Sammanfattning, Dag 9

Relevanta dokument

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1

SF1625 Envariabelanalys

Matris invers, invers linjär transformation.

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

EGENVÄRDEN och EGENVEKTORER

SF1625 Envariabelanalys

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?

Mängder i R n. Funktioner från R n till R p

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: Basvektorer i tre dimensioner: = i. Enhetsvektor i riktningen v: v v. Definition: Vektorprodukt

============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE.

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

9. Vektorrum (linjära rum)

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM. LÄNGDEN AV EN VEKTOR. AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER. MITTPUNKT. TYNGDPUNKT. SFÄR OCH KLOT.

Sats 3: Egenskaper. (a) (b) f(x) dx = 2 f(x) dx. (c) (Af(x) + Bg(x))dx. g(x) dx = A. (d) (e) Om a b och f(x) g(x) (f) Triangelolikheten: Om a b

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

Definition 1 En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B.

14. MINSTAKVADRATMETODEN

Definition: Linjär avbildning

Listor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering.

============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±.

9. Bestämda integraler

Associativa lagen för multiplikation: (ab)c = a(bc). Kommutativa lagen för multiplikation: ab = ba.

Lösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 23 oktober 2017

Volym och dubbelintegraler över en rektangel

Mat Grundkurs i matematik 1, del II

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

INLEDNING: Funktioner (=avbildningar). Beteckningar och grundbegrepp

1.1 Sfäriska koordinater

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015

Kan det vara möjligt att med endast

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013

Föreläsning 7: Trigonometri

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 5-7.

Induktion LCB 2000/2001

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper

13 Generaliserade dubbelintegraler

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007

Finaltävling den 20 november 2010

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS

1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

Sfärisk trigonometri

Komplexa tal. j 2 = 1

Preliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET

Övningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n.

SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH

Samling av bevis som krävs på tentan MVE465, 2018

Björnen och sköldpaddan Analys av en matematiskt paradoks

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6

HF1703, Inledande matematik (Byggproduktion) DEN TRIGONOMETRISKA ENHETSCIRKELN OCH TRIGONOMETRISKA FUNKTIONER

Grundläggande matematisk statistik

Generaliserade integraler

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd.

Topologi och konvergens

Exponentiella förändringar

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna

Gör slag i saken! Frank Bach

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt:

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen T Erlandsson

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl

Area([a; b] [c; d])) = (b a)(d c)

vara n-dimensionella vektorer. Skalärprodukten av a och b betecknas a b ) vara tvådimensionella vektorer. Skalärprodukten av a och b är

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.

November 24, Egenvärde och egenvektor. (en likformig expansion med faktor 2) (en rotation 30 grader moturs)

Läsanvisningar till kapitel

Linjär algebra Föreläsning 10

Några integraler. Kjell Elfström. x = f 1 (y) = arcsin y. . 1 y 2 Vi låter x och y byta roller och formulerar detta resultat som en sats: cos x = 1

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik

GRAM-SCHMIDTS METOD ... Med hjälp av Gram-Schmidts metod kan vi omvandla n st. linjäroberoende vektorer. samma rum dvs som satisfierar

Diskreta stokastiska variabler

23 mars 2006, kl Inga hjälpmedel, förutom skrivmateriel. Betygsgränser: 15p. för Godkänd, 22p. för Väl Godkänd av max. 35p.

Matematiska uppgifter

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl

y > 0, 0 < y <1 y växande, 0 < y < 1

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 16-17, 2010:

KVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int.

ÖPPNA OCH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Några viktiga andragradskurvor: Cirkel, ellips, hyperbel och parabel.

N atom m tot. r = Z m atom

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister

Linjär Algebra, Föreläsning 9

Dnr 6/002/2006. Till pensionsstiftelser som bedriver tilläggspensionsskydd och är underställda lagen om pensionsstiftelser

ÖVN 11 & 12 DEL A - DIFFTRANS - DEL2 - SF Nyckelord och innehåll. Inofficiella mål

TATA42: Föreläsning 11 Kurvlängd, area och volym

Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH

Volum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3

Vektorgeometri för gymnasister

Transkript:

