elemetarhädelser. Alla möjliga elemetarhädelser bildar e mägd. De mägde allar vi ett utfallsrum. Det betyder att de olia resultat ma a få vid ett försö allas ett utfallsrum. Vi betecar utfallsrummet med stor bostav, ex. U. Om vi ser på e delmägd av utfallsrummet allar vi detta för e hädelse. I vårt exempel med ast med tärigar var elemetärhädelsera,,,, och 6. Tillsammas bildade de utfallsrummet U{,,,,,6 }. Utfallsrummet är alltså mägde av elemetärhädelser. Om vi astar e tärig och udersöer hur ofta vi får eller 6, då udersöer vi hur ofta hädelse {,6} iträffar. Hädelse är e delmägd till utfallsrummet. Nu är vi har defiierat edel grudbegrepp a vi gå över till att defiiera begreppet saolihet. Defiitio. Atag att U är e (ädlig) mägd, som består av möjliga utfall vid ett slumpmässigt försö, och att A är e godtyclig hädelse, så att A U. Saolihete för hädelse A, d v s saolihete för att resultatet av försöet sall vara ett elemet i A är då: ( P (. ( U ) De lassisa saolihete för e hädelse är således Kvote av atalet gysamma utfall och atalet möjliga utfall. Vi udersöer försöet dra ett ort ur e valig ortle och hädelsera: a) det draga ortet är spader b) det draga ortet är rött c) det draga ortet är e et, e dam eller e ug. I vår defiitio ova sall vi u för att få saolihete dividera atalet gysamma utfall med atalet möjliga utfall. (U ), dvs atalet möjliga utfall är, eftersom vi a få olia ort är vi drar ett ort ur e ortle. Kapitel - 6 -
a) om vi ser på hädelse att ortet är spader, fis det möjliga elemetarhädelser som satisfierar dea hädelse (dvs de spaderorte). Saolihete är således: ( P ( ( U ) b) För hädelse att vi får ett rött ort har vi att ( 6. Detta leder till att: ( 6 P ( ( U ) c) För hädelse att vi får e et, e dam eller e ug har vi att (. Vi får: ( P (. ( U ) När vi drar ett ort ur e ortle täer vi oss att det är lia stor saolihet att dra vilet ort som helst. Detta allas liformig saolihetsfördelig och aväds alltid är ma räar med de lassisa saolihete. Vi ommer seare att gå i på möjlighete att olia elemetarhädelser iträffar med olia stor saolihet. Att vi har att göra med e liformig saolihetsfördelig förstår vi av att ma på måfå drar ett ort, eller att ma slumpmässigt drar ett ort. Ma a ocså förstå det utgåede frå problemets atur. Bestäm saolihete att få poägsumma 7 eller 8 vid ast med två tärigar. Vilet är utfallsrummet? Jo U består av olia talpar ( x, y) som ma a få är ma astar med två tärigar. Vi a bilda U som: {(, ), (, ), (,),(, ), (,)(, ),,( 6, ), ( 6,),,( 6,6) } U. Om vi ser på: A poägsumma 7 eller 8 vid ast med två tärigar Ka vi se att gysamma utfall är: {(,6 ), (,),(,6),(,),(,),(, ), (,),(,),(, ), ( 6, ), ( 6,) } A. Kapitel - 6 -
( och (U ) 6 vilet ger: P (. 6 Ur e ortle dras ort. Vad är saolihete att de alla är spader? Vi sall u se på hädelse A ort dras och alla är spader. Utfallsrummet U är alla ombiatioer av ort som vi a få är vi drar fem ort. E elemetärhädelse är t.ex. u { spader, löver 6, hjärter ug, hjärter dam, löver 9}. Atalet elemetärhädelser, (U ), är eligt de regler vi lärde oss I apitlet om ombiatori: (U ). Hädelse A iefattar alla hädelser, sådaa att de fem orte är spader. Hur måga sådaa ombiatioer fis det? (, som är atalet ombiatioer som är gysamma ges av: (. Saolihete P ges u av: (!!7! 0 9 P ( 0,0009 ( U )!8!! 0 9 8 Dvs, alltså uder 0,% chas! Dra fem ort ur e ortle. Vile är saolihete att exat tre av dem är spader? Atalet spaderombiatioer som vi a bilda med tre ort är: Kapitel - 6 -
