UMEÅ UNIVERSITET Isttutoe för matematk och matematsk statstk MSTA, Statstk för tekska fysker A Peter Ato TENTAMEN 005-0-03 ÖSNINGSFÖRSAGTENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Statstk för tekska fysker, 4 oäg. Ale utyttjar tre motergsfabrker för hosättg av s seaste Mac mdator. Hosättge sker Irlad, Meco och taue. För de två måadera mars och arl 005 sattes 800 Mac m ho. Fördelge av hosättge var å de tre fabrkera lädera 9000 Irlad, 4500 Meco och 3300 taue. Vd kotroll av hur måga cke fugerade eheter som satts ho kude ma kostatera att 50 stycke var trasga av de som tllverkats Irlad, 0 stycke var trasga av de frå Meco och stycke var trasga av de frå taue. a Om du skulle vart e av köara av e Mac m uder de här tdserode, vad är saolkhete att du skulle fått tag e cke fugerade dator? P dator trasg P dator tllverkad Irlad P dator trasg tllverkad Irlad + P dator tllverkad Meco P dator trasg tllverkad Meco + P dator tllverkad taue P dator trasg tllverkad taue 9000/800 * 50/9000 + 4500/800 * 0/4500 + 3300/800 * /3300 50+0+/800 9/800 0,0055 b Om du u hade oture att du köt e trasg dator, vad är saolkhete att de skulle ha tllverkats taue? P dator tllverkad taue dator trasg P dator tllverkad taue P dator trasg tllverkad taue / P dator trasg 3300/800 * /3300 / 9/800 / 9 0,4
. Ett rogramvaruföretag fuderar å att köa Doors ya komlator och vll veta om de är sabbare ä de gamla de reda aväder. Ma lät komlera st. ssemella väldgt olka rogram med de två komlatorera och fck följade resultat mätt sek Program 3 4 5 Gamla komlator.3 5.4 4.4 9. 3.3. Nya komlator.7 5.3.7 7.3 3. 0. a Blda ett 95%-gt kofdestervall för skllade komlergshastghet mella de två komlatorera och udersök om skllade är sgfkat. Du får ata ormalfördelgar me var oga med att skrva u d modell för data. V är tresserade av dfferesera vlka har medelvärde 0,55 och stadardavvkelse s,70 Atag att dfferesera är ormalfördelade med vätevärde µ och stadardavvkelse σ. Ett tvåsdgt kofdestervall för µ ges av -0,73347,,83347 s ± tα / 5, d vs,70 0, 55 ±,57058 H 0 : Medelskllad 0 förkastas te eftersom 0 fs kofdestervallet. b Geomför ett cke-arametrskt test och udersök om komlergshastghetera ka ases vara lka. Om v te ka ata att dfferesera är ormalfördelade ka v aväda tecke-test: X atal ostva dffereser Gamla Nya Om H 0 : ge skllad är sa är X B, 0,5 P ka etremt eller etremare utfall gvet att H 0 är sa PX 5 *0,09375 0,88 V ka te förkasta H 0.
3. Vd e omröstg va telefo ka ma välja mella att rga ett dyrt eller ett bllgt telefoummer. Om ma rger det dyra umret skäker ma samtdgt 9,90 kroor tll ett välgörade ädamål och om ma rger det bllgare umret edast 50 öre. Atag att atalet samtal tll det dyra umret beskrvs av e Possofördelg med vätevärde 350 000 och att motsvarade atal för det bllgare umret av e Possofördelg med vätevärde 090 000. Dessa atal ka förutsättas vara oberoede. Bestäm med välmotverad aromato saolkhete att telefoomröstge geererar mer ä 4 000 000 tll det välgörade ädamålet. åt X atalet samtal som skäker 9,90 kroor, X ~ Po350 000, Y atalet samtal som skäker 50 öre, Y ~ Po 090 000. X och Y är aromatvt ormalfördelade. Mägde samlade egar W 9.90X+ 0.50Y är således aromatvt ormalfördelad med vätevärde µ E 9,90X + 0,50Y 9,90E X + 0,50E Y 400000 och varas σ { oberoede} 9,90 V X + 0,50 V 3457000 V 9,90X + 0,50Y Y dvs stadardavvkelse σ 5880, kroor. De sökta saolkhete blr W µ 4000000 µ PW > 4 000 000 P Φ.70 Φ.70 0.955 σ σ 4. I ett försök som skall udersöka hur föroread av cyad jordmåe är togs 7 rov. Medelcyadhalte stckrovet var mg/kg och stadardavvkelse var s 80 mg/kg. a Går det att åvsa att de saa cyadvå jordmåe är högre ä 00 mg/kg. Testa lämlga hyoteser och aväd sgfkasvå α 0,0. Kom håg att redovsa da atagade. Eftersom 7 är stort ka v utyttja CGS och ata att H 0 : µ 00 mot H A : µ > 00 80 X N µ,. 7 X 00 Testvarabel: Z N0, om H 0 är sa. Med α 0, skall H 0 förkastas om 80 / 7 Z >,855. Observerat värde å z,9705. V förkastar H 0. Om v atar att mätvärdea är ormalfördelade blr vår testvarabel t-fördelad med 7 frhetsgrader V skall då förkasta om z >,9359. V förkastar H 0.
