MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I G. Gripeberg Mägder och logik Relatioer och fuktioer Aalto-uiversitetet oktober 04 Kombiatorik etc. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 / 45 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 / 45 Mägder (aiv, ite axiomatisk, mägdlära x A om x är ett elemet i mägde A, dvs. x hör till A och x / A om x ite gör det. {,, 5, 6} är mägde som iehåller tale,, 5 och 5, dvs. {,, 5, 6}, {,, 5, 6} osv. me 4 / {,, 5, 6}. Mägdera {,, 5, 6} och {6, 5,,,, } är desamma eftersom ordige och upprepigar ite har ågo betydelse för fråga om ett elemet hör till mägde eller ite och det är det eda som räkas. Istället för att räka upp elemete i e mägd ka ma defiiera e mägd som de elemet i e mägd A som har e viss egeskap P, dvs. B = { x A : P(x } där P(x för varje x A atige är sat eller falskt, tex. { x R : x 4 }. Russells paradox Vad ka vi säga om {x : x / x}? Ge ett am åt detta: A = {x : x / x}. Atag att A A: Då uppfyller A villkoret x / x dvs. A / A, och vi får e motsägelse. Atag att A / A: Då uppfyller A villkoret x / x så eligt defiitioe av A gäller A A, ige e motsägelse. Slutsats? Det går ite att defiiera mägder hur som helst uta att få större problem ä ma hade! G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 / 45 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 4 / 45
Mägder, forts. = {} är de tomma mägde som ite har ågra elemet alls. A B om x B för alla x A och då är A är e delmägd av B. P(A (potesmägde till A är mägde av alla delmägder av A. A B = { x : x A eller x B } är uioe av A och B. A B = { x : x A och x B } är sittet av A och B. A \ B = { x : x A och x / B } är differese mella A och B. A c = Ω \ A är komplemetet till A ifall A Ω och det är klart vad Ω är. Satslogik Om a och b är satser eller påståede som ka vara saa eller falska, me ite ågotig mitt emella, så gäller satse a && b är sa då a och b är saa. satse a b är sa då a eller b är sa (och också då både a och b är saa. satse!a är sa då a ite är sa, dvs. falsk. satse a b är sa då (!a b är sa, dvs. då atige b är sa eller a är falsk. satse a b är sa då (a b && (b a är sa. I matematisk logik aväds valige istället för &&, istället för och istället för!. Observera att implikatioe a b som logisk sats ite alltid motsvarar vad ma i dagligt tal mear med e implikatio, dvs. av a följer b eftersom a b är sa då a är falsk och de ite ödvädigtvis har ågot med orsakssambad att göra. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 5 / 45 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 6 / 45 Slutledigsregler och bevis Atag att p och q är två satser. Vi skall u bevisa att q är sat om vi atar att p &&!p är sat, vilket alltså visar att om ma atar e motsägelse ka ma bevisa vad som helst. Det fis måga slutledigsregler me här skall vi bara aväda följade: (a x y!x y (b x && y x (c x x y Det som gör att tex. (a är e slutledigsregel är att satse (x y &&!y x är e tautologi, dvs. sa för alla saigsvärde för x och y (vilket ka kotrolleras åtmistoe så att ma går geom alla möjligheter. Slutledigsregler och bevis, forts. Slutledigsregelera var alltså följade: (a (b (c x y!x y x && y x x x y Beviset ser u ut på följade sätt: ( p &&!p: Atagade ( p: (b tillämpat på ( med x = p och y =!p ( p q: (c tillämpat på ( med x = p och y = q (4!p: (b tillämpat på ( med x =!p och y = p (5 q: (a tillämpat på ( och (4 med x = p och y = q. Observera att vi i pukt (4 också aväde det faktum att x && y = y && x. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 7 / 45 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 8 / 45
