RÄKNEOPERATIONER MED VEKTORER. LINJÄRA KOMBINATIONER AV VEKTORER. ----------------------------------------------------------------- Låt u vr en vektor med tre koordinter u. Vi säger tt u är tredimensionell vektor kortre D-vektor eller tt u ligger i R. Här betecknr R mängden v ll tredimensionell vektorer med tre reell koordinter. En tredimensionell vektor kn mn nge som en rdvektor eller kolonnvektor. T e betrktr vi u och v som tredimensionell vektorer. Vi kn utök vektorbegrepp och betrkt rder eller kolonner med n reell element som n-dimensionell vektorer. Mängden v ll sådn vektorer betecknr vi RR nn och kllr vektorrummet RR nn. T e betrktr vi u 8 och v som 5 dimensionell vektorer. 8 RÄKNEOPERATIONER MED VEKTORER givn på koordintform ------------------------------------------------------------------------------------------------- Likhet melln två vektorer Två vektorer u och v är lik om motsvrnde koordinter är lik dvs u v om och endst om och Multipliktion v vektor med tl Låt λ vr ett tl och en vektor. Då gäller λ λ λ λ Addition och subtrktion v vektorer Låt u och v. Då gäller Sid v 7

u v u v Nollvektor är en vektor vrs ll koordinter är. Nollvektorn betecknr vi med. Den tredimensionell nollvektorn är. Den 5-dimensionell nollvektorn är. 5 Prllell vektorer Vi säger tt två nollskild vektorer u och v är prllell om det finns ett reellt tl k så tt u kv. Alterntiv: v k u I dett fll skriver vi u v. 6 Linjär kombintion Låt λ λ... λ vr tl sklärer och v v... v k k k-stcken vektorer. Ett utrck v följnde tp v v v λ λ λk k klls en linjär kombintion v vektorern v v... v k. 7 Längden beloppet normen v vektorn är Egenskper: k k b b b b tringelolikhet tringelolikhet 8 Enhetsvektor är en vektor vrs längden är. 9 Stndrdbsen i R dvs i D-rummet. Vektorern i j k klls för stndrdbsen i R. Vi nvänder även ndr beteckningr för bsvektorern t e e e och e eller e e och e. Noter tt vi iblnd skriver vektorer på kolonnformen. ---------------------- Sid v 7

Vrje vektor u kn uppenbrt skrivs som en linjär kombintion v bsvektorern: i j k Det är enkelt tt kontroller ovnstående: HL i j k VL. Beroende/oberoende vektorer. Om minst en v vektorern v v... kn nges som en linjär kombintion v ndr säger vi tt vektorern är beroende. Annrs är vektorern oberoende. Två ekvivlent definitioner för beroende/oberoende vektorer som är oftst prktiskt tt nvänd hr vi nedn: Definition. Vektorern v v... är beroende om och endst om ekvtionen v v k * hr icke-trivil lösningr. Definition. Vektorern v v... är oberoende om och endst om ekvtionen v v v k k * hr endst trivil lösningen k Noter tt ekvtionen * efter substitutioner v givn vektorer och identifiering v koordintern blir ett ekvtionssstem med obeknt... n. ------------------------------------------------------------------------------------------ Anmärkning: Ovnstående begrepp definiers på smm sätt för tvådimensionell eller n-dimensionell vektorer. ÖVNINGAR Uppgift. Låt 5 b. Bestäm och så tt b. Vi får ett sstem med tre ekvtioner 5 Sid v 7

som ger och Svr: Uppgift. Låt b och c. i Beräkn b b b c d b c e b och c ii Bestäm om b och c är enhetsvektorer. Svr: i b b b c 8 d b c 8 6 Noter tt i uttrcket b räkns ekt en gång dvs b b. e 6 b 9 9 c 9 9 9 9 ii Vektorn c är en enhetsvektor dvs. hr längden. Uppgift. Låt. Bestäm tre olik vektorer skild från och skild från som är prllell med. Vi väljer tre olik värden på k och substituerr i reltionen b k. T e. k ger b 68 k ger b 6 8 k ger b Det finns oändligt mång korrekt svr. Uppgift. Låt och b. Bestäm om möjligt och så tt och b blir prllell. Vektorern är prllell om det finns ett tl k så tt dvs k Härv får vi ett sstem med tre ekvtioner Sid v 7 b k lterntivt kb

k k k Från först ekvtionen hr vi k /. Dett substituers i ndr och tredje ekv. och fås 8 / och 8 /. Därmed är b. Svr: / 8 / Uppgift 5. Låt och b. Bestäm om möjligt så tt och b blir prllell. Vektorern är prllell om det finns ett tl k så tt b k lterntivt kb dvs k Härv får vi ett sstem med tre ekvtioner k k k Från först ekvtionen hr vi k. Dett substituers i ndr och tredje ekv. och fås och " 8". Den sist ekvtionen 8 visr tt sstemet sknr lösning. Svr: Det finns inte något tl så tt vektorern blir prllell. Uppgift 6. Beräkn längden v vektorn v då i v 8 8 55 ii v Tips: Använd egenskpen k k. i Först brter vi ut 5 v 5 Nu nvänder vi egenskpen k k : v 5 5 5 6 ii Först v. Härv v 9 Svr: i 5 6 ii Uppgift 7. Låt. Bestäm en enhetsvektor som hr i smm riktning som ii motstt riktning mot Sid 5 v 7

i e 9 ii e 9 Svr: i e ii e Uppgift 8. Låt A och B 8. Bestäm en enhetsvektor som hr smm riktning som AB. b Bestäm en enhetsvektor som hr längden 5 och smm riktning som Anmärkning. Ekvivlent problem hr mn oftst i smbnd med krfter. AB. Först AB 5 och därmed AB 5. e 5 AB b Först bestämmer vi en enhetsvektor i smm riktning som AB och därefter multiplicerr vi med 5. Vi hr redn i -delen fått den sökt enhetsvektorn e 5. Därmed är 5 f 5 e 5 den sökt vektorn med längden 5. Svr: e 5 5 b f 5 --------------------------------------------------------------------------------------- Enligt definitionen i börjn v stencilen är vektorern v v... oberoende om och endst om ekvtionen v v k hr endst trivil lösningen k Uppgift 9. Bestäm om b och c är oberoende vektorer då i b och c. ii b och c 5. i Vi löser ekvtionen b c Sid 6 v 7

som blir ett sstem när vi insätter givn vektorer förenklr och identifierr koordintern på vänster- och högerledet: Vi identifierr koordintern på vänster- och högerledet och får sstemet ss Vi nvänder Gussmetoden: Härv så kllde trivil lösningen. Dett betder tt b och c är oberoende vektorer. ii Vi löser ekvtionen c b 5 5 Vi identifierr koordintern på vänster- och högerledet och får sstemet 5 ss Vi nvänder Gussmetoden: 5 Sstemet hr oändligt mång lösningr t t t Dett betder tt b och c är beroende vektorer. Anmärkning. I det här fllet beroende kn vi nvänd lösningen och finn ett smbnd melln vektorern: c b ger c t tb t eller efter förkortning med t c b dvs. b c med ndr ord en vektor c beror v ndr vektorer. Svr: oberoende b beroende Sid 7 v 7