b Skulle du göra samma slutsats som a om sgfkasvå var α 0.05? Varför ka olka sgfkasvåer leda tll olka slutsatser? Med α 0,05 skall H 0 förkastas om Z >,4485 V förkastar H 0 Om v atar att mätvärdea är ormalfördelade blr vår testvarabel t-fördelad med 7 frhetsgrader V skall då förkasta om z>.0 V förkastar H 0 Geom att du välja e lägre sgfkasvå blr slutsatsera säkrare. Du vll te ha fel mer ä 5 gåger av 00. Av de aledge blr det också strägare regler för är v skall förkasta. 5. I ett väthus beskrvs mägde gödgs- och merallösg som e sod doserar ut bevattgssystemet av e ormalfördelad stokastsk varabel med vätevärde µ och stadardavvkelse σ ehet mg. Efter 3 oberoede dosergar skall de totala mägde utdoserad lösg te uderstga 00 mg med saolkhet 0.90. Dock får edast % av dosergara vara större ä 5 mg. Bestäm µ och σ så att dessa vllkor är ufyllda. De totala halte doserad lösg Y X är ormalfördelad Nµ, σ. V söker µ och σ så att Y µ 00 µ Φ z 0.0 0.0 PY 00 Φ σ σ och 00 µ Φ σ X µ 5 µ Φ z 0.0 0.0 P X > 5 Φ > σ σ vlket ger 5 µ - Φ σ 00 µ z σ och v får att 0.0 och 5 σ µ z 0.0 µ 00z0.0 + 5z z + z 0.0 0.0 0.0 7.37 och σ z 5 00 0.0 + z 0.0 3.8 där z 0.0.8 och z 0.0,33.
. Datat eda vsar hur läge 8 studeter följde e sabbläsgskurs och hur mycket de ökade s läshastghet. Atal veckor Hastghetsökg ord er mut, y 3 8 5 8 49 8 93 4 9 3 3 73 4 09 a Rta observatoera ett srdgsdagram för att verfera att det är lämlgt att aassa e ekel ljär regressosmodell. 50 Scatterlot of ord vs td 00 ord 50 00 50 3 4 5 td 7 8 9 E ekel ljär regressosmodell verkar rmlg. b Atag att slumfele modelle är oberoede och ormalfördelade med vätevärde 0 och kostat varas σ. De skattade regressoslje blr y 3,34 + 4,9. Resdualvarase skattas tll s 8,94 och medelfelet för de skattade lutgskoeffcete blev sd ˆ β 0,345. Testa å 5% sgfkasvå om det fs ågot ljärt sambad mella atal veckor och hastghetsökg. Age vlka hyoteser du testar. Testa H β 0 mot H : β 0. Som testvarabel aväds T : 0 a ˆ β. H sd ˆ 0 förkastas om β T > t α : I vårt fall: T 8,5 t /, 0,05,,447. H 0 förkastas alltså å 5%-vå. Det fs ett sgfkat sambad mella atal veckor kurs och läshastghetsökg.
c De som ger kurse vll s markadsförg skrva Veteskalga försök vsar att efter att ha gått vår kurs 5 veckor uås med 95% saolkhet e geomsttlg hastghetsökg å mella och ord er mut. Komlettera mege med lämlga sffervärde. Här skall v blda ett 95% kofdestervall för Ey då 0 5. Detta blr [ 0, / ˆ + ± s t y α ] [7,84 ±,4478,940,5 + 0 / ] [0,, 35,5]. Ma bör alltså fylla 0 och 3 luckora tete. 7. De dskreta slumvarabel X har saolkhetsfukto X k - k-, där k,, 3, och 0 < <. a Beskrv e stuato där saolkhetsfuktoe ova skulle kua avädas som modell. Atag att ma skjuter ureade gåger mot ett mål. Vd varje försök har ma träffsaolkhete. åt X atal försök tll första träff. b Ma har tagt ett slummässgt stckrov och fått värdea 4, 5, 4,, 4, frå fördelge ova. Bestäm med hjäl av mätvärdea mamum lkelhood-skattge av. X + l l l d d l d d 0 l I vårt fall får v M-skattge 5 0, 4 ˆ.
8. Ett tåg skall aläda tll e järvägsstato kl..00. Elgt tdtabelle skall det läma statoe kl..07. Tågets förseg X ehet: mut vd akomste är rektagelfördelad tervallet -, 3. De td Y som tåget behöver uehålla sg vd statoe är rektagelfördelad tervallet 3, 5 och oberoede av försege vd akomste. Age fördelgsfuktoe för tågets förseg vd avgåge. Observera att äve om tåget är klart för avgåg före kl..07 så går det te före dea tdukt. edg: Slumvarabel X, Y varerar över ett rektagelformat område. Rta dea rektagel! f X 0, tervallet -, 3. f Y y 0, 5 tervallet 3,5. Eftersom varablera är oberoede får v e tvådmesoell varabel med kostat frekvesfukto f, y 0, det aktuella tervallet. åt Z betecka tågets förseg. Z 0 X + Y 7. Om ma rtar e bld ser ma att de area som lgger ovaför lje + y 7 edast utgör /0 av totala area, således är PZ 0 9/0. De mamala försege är mut om både X och Y år sa mamum. För 0 < z < gäller Fz PZ z 9/0 + area av tragel ova + y z de tvådmesoella fuktoes höjd 9/0 + ½ -z 0,. Totalt får v 0, z < 0 9 / 0, z 0 F z z. 9 / 0 + z,0 < z 0, z >