Ett exempel Atag att du befier dig i e främmade stad och udrar om du kommer med buss 409 till ditt hotell. Du täker fråga e ivåare i stade me kommer ihåg att du hört att det fis två sorts mäiskor i dehär stade, dels de som svarar saigseligt ja eller ej på varje fråga och dels de som svarar lögaktigt ja eller ej. Vad skall du fråga? Vi ka tex. resoera på följade sätt: Låt B vara påståedet att buss 409 för dig till ditt hotell och låt S vara påståedet att de perso du frågar alltid talar saig. Vi skall formulera ett påståede som vi frågar om är sat så att vi får svaret ja eller påståedet är sat i precis de fall då B är sat. Detta iebär att vi får följade tabell för saigsvärdea: B T T F F S T F T F P T F F T Vi ser att P skall vara sat då B och S båda är saa eller båda falska så påståedet eller fråga blir (B && S (!B &&!S. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 9 / 45 Predikatlogik Predikatlogike är e utvidgig av satslogike så att ma förutom satser har variabler x, y,... och predikat P, Q,... (eller hur ma u vill betecka dem. Predikate har ett ädligt atal argumet, tex. P(x, Q(x, y, osv. och ett predikat uta argumet är e sats. Förutom de operatioer (!, &&, och som fis i satslogike aväder predikatlogike all- och existeskvatorera och som uttrycker för alla och det existerar. Förutom predikat ka ma också aväda fuktioer vars värde hör till det område som behadlas ( domai of discourse. E fuktio med oll argumet är då e kostat. Fuktioer och kostater ka också uttryckas med hjälp av predikat, me det blir lätt oödigt klumpigt. Operatorordig Om ma ite vill aväda pareteser, som aturligtvis har högsta prioritet, ka ma utyttja att de logiska operatorera (valigtvis evalueras i följade ordig: Först!, seda och, seda && och och till sist. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 0 / 45 Obs! Oftast skriver ma x A (P(x istället för det fullstädiga x((x A P(x och x A (P(x istället för x((x A && P(x. Kom också ihåg att!( x P(x x!p(x, och (eftersom!(!p P!( x P(x x!p(x. Iduktiospricipe Om P( är ett påståede (som för alla 0 atige är sat eller falskt så att P( 0 är sat P(k + är sat ifall P(k är sat (dvs. P(k P(k + då k 0 så är P( sat för alla 0. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 / 45 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 / 45
Iduktio Visa med hjälp av iduktio att i = + + +... = i= ( +,. Lösig: Påståedet P( är alltså i= i = (+ och 0 =. Då är påståedet P( samma som att = (+ vilket är sat. Atag u att P(k är sat och k. Eftersom P(k är sat gäller k i= i = k(k+ vilket iebär att k+ i = i= k k(k + i + (k + = + (k + i= ( k = (k + + (k + (k + = = (k + ((k + +, vilket i si tur iebär att P(k + är sat. Eligt iduktiospricipe följer u påståedet. (Ofta, me kaske ite här, löar det sig att formulera det ma skall visa som att ett uttryck skall vara 0. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 / 45 Kartesisk produkt De kartesiska produkte X Y av två mägder X och Y består av alla ordade par (a, b eller [a, b] där a X och b Y, dvs. X Y = { [a, b] : a X och b Y }. Det fis olika sätt att defiiera paret [a, b] (eller (a, b edast med hjälp av mägdteoretiska beteckigar och ett ofta avät sätt är att säga att [a, b] är mägde {{a}, {a, b}}. Relatioer E relatio mella mägdera X och Y (eller i X om Y = X är e delmägd av de kartesiska produkte X Y. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 4 / 45 Koordiatera i ett ordat par De första koordiate i [x, y] (eller (x, y är (förstås x och de adra y. Om ma skriver paret med mägdbeteckigar som {{x}, {x, y}} så hur skall ma defiiera predikate F (p, x och A(p, y så att F (p, x är sa då x är första koordiate i p och A(p, y är sa då y är adra koordiate i p? Tex. på följade sätt: F (p, x def = z ((z p (x z (eller kortare z p(x z me de adra är besvärligare, A(p, y def = z((z p && (y z && u v ((u p && (v p &&!(u == v!(y u!(y v. Ma ka också skriva detta som A(p, y def = z p (y z && u p v p (!(u == v (y / u (y / v. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 5 / 45 Vad är e graf? E graf består av e mägd oder och e mägd bågar mella odera, tex. såhär: 4 I e riktad graf har varje båge e startod och e slutod, meda ma i e icke riktad graf ite gör skillad mella start- och slutode. E riktad graf ka beskrivas med ett ordat par [V, E] (V som vertex, E som edge där V är e mägd (valigtvis ädlig och ite tom och E V V, dvs. E är e relatio i V. E icke riktad graf ka beskrivas med ett ordat par [V, E] där V är e mägd (ige valigtvis ädlig och ite tom och E { {a, b} : a V, b V }. E icke riktad graf ka förstås (? också beskrivas som e riktad graf där relatioe E är symmetrisk, dvs. [a, b] E [b, a] E. Observera att med igedera av dessa defiitioer ka ma ha flera bågar mella samma oder me og e båge frå e od till samma od. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 6 / 45
