Övning FEM för Ingnjörstillämpningar Rickard Shn 9 5 rshn@kth.s Enaliga Problm och Fackvrk 7 7 7 59 4. Förskjutning öjning a) ε ε. Sökt: Visa att töjningn i lmntt är ( ) ösning: I hållfn fick man lära sig att ( ) ε. () d I FEM får man lära sig att u Nu + N u. () Dt här är tt linjärt lmnt som går mlln två nodr vid och, så N ξ N ξ () δ + δ + ε δ + ε ε ε, Q.E.D. d u () () u ( ) ( ) { förnkla} ( ) N N Altrnativt: ε ( ) u u δ ( δ ε ) u dn dn + + + ε d d d b) Sökt: Visa att man får n stlkroppsförflyttning om ε. Stlkroppsförflyttning motsvarar att man knuffar på n stl kropp, vilkt innbär två sakr:. Ingn töjning.. Hla kroppn (alla nodr) flyttas lika myckt åt samma håll (vi antar att ingt rotrar). ösning: ε ( ) ε ingn töjning ok! (4) d u δ u δ u + ε u δ δ nodrna flyttas lika myckt ok! (5) ritrirna uppfyllda Stlkroppsförflyttning!
Övning FEM för Ingnjörstillämpningar Rickard Shn 9 5 rshn@kth.s Enaliga Problm och Fackvrk 7 7 7 59. Stark/Svag Form på Stång a) d Givt: Stark form: EA + A d d Stark form diff. kvation som bskrivr förskjutningn akt i varj punkt. (6) dν d d (svag form) (7) Sökt: Visa att EA d ν Ad+ ν ( σa) där σ är normalspänning och ν n godtycklig viktfunktion. Svag form samma kvation mn uttryckt md intgralr. öss hlst approimativt md FEM, och blir därför int nödvändigtvis akt i varj punkt, mn ofta lättar än n monstr diff. kvation. Svart blir dock bättr md flr lmnt, och ftrsom datorn utför slavarbtt md att invrtra dina sjukt stora matrisr kan lugnt luta dig tillbaka och dricka ditt kaff/x ray. ösning: Vi vill få stark form till svag form och visa att vi får samma svaga form som i uppgiftn. Stg : Utgå från stark form, förläng md n viktsfunktion och intgrra övr längdn. d d EA A d EA d Ad (8) (6) ν( ) + ν( ) + ν( ) d d d d Partialintgrra, Bta s. 4 Stg : Partialintgrra första trmn och sätt in i (8). g f d g F g F d (9) ips: Bta s. 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d dν ν( ) EA d ν( ) EA EA d d d d d d g( ) f ( ) dν () i (8) νea EA d ν Ad d + d d dν EA d ν Ad + νea d d d () ()
Övning FEM för Ingnjörstillämpningar Rickard Shn 9 5 rshn@kth.s Enaliga Problm och Fackvrk 7 7 7 59 Stg : oppla samman töjning och spänning (konstitutivt samband) md Hook s lag. EA EAε σ A d dν EA d ν Ad + ν( σa), Q.E.D. d d () b) Sökt: a fram FEM kvationn (dvs idntifira kd f ) md Galrkins mtod. Galrkins mtod Antag att ν ( ) har samma form som din ansats för förskjutningarna, mn har n annan amplitud vid varj nod. ort och gott, använd samma formfunktion för ν ( ) som för u( ). ösning: Snabb mattrp. för dn som glömt: AB B A () u u [ N N] u Nd konstantr (4) dn dn u dn d d d d d u B d (5) β ν { Galrkin} [ N N] β Nβ β N B konstantr dν dn dn dn β β d d d d β Bβ β B B (6) (7) (4) (5) i () β B EABd d β N Ad β N ( σ A) + Notra att β och d bstår av konstantr, och kan därför brytas ut ur intgraln och förkortas mot varandra. om ihåg att d är matrisr, och att ordningn därför splar roll! β kan sdan strykas från kvationn. β B EA B d d β N Ad+ β N ( σ A) (8) Nu är kan man idntifira dt som är kvar som: B EABdd N Ad+ N ( σ A) kd f, Q.E.D. (9) d fs, nodlast k fb, volymslast f
