Avlningn för Hållfasthtslära Tntamn Linköpings Univrsitt Davi Lönn 010-06-01, kl. 14-18 Dl 1 Toril utan hjälpml 1. Tor, för tta profssor i Hållfasthtslära, numra profssor mritus, har använt n sträva till att hålla upp n av sina bikupor. Strävan riskrar att knäcka och Tor funrar ärför på hur strävans gnskapr E (lasticittsmoul), I (ttröghtsmomnt) och L (läng) kansk skull kunna moifiras. Gnom att sätta krss i rätt rutor (tt på varj ra), tala om hur n ökning av varj gnskap påvrkar n kritiska knäcklastn. (1p) Bikupa E ökar I ökar L ökar F k minskar F k påvrkas j F k ökar E ökar I ökar L ökar F k minskar F k påvrkas j F k ökar X X X
Avlningn för Hållfasthtslära Tntamn Linköpings Univrsitt Davi Lönn 010-06-01, kl. 14-18 Dl 1 Toril utan hjälpml. Tor sittr i sin gungstol och kommr osökt att tänka på svängningar. Till jul brukar t hänga n sprattlgubb som sr ut som n tomt i takt. Tomtn har n massa m och hängr upphäng m n fjär som har stvhtn k (s figur). Tor tckr tomtns svängning upp och nr skr m n allls för hög frkvns. G tt mpl på hur svängningns oämpa gnfrkvns kan halvras. (1p) k m Eftrsom gnvinklfrkvnsn gs av ω 0 k m kan man välja att antingn göra gubbn fra gångr så tung llr fjärn n fjärl så stv (llr givtvis någon kombination av båa). En såan änring kommr ävn att halvra gnfrkvnsn f.
Avlningn för Hållfasthtslära Tntamn Linköpings Univrsitt Davi Lönn 010-06-01, kl. 14-18 Dl 1 Toril utan hjälpml. Unr sin vrksamma ti som profssor i hållfasthtslära plära Tor allti signifikansn av att kunna snitta och frilägga. I nna ana, härl ångpannformlrna för tt tunnväggigt cirkulärclinriskt trckkärl. Kärlt har rai a, gostjocklk h (h << a), läng L och blastas m tt inr övrtrck p. (1p) Snitta vinklrätt mot n ailla riktningn. Jämvikt gr: πah pπa 0 p a h Snitta longituinllt. Jämvikt gr: Lh pal 0 φ φ a p h
Avlningn för Hållfasthtslära Tntamn Linköpings Univrsitt Davi Lönn 010-06-01, kl. 14-18 Dl 1 Toril utan hjälpml 4. Balkböjning har läng varit n av Tors spcialittr, mn t är m FEanalsr är tt intrss som kommit mr på snar år. I tt tst använr sig Tor av tt balklmnt är utböjningn i varj lmnt approimras av följan kvation ( ) N ( ) v + N ( ) θ + N ( ) v + N ( ) w 1 1 1 4 θ N N N N 1 4 ( ) ( ) ( ) är 1 + L L + L L L L L L ( ) och v 1, θ1, v, θ är balkänarnas rspktiv latrala förskjutning och förvrining. Han använr viar tt na lmnt för att bräkna utböjningn vi n fria änn på n konsolbalk (fast inspän i na änn) utsatt för n punktlast i n fria änn. Kommr han att vara nöj m rsultatt av FEM-analsn? Motivring krävs. (1p) Ja, han kommr få tt akt svar (nligt Eulr-Brnoullis balktori). Eftrsom balklmntt kan approimra utböjningn m tt polnom av trj gran kommr tt lmnt g akt rsultat för alla lastfall som saknar n utbr blastning. Intgration av lastiska linjns kvation, EIw IV () q() m högrlt noll gr nämlign n utböjning som ma har gratal tr.