Smmnfttning, Dg 9 Idg studerde vi begrepp sklärprudokt (eller innerprodukt), norm och ortogonlitet på ett llmänt vektorrum. Vi börjde med en kort repetition på smm begrep för vektorrummet R 3. I rummet kn vi mät en vektors längd, vstånd melln två vektorer och en vinkel melln två vektorer. Vi undersöker ortogonlitet melln två vektoer och kn räkn frm en ortogonlprojketion v en vektor på en given nollskilld vektor, och vi nvänder ortonormerde bser som vår gl god vän stndrdrbs e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0), e e = (0, 0, 1). De görs genom sklärprodukt. Jg skriver ihop en list: I rummet definiers en sklärprodukt u v (därför klls iblnd dot-produkt) genom u v = u v cos α, α är vinkel melln u och v. Den uppfyller följnde egenskper (1) u u 0; u u = 0 om och endst om u = 0. (2) u v = v u (3) u (αv + βw) = αu v + βu w för ll α, β R I stndrdbs hr vi u v = u 1 v 1, +u 2 v 2 + u 3 v 3. u = u 2 1 + u2 2 + u2 3 (längden) α = rccos u v u v u och v är ortogonl mot vrndr (betckns u v) om u v = 0 eller ekvivlent, u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 = 0. Låt v 0. Den ortogonl projektion v u på v är P v (u) = u v v 2 v Om dessutom v = 1 P v (u) = (u v)v. En snbb påminnelse: All vektorer i rummet kn skrivs u = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 eller i koordintformen (x 1, x 2, x 3 ) T. Definition. En sklärprodukt på vektorrumet V över Cär en funktion (, ) : V V C så tt följnde villkor är uppfylld: (1) u, u) 0 u V ; u, u) = 0 omm u = 0 (2) (u, v) = (v, u), u, V (3) (w,, αu + βv) = α(w, u) + β(w, u), u, v, w V, α, β C OBS!. Det är viktigt tt behåll ordning (u, v) om det är kroppen C. I fll V är ett vektorrum över R dår blir (2) (u, v) = (v, u). Någr enkl egenskper (αu + βv, w) = α(u, w) + β(v, w) (u, u) är lltid ett reellt tl (Dett är enkelt men mycket viktigt. Nu betecknr vi u 2 := (u, u) Då klls den en norm v u, lltså längden v u för ett llmänt vektorrum. Då måste vi bevis tt den uppfyller xiom i deinitionen om norm: Definition. En norm är en funktion : V R som uppfyller (1) v 0; v = 0 omm v = 0 (2) αv = α v

(3) u + v u + v (Tringelolikheten). Vi inser tt (1) är uppfylld och (2) fås genom direkt beräkning: αu 2 = (αu, αu) (3)i def = αα(u, u) = α 2 (u, u) Vi bevis tringelolikheten senre. Men vi tittr på Någr exempel Det är enkelt tt bevis följnde påståenden. Koll genom xiom i definitionen. Det svårste tt bevis är (u, u) = 0 u = 0. Om du kör fst fråg direkt. Skick ett mil till mig. V = R n. x i y i är en sklärprodukt.. Den skrivs även X Y = X T Y. Normen unducerd v denn sklärprodukt är X 2 = n x 2 i. V = C n. x i y i = X H Y är en sklärprodukt.. Där X H = X T, komplexkonjugte och trnspont v X. Normen unducerd v denn sklärprodukt är X = n x i 2. V = R n. i x i y i, i > 0, är en sklärprodukt. Normen X = n i x 2 i Generellt, X T AY är en sklärprodukt om mtrisen A är symmetrisk och hr ll positiv egenvärden. (Det kommer vi tt bevis näst gång. Normen X A = X T AX = n λ i Ui 2 Där λ i är egenvärden till A och U i är motsvrnde egenvektorer. En enklre vrint v det är tt Vi definier (AX, AX) där A är inverterbr. Normen är X A = AX index A står fär det är viktd norm med A. 2

V = C([, b]) (komplex-värd kontinuerlig funcktioner på [, b]). (f, g) = b är en sklärprodukt. Normen b f(x)g(x)dx f 2 = f(x) 2 dx V = C([, b]) (komplex-värd kontinuerlig funcktioner på [, b]). (f, g) = b f(x)g(x)α(x)dx är en sklärprodukt om α(x) > 0. Normen b f 2,α = f(x) 2 αdx Liksom i rummet definierr vi ortogonlitet och ON-bs. Definition. u säges vr ortogonl mot v (u v), om (u, v) = 0. Vektorer e 1,..., e n säegs vr en ortonormerd bs (ON-bs) om e 1,..., e n utgör en bs och (e; i, e j ) = δ ij /. Någr sster. Vi gick inte genom bevis på föreläsningen utom Pythgors och ortogonlprojektionen. Pythgors sts: Om u v så gäller u + v 2 = u 2 + v 2 = u v 2. Bevis. Den ndr likheten följs v den först ty v = 1 v och u v = u + ( v) 2 = u 2 + v 2 = u 2 + v 2. Den först likheten följs v u + v 2 = (u + v, u + v) (3) i def = (u, u) + (u, v) + (v, u) + (v, v) u v = u 2 + v 2. Ortogonluppdelning v vektor: Låt w 0, w V. Vrje u V finns det entydig vektorer u, u V sådn tt u = u + u där u = cw för något c C och u är ortogonl mot w. Bevis. Om u = u + u då gäller (w, u) = (w, u ) + (w, u ) u w = (w, cw) = c(w, w) c = (w, u) (w, w) u = cw, u = u cw u, u är entydigt bestämd, ty de fås v ortogonlprojektion. Det är lätt tt vis det omvänd påstående, Lät c = (w,u) (w,w), u = cw, u = u cw. Vi kollr om de uppfyller villkoren i stsen. (Övning!) Cuchy-Schwrz-olikheten: För ll u, v V gäller tt (v, u) u v. 3