Övning FEM för Ingnjörstillämpningar Rickard Shn 9 5 rshn@kth.s Enaliga Problm och Fackvrk 7 7 7 59 c) Bildr ritad av Vronica Wåtz. Q Givt:, Qotala lastn A 7 N( ) Q, N( ) Q 9 9 Q, 9 EA Eakt lösning: u( ) Q + 9, 6 EA D R Randvillkor: F känd D? D R Sökt: Nodförskjutningar och raktionskraftr md FEM, förskjutningar mllan nodrna FEM vs. akt. ösning: Börja md att dla in stångn i två lmnt: Dt är alltid bra att börja md n kvation md dt man vill få rda på och sn ta rda på dt man saknar. D F F + F b s () Indn b och s står för body rspktiv surfac. Surfac blir lit fånigt i D, mn kommr att kännas btydligt mr naturligt när ni börjar räkna på solidr i D och D. Punktlastr, såsom nodlastr, ingår i. F s 4
Övning FEM för Ingnjörstillämpningar Rickard Shn 9 5 rshn@kth.s Enaliga Problm och Fackvrk 7 7 7 59 ösningsstratgi:. Bhövr Bräkna lmntns och assmblra till tt globalt.. Bhövr F Gör om volymlastr till nodlastr (konskvnta nodlastr) och assmblra till. ägg till övriga nodlastr, F, för att få n fullständig lastvktor, F. s 4. ös md hjälp av randvillkor, på samma sätt som i övning. Stg : Jag tänkt visa två sätt att räkna ut. Altrnativ Som i övning. EA Vi har stånglmnt, vilka fungrar likadant som fjädrlmnt md k EA ki () Altrnativ Från formlbladt. Allmänt gällr (längst nr i formlbladt): B CBdV () V I n dimnsion gällr att (matrial)styvhtsmatrisn C blir E och dv A( ) d. () F b. Följ formlbladt: välj N ξ, N ξ BB d B B B B () EA EA d EA d I vilkt fall får man: EA,, nodr och EA EA + EA,, nodr och (4) 5
Övning FEM för Ingnjörstillämpningar Rickard Shn 9 5 rshn@kth.s Enaliga Problm och Fackvrk 7 7 7 59 Stg : astr som int angripr på nodrna (gällr båd volyms och ytlastr) måst konvrtras till konskvnta nodlastr. Dt kan jämföras md att sittr på n fyrbnt stol och vill vta vad för kraft varj stolsbn kännr av, vilkt minst sagt kan varira brond på hur läggr fläskt. Allmänt gällr (längst nr på formlbladt): Fb N dv. I dt här D fallt är, N [ N N ], dv ( ) A d. N Ad N b Ad N N Ad V F Intgration av vktorn skr lmntvis, ingt läskigt. ) Elmnt har inga volymslastr, Fb,, nodr och. För lmnt gällr F b, N ξ Q Ad Ad N ξ A dv N (5) Formfunktionrna i formlbladt är uttryckta i ξ, mn är uttryckt i. Ett koordinatbyt är på sin plats ξ. Eftr lit räkning fås, s slutt av uppgiftn: ( ξ ) +, d dξ d ξ, dξ Sätt in (6) i (5) för att substitura bort antingn llr ξ. Jag tänkr substitura bort (lättast). { räkna} ξ ξ d dξ ( ) A ( ) Q Fb, ξ ξ ξ A ξ d Q ξd ξ (6) ξ ξ ξ ξ Q Q d Q F b,, nodr och (7) ξ ξ Assmblra: (8) 6
Övning FEM för Ingnjörstillämpningar Rickard Shn 9 5 rshn@kth.s Enaliga Problm och Fackvrk 7 7 7 59 Stg : otala kraftvktorn ska bräknas. När man läggr till d kraftr som vrkar dirkt på nodrna är dt lättast att jobba dirkt md globala kraftvktorn. Notra att ävn raktionskraftr ska tas md som yttr kraftr, lätt att glömma. R F s R (9) ägg ihop md volymslastn för att få totala kraftvktorn. R R Q F Fb + F s Q + () R Q + R Stg 4: ös FEM kvationn prcis som i övning. R EA D F D Q stryk radrna och kolumnrna där D i. Q + R EA rd rd rd Q Q D F D D 9 EA () Md alla förskjutningar kända får man: R F D Q Q + R Q R 9 Q D 9 EA 7Q R 9 EA EA Q R Q 9 Q 9 9 Q Q + R 9 () Notra att vi får samma värdn som i dn akt lösningn i nodrna. Inom bskrivs därmot förskjutningn mllan nodrna av n trdjgradar i dn akta lösningn. Där har vi använt tt linjärt lmnt ( N bstår av linjära funktionr), och linjära lmnt kan bara bskriva linjärt varirand förskjutning, s plot på nästa sida. Bättr bskrivning av förskjutningn (och därmd töjningar och spänningar) inom dt jobbiga områdt kan fås om man antingn användr flr lmnt, llr användr mr avancrad lmnt. Vi had t kunnat få n akt FEM lösning om vi had använt tt kubisk lmnt iställt. 7