. De ort som ite är spader a ombieras på 9 olia sätt. Detta eftersom de är 9 till atalet och vi väljer två styce av dem. Dessa ombiatioer av spaderort och ice-spaderort a fritt varieras. Eftersom atalet ombiatioer då fem ort väljs ur e pace är är saolihete att få exat tre spaderort är ma på måfå väljer fem ort ur e pace: 9 0.08.. Räeregler Vi sall u bilda och härleda ågra regler, utgåede frå de lassisa saolihetsdefiitioe. Regler. Vi atar att A och B är hädelser i utfallrummet U. Då gäller: (i) 0 P ( Bevis. 0 ( ( U ) 0 ( ( U ) ( U ) ( U ) ( U ) 0 P( (ii) P ( U ) P ( ø) 0 (iii) P ( A B) P( + P( B) om A B ø. Kapitel - 6 -
Bevis. ( h och ( B) och ågot elemet i A fis ite i B. Mägde A B iehåller då h + elemet. ( A B) P( A B) ( U ) h + ( U ) ( ( B) + ( U ) ( U ) P( + P( B) Utgåede frå regel (ii) bruar ma tala om att saolihete för e omöjlig hädelse är 0 och saolihete för e säer hädelse är. Vi sall ta ett exempel på räeregel (iii): Vad är saolihete att få samma sida upp tre gåger efter vara är ma astar ett myt? Ma astar alltså ett myt. Vad är saolihete att få { roa roa, roa} { lave, lave, lave}? Vi har 8 möjliga utfall (varför?). Två av dessa är: { roa, roa roa} { lave, lave lave} A, och B,., eller A och B iehåller ite liadaa elemet. Det fis ett elemet i A och ett elemet i B. Saolihete blir alltså: P ( A B) P( + P( B) +. 8 8 8 Vi sall ytterligare fortsätta med ågra regler: Regler. Atag att A och B är hädelser i utfallsrummet U. Då gäller: C (iv) P(U \ P(A ) P(. Dvs, saolihete för omplemethädelse är mius saolihete för A. (v) Atag att A B. Då gäller: Kapitel - 66 -
P(B \ P(B) - P(. Dvs, saolihete för hädelse B mius hädelse A, då A är e udermägd till A, är saolihete för B-saolihete för A. (vi) För alla hädelser A, B U gäller: P( A B) P( + P( B) P( A B). Bevis. Atag att det fis h elemet i A, elemet i B och i elemet i A B. ( i h, ). P ( A B ) ( A B ) ( U ) ( + ( B ) ( A B ) ( U ) ( ( B ) ( A B ) + ( U ) ( U ) ( U ) E lottförsäljare har 00 lotter, varav ger vist. E perso öper lotter. Vad är saolihete att ha får åtmiståde e vist? Komplemethädelse är här att ha ite får ågo vist. Det är i måga fall mer pratist att räa ut saolihete för omplemethädelse. A Åtmiståde e vist C A ige vist C P( P( A ). 9 Saolihete att ite få vist med de första lotte är, eftersom det fis 9 00 lotter som ite ger vist och sammalagt 00 lotter. 9 Saolihete att få e itlott i de adra omgåge är, eftersom det fis 9 99 itlotter av 99 var. Kapitel - 67 -
C 9 9 P( A ) 0,90 00 99 C P( P( A ) 0.098 Dea saolihet ude äve ha beräats som: 9. 00 Beräa P( A B) då U A B och P (. 8 och P ( B).. Diret isättig i formel P( A B) P( + P( B) P( A B) ger att: 0.8 + 0. x x 0... Oberoede hädelser Vi sall i de följade apitle gå i på vissa specifia saolihetsproblem Det är ofta till just dessa ma ommer tillbaa är ma vill ha löst ågot problem. Det första begreppet är oberoede hädelse som itroduceras med hjälp av ett exempel. Ett ort dras ur e ortle. Med vile saolihet är orte spader äss?` Svaret är. Vi ude ocså täa oss tillvägagåssättet: P (" spader") P(" äss") P(" spaderäss"). Vi a fråga oss om detta är e allmä regel eller om det är e tillfällighet. När vi defiierar begreppet oberoede hädelser utgår vi frå just detta. Om två hädelser är oberoede av varadra betyder det att saolihete att båda hädelsera sall iträffa är saolihete att de ea hädelse sall iträffa gåger saolihete att de adra hädelse sall iträffa. Vi sammafattar i e defiitio: Kapitel - 68 -
