TNA00 Förslag till övigsugiter FN = Forslig/Neymar, K = Komediet Vetorer, lijer och la, ÖT = Övigstetame Vetorer, lijer och la ÖT:4,, K, K och Ugitera, och eda Ugit x Lije y t, t R z a) Beräa avstådet mella lije och ute P b) Bestäm oordiatera ör P : s seglig, S, i lije, och ute P,, är giva i e ON-bas Ugit a) Beräa avstådet mella ute P (,0, ) och särigslije mella lae x y z och xy b) Bestäm oordiatera ör P:s ortogoala rojetio, Q, å särigslije (rå a)-ugite) Ugit a) Beräa avstådet mella ute (,,0) och laet x y + z = 0 b) Bestäm segelbilde av ute (,,0) i laet x y + z = Iverser FN: 7, 8 och Ugitera 4 och eda Ugit 4 a) E utio som är omvädbar har som beat ivers Förlara vad som meas med att e utio är omvädbar Rita gära omletterade igur/igurer b) Visa att utioe g ( x) x x, x 4 har e ivers g Bestäm äve iverse och dess deiitiosmägd D g Ugit Betrata utioe ( x) lx a) För vila x R är (x) deiierad? b) Bestäm, om möjligt, iverse till Oliheter FN: 0abc 4 Absolutbelo ÖT:ab l och ex ÖT: och FN: 70
Trigoometri (ilusive arcusutioera) ÖT:c, ÖT:, ÖT7 (svår) och Ugitera och 7 eda Ugit si x cos x a) Visa att si x cos x cos x b) Bestäm det exata värdet av si( u v) om si u, u och si v, v Ugit 7 Lös evatioera a) si x, x0, b) cos 4si(x) si x cos(x) cos x 0 c) arcsix arccos( x) x, x, 7 Komlexa tal ÖT: och FN: a, 4, 8a och Ugit 8 eda Ugit 8 a) Åsådliggör i det omlexa tallaet de uter ör vila det gäller att Re z 0 och z b) Visa att Re z 0 om a bi a bi z a bi a bi, a, br 8 Geometris, aritmetis summa, biomialsatse FN: a och Ugit 9 eda Ugit 9 Age, med motiverig, ör vart och ett av öljade tre åståede (A, B och C) om det är sat eller alst A Koeiciete ör x är 7 i utveclige av x B I de aritmetisa talöljd, som börjar eligt,,, 9, 707 C Det gäller att 8, är det :e elemetet lia med 9 Idutiosbevis Ugit 0 eda Ugit 0 Visa att ormel gäller ör alla Z
Facit a) 0 a) 4 7 b) S =,, b) Q,, a) b) S = (, 4, 4 ) g, D 4, 4 a) b) ( y) y 4 a) D, e b) y e ( y) (eller x e ( x) 4 b) 9 7 9 7 a) x, x, x och x 4 4 4 b) Lösig cos x 4si( x)si x cos( x)cos x 0 cos x 8si xcos x ( si g ) med 0, x)cos x 0 D cos x 0 cos xsi x 0 eller si x 4 cos x 0 ger oss x = π + π eller x = π + π och si x = 4 si x = eller si x = si x = si ( π ) eller si x = si π x = π + π eller x = π ( π ) + π eller x = π + π eller x = π + π eller x = 7π x = π π + π + π eller x = π + π eller x = π + π Prövig med olia heltalsvärde å ger att x = ± π, ± π, ± π itervallet [ π, π] c) x 0 Svar: x,, ligger i
8 a) Im Re 8b) Lösig a bi a bi ( a bi) ( a bi) a abi ( bi) a abi ( bi) z a bi a bi ( a bi)( a bi) a ( bi) 4abi 4ab 0 { i a b Re z 4 a 4 b dvs Re z 0 Im z, vsv 9 Lösig: 8 8 8 8 A: SANT ty x x 0, dvs x -terme erhålls ör, 8 vilet iebär att oeiciete ör x blir 7 B: SANT ty ör e aritmetis talöljd gäller att :te elemetet a a ( ) d, där a är det örsta elemetet och d är dierese, vilet iebär att i vår talöljd har vi a ( ) 8 707 C: FALSKT ty Svar: A och B är saa, C är alst
0 Lösig Vi sall visa att åståedet P() : gäller ör alla Z Bevismetod: Idutio Steg I V ( ) H ( ) Alltså har vi V( ) H(), dvs P () gäller Steg II Atag att P ( ) gäller ör ett godtycligt Z, dvs atag att Vi år * ( ) V( ) Eligt tagadet a- 4 H( ) Alltså: V ( ) H( ) V( ) H( ) dvs om P ( ) gäller så gäller äve P ( ) Steg III Påståedet gäller eligt I ör Eligt II gäller det då äve ör Då gäller det äve ör osv Via matematis idutio gäller åståedet ör alla Z, vsv