Övning FEM för Ingnjörstillämpningar Rickard Shn 9 5 rshn@kth.s Enaliga Problm och Fackvrk 7 7 7 59 Flt minskar om man modllrar md flr lmnt. Angånd koordinatbytt: Man vt att ξ går från till inom områdt. Påminnr int dt här väldigt myckt om tt mattproblm om räta linjr från gymnasitidn?.5 ξ k + m ξ.5.5.5.5 / Δξ k Δ ξ + ξ + m ξ ( ) ( ξ ) 8
Övning FEM för Ingnjörstillämpningar Rickard Shn 9 5 rshn@kth.s Enaliga Problm och Fackvrk 7 7 7 59 5. Fackvrk Myckt lik uppgift. från Övning Bildr ritad av Vronica Wåtz, paint ditrad och copy pastad md prima kinsisk arbtskraft. Notra hur koordinatsystmt liggr! Givt: E, A, Q Q A Randvillkor: F Q D? D R D R D4 R4 D5 R5 F6 D6? Sökt: Nodförskjutningar och raktionskraftr. ösning: Vi har FEM kvationn, D F, vad saknas? saknas bräkna dn börja md. Från formlbladt, btrakta stånglmnt som fjädrlmnt: l l m l ( ) ( ) a lm m m ( y y ) ( ) EA EA a a, a a Innhållr nodrna och. 9
Övning FEM för Ingnjörstillämpningar Rickard Shn 9 5 rshn@kth.s Enaliga Problm och Fackvrk 7 7 7 59 l lm l ( ) ( ) a lm m m ( y y ) ( ) EA EA a a, a a Innhållr nodrna och. l lm l ( ) ( ) a l m m m ( y y ) ( ) EA a a EA, a a Innhållr nodrna och. Assmblra EA + + () Vad mr bhövr vi vta? Vi bhövr F. Några praktiska tumrglr för utbrdda lastr: Om är konstant fördlas lastn lika mllan nodrna. Om är n triangl får nodn på sptssidan / av lastn, och rstrand / hamnar på nodn vid dn fta ändn Dssa två lmntarfall kan suprponras. Om man int är övrtygad kan man alltid använda formlbladt: Q Q Q b, dv Ad d V Q F N Q F b [ ] ()
Övning FEM för Ingnjörstillämpningar Rickard Shn 9 5 rshn@kth.s Enaliga Problm och Fackvrk 7 7 7 59 Q Q R R Q R Q + R F Fb + F s + () R4 R4 R 5 R 5 Nu har vi dt som bhövs för att lösa FEM kvationn, D F + D Q R EA Q + R R 4 R5 D6 + EA + D Q D Q rd rd rd D F rd D 6 D 6 EA + D Q D Q.799 rd MAAB D 6 EA D 6 EA.7 (4) Sätt in d kända förskjutningarna och matrismultiplicra. R.7 R.9 F D Q R 4.7 R5.7
Övning FEM för Ingnjörstillämpningar Rickard Shn 9 5 rshn@kth.s Enaliga Problm och Fackvrk 7 7 7 59 Bilaga Att räkna styvhtsmatrisr i lmntts gt koordinatsystm it först om nomnklatur: Global nivå, gällr för hla strukturn Elmntnivå, gällr för dt nskilda lmntt k Elmntnivå i lmntts gt koordinatsystm där dn kan ss som n D-fjädr Dt finns två vägar att gå för att ta fram, antingn som jag gjort och gå på dirkt md formlbladt, llr gå via k. Smakn är som bakn, så dt är klart att ni som fördrar dt andra sättt ska få s tt räknmpl md. Som mpl kan vi bräkna från 5.. Givt: EA,, nod liggr i, globalt, nod liggr i, globalt ösning: ( ) ( ) Elmntts lokala styvhtsmatris är myckt lätt att bräkna, och rsultatt används i övning., EA EA k B EB A dξ () För att gå övr till dt globala koordinatsystmt används transformationsmatrisn. k () l m l m () ( ) ( ) ( ) ( ) l m (4) y y EA EA