Uppgift Visa att srin (3k 2)(3k + ) konvrgrar och bstäm summan Lösning Vi har att a k = (3k 2)(3k+) Vi kan använda partialbråksuppdlning för att skriva om a k : a k = (3k 2)(3k + ) = A 3k 2 + B 3k(A + B)+A 2B = 3k + Dt gr kvationssystmt A + B =0 A 2B = A = B 3A = A = 3 B = 3 Alltså kan vi skriva om srin som: (3k 2)(3k + ) = 3(3k 2) = 3(3k + ) = 3 (3k 2) (3k + ) Vi undrsökr srins dlsumm s n : s n = n 3 (3k 2) = (3k + ) = + 3 4 4 + + 7 = 3 3n + 3(n ) 2 3(n ) + Dt visar sig att alla trmr förutom dn första och dn sista tar ut varandra, och vi får tt myckt nklar uttryck Vi bräknar gränsvärdt av s n då n : lim s n = lim = n n 3 3n + 3 Dtta är ävn srins summa Svar: Srin är konvrgnt md summa 3 + 3n 2 = 3n + 2
Uppgift Jag börjar md att multiplicra ut nämnarn (3k 2)(3k + ) = 9k 2 3k 2 Jag lämnar srin här n litn stund och btraktar olikhtn: 8k 2 3k 2 > 0 k = Dnna olikht gr nu att 9x 2 3x 2 >k 2 k 9k 2 3k 2 < k 2 Vi vt att k konvrgrar och har nligt jämförlskritrium nr att dn givna 2 srin konvrgrar Nu till bräkning av själva summangnom partialbråksuppdling har jag att (3k 2)(3k + ) = 3(3k 2) 3(3k + ) Därmd har jag att (3k 2)(3k + ) = 3(3k 2) 3(3k + ) = = 3 (3k 2) (3k + ) När jag nu btraktar dnna summa sr jag att n (3k 2) (3k + ) = 4 + 4 (3m + ) + (3(m + ) 2) (3n + ) och att (3m + ) + (3(m + ) 2) =0 och att d nda trmr som blir kvar är (3n + ) Mn ftrsom n, blir går trmn mot (3n+) mot noll och summan konvrgrar
x (2k) k 2k xk? k : k a k+ a k < a k (2(k +)) x k k 2k lim k (k +) 2(k+) (2k) x k (2(k +)) x k k 2k (k +) 2(k+) (2k) x k +)(2k +2) = x (2k (k +) 2 k k + 2k 2k k = k + ( + k )2k, 2 k k (2(k +)) x k k 2k lim k (k +) 2(k+) (2k) x k = x 4 2
x 4 2 < 2 4 <x< 2 4 (2k) k 2k 2 k 4 x = 2 4, k, (2k) k 2k 2 4 k 0 (2k) k 2k 2 k = 4 4 2 2k (2k) 2k 2k = m 4 m m < m 4 m+ (m +) 2 2 m + m m+ m < (m +) m m + m m < (m +) m (m +) m (m +) m m < (m +) m m m + < m + 2k 2k k k x = 2 4
x = 2 4 (2k) k 2k k 2, 4 k (2k) 2 k ( ) k 2k 4 0 k (2k) k 2k 2 4 k x = 2 4 2 4 <x< 2 4
( ) k, k 2+ k ( ) k k 2+ k ( ) k = k 2+ k k 2+ k 0 < 2 k < k 2+ k, α k α, 2k 2
k 2+ k ( )k a k a a 2 a 3 a n 0 a k = lim a k =0 k k 2+ k f(x) = x 2+ x,x 3 R, f (x) = 2( x 2+ x ) x 2 x ) f (x) < 0 x 3 f(x) x 3 f(x) k 3 k lim f(x) =0 x ( ) k k 2+ k
Uppgift 4 Visa att följand gnralisrad intgraln är konvrgnt ln + dx () x 5/2 Lösning 0 Intgraln är gnralisrad då intgrandn går mot oändlightn när x går mot 0 +, och för att dn övr intgrationsgränsn är Vi dlar upp intgraln i två dlar 0 ln + dx = x 5/2 0 ln + dx + x 5/2 ln + dx x 5/2 Om dssa två intgralr är konvrgnta så är ävn dn ursprungliga intgraln konvrgnt Md hjälp av logaritmlagarna kan intgrandn skrivas om som: ln + x 5/2 + =ln =ln x 5/2 + 5 ln (x) x 5/2 x 5/2 2 Vi har dn första dlintgraln: ln + dx = x 5/2 0 0 ln x 5/2 + 5 ln (x) dx (2) 2 Dn första trmn är kontinurlig för x [0, ], och intgraln är väldfinirad och int gnralisrad 0 ln x 5/2 + dx Dn andra trmn är därmot gnralisrad då ln(0) int är dfinirad Vi sättr u som dn ndr gränsn och låtr u gå mot 0 + Vi får: lim u 0 + 5 2 u ln (x) = lim u 0 + 5 2 [x ln x x] u = lim u 0 + 5 2 (u u ln u ) = 5 2, nligt standardgränsvärdt, att u ln u 0dåu 0 + Dlintgraln 2 är alltså konvrgnt Nu undrsökr vi dn andra dlintgraln, ln + dx (3) x 5/2 Gnom att dividra intgrandn md någon annan funktion kan vi använda jämförlskritrium II lim x ln( + ) x ln( + x) 5/2 = lim = x 5/2 x 0 + x 3
Gränsvärdt finns, och nligt jämförlskritrit så kan vi intgrra funktionn i nämnarn för att bstämma om dlintgraln 3 är konvrgnt llr int: T dx x5/2 dx = x5/2 2 3 x 3/2 T lim 2 T 3 T = 2 3/2 3 Dn här intgraln är konvrgnt, och nligt jämförlskritrit måst då ävn dlintgraln 3 vara konvrgnt Eftrsom båda av dlintgralrna är konvrgnta så är ävn dn ursprungliga intgraln konvrgnt Svar: Dn gnralisrad intgraln är konvrgnt 4
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