Topologi och konvergens

Topologi och konvergens för viss kurser vid Uppsl universitet Smmnställt v Anders Vretbld 997 års upplg, översedd 28

Innehåll Topologisk grundbegrepp. Öppn och slutn mängder 3.2 Gränsvärde och kontinuitet 7 2 Generliseringr v gränsvärdesbegreppet 2. Förberedelser 2.2 Bolzno Weierstrss sts 2.3 Cuchys konvergensprincip 4 Blndde övningr 6 3 Kontinuerlig funktioner 3. Funktioner definierde på en kompkt mängd 8 3.2 Likformig kontinuitet 2 Blndde övningr 24 4 Omkstning v gränsprocesser 4. Derivering v integrler 25 4.2 Likformig konvergens 28 4.3 Funktionsserier 33 4.4 Dinis sts; begränsd konvergens 35 4.5 Derivering v serier 37 4.6 Funktioner definierde v generliserde integrler 38 Blndde övningr 4 Svr till övningsuppgifter 42

Kpitel Topologisk grundbegrepp. Öppn och slutn mängder Här inför vi någr begrepp, som i och för sig brukr finns definierde i läroböcker i elementär nlys. För överblickens skull kn det dock vr lämpligt tt sml lltihop på ett ställe, och vi går dessutom lite mer in i detljer än mn brukr gör vid de llr först nlysstudiern. Vi kommer tt rbet i det n-dimensionell euklidisk rummet R n. Dett är ett rum där elementen, punktern, kn beskrivs som n-tupler v reell tl: x = (x, x 2,..., x n ). Iblnd kn det händ tt mn identifierr en punkt med den vektor, ortsvektorn, som pekr på punkten, utgående från origo, som är punkten = (,,..., ). (Vi kommer dock inte tt h särskilt mycket tt gör med vektoropertionern i det linjär rummet R n.) Som ett specilfll för n = kommer vi tt studer den reell xeln. Avståndet melln två punkter x och y definiers som vnligt genom x y = (x y ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 + + (x n y n ) 2. Speciellt betyder x vståndet melln x och origo. För dett vståndsbegrepp gäller olikhetern x y x ± y x + y (tringelolikhetern), som beviss i linjär lgebrn. Avståndet är när förbundet med begreppet sklärprodukt (eller inre produkt). Stndrd-sklärprodukten x, y v två vektorer x och y definiers v n x, y = x k y k = x y + x 2 y 2 + + x n y n. k= Då gäller x = x, x. Mn hr också Cuchy-Schwrz olikhet: x, y x y. Det vnlig vståndsbegreppet kn iblnd vr räknemässigt besvärligt tt rbet med. Det finns lterntiv sätt tt mät vstånd, som i viss mening är ekvivlent med det vnlig. Antg tt x som vnligt hr koordintbeskrivningen (x, x 2,..., x n ), och inför normern x och x genom x = n k= x k = x + x 2 + + x n, x = mx k n x k = det störst v tlen x k. 3

Då gäller följnde resultt, som innebär tt om mn vill säg tt två punkter x och y ligger när vrndr, kn mn i princip nvänd vilket som helst v vståndsmåtten x y, x y och x y utn tt det gör någon väsentlig skillnd. Lemm. n x x x, x x n x. Bevis. För den först olikheten inför vi vektorn s = (s, s 2,..., s n ), där s k = sgn x k, dvs. koordinten s k är sådn tt s k x k = x k. Då är s n, och Cuchy Schwrz olikhet ger x = k x k = x, s x s n x. Division med n ger olikheten. Den ndr följer så: x 2 = n x 2 k k= n x 2 k + k= j<k n ( n ) 2 x j x k = x k = x 2. k= Olikhetern för x är lättre tt bevis och lämns som övning (.9). Normen är ett fll v en mer llmän normdefinition, nämligen p-normen ( n ) /p x p = x k p. k= Med denn beteckning är den vnlig euklidisk normen x = x 2. Beteckningen x förklrs i övning.. En omgivning v en punkt består v ll punkter som ligger inom ett visst vstånd från. Mer precist, om δ är ett positivt tl, så är mängden N(, δ) = {x : x < δ} en omgivning till ; närmre bestämt är N(, δ) en δ-omgivning till. Beroende på rummets dimension n får dett olik innebörd: n = : Här är N(, δ) det öppn intervllet ] δ, + δ[, symmetriskt beläget kring. n = 2: N(, δ) är nu en cirkelskiv med centrum i och rdie δ, exklusive periferin. n = 3: Här får vi ett klot med medelpunkt i och rdie δ, exklusive den sfärisk ytn. Iblnd hr mn nvändning för begreppet punkterd omgivning: den punkterde omgivningen N (, δ) är detsmm som N(, δ) \ {}, dvs. mn vlägsnr medelpunkten från omgivningen. Låt nu M vr en punktmängd i R n och en punkt (som kn tillhör M eller ej). Vi inför terminologi för tt beskriv hur ligger i förhållnde till M: 4