Defiitio. Atag att A och B är hädelser i utfallsrummet U. Om hädelsera är oberoede, gäller: P( A B) P( P( B). Detta betyder i larsprå att: iformatioo om att de ea har iträffat påverar ite saolihete för de adra hädelse att iträffa. Defiitioe a i det allmäa fallet gälla mer ä två hädelser. Tre bowlare slår strie med saolihete 0%, 60% resp 70%. Vile är saolihete för mist e strie om alla slår e gåg? Vi ser på hädelse: A mist e strie Komplemethädelse C A är de att ige slår e strie. Vi sall se på dea: De tre bowlaras resultat är oberoede av varadra. A C P( A " ige strie" C ) ( 0.) ( 0.6) ( 0.7) 0. 0. 0. 0.06 P( 0.06 0.9.6 Oberoede försö Begreppet oberoede försö ligger mycet ära oberoede hädelse. När vi defiierade oberoede hädelse utgic vi frå två hädelser i samma utfallsrum U. När vi defiierar oberoede försö utgår vi frå hädelser i olia utfallsrum. Om dessa hädelser ite påverar varadra talar vi om oberoede försö. Defiitio. Atag att e är e godtyclig hädelse i utfallsrummet E och f är e godtyclig hädelse i utfallsrummet F samt att E och F är utfallsrum i två oberoede försö. Då gäller: P( e f ) P( e) P( f ). Kapitel - 69 -
Vi siglar först slat och astar seda e tärig. Vile är saolihete att få e lave och e :a eller e 6:a? Vi har två utfallsrum, som defiieras som: F E { roa, lave} {,,,,,6 } De hädelser vi ser på allar vi f och e och: f e { lave} {,6} Saolihete att få lave och e :a eller e 6:a fås (eftersom försöe görs oberoede av varadra) som: ( e) ( f ) P ( e f ) P( e) P( f ). ( E) ( F) 6 6 Vi ude ocså täa oss att försöe sulle vara beroede av varadra. Ett ex. vore om vi ser på väderlee. Vi a täa oss att vi udersöer hur stor saolihete är att Aura å är fruse och att vi udersöer saolihete att vi har allare ä tio miusgrader i Åbo. Utfallet i dessa två försö är rimligtvis beroede av varadra. Ser vi på saolihete att Aura å är fruse och det är allare ä tio miusgrader gäller ite sambadet: P( fruse å och allare ä 0 ) P( fruse å )P( allare ä 0 ) Vi siglar slat gåger. Vile är saolihete att lave föreommer åtmiståe e gåg? Vi a se på varje slatsiglig som ett oberoede försö. Detta eftersom resultatet av ett ast ite är beroede av föregåede ast. Komplemethädelse till åtmiståe e lave är att vi ite får e eda lave. Vi sätter: A bara roor är vi astar myt gåger. Dea uträas som: Kapitel - 70 -
P( Saolihete för åtmiståe e roa ges av:..7 Additio och multipliatio av saoliheter Tre ort dras ur e ortle. Vile är saolihete att det första och det tredje ortet är spader? Vile är saolihete att exat två ort är spader? Vi sall aalysera detta med hjälp av ett träd. Vi vet att ma atige a få spader, eller så får ma ite. Om vi iför betecigara: S " spader" A " aat ort" gäller det att vi sall få ombiatioe SAS. Saolihete för dea hädelse är: 9 0,09. 0 Om vi istället alayserar saolihete att exat två ort är spader, ser vi att följade ombiatioer är godtagbara: SSA, SAS, ASS Dessa hädelser är tydlige uteslutade av varadra. Vi vet att P ( A B C) P( + P( B) + P( C) om hädelsera är uteslutade. Vi får: 9 9 9 P ( SS + P( SAS) + P( ASS) + + 0.8 0 0 0 Kapitel - 7 -
