MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 11 februari 014 G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistikexempel 11 etc., februari del 014 II 1 / 10 Ett kofidesitervall Atag att 175 persoer blir tillfrågade om de gära äter e viss grösak och 80 svarar ja. För att bestämma ett kofidesitervall med kofidesgrade 90% för att e slumpmässigt vald perso gära äter dea grösak ka vi gå tillväga på följade sätt: De svar vi fått är ett observerat stickprov av e Beroullip) fördelad slumpvariabel och bestimatorde momet och maximum likelihood-estimatro för p är medelvärdet X som ofta i dessa fall beteckas med ˆp. De cetral gäsvärdessatse säger att X p p1 p) a N0, 1), eftersom variase varj X j är p1 p) så att variase av medelvärdet blir p1 p). Nu måste vi göra äu e approximatio eftersom vi ite käer till p och approximera det talet med ˆp = X. Nu är z 0.05 = F 1 N0,1) 0.05) = 1.645 vilket betyder att G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistikexempel 11 etc., februari del 014 II / 10
Ett kofidesitervall, forts. Pr X p ˆp1 ˆp) 1.645 0.05 och Pr X p ˆp1 ˆp) 1.645 0.05. Detta betyder i si tur att ) ˆp1 ˆp) Pr p X + 1.645 0.05, och ) ˆp1 ˆp) Pr p X 1.645 0.05, Det observerade approximativa kofidesitervallet blir därför [ ] 0.46 0.54 0.46 0.54 0.46 1.645, 0.46 + 1.645 [0.40, 0.5]. 175 175 G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistikexempel 11 etc., februari del 014 II 3 / 10 Hur får ma ett kofidesitervall för σ då X Nµ, σ ) Om X 1, X,..., X är ett stickprov med stickprovsvarias S av e Nµ, σ ) fördelad slumpvariabel så är 1)S σ χ 1). Om vi u vill bestämma ett symmetriskt slumpitervall med kofidesgrade α så skall saolikhete för värde midre ä de edre gräse vara 1 α och detsamma för värde större ä de övre gräse. Om u C χ 1) så är )) 1 α Pr C F 1 χ 1) Nu gäller 1)S σ F 1 χ 1) = 1 α, Pr C F 1 χ 1) ) 1 α σ med ett motsvarade resultat för de adra gräse. )) 1 + α 1)S F 1 χ 1) 1 α = 1 α. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistikexempel 11 etc., februari del 014 II 4 / 10 ),
Oberoede Atag att e viss sorts frukter idelas i tre olika färgklasser och två olika smakklasser, och att då ma udersökt 45 frukter fått följade resultat: Färg 1 Färg Färg 3 Smak 1 3 47 38 Smak 46 3 59 Om vi u vill ha svar på fråga om färg och smak är oberoede av varadra så väljer vi som ollhypotes att de är oberoede och aväder testvariabel 3 O i,k E i,k ) C =. E i,k i=1 k=1 Här är O i,k de observerade atale, i detta fall tex. O,3 = 59 och E i,k är de förvätade atale är vi atar att ollhypotese gäller, dvs. E i,k = 1 3 45 m=1 i,m) O ) m=1 O m,k. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistikexempel 11 etc., februari del 014 II 5 / 10 Oberoede, forts. För att räka ut testvariabel och seda p-värdet ka vi först skriva o=[3 47 38; 46 3 59] seda får vi atalet med = sumsumo)) de förvätade atale med e=sumo ) *sumo)/ sumo ) räkar radsummora och sumo ) sätter dessa i e kolumvektor) och testvariabel med kommadot c= sumsumo-e).ˆ./e)) Till sist ka vi räka ut p-värdet med p = 1-chicdfc,-1)*3-1)) och eftersom detta blir 0.007480 ka vi förkasta ollhypotese på sigifikasivå 0.5%. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistikexempel 11 etc., februari del 014 II 6 / 10
Regressio och extrapolerig Ata att vi har följade uppgifter om puktera x j, y j ), j = 1,..., 5: x=[-5-4 - 0 1], y=[3 3 1 0] och vi vill försöka bestämma värdet av y då x = och också testa ollhypotese att detta värde är högst 1.8. Det första vi gör är att subtrahera frå alla x j dvs. x=x-; så att vi skall bestämma värdet av y då x = 0. Seda räkar vi ut koefficietera b 0 och b 1 i regressioslije y b 0 + b 1 x tex. så att vi räkar medelvärdea x = 1 5 j=1 x j = 4 och y = 1 5 j=1 y j = 1.8 med kommadoa meax) och meay). Seda räkar vi ut stickprovsvariasera s x = 1 4 j=1 xj) x) = 6.5 och s y = 1 4 j=1 y j y) = 1.7 med kommadoa varx) och vary). Stickprovskovariase blir s xy = 1 4 j=1 x j x)y j y) =.75 vilket i ocatve fås med kommadot covx,y) meda ma i matlab måste räka c=covx,y); c1,). Estimate för regressioskoefficietera blir u b 1 = s xy = 0.4308 och b sx 0 = 0.10769. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistikexempel 11 etc., februari del 014 II 7 / 10 Regressio och extrapolerig, forts. Om ma beaktar förskjutige av x = till origo ser regressioslije ut på följade sätt: G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistikexempel 11 etc., februari del 014 II 8 / 10
Regressio och extrapolerig, forts. Om vi u vill testa ollhypotese att regressioslijem skär y-axel i e pukt som är högst 1.8 så skall vi också räka ut restvariase s = frac1 j=1 y j b 0 b 1 x j ) = 0.71538. Detta ka också göras med hjälp av formel s = 1)s y 1 r xy ) där r xy = s xy s X s y. I matlab/octave ka detta göras med kommadot sumy-b0-b1*x).ˆ)/3 förutsatt att ma har räkat ut b0 och b1. Värdet av testvariabel blir u t = b 0 1.8) s 1 5 + x ) 5 1)sx =.4978. Eftersom testvariabels fördelig är t5 ) och oolhypotese β 0 1.8 iebär att egativa värde för testvariabel bekräftar ollhypotese blir p-värdet p = PrT.4978) = 1 F t3).4978) = F t3).4978) = 0.43939, vilket betyder att ollhypotese ka förkastas på sigifikasivå 5%. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistikexempel 11 etc., februari del 014 II 9 / 10 Regressio och extrapolerig, forts. Ett aat sätt att komma till samma resultat är att kostatera att t 0.05 3) = F 1 t3) 0.95) =.3534 vilket ma också hittar i tabelle me observera att vi här har ett esidigt alterativ). Eftersom testvaribel är större ä detta kritiska värde förkastas ollhypotese på sigifikasivå 5%. G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistikexempel 11 februari etc., del 014 II 10 / 10