Bevis. Om någon v vektorern är nollvekorn, säg v = 0. Då gäller likheten. Så vi ntr v 0. Enligt föregående stsen hr vi u = u + u u = (v,u) v v, 2 u u. Av Pythgors sts får vi u 2 = u 2 + u 2 u 2 (v, u) (v, u) = v 2 v 2 = v 2 2 v 2 vilket är vd vi önskr h. Tringelolikheten: För u, v V gäller tt u + v u + v. Bevis. Tillämpning v Cuchy-Schwrz: u+v 2 = (u+v, u+v) = u 2 +(u, v)+(v, u)+ v 2 = u 2 +2 u v + v 2 = ( u + v ) 2 Representtion i ON-bs: Vrje vektor u kn skrivs som u = (u, e 1 )e 1 + (u, e 2 )e 2 + + (u, e n )e n där e 1,..., e n är en ON-bs i vektorrummet. I ON-bs gäller (u, v) = 0 x i y i = 0 där x i, y i är kordintern till u resp. v Nu kn vi påstå utn tt nsträng oss särskilt mycket tt listn i börjn kn generlisers till llmänn vektorrum. Bokstvligen byter vi dot-produkt till (, ). Längden erstts med normen u = (u, u). (u,v) Vinkeln melln två vektorer definiers som α = rccos u v u och v är ortogonl mot vrndr (betckns u v) om (u, v) = 0 eller ekvivlent, n x iy i = 0 i en ON-bs. Låt v 0. Den ortogonl projektion v u på v är P v (u) = (u, v) v 2 v Om dessutom v = 1 P v (u) = (u, v)v. I ON-bs hr vi u v är smm som n x iy i = 0 där x i, y i är kordintern till u resp. v Så cirkeln är sluten! Grm-Schmidts ortonormerings process Vi kn lltid omvndr en bs i ett vektorrum till en ON-bs som spänner upp smm vektorum. Denn procedur klls Grm-Schmidt ortonomerings process. Låt nu u 1,..., u n vr en bs. Vi väljer Välj nu Välj näst... e 1 = u 1 / u 1 e 2 = u 2 (u 2, e 1 )e 1, sätt e 2 = e 2/ e 2 e 3 = u 3 (u 3, e 1 )e 1 (u 3, e 2 )e 2, sätt e 3 = e 3/ e 3 Vi kn fortsätt så t ex i steg k då vi redn hr e 1,..., e k 1 e k = u k (u k, e 1 )e 1 (u k, e 2 )e 2 (u k, e k 1 )e k 1, sätt e k = e k/ e k 4

På föreläsningen diskuterde jg vrför det såg ut som det gjorde och hur vi skulle kunn komm ihåg det. Nykeln är ortogonluppdelningen v en vektor. I prktiken upprepr vi projektionen om ligger i boxen ovn tillsmmns med en vektors representtion i ON-bs.. Min poäng är tt det är mycket viktigt tt kunn nvänd vår geometrisk insikt. Funder någr gånger till! Fråg om du ändå inte förstår vd jg menr. Vi räknde på ett exempel i R 3 och förklrde med ett nnt exempel om hur vi kn hitt en ON-bs utifrån en given vektor, även dett i R 3. Vrfär R 3? Jo, det är lättre tt förklr idén v Grm-schmidt utn tt drunkn i beräkningsmässigt komplicerde räkningr v olik sklärprodukter. Det är lätt tt t till sig tt ll stndrdbs är en ON-bs. Dett är flskt. All stndrdbser behöver inte vr ON-bs. Ett typiskt exempel är t ex i ploynomrummet P 2 är 1, x, x 2 en stndrdbs men de är inte ON-bs om vi nvänder sklärprodukt (p, q) = 1 p(x)q(x)dx. Gör det till en ON-bs. 1 Till sist denn gång: Vr inte orolig eller ledsen om du inte lltid kn räkn till ett resultt som i fcit. Det finns fler nledningr, speciellt när du sk bild en ON-bs med något givn villkor. (i) Det finns mång sätt tt t frm den först vektorn. (ii) Det finns olik (smrt eller klumpig) sätt tt hitt näst vektor (iii) inte minst kn vi ll gör fel i beräkningr. Dett är oundvikligt eftersom vi ll är människor. Huvudsken är tt vi skulle kunn inse fel.... Yisho Zhou// 2015-02-17 5