Att veta är ma sall addera eller multiplicera saoliheter är ite alltid så lätt. E regel är att är ordet och äms så hadlar det ofta om multipliatio, meda ordet eller oftare a associeras till additio. Samtidigt a ma påmia om att hör ihop med additio och hör ihop med multipliatio. Saolihete att hädelse A och hädelse B iträffar är P( P( B) om de är oberoede. Saolihete att hädelse A eller hädelse B iträffar är P ( + P( B) om A och B är oberoede av varadra. Ett gott råd är ma sall lösa saolihetsproblem är att rita upp alla möjligheter på ett papper, samt att oggrat täa igeom uppgifte. Iom saolihetslära löar det sig aldrig att ha bråttom! Saolihete att e bra oc gör god mat är 90% och saolihete att e dålig oc gör god mat är 0%. E oc väljs på måfå ur e grupp med 60% bra ocar och 0% dåliga. Vad är saolihete att de valda oce lagar god mat? Vi har två typer av ocar och två typer av mat. Geom att ombiera dem på olia sätt a vi få olia mat. För att få god mat a vi atige ha e dålig oc som gör god mat eller e bra oc som gör god mat. P (" god mat") 0. 0. + 0.6 0.9 0.6 I ura A fis fyra röda och tre vita ulor och i ura B fis fem röda och sex vita ulor. E ula tas ur A och sätts i B. Därefter dras fyra ulor ur B. Vile är saolihete att de alla är vita? Atige dras e vit eller e röd ula ur A. P(" vit ula") 7. P(" röd ula") 7 I ura B fis u ulor. Om vi flyttat e röd ula till B så fis det sex röda och sex vita ulor. Om vi flyttat e vit ula till B fis det fem röda och sju vita ulor i B. 7 6 6 P(" fyra vita ") + 0.076 7 0 9 7 0 9 Kapitel - 7 -
.8 Biomialsaolihet Vi täer oss att vi gör ett försö gåger. Vi är itresserade av hädelse A som iträffar med saolihete P ( p. Atige iträffar hädelse A i ett försö eller så gör de det ite. Saolihete att hädelse ite sall iträffa är ( p). Vi udersöer de speciella hädelse att A iträffar gåger på försö. Atag att 0, dvs att hädelse A ite alls iträffar. Saolihete för detta är ( p). Saolihete att hädelse A iträffar i varje försö är Vi a besriva vila styce gåger A iträffar geom att välja e delmägd med med styce elemet ur mägde {,,,}. På hur måga olia sätt a dessa delmägder väljas? Hur måga ombiatioer av elemet a vi välja ur e mägd på elemet? Jo, eligt satse i apitel. a delmägdera väljas på olia sätt. Vi sall se på följde att A iträffa i de första försöe me ite seda. Eftersom vi har försö allt som allt gäller det att saolihete för detta är: p. p ) ( p. Detta är ocså saolihete för varje hädelseserie, som iebär att A iträffar gåger. Eftersom atalet ombiatioer är så är saolihete att A sall iträffa gåger: p p ( ). Sats. Ett försö, där hädelse A iträffar med saolihete p, utförs gåger så, att försöe är oberoede av varadra. Om A står för hädelse att A iträffar exat gåger i dessa försö, 0, gäller det att: P( A ) p ( p) Dea sats allas satse om biomialsaolihet. Kapitel - 7 -
Saolihete att det regar uder e dag är 0.. Vad är saolihete att det regar två dagar uder e veca? Vile är saolihete att det regar på mådag och fredag? Vi atar i uppgifte att hädelse det regar är oberoede av om det regat föregåede dag. Saolihete att det regar två dagar uder e veca ges eligt satse ova av: 7 0. 0.8 7! 0.!! 0.8 0.7. Saolihete att det regar e viss dag är 0.. Därför är saolihete att det regar på mådag och fredag (hädelsera oberoede): 0. 0. 0.0 Saolihete att ett friast i orgboll lycas atas vara 80%. Beräa saolihete att åtmiståe av friast lycas. Vi sall fudera på problemet lite. Att åtmiståe av ast lycas betyder att, eller ast lycas. Dessa hädelser är varadra uteslutade, för ma a ju ite prica gåger samtidigt som ma pricar gåger. Vi betecar: A prica gåger i orge på ast. P( A A A ) P( A ) + P( A 0.8 0. 0.08 + 0.096 + 0.768 0.9 0.8 0. + ) + P( A 0.8 ) 0. + 0.8 0. 0 Vad är saolihete att roa uppträder för adra gåge i det sista astet om ma siglar slat fem gåger? Vi sall behadla detta som två oberoede försö. I det första försöet udersöer vi hädelse att få e roa är ma siglar slat fyra gåger. Det adra försöet Kapitel - 7 -