Olika slag av relatioer i e mägd X E relatio W i mägde X är reflexiv ifall [x, x] W för alla x X. symmetrisk ifall [x, y] W [y, x] W för alla x och y X. trasitiv ifall [x, y] W && [y, z] W [x, z] W för alla x, y och z X. e ekvivalesrelatio om W är reflexiv, symmetrisk och trasitiv. atisymmetrisk om [x, y] W && x y [y, x] / W för alla x och y X. e partiell ordig om de är reflexiv, atisymmetrisk och trasitiv. asymmetrisk om [x, y] W [y, x] / W för alla x och y X. total om [x, y] W [y, x] W för alla x och y X. Ofta skrivar ma xwy istället för [x, y] W, tex. x < y (istället för [x, y] <. Ekvivalesklasser Om X är e mägd (som ite är tom och är e ekvivalesrelatio i X, dvs. är reflexiv, symmetrisk och trasitiv så delar de i mägde X i delmägder Y j, j J som kallas ekvivalesklasser så att j J Y j = X, Y j Y k = om j k, a b a och b hör till samma mägd Y j. Ofta tolkar ma ekvivalesrelatioe så att två elemet som är ekvivaleta är lika så att ma istället för mägde X täker på mägde { Y j : j J } med ekvivalesklassera som elemet. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 7 / 45 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 8 / 45 Fuktioer Om X och Y är mägder så är e fuktio f : X Y e relatio mella X och Y dvs. e delmägd i X Y så att för varje x X fis det ett y Y så att [x, y] f. om [x, y ] f och [x, y ] f så är y = y. Här är X fuktioes defitiosmägd och Y är dess målmägd. Valigtvis skriver ma relatioe så att [x, y] f om och edast om y = f (x, äve om y = xf eller y = x.f kude vara bättre om ma läser frå väster till höger. Med adra ord, e fuktio f frå X till Y är e regel som för varje x X ger som svar ett etydigt elemet y = f (x i Y. Mägde { f : f är e fuktio frå X till Y } beteckas ofta med Y X. Ijektioer och surjektioer f a b c d 4 e X Y 4 5 X g a b c d Y Ijektioer, surjektioer och bijektioer E fuktio f : X Y är e ijektio om f (x = f (x x = x för alla x, x X. surjektio om det för varje y Y fis ett x X så att f (x = y. bijektio om de är e ijektio och e surjektio. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 9 / 45 Fuktioe f : X Y är e ijektio ( till varje elemet i Y kommer högst e pil me ite e surjektio eftersom det ite fis ågot elemet i X så att f (x = d. Fuktioe g : X Y är e surjektio ( till varje elemet i Y kommer mist e pil me ite e ijektio, eftersom g( = g(5. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 0 / 45
Listor, talföljder och kartesiska produkter som fuktioer E lista [a, b, c, d] ka tolkas som e fuktio f defiierad i mägde {,,, 4} (eller {0,,, } så att f ( = a, f ( = b, f ( = c och f (4 = d. E oädlig talföljd (a =0 = (a 0, a, a,... ka tolkas som e fuktio f defiierad i N 0 så att f ( = a för alla N 0. Om X j är e mägd för varje j J där J är e (aa mägd så ka ma defiiera de kartesiska produkte j J X j som mägde av alla fuktioer f : J j J X j så att f (j X j. f (A och f (B Om f : X Y är e fuktio, A X och B Y så är f (A = { f (x : x A } och f (B = { x X : f (x B }. Sammasatta och iversa fuktioer Om f : X Y och g : Y Z är två fuktioer så är h = g f : X Z fuktioe h(x = g(f (x. Om f : X Y, g : Y Z och h : Z W är fuktioer så är (h g f = h (g f så att dea fuktio ka skrivas som h g f. Om f : X Y är e fuktio så att det fis e fuktio g : Y X så att (g f (x = x och (f g(y = y för alla x X och y Y så är f iverterbar, g är dess ivers och ma skriver ofta g = f. E fuktio f : X Y är iverterbar om och edast om de är e bijektio. Om f : X Y är iverterbar så är (f = f. Observera att f ite är samma sak som fuktioe h(x = f (x som förutsätter att ma i Y ka räka iverser, vilket är G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 / 45 fallet i R \ {0} me ite i Z. