Räknövning i rmodynamik och statistisk fysik 004--8 Problm En Isingmodll har två spinn md växlvrkansnrginu s s. Ang alla tillstånd samt dras oltzmann-faktorr. räkna systmts partitionsfunktion. ad är sannolikhtn att spinnn är paralllla rspktiv anti-paralllla? Rita n graf för dssa sannolikhtr som funktion av /k. räkna och visualisra ävn systmts mdlnrgi. id vilkn tmpratur, givn i nhtn /k, blir dt mr sannolikt att båda spinnn pkar upp än att bara tt spinn gör dt? [ntamn F 004-04-5] Problm För att studra gnskapr hos frromagntiska (llr antifrromagntiska) systm kan man använda Isingmodlln, som i frånvaro av yttr fält bskrivs av hamiltonopratorn ˆ J H i j < ij> där i (i,,., N) är spinn som kan anta värdna ±. Spinnn antas vara lokalisrad på tt gittr. Dubblsumman övr i och j går bara övr närmast grannar i gittrt, och faktorn ½ sr till att parn int dubblräknas. Konstantn J är n paramtr som angr styrkan hos växlvrkan mllan spinnn. i skall här anta att J är positiv, d.v.s. att växlvrkan är frromagntisk. rots att modlln sr nkl ut är dn i allmänht svår llr omöjlig att bhandla md analytiska mtodr. Man är därför hänvisad till att använda numriska mtodr llr förnkland approximationr. En sådan förnkling är mdlfältsapproximationn ( man fild thory ). Dn innbär i huvudsak att alla spinnn antas röra sig i tt gmnsamt mdlfält, orsakat av växlvrkan md omgivand spinn. Dn cntrala storhtn i mdlfältsapproximationn är mdlspinnt, som är noll om systmt är omagntisrat och skilt från noll om systmt är magntisrat. Man kommr fram till mdlfältsapproximationn gnom att göra omformningn ( i ) ( j ) ( i )( j ) + + i j i j + och sdan försumma dn sista trmn. Dn fysikaliska innbördn av dtta är att man försummar korrlationr mllan spinnn. Hamiltonopratorn kan då skrivas N ˆ H zj i i där z är antalt närmast grannar kring varj gittrpunkt. (a) stäm Hlmholtz fria nrgi i mdlfältsapproximationn som funktion av mdlspinnt och tmpraturn. (b) Sök minimum av Hlmholtz fria nrgi som funktion av och visa därignom att magntisringn blir noll om tmpraturn är högr än n viss kritisk tmpratur ( curitmpraturn ) mn skild från noll om tmpraturn är lägr än. (c) Mätningar på frromagntr har visat att tmpraturbrondt hos i närhtn av curitmpraturn följr formln a β där a är n konstant och där dn så kallad kritiska xponntn β har dt ungfärliga värdt 0, (i trdimnsionlla systm). ilkt värd på β finnr man i mdlfältsapproximationn? (d) Skissra systmts ntropi S, nrgi E och värmkapacitt som funktionr av. Studra spcillt gränsfalln 0 och samt områdt nära.
Lösning till problm i förutsättr att spinnn har längdn och bara kan pka upp llr nr. Produktn s s bara kan då bara anta värdna + (paralllla spinn) och - (antiparalllla spinn). i får fyra möjliga tillstånd som vi symboliskt kan btckna md,, och. oltzmannfaktorrrn för dssa tillstånd blir följand / k / k / k illståndssumman (partitionsfunktionn) är alltså Z + k / k / k 4cosh Sannolikhtrna för d fyra olika tillståndn är följand P / k P + + / k / k / k P / k P + + / k / k / k Sannolikhtrna för paralllla rspktiv antiparalllla spinn är Ppar P + P + Pant P + P + / k / k Dssa funktionr illustrras i ndanstånd diagram. / k 0.8 P par 0.6 0.4 0. P ant k/ 4 6 8 0 4 id höga tmpraturr blir alla tillstånd lika sannolika. I lågtmpraturgränsn går sannolikhtn för d antiparalllla tillståndn mot noll. id låga tmpraturr är P alltså störr än P +P, d.v.s. dt är sannolikar att båda spinnn pkar upp än att bara tt gör dt. id höga tmpraturr gällr dt motsatta. Dtta illustrras i ndanstånd diagram. 0.5 0.4 P 0. 0. 0. P +P k/ 4 6 8 0 4