udersöer vi saolihete för hädelse roa. Dessa försö är oberoede av varadra, och därför fås saolihete som: P (" e roa vid fyra försö") P(" roa") 0. 0. 0. 0. Hur måga bar bör det fias i e familj för att saolihete sall vara att åtmiståe två av bare är pojar? Vi täer oss att saolihete för poje och flica är lia stor. Komplemethädelse till åtmiståe två pojar är oll eller e poje. Saolihete för dea hädelse är -P( åtmiståe två pojar ) P( åtmiståe två pojar )-P( oll eller e poje ) 0 ( 0. + 0. ) 0 0. 0. 0. ( + ) 0. ( + ) + 0. 0. 0. Dea evatio är ite lätt att lösa explicit, me vi a pröva med olia värde och se vad vi får. Eftersom vi udersöer saolihete för åtmiståe två pojar börjar vi med : 0. ( + ) 0.7 0. ( + ) 0. 0. ( + ) 0. 0. ( + ) 0.87 0. Vi drar alltså olusioe att om vi har fem bar eller fler så är saolihete att vi har åtmiståe två pojar större ä 7%. Kapitel - 7 -
.9 Stoastis variabel I förra apitlet beräade vi biomialsaoliheter. I det här aptlet ommer vi att bredda oss lite. Vi täer oss att vi astar pil på e piltavla. Saolihete att träffa tavla är 0.8 och saolihete för e miss är 0.. Om vi atar att vi har pilar och vi vill udersöa saolihete för träffar, a vi få dea saolihet som: 0.8 0.. Atag u att vi vill udersöa saolihete för att få 0,,,, eller träffar då vi har pilar. Vi sall se på dea: 0 0.8 0. 0.8 0. 0.8 0.8 0.8 0.8 0 0. 0. 0. 0. 0 0.000 0.006 0.0 0.08 0.096 0.77 Om vi summerar de olia saolihterea ommer vi till. Detta är ju gasa aturligt, eftersom vi har täct alla möjligheter, dvs hela utfallsrummet. När vi astar med pilar a vi få 0- träffar. Vi ritar upp ett stolpdiagram som visar de olia saolihetera: Kapitel - 76 -
0. 0. 0. 0. 0. 0 0. 0. 0. 0.0 0 0 0 0.000 0.006 0.0 0.08 0.096 0.77 Detta allas e biomial saolihetsfördelig. Vi a läsa ut saolihete för atalet träffar. För varje astomgåg a vi få olia resultat, tex serie {t m t t m} (tträff och mmiss) eller serie {t t t t m}. Om vi ser på dessa resultat är atalet träffar e futio av varje resultatserie. Om vi läser i serie {t m t t m} i futioe atalet träffar spottar de ut svaret. E futio som tar i e hädelse frå ett utfallsrum och spottar ut ett reellt tal allas e stoastis variabel. Stoastis variabel är alltså ige variabel som amet missvisade säger, uta de är e futio. E stoastis variabel betecas med e uderstrecad lite bostav, ex x. Om vi allar de stoastisa variabel (s.v.) atalet träffar på fem försö för x får vi att defiitiosmägde är alla olia resultatserier ma a bilda. Värdemägde är {0,,,,,}. De stoastisa variabel x har e ädlig värdemägd och allas disret. Sambadet mella de värde som de stoastisa variabel atar och deras saoliheter besrivs med frevesfutioe f. För atalet träffar gäller t.ex att f ( ) 0. 096. Ma bruar beteca: p P( x ) () saolihete för x att ata värdet 0. 096. f Vi sall u sammafatta dessa ya begrepp i e defiitio: Defiitio. E stoastis variabel x är e futio frå ett empirist utfallsrum till e delmägd av R. De stoastisa variabel x (och dess fördelig) är disret, om dess värdemägd är ädlig (eller oädlig me uppräelig). Kapitel - 77 -