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 / 45 Ordo eller Stora O: f O(g Om g är e fuktio som är defiierad för alla tillräckligt stora heltal så betyder f O(g att f också är defiierad för alla tillräckligt stora heltal och att det fis e kostat C och ett heltal 0 så att f ( C g(, 0, Avädige av dea beteckig betyder också att ma ite är speciellt itresserad av, eller ite exakt vet, vad C och 0 är. Ofta skriver ma f ( = O(g( istället för f O(g, me om ma då istället för O( + O( O( skriver O( + O( = O( så måste ma ise att ma ite ka förkorta bort O(! Det är iget speciellt med att fuktioera här atas vara defiierade bara för (edel heltal och att ma ser vad som häder då. Tex. gäller också x 4 x x +x O(x då x 0. Hur måga jämförelser behövs för att sortera tal i storleksordig? Vi skall visa att det räcker med högst log ( jämförelser och aväda e variat av iduktiospricipe. Då = (eller = är det klart att detta är sat. Atag u att det stämmer för alla k och att vi har k + tal som vi skall orda. Atag först att k + = m och dela upp tale i två mägder med m tal som vi ordar (geom att aväda sammalagt högst m log (m jämförelser och seda kombierar vi dehär ordade listora till e lista. Om vi skall kombiera två ordade listor med j och j elemet ka detta göras med högst j + j jämförelser eftersom det stämmer då j ellr j = och aars behövs det e jämförelse för att hitta det största talet och seda återstår det att kombiera två listor med atige j och j eller j och j tal. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 / 45 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 4 / 45
Hur måga jämförelser behövs för att sortera tal i storleksordig? Forts. Det sammalagda atalet jämförelser då k + = m blir alltså högst m log (m + m + m = m ( log (m + m m log (m = (k + log (k +. Om k + = m + så delar vi upp mägde i två mägder med m och m + elemet och får på samma sätt att atalet jämförelser blir högst m log (m + (m + log (m + + m + + m = m log (m(m + + log (m + + m m(log (m + log (4 + log (m + + m m( log (m + + log (m + + m m log (m + + log (m + = (k + log (k +. Iduktiossteget fugerar och högst log ( jämförelser behövs! Hur måga jämförelser behövs för att hitta talet med storleksordigsummer p i e mägd med tal? Det är klart att om p = (det mista talet eller p = (det största talet så räcker det med (me behövs också jämförelser me hur är det i det allmäa fallet? Vi skall u visa att då p så hör maximimatalet jämförelser till O(, dvs. det fis e kostat C så att atalet jämförelser är högst C och vi bryr oss här ite så mycket om hur stor kostate C blir: Dela i tale i grupper om tex. 5: Iga jämförelser. Bestäm mediaera i dessa gupper: Behövs O( jämförelser. Bestäm mediae av mediaera: Behövs C( 5 + jämförelser om vi ka aväda ett iduktiosatagade. Dela i tale i två grupper, de som är större ä mediaeras media och de som är midre: Behövs O( jämförelser. De större av dessa grupper kommer att iehålla högst ( 5 7 + O( = 0 + O( tal! G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 5 / 45 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 6 / 45 Hur måga jämförelser behövs för att hitta talet med storleksordigsummer p i e mägd med tal? Forts. Det tal vi söker fis i ågodera gruppe eller är mediaeras media så vi ka hitta det med C 7 0 + CO( jämförelser. Vi har avät O( + 5 C + C + O( + 7 0 C + CO( = 9 C + CO( + O( 0 = 9 0 C + Ck + k jämförelser där k och k är ågra kostater Eftersom vi för 0k ka först sätta alla tale i storleksordig och seda välja det med storleksordigsummer p så ser vi att om vi väljer C > max{0k log (0k, 0k } så är 9 0 C + Ck + k 9 0 C + 0 C + C = C 0 och iduktiosresoemaget fugerar. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 7 / 45 Atalet elemet i e mägd Två mägder A och B har samma atal elemet (eller kardialiteter, dvs. A = B om det fis e bijektio A B. Mägde A har färre ä eller lika måga elemet som mägde B, dvs., A B, om det fis e ijektio A B. Mägde A har färre elemet ä mägde B, dvs., A < B, om det fis e ijektio A B me ige bijektio A B. Ifall A = {0,,,..., } så är A =. E mägd A sägs vara ädlig om det fis e bijektio A {0,,,..., } för ågot heltal 0, dvs., om A =. Obs! För att dessa defiitioer skall vara föruftiga måste ma visa att det fis e bijektio {0,,,..., } {0,,,..., m } om och edast om m = och att ifall det fis ijektioer A B och B A så fis det e bijektio A B. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 8 / 45