Dn tmpratur då dssa båda sannolikhtr är lika stora kan bräknas ur kvationn P P +P. Md lit ftrtank insr man att när dtta inträffar måst dt gälla att P +P / och P P /. Härur fås vilkt gr + / k Mdlnrgin är,89 k ln k E + / k / k + tanh / k / k k Dss tmpraturbrond illustrras i ndanstånd diagram. E/ -0. k/ 4 6 8 0 4-0.4-0.6-0.8 - Enrgin är vid 0 och går mot noll vid höga tmpraturr. Svar illståndssumman är Z 4cosh. Sannolikhtn för paralllla spinn är k P par / + k och sannolikhtn för antparalllla spinn är P ant / + k. Mdlnrgin är E tanh k. id tmpraturr lägr än,89 blir dt mr k sannolikt att båda spinnn pkar upp än att bara tt spinn gör dt. Lösningsskiss till problm (int hlt kompltt) (a) Hamiltonopratorn bskrivr tt systm av N fria spinn som vardra har två möjliga nrgir E zj ± zj illståndssumman för tt spinn är alltså Z ( ) zj zj zj, xp xp + xp k k k zj zj xp cosh k k Eftrsom dt int finns några korrlationr mllan spinnn kan tillståndssumman för hla systmt skrivas
N N zj zj Z (, ) Z (, ) xp cosh k k Hlmholtz fria nrgi blir alltså zj F (, ) k ln Z NzJ Nk lncosh k (b) i sökr minimum av F gnom att drivra md avsnd på och sätta drivatan lika md noll zj tanh 0 k Dnna kvation har uppnbarlign alltid lösningn 0. En nkl grafisk konstruktion visar att dtta är dn nda lösningn om zj/k. Om därmot < zj/k finns dt yttrligar två lösningar, n positiv och n ngativ, svarand mot att systmt har tt magntiskt momnt uppåt llr ndåt. Man kollar lätt (t.x. gnom att studra andradrivatan) att dssa två lösningar svarar mot minima i F. Systmt är alltså frromagntiskt md zj/k (c) Ekvationn för kan skrivas om på formn tanh 0 I närhtn av curitmpraturn är magntisringn litn. i kan därför approximra tanh-funktionn md d två första trmrna i n taylorutvckling vilkt gr tanh x x x + 0 Om > finns bara n rll lösning, 0. Om > har vi också d två lösningarna ± / ( ) / vilkt visar att β 0,5. Som syns stämmr dt int md dt xprimntlla värdt, som är 0, i tr dimnsionr och omkring 0, i två dimnsionr. Dt är n allmän gnskap hos mdlfältsapproximationr att d gr n flaktig bskrivning av fnomn i närhtn av kritiska punktr, ftrsom lokala korrlationr där blir myckt väsntliga. Längr bort från dn kritiska punktn kan mdlfältsapproximationn därmot g n ganska god bskrivning av vrklightn. I n dimnsion gr Isingmodlln int alls någon fasomvandling, om man lösr dn xakt. I fyra dimnsionr stämmr därmot dn xakta lösningn övrns md mdlfältsapproximationn i fråga om d kritiska xponntrna. Mdlfältsapproximationn blir bättr och bättr ju högr dimnsionstalt är. Motsvarand gällr för gasrs uppförand i närhtn av dn kritiska punktn och om många andra fasomvandlingar. Kritiska fnomn är tt intrssant områd inom dn statistiska fysikn, mn dt liggr utanför dnna kurs. (d) Hlmholtz fria nrgi kan skrivas om på formn
F ( ) Nk Nk ln cosh där bror av tmpraturn nligt formlrna ovan. Entropi, nrgi och värmkapacitt kan bstämmas ur formlrna F S( ) E( ) F( ) + S( ) E ( ) Dn fullständiga uttryckn blir komplicrad, mn i d olika gränsfalln blir dt ganska nklt.. Om > gällr att 0. Dt gr F S E( ) 0 Nk ln Nk ( ) 0 ln vilkt vi kund sagt utan att räkna alls.. I gränsn 0 gällr att llr -. Då finnr vi att F S E ( ) 0 Nk Nk 0 Ävn dssa rsultat är lätta att förstå. Man kan naturligtvis gnom sriutvckling undrsöka prcis hur S och går mot noll, mn dt avstår vi från. Dt lämnas som övning för dn intrssrad.. Studium av uppförandt i närhtn av är svårar. i hantrar dt gnom att göra n sriutvckling av F i potnsr av. ill kvadratisk ordning finnr vi att Dtta gr där F ( ) Nk Nk ln Nk ln + Nk Nk Nk Nk ln Nk ( ) ln d S ( ) Nk ln Nk + Nk ( ) d E( ) Nk + Nk d d
vilkt ldr till d 6 9 d Nk S Nk ln ( ) E( ) Nk Nk Mdlfältsapproximationn gr alltså att värmkapacittn har n diskontinuitt vid curitmpraturn, mn xprimntllt finnr man att värmkapacittn divrgrar som ( - ), där är n xponnt av storlksordningn 0,. Åtrign visar dt sig att mdlfältsapproximationn int gr n korrkt bskrivning av kritiska fnomn.