Frevesfutioe f för de stoastisa variabel x ager saolihete för varje värde som x atar och f x ) p P( x x ). ( Sats. Atag att { x x x },,, är värdemägde för de s.v. x. Då gäller det att ( ) + ( ) + + ( ). f x f x f x.0 Disreta saolihetsfördeligar De fördelig som vi allade biomial saolihetsfördelig allas ocså för e biomialfördelig. Vi såg hur biomialfördelige såg ut med. Allmät defiieras de som: Biomialfördelig. För e biomialfördelig gäller: p p ( p) där p ] 0,[, Z + och 0,,,,,. Att de stoastisa variabel x är biomialfördelad bruar betecas med att: x ~ Bi(, p) där och p allas parametrar. När ma äer ige parametrara äer ma helt till fördelige. Bestäm saolihetsfördelige för de stoastisa variabel x atalet ögo som fås vid ett tärigsast. Varje ögotal har saolihete 6. Vi a sriva: f ( ) f () f () f () f () f (6) diagram: 6. Vi sall åsådliggöra detta i ett Kapitel - 78 -
0.8 0.6 0. 0. 0. 0.08 0.06 0.0 0.0 0 6 0.66666667 0.66666667 0.66666667 0.66666667 0.66666667 0.66666667 Vi allar detta e liformig fördelig. Liformig Fördelig. Frevesfutioe för e liformig fördelig är: p p p.. E fördeligs arateristior Vi såg att ma helt ude besriva e biomialfördelig m.hj.a. dess parametrar och. Med hjälp av dessa a vi exat få reda på saolihetsfördelige. Om vi vill jämföra olia fördeligar säger doc ite parametervärdea så mycet. I e fördelig a ju ett parametervärde betyda e helt aa sa ä i e aa fördelig. För att ua jämföra och olia fördeligar och speciellt för att få e besrivig av e fördelig har ma defiierat arateristior. Dessa är värde som är arateristisa för fördelige, värde som på ett objetivt sätt besriver fördelige. De första arateristia vi sall defiiera ager ett vätevärdet. Återalla exemplet med pilastig. Vi täer oss ågra pilastare, ia de astat. Vi vet hur fördelige ser ut för atalet träffar i tavla. Nu besriver vätevärdet det atal träffar vi a förväta oss att var och e får, ia de astat. Vi defiierar: Defiitio. E stoastis variabel atas ha värdemägde { x, x,, } x med tillhörade saolihetsfördelig p, p, p. Vätevärdet av de stoastisa variabel x är ett vägt medelvärde av elemete i värdemägde med motsvarade saoliheter som viter, dvs om vätevärdet betecas E x, Kapitel - 79 -
E x p x p x + p x + + i i i p x. Vi sall u se på de liformiga fördelige. För de liformiga fördelige gäller ju att p p. Isättig i formel för vätevärdet ger att: p E x p x + p x + + p x x + x + + x ( x + x + + x För e biomialfördelad s.v. med parametrara och p och värdemägde V x 0,,, gäller (uta bevis) att: { } E x p. ). Vätevärdet för ast med tärig är: 7 ( + + + + + 6). 6 Detta för att vi har att göra med e liformig fördelig med p i. 6 Värdemägde för de stoastisa variabel är: {,,,,,6 }. Atalet träffar i e piltavla täer vi oss att är biomialfördelat med parametrara och 0.8. Beräa vätevärdet. Frå formel ove vet vi att vätevärdet är p vilet är 0.8. Nu säger ite vätevärdet allt. Ma a ase udra hur fördelige ser ut rig vätevärdet. Är det stor saolihet att de s.v. atar värde ära vätevärdet eller atar de s.v. ofta värde lågt frå vätevärdet? För att mäta detta har ma defiierat spridigsmått. Dessa ager hur stort avstådet i medeltal är frå det observerade värdet och vätevärdet. Hur sulle ett sådat mått se ut? Vi täer oss att avstådet mella de stoastisa variable x och vätevärdet E x besrivs med: x Ex Det förvätade värdet för detta värde är då: E x Ex. Kapitel - 80 -