Atalet elemet i ågra oädliga mägder N 0 = Z eftersom f : N 0 Z där f (0 = 0, f (k = k och f (k = k för k är e bijektio. N 0 = Q eftersom vi ka kostruera e bijektio på följade sätt: 0... Om vi seda hoppar över de tal vi reda gått geom får vi följade bijektio: f (0 = 0, f ( =, f ( =, f ( =, f (4 =, f (5 =, f (6 =, f (7 = 4, f (8 =, f (9 = (och ite =, f (0 =, f ( = (och ite =, f ( = 4, osv. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 9 / 45 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5............ Summerigsregel, ekel form Om A och B är två (ädliga mägder så att A B = så är A B = A + B. Av detta följer att om B A så är A \ B = A B. Produktregel, ekel form Om A och B är två (ädliga mägder så är A B = A B. Lådpricipe: Ekel me yttig! Ifall m föremål placeras i lådor så måste e låda iehålla mist m föremål! Varför? Om det största atalet föremål som fis i ågo av lådora är k så är k m så att k m och eftersom m defiieras som det mista heltal som är m så måste vi ha k m. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 0 / 45 Summerigs eller iklusios-exklusiospricipe Om A och B är två (ädliga mägder så är A B = A + B A B, och mera allmät (förutsatt att alla mägder A j eda är ädliga Ifall k j= A j = k ( r+ r= E allmä form av produktregel j <j <...<j r k i= r. A ji C = { (x, x,..., x k : x A, x A,x,..., x k A k,x,...,x k }, där A =, for varje x A gäller A,x = och så vidare så att för alla x A, x A,x,..., x k A k,x,...,x k gäller A j,x,x,...,x j = j, j k, så är C =... k. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 / 45 Välj r föremål ur e mägd med föremål eller elemet Det fis (åtmistoe två sätt skilja på olika situatioer: Ordat val: Det har betydelse vid vilket val föremålet väljs Ite ordat val: Det har ite ågo betydelse vid vilket val föremålet väljs. Ige upprepig: ett föremål ka väljas bara e gåg Upprepig möjlig: samma föremål ka väljas måga gåger. Atalet olika sätt på vilket detta ka göras blir därför: Ige upprepig Upprepig möjlig Ordat (. (.. ( r + ( r + r Ite ordat r r ( m m! Här är =. Upprepig ka både tolkas så att ma väljer ett j j! (m j! föremål, oterar vilket det är, och sätter tillbaka det, och så att elemete i mägde är de olika slag av föremål som ma ka välja. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 / 45
Plocka bollar ur e låda eller sätta bollar i e låda? Ett aat sätt att se på situatioe där ma väljer r föremål ur e mägd med föremål (med ett ordat eller ite ordat val, med upprepigar eller uta är att täka på föremåle i mägde, ite som bollar i e låda, uta som lådor i vilka ma väljer att placera ett föremål, tex. e boll. I det ordade fallet ka dessa bollar vara umrerade eller på aat sätt idetifierbara och i det ite ordade fallet är de idetiska och ka ite skiljas åt. Ett val uta upprepigar iebär då att i varje låda ka sättas högst e boll och ett val med upprepigar att flera bollar ka sättas i samma låda. Ordat val av r föremål frå e mägd med föremål Om varje föremål ka väljas bara e gåg ka det första väljas på olika sätt, det adra på olika sätt och så vidare så att föremål ummer r ka väljas på r + olika sätt. Geom att aväda produktregel ser vi att atalet olika möjligheter är! ( (... ( r + eller ( r!. Om varje föremål ka väljas flera gåger (dvs. de tas ite bort ur mägde eller så är mägdes elemet typer av föremål som tas frå ågot aat ställe då fis det alterativ vid varje val så att det följer av produktregel att atalet möjligheter är r. