KTH-Matematik Tetameskrivig, 2008-0-0, kl. 4.00-9.00 SF625, Evariabelaalys för CITE(IT) och CMIEL(ME ) (7,5h) Prelimiära gräser. Registrerade å kurse SF625 får graderat betyg eligt skala A (högsta betyg), B, C, D, E (lägsta godkäda betyg), F (uderkät). Betygsgräsera är 26-28 för betyg A;2-25 för betyg B;20-22 för betyg C;7-9 för betyg D;4-6 för betyg E. De som fick får tillfälligt betyg F som ka komletteras till betyg E. Om komletterige misslyckas förvadlas betyget F till F. Kotakta i så fall lärare De som är reda registrerade å 5B47 får betyg 5, 4,,K, U eligt det gamla systemet. Betygsgräsera då är 26 för betyg 5;22 för betyg 4;4 för betyg. De som fick får tillfälligt att komletteras till betyg Samtliga behadlade ugifter skall förses med utförlig och tydlig lösig. Lösigsförslaget skall tetförklaras. Bristade läsbarhet medför oägavdrag. ( Kladdaer skall ite lämas i.) Iga hjälmedel De som blivit godkäd å KS X, X 4, hoar över motsvarade ugift eda och får full oäg å ugifte. Är ma godkäd å KS X, så skall motsvarade tal X ite räkas om. -oägsugifter. Bestäm alla seda asymtoter till kurva f () = 2 + 2 2. 2. Udersök om l för > 0.. E behållare full med e viss vätska har forme av de kro som ustår då det ädliga område som begräsas av kurvora y = + och y = roterar ett varv krig 2 + ael. I edersta dele av behållare fis e kra som släer ut vätska med (v.e/s). Hur låg tid tar det att tömma behållare? 4. Hur måga riskor behövs för att å ett schackbrädes 64 rutor lägga riskor å brädets första ruta, å dess adra,9 å dess tredje och så vidare, geom att vi varje gåg multilicerar atalet frå föregåede ruta med, till och med dess 64:e och sista ruta. Var god Väd
4-oägsugifter 5. Bestäm de lösig till differetialekvatioe y 2 y + 4y = si som ufyller y(0) = 0 och y (0) = 0. 6. Bestäm värdemägde till fuktioe f () = arcta 2 2 + 2 + &. 7. Bestäm det mista atal termer i serier som behövs för att aroimera summa k = + k 4 med ett fel 0. Förklara vad du gör med e figur. 8. Vilket av tale = 2,, 4,... är störst? l ( Tis: studera fuktioe f () = = e för > 0 )
Lösigsförslag till Tetameskrivig, 2008-0-0, kl. 4.00-9.00 SF625, lijär algebra med geometri för CITE(IT) och CMIEL(ME ) (7,5h). Lösig: Tal 2.27 i övigsboke med lösig sid 74 ( igår i tal RÄKA SJÄLV) 2. Lösig: Tal 4.5a i övigsboke med lösig sid 05 ( igår i tal RÄKA SJÄLV). Kurvora skär varadra då + = 2 + + = 2 + = 0 eller =. På itervallet 0 är 2 + > + och de sökta volyme är V= π 2 + % ( + & d = π [arcta l + = π 2 ]0 4 0 Svar: π2 4 π l 2. π l 2. 4. Totalt atal riskor å schackbrädets 64 rutor om ma lägger ett å de första ruta, å de adra, io å de tredje o.s.v. 64 = 0 + + 2 + + + 6 = Geometrisk summa (se kursboke sid 7) med kvote k=, atal termer =64, beräkas med formel: k k = = [ k =, = 64 ] k = 64 = (64 ) / 2 = Svar: Atal riskor å schackbrädet blir ( 64 ) / 2. 5. Vi löser de karakteristiska ekvatioe r 2 2r + 4 = 0 r = ± 4 = ± i Detta betyder att y h () = e C si ( ( ) + C 2 cos( ) ). Pga att höger ledet si är ite e lösig till de homogea dele så asätter vi som e artikulär lösig y () = Asi + Bcos. Det följer y ( ) = acos Bsi, y y 2 y + 4y = si. Vi får y 2 y + y = (A + 2B + 4A)si + (B 2A + 4B)cos Vilket ger ekvatiosystemet A + 2B = % A = 2A + B = 0 B = 2 Alltså är y () = Asi + Bcos = si + 2cos Delsvar: y( ) = y h ( ) + y ( ) = e C si ( ) = Asi Bcos och i i de giva differetialekvatioe ( ( ) + C 2 cos( ) ) + si + 2cos Aväd y(0) = 0 och y (0) = 0 för att bestämma C och C 2. y(0) = C 2 + 2 = 0 C 2 = 2
Vi derivera ( ( ) 2 cos( ) ) + si + 2 cos ( ) 2 cos( ) ( ) + 2 si( ) y() = e C si ( ) + e ( C cos ) + cos 2si. y = e C si som ger y (0) = (2) + C Svar y() = e ( ) + = 0 C = si( ) 2 cos( ) % & + si + 2 cos 6.f () = arcta 2 2 + ( ) 2 2 4 + ( 2 2 + ) 2 2 + 2 * ( 2 + ) 2, + 2 + & +, Fuktioe f () = arcta 2 2 + d 2 + & ( f )() = d 22 + + 2 2 + och f () = 0 ger att f () = arcta 2 2 + 2 ( ) ( ) 2 d d 2 + & + 2 + & 2 = 4 = - 4 4 + 4 2 + 2 2 2 4 + 2 2 + = 0 /./ 2 + & är kotiuerlig deriverbar för alla av f (0) = arcta ( 0 + ) arcta(0) = arcta() = 4 Svar: Fuktioe atar edast värdet 4. 2 + & =kostat. Dea kostat ges 7. = + k =0 + k 4 k =0 + k 4. k =++ k 4 & * Resterme k =+ + k d 4 + d = lim 4 4 % ( ) +, Vi vill ha < 0 > 0 Vi ka ta = ± k = + k 4 k = + k 4 0 =.
8. Lösig se e sid 28 i kursboke l Vi studera fuktioe f () = = e för > 0. Vi l får f () = [ se si 28 e] = e d d l % & = e l ( l 2 + ) % & = 2 ( ( l ) = 0 * = e. Och för derivatas tecke får vi tabelle 0 e f () + 0 f () lim 0+ f () = 0 e f (e) = e lim f () = Av tabelle framgår att f ma = f (e) = e e. Det återstår att avgöra vilket av tale 2 a = f (2) = 2 samt b = f () = som är störst Obs 2 < e < eftersom a 6 = 8 och b 6 = 9 så följer att b > a. Slutsatse är att av alla tal = 2,,4,... så är störst