För att få ett bättre mått har det visat sig att ma bör vadrera detta uttryc. Vi defiierar: Defiitio. De stoastisa variabel x har variase Var x, vile bestäms som vätevärdet av de stoastisa variabel ( x Ex) Var x E ( x Ex) Variase betecas ofta med σ., dvs Kvadratrote ur variase beäms stadardavvielse. De betecas ofta med σ och Var x ( x Ex) E. Vätevärdet betecas ofta med µ. Vi a u sammafatta hur ma beräar dessa tre arateristior: Regler. Om de stoastisa variabel x har värdemägde { x, x,, } saolihetsfördelige, p, p är: p, x med µ i p x i i p x + p x + + p x σ σ i i p i p ( x µ ) p ( x µ ) + p ( x µ ) + + p ( x µ ) i i ( x µ ) p ( x µ ) + p ( x µ ) + + p ( x µ ) i Se på exemplet med pilastig. Beräa varias och stadardavvielse för variabel. Vi vet att variabel är biomialfördelad med parametrara och 0.8. Vätevärdet ges av: µ 0.8 Äve frå tidigare vet vi att variabel atar värdea {,,,,, } för dessa är: 0. Saolihete Kapitel - 8 -
p p p p p p 0 0.000 0.006 0.0 0.08 0.096 0.77 Vi a u räa ut variase: σ i 0 ( ) 0.000( 0 ) + 0.006( ) + 0.0( ) p µ i x i + 0.08 0.8000 ( ) + 0.096( ) + 0.77( ) + Stadardavvielse blir då vadratrote ur variase, eller 0.89. För e biomialfördelad variabel gäller att variase a uträas eligt: Regel. Om de stoastisa variabel x är biomialfördelad med parametrara och p gäller att: Var x p( p) Vi a otrollera att svaret i exemplet ova gäller. Var x 0.8 ( 0.8) 0.8.. Kotiuerliga fördeligar Vi defiierade i apitel.9 begreppet stoastis variabel, s.v. E s.v. har som defiitiosmägd ett utfallsrum och som värdemägd ett reellt tal. I exemplet med atalet träffar i e tavla är ma astade pil mis vi t.ex. att utfallet { t, m, m, t, t} avbildades på talet (atalet träffar). De fördelig vi har behadlat mest oggrat, biomialfördelige har alltid heltal som värdemägd. Vi ommer i detta apitel att utvidga begreppet s.v. att äve iefatta e fördelig vars värdemägd är hela R eller ett delitervall av R. Vi a t.ex. täa Kapitel - 8 -
! "! +*) ( & ' oss att de stoastisa variabel x har V x [0,0], d.v.s. x a ata alla värde mella 0 och 0. Defiitio. De stoastisa variabel x (och dess fördelig) är otiuerlig, om dess värdemägd Vx är hela R eller ett delitervall av R. Fördelige för e otiuerlig stoastis variabel bestäms av frevesfutioe f med egesapera: (i) f ( x) 0 för alla x R. (ii) f är otiuerlig överallt, utom möjlige i ett ädligt atal x- värde. (iii) Area av området mella urva y f (x) och x-axel är. När vi bestämmer saolihetera P för e otiuerlig stoastis variabel har vi till vår hjälp frevesfutioe f. Varje futio som uppfyller putera (i)-(iii) i ovaståede defiitio är e frevesfutio. Är f (x) e frevesfutio för e otiuerlig stoastis variabel, då #%$ x 0 x f ( x). (Se figur ) 0 övriga x Put (i) och (ii) är uta tvea uppfyllda. Vi otrollerar put (iii): 0 x x dx 0. f (x) är alltså e frevesfutio. 0 Vi mis att saolihete för e säer hädelse var. Area uder frevesfutie måste äve de vara, eligt defiitioe. Just area uder frevesfutioe besriver saolihete för e otiuerlig s.v. Därför gäller följade regel för e otiuerlig s.v. x : Regel. Atag att x är e otiuerlig stoastis variabel med frevesfutioe f. Saolihete att x sall ata ett värde i itervallet [ a, b] som tillhör defiitiosmägde är då area av området uder f som begräsas av lijera x a och x b, dvs: Kapitel - 8 -