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 / 45 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 4 / 45 Icke-ordat val av r föremål frå e mägd med föremål uta upprepigar Låt b(, r vara detta atal av icke-ordade val av r föremål frå e mägd med föremål uta upprepigar. När vi har gjort ett sådat val får vi ett ordat val geom att orda de valda r föremåle. Detta ka göras på r! olika sätt så det följer av produktpricipe att atalet sätt göra att ett ordat val av r föremål frå e mägd med föremål uta upprepigar är b(, r r!. Eftersom vi vet att detta atal är (... ( r + =! ( r! så får vi b(, r =! r! ( r! = (. r Icke-ordat val av r föremål frå e mägd med föremål med upprepigar, I Täk på situatioe så att vi har ett obegräsat atal av olika slags föremål och vi skall välja r stycke. Om vi har gjort ett val ka situatioe beskrivas tex. såhär: vilket skall tolkas som att vi valt stycke av typ, av typ, 0 av typ, av typ 4, av typ 5 och av typ 6 så att i detta fall är = 6 och r = + + 0 + + + =. Varje val motsvaras alltså att vi placerar r stycke föremål och stycke skiljetecke i e rad vilket alltså betyder att väljer de r positioer där vi placerar föremåle (så att reste får skiljetecke, eller tvärtom. Eftersom detta är ett oordat val uta upprepigar blir atalet alterativ ( ( + r + r =. r G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 5 / 45 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 6 / 45
Icke-ordat val av r föremål frå e mägd med föremål med upprepigar, II Låt f (r, vara atalet sätt på vilka ma ka göra ett icke-ordat val av r föremål frå e mägd med föremål med upprepigar. Ett sådat val är detsamma som att placera r föremål i ordade (dvs. ite idetiska lådor. Om =, så ka detta göras på bara ett sätt så att f (r, = för alla r 0. Om > ka vi sätta j = 0,,..., r föremål i de första låda och de återståede r j föremåle i de återståede lådora. Eftersom vi får olika resultat för varje val värde på j så får vi rekursiosekvatioe f (r, = r j=0 f (r j, k = = r j r f (k,. I syerhet betyder detta att f (r, = r + och med hjälp av formel för summa av e aritmetisk serie får vi f (r, = (r+(r+. Nu gissar vi att f (r, = ( ( r+ = r+ r så vi skall visa att ( r + r ( k + =, r 0,. k=0 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 7 / 45 k=0 Icke-ordat val av r föremål frå e mägd med föremål med upprepigar, II, forts. Dea likhet gäller säkert för r = 0 och varje. Atag att de gäller för r = s och. Då får vi är r = s + och s+ ( ( k + s + + s ( k + = + k=0 k=0 ( ( s + + s + = + (s +... (s + (s +... (s + = + (! (! (s +... (s + ( + s + = (! ( (s + (s +... (s + ( + s + + = =. (! Iduktiossteget fugerar och påståedet följer med iduktiospricipe. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 8 / 45 Atalet fuktioer A B Atag A = m och B =. E fuktio f : A B är ett ordat val med upprepigar av m elemet (fuktioes värde ur mägde B som har elemet. Atalet fuktioer: A B är därför m (och därför är det föruftigt att betecka mägde av fuktioer A B med B A. E ijektio: A B är ett ordat val uta upprepigar av m elemet (fuktioes värde ur mägde B som har elemet. Atalet ijektioer A B är därför! (... ( m + = då m. ( m! ( Atalet surjektioer A B är ( r r m. r r=0 Varför? Atalet surjektioer är totala atalet fuktioer mius atalet fuktioer till e strikt delmägd av B och detta seare atal ka ma räka med hjälp av iklusios-exklusiospricipe vilket efter diverse räkigar ger formel ova. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 9 / 45 Atalet surjektioer A B då A = m och B = Atag att B = {y, y,..., y m }. Låt F = B A vara mägde av alla fuktioer A B. Låt F j = (B \ {y j } A F vara mägde av alla fuktioer A : B \ {y j }, dvs. alla fuktioer f F så att f (x y j för alla x A. Detta iebär att mägde av surjektioer är F \ j= F j. Nu är F j F j... F jk mägde (B \ {y j, y j,... y jk } A av alla fuktioer A B som ite får ågot av värdea y j,..., y jk. Om j <... < j k så är F j F j... F jk = ( k m. Eftersom idexe j <... < j k ka väljas på ( k olika sätt så ka vi med hjälp av iklusios-exklusiospricipe dra slutsatse att atalet surjektioer: A B är ( ( m ( ( k+ k m = k k= ( ( r r m. r Observera att då m < så fis det iga surjektioer: A B så att r=0 ( r ( r r m = 0 då < m, vilket kaske ite är helt uppebart. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 40 / 45 r=0