Avlningn för Hållfasthtslära Tntamn Linköpings Univrsitt Davi Lönn 010-06-01, kl. 14-18 Dl problml m hjälpml 5. Trots att Tor int är särskilt sportintrssra, råkar han änå zappa förbi sportspgln när han sittr och tittar på tv. Han förfäras övr hur IFK Götborgs målvakt innan matchn flttar in stolparna och börjar så smått funra på om målvaktn möjligtvis kan ha skjutit sig själv i fotn Målt måst ju bara bli högr tänkr han! Hur stor är höjökningn mitt på målt jämfört m stolpns förflttning i sil vi markn när kraftn applicras vi var sin sia om målt? (räkna alltså ut bå förskjutningn mitt på ribban och vi stolprotn) Använ Castiglianos sats för att lösa problmt. Stolprotn kan anss vara momntfri, all gntng försummas. Dt är möjligtvis nklar att ra ntta av smmtrin? (p) EI, L EI, L EI, L M F 0 Frilägg halva fotbollsmålt..g.a. smmtri blir t ingn tvärkraft i smmtrisnittt och normalkraftn blir ointrssant å ss invrkan på U tot kommr att försummas. FL M L + L M RIBBA M F L + F M STOLE R F U tot L L L + F L + EI 0 U δ U δ F F tot tot 11L K 6EI 9L K 8EI δ F δ 0 ( ) EI K 54 88 0.614 (Frågan är kansk hur aran föränras, mn å krävs att vi intgrrar utböjningarna )
Avlningn för Hållfasthtslära Tntamn Linköpings Univrsitt Davi Lönn 010-06-01, kl. 14-18 Dl problml m hjälpml 6. Man Tor går hmma och lssnar på n c så funrar han övr rotationn av c-skivan. Bor int skivan utvigas raillt p.g.a. rotationn? Eftrsom Tors rfarnht gr honom n bra känsla för va som är viktigt och j, försummar han invrkan av hålt på c-skivan vi sina räkningar, han antar hlt nklt att hålt int finns. Va är n railla förskjutningn vi ttrrann av c-skivan m nna förnkling givt nanstån ata? Rotationssmmtri antas, så ävn plan spänning. (p) Yttriamtr: 10 mm Innriamtr: i 15 mm Tjocklk: t 1, mm Dnsitt: ρ 100 kg/m Elasticittsmoul: E Ga Rotationshastight: 50 ra/s Tvärkontraktionstal: ν 0,7 ω Följan samban utnttjas vi rotationssmmtri: B0 1 ν u( r) A0r + ρω r r 8E B + ν r ( r) A ρω r r 8 B 1+ ν φ ( r) A + ρω r r 8 EA0 EB0 A och B 1 ν 1+ ν Ranvillkorn u( 0) 0 gr B 0 + r ν 0 gr A 8 ρω Förskjutningn blir å vi ttrkantn + ν 1 ν 1 ν ρω u ( 1 ) 51nm ρω E ρω ν 64E 64E Vrklign n litn raiökning, mn n kansk är rlvant för lasrstråln? Hålts invrkan är vrklign litn, prova gärna!
Avlningn för Hållfasthtslära Tntamn Linköpings Univrsitt Davi Lönn 010-06-01, kl. 14-18 Dl problml m hjälpml 7. En konstruktionstalj i vinkraftvrkt är Tor är lägar utsätts för n blastning nligt figur. Vi blastning m konstant amplitu och för olika R- värn (R min / ma ) m i övrigt lika förhållann har man funnit tt Wöhlrsamban för tta matrial som gs av 0, 14 a 500( 1 R) N, är a är amplitun i Ma. Använ rain-flow-count mton för att bstämma antalt cklr i skvnsn samt hur många skvnsr taljn övrlvr innan tt utmattningsbrott kan tänkas inträffa. (p) 100 Spänning (Ma) 75 50 5 Wöhlr-sambant kan skrivas om till: a 1 0,14 N 500( 1 R) Följan cklr kan intifiras m.h.a. rain-flow-count (spänningar i Ma): Antal min ma ml a R N 0 100 50 50 0 1 900 000 1 5 75 50 5 1/ 108 461 771 1 5 50 7,5 1,5 1/ 1 96 68 078 Dlskaan D av n skvns blir 1 1 1 D + + 1900000 108461771 19668078 650984 vilkt gr oss att taljn bör övrlva n sisåär 6,5 miljonr lastskvnsr. Mn, om man tänkr sig att vinkraftvrkt snurrar tt varv på två skunr, kommr taljn bara att hålla i rga 150 agar. I så fall bör Tor kansk övrväga att sälja sin anl Ti
Avlningn för Hållfasthtslära Tntamn Linköpings Univrsitt Davi Lönn 010-06-01, kl. 14-18 Dl problml m hjälpml 8. Tor ska in i hagn och titta till sina får, mn hantagt till grinn (s bil nan) kärvar så att t int alls går att vria. Hantagt är gjort av två cirkulära stavar m iamtrn, lasticittsmoul E och längrna L och L. Vilkn ffktivspänning nligt von Miss gr n pålaga kraftn (som vrkar vinklrätt mot två stavarna) upphov till vi infästningn? Tvärkraftns birag kan försummas. Kommr matrialt att plasticra om ata nligt nanstån gällr? (p) E 00 Ga 0,0 m L 0,1 m 500 N s 00 Ma E,, L E,, L Dn inr stavn utsätts för vrining och böjning. Vi infästningn är ssa: M v L M b L Dssa gr upphov till skjuvspänningar som är störst ttrst på stavn och normalspänningar som är störst och minst på övr- rspktiv unrsia. Om är stavns längriktning och φ n tangntilla riktningn, kan spänningarna på ovansian skrivas: L τ M v L L M b z L och ϕ 4 Wv π π I π π 16 64 Övriga spänningskomponntr är noll. vm 64L + τ ϕ π M givna ata fås: vm 64 500 0,1 17Ma < 00Ma π 0,0 Ingn plasticring trots att Tor vrkar häva sig m full kraft på hantagt!