+*) +*) +*) ( & ' ( & ' ( & ' +*) ( ' & P( a x b) f ( x) dx. b a Se på samma fördelig f som i föregåede exempel. Beräa följade saoliheter: x P. a) ( x ) x dx [ 8 ] b) c) x 9 9 P ( x ) x dx. P( x ) 0 x dx x 0 9 6 P( x ). d) P ( x ) x dx 0 I d)-fallet får vi att saolihete för att de s.v. atar värdet är 0. För otiuerliga fördeligar gäller allmät att P ( x a) 0 för e ostat a. Hur a detta stämma? Ma a täa sig att eftersom de s.v. x a ata precis alla värde i R eller i ett delitervall av R så är saolihete att variabel precis sall ata värdet a oll. Det fis ju oädligt måga värde i i R eller i ett delitervall av R.. Normalfördelige De uta tvea valigaste föreommade otiuerliga fördelige är ormalfördelige. De är så avädbar pga av att de besriver måga olia feome, ex. befoligslägder, poäg i teter, IQ, lägde på lågfigret osv. Mest avädbar är de ädå för att det har visats att summor av stoastisa variabler är ormalfördelade. Detta ommer vi ite att gå i på här. Vi sall börja med att defiiera ormalfördelige: Defiitio. Frevesfutioe för e ormalfördelig är: Kapitel - 8 -
.-, 0/ x µ σ f ( x) e. σ π Här är parametrara µ och σ reella tal och σ >0. Om de s.v. x är ormalfördelad betecas detta med: x ~ N( µ, σ ). µ står för fördeliges vätevärde och σ är fördeliges stadardavvielse. Om µ 0 och σ allar vi detta e stadardiserad ormalfördelig. Dess frevesfutio betecas med ϕ (uttalas lilla fi)). Alltså: f ( x) e π x. Normalfördelige har som värdemägd hela de reella talaxel. Vi sall se på vad som häder om vi varierar värdea på parametrara µ och σ. Vi utgår frå e fördelig som är ~ N (0,). Om µ varierar har vi samma utseede på fördelige, me placerige är olia. µ besriver ju vätevärdet. Om däremot σ variera får vi olia utseede på grafe. Om σ < är stadardavvielse midre. Detta betyder att de observerade värdea med större säerhet ligger ära vätevärdet. Vi får alltså e fördelig, vars topp är spetsig (se figur ). Om däremot σ > leder det till att saolihete är större att de observerade värdea ligger lägre frå medelvärdet. Detta leder till att vi får e trubbigare figur. Eftersom det är svårt att itegrera fördeligsfutioe för e ormalfördelig har ma gjort upp tabeller för de stadardiserade ormalfördelige. Vi sall seare se att alla ormalfördeligar a överföras på dea. Regler. För ormalfördelige har ma uppgjort följade tabeller. Vi ser på ett reellt tal > 0. Vi udersöer de s.v. x ~ N(0,). Nu gäller det att: P( x ) Φ( ) ( eller F( )). Följade räeregler gäller för,, R : (i) P( x ) Φ( ) (ii) P x ) Φ( ) Φ( ) ( Kapitel - 8 -
För < 0 gäller följade: Φ ( ) Φ( ). Tabell fis t.ex. på: http://www.stams.strath.ac.u/~steve/statform/ztable.html Atag att x ~ N(0,). Bestäm följade saoliheter: a) P ( x ) Φ() 0.8 b) P ( x ) Φ() 0.8 0.87 c) P ( x ) Φ() Φ() 0.977-0.8 0.9 d) P( x ) Φ() Φ( ) Φ() ( Φ()) 0.977 -+ 0.8 0. 88 Vi ämde att ma a stadardiera e variabel som är ormalfördelad. Detta betyder att, oberoede av värdea på µ och σ a ma göra om variabel till e N(0,) -fördelad. Vi utgår frå att vi har e variabel x som är ~ N ( µ, σ ). Observera här att µ och σ är reella tal. Om vi bildar variabel z eligt: z x µ σ ommer z att vara ormalfördelad med parametrara 0 och. Atag att lägde av e fullvuxe filäds via är ormalfördelad med vätevärdet 60 och stadardavvielse 6.. Vi vill bestämma saolihete att e via, som vi väljer på måfå har e lägd som ligger mella 0 och 70 cm. lägde ~ N (60,6.). Vi vill u stadardisera dea ormalfördelig så att µ 0 och σ. Om vi allar de s.v. lägde för x gäller det att: x ~ N(60,6.). Om vi bildar de s.v. z som: z x 60 6. Kapitel - 86 -
så är z ormalfördelad med parametrara 0 och. Eftersom vi ville udersöa: P ( 0 x 70) måste vi äve stadardisera gräsera. Detta ser på samma sätt: 67 0 60 70 60 P(0 x 70) P z 6. 6. P (. z.) Nu a vi räa ut detta med våra valiga regler eftersom z är e stadardiserad ormalfördelig. P (.8 z.8) Φ(.) Φ(.) Φ(.) ( Φ(.)) Φ(.) (0.98) - 0.876 Kapitel - 87 -