Hur måga delmägder av e mägd med m elemet fis det? Ett sätt att besvara dea fråga är följade: Om A är e mägd med m elemet så bestämmer varje delmägd B A e fuktio f B : A {0, } så att f B (x = då x B och f B (x = 0 då x / B. På motsvarade sätt bestämmer vare fuktio f : A {0, } e delmägd B f A geom defiitioe B f = { x A : f (x = }. Def fis alltså e bijektio frå potesmägde P(A till mägde {0, } A av alla fuktioer: A {0, }. Därför är atalet delmägder i A om A iehåller m elemet. P(A = {0, } A = A = m, G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 4 / 45 Multiomialtal ( =,,..., k!!!... k! = + +... + k. (,,..., k är atalet sätt på vilka e mägd med elemet ka delas i k disjukta delmägder med,,... och k elemet. (,,..., k är atalet sätt på vilka ma ka orda föremål av typ y, av typ y och så vidare, då = + +... + k och föremål av samma typ ite ka skiljas åt. Om A är e mägd med elemet och B = {y,..., y k } är e mägd med k elemet och,,..., k är icke-egativa tal så att + +... k = så då är (,,..., k atalet fuktioer f : A B så att { x A : f (x = y j } = j. Om 0 och k så är (x +... + x k = +...+ k = j 0 (,,..., k x... x k k. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 4 / 45 Ett exempel (a Fyra kort ur e ormal kortlek med 5 kort placeras i e rad. På hur måga sätt ka detta göras om alla kort i rade skall ha samma färg? (b Fyra kort ur e ormal kortlek med 5 kort placeras i e rad. På hur måga sätt ka detta göras om rade skall iehålla exakt e kekt? (a Färge ka väljas på 4 olika sätt och seda skall ma göra ett ordat val av 4 kort blad och detta ka göras på 0 olika sätt så atalet alterativ blir sammalagt 4 0 = 68640. (b Det fis 4 olika kektar att välja på och de ka placeras på 4 olika ställe, så sammalagt ger detta 6 olika alterativ. Seda skall ma göra ett ordat val av de återståede 48 korte och detta ka göras på 48 47 46 olika sätt så det sammalagda atalet alterativ blir 4 4 48 47 46 = 66046. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 4 / 45 Ett ordigsproblem 8 persoer har delats i i tre lika stora grupper. Alla 8 persoer skall u i tur och ordig utföra ett uppdrag (tex. lösa e uppgift i diskret matematik och villkoret är att vid varje tidpukt skall skilladera mella atale persoer i varje grupp som reda utfört uppdraget till sia absolutbelopp vara högst. På hur måga sätt ka ordigsföljde då väljas (är gruppidelig är give? Ett aat sätt att formulera problemet är att ma bildar 6 grupper, som alla iehåller exakt e medlem frå var och e av de ursprugliga gruppera, och seda sätter ma dessa midre grupper och medlemmara i dem i ordigsföljd. Eller så att medlemmara i de urspruliga gruppera sätts i ordigsföljd och persoera med samma ordigsummer bildar e grupp som seda i si tur ordas. Medlemmara i de tre ursprugliga gruppera ka ordas på 6! 6! 6! olika sätt och med hjälp av dessa ordigar utses medlemmar till de midre gruppera som i si tur ka ordas var och e på! olika sätt så att det sammalagd atalet alterativ blir 6! 6! 6! (! 6 = 74458688000. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 44 / 45
På hur måga sätt ka ma placera m idetiska bollar i idetiska lådor? Låt A(m, vara detta atal. Eftersom vi ka placera m 0 bollar i låda på bara ett sätt så har vi A(m, = då m 0. Om m = 0 förblir alla lådor tomma och det ger bara ett alterativ, dvs. A(0, = för alla. Atag u att m och. Låt k vara atalet bollar i de låda (eller de lådor som iehåller mist bollar. Olika värde på k ger upphov till olika fördeligar på bollara i lådora. Fördelige av bollara i lådora ka u göras så att vi först sätter k bollar i varje låda och seda sätter de återståede m k bollara i de lådor som ka iehålla flera ä k bollar. Detta ka göras på A(m k, olika sätt. Eftersom vi måste ha m k 0, dvs. k m, så får vi m A(m, = A(m k,. k=0 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I oktober 04 45 / 45