sägs vr en inre punkt till M, om det finns en omgivning till som helt ligger i M; är en yttre punkt till M, om det finns en omgivning till som ligger helt utnför M; är en rndpunkt till M, om är vrken inre eller yttre punkt; dett betyder tt vrje omgivning till innehåller såväl punkter som tillhör M som punkter som inte tillhör M. Mängden v inre punkter klls det inre v M och beteckns iblnd med M. Det är klrt tt en inre punkt i M måste tillhör M, så mn hr säkert M M. Mängden v rndpunkter till M klls rnden till M och teckns M. En rndpunkt kn tillhör mängden själv men behöver inte gör det. (En yttre punkt tillhör ldrig mängden.) Definition.2 Mängden M klls öppen, om M = M, dvs. om M endst består v inre punkter. M sägs vr sluten, om dess komplement är en öppen mängd. Ekvivlent kn mn säg tt M är öppen om ing rndpunkter tillhör M, sluten om ll rndpunkter tillhör M. (Dett stämmer överens med språkbruket för intervll på R.) Exempel. Hel rummet R n är ju en öppen mängd, eftersom ll punkter uppenbrt är inre punkter. Denn mängd sknr lltså rndpunkter, dvs. R n = Ø = den tomm mängden. Alltså gäller R n R n, så tt R n även är sluten. Den tomm mängden är komplementet till hel R n, och därför är även den både öppen och sluten. (Dess båd delmängder v R n är de end som är både öppn och slutn.) Exempel. Låt M vr delmängden {(x, y) x 2 + y 2 < } v R 2. Antg tt (, b) M. Det betyder tt 2 + b 2 <, så tt tlet r = 2 + b 2 är positivt. Låt N = N ( (, b), r ) vr r-omgivningen v (, b). Att (x, y) N betyder lltså tt (x, y) (, b) < r. Då gäller (se figur, där den lill cirkeln hr centrum i (, b)) x 2 + y 2 = (x, y) (, ) = (x, y) (, b) + (, b) (.) (x, y) (, b) + (, b) (, ) < r + ( r) =... (,).. r Dett bevisr tt (x, y) M. Vi hr därmed vist tt omgivningen N helt ligger i M, och dett betyder tt (, b) är en inre punkt i M. All punkter i M är inre punkter, ingen punkt i M är rndpunkt, M är en öppen mängd. Mn brukr tl om M som den öppn enhetsskivn. Exempel. Mängden M i föregående exempel är ju inget nnt än den speciell omgivningen N((, ), ) v origo i R 2. På precis smm sätt kn mn vis tt en godtycklig omgivning N(, δ) v en punkt R n är öppen. 5

Exempel. Låt nu M vr mängden {(x, y, z) x 2 + y 2 <, z = } i R 3. Ytligt betrktt ser denn mängd likdn ut som mängden i förr exemplet. Men eftersom den nu betrkts som delmängd v det tredimensionell rummet kommer dess egenskper tt vr nnorlund. Den sknr inre punkter: ty en omgivning i R 3 är ett öppet klot, och ing öppn klot kn få plts i mängden M, eftersom den är lldeles pltt. Mängden består lltså v idel rndpunkter, och är därmed inte öppen. Men den är inte heller sluten, eftersom punktern (x, y, ) med x 2 + y 2 = också är rndpunkter till M. Om M är en punktmängd, låter vi symbolen M beteckn det slutn höljet v M. Dett består v M tillsmmns med ll rndpunkter: Lemm.3 M är en sluten mängd. M = M M. Bevis. Låt vr en punkt som inte tillhör M. Det betyder tt är yttre punkt till M, och lltså hr en omgivning N = N(, δ) som ligger utnför M. Eftersom denn omgivning är en öppen mängd, hr vrje x N en egen omgivning N = N(x, δ ) som ligger helt i N och lltså helt utnför M. All punkter i N är lltså yttre punkter till M, dvsḋe tillhör komplementet till M. Dett komplement är lltså öppet, och därmed är M själv sluten. Det är prktiskt tt inför nmnet höljepunkt som gemensm beteckning för inre punkt och rndpunkt. Lemm.4 En mängd M är sluten om och endst om M = M. Bevis. M sluten M M M = M M = M. För unioner och skärningr gäller följnde resultt. En indexmängd I kn bestå v ändligt eller oändligt mång element. Vnlig exempel är I = {, 2,..., n}, I = Z +, men även exempelvis I = R är en möjlig indexmängd. Om M ι är mängder för ll ι I definiers unionen ι I M ι och skärningen ι I M ι genom formlern M ι = {x x M ι för något ι I}, ι I M ι = {x x M ι för ll ι I}. Om indexmängden är ändlig eller består v exempelvis Z + kn mn skriv sådnt som n och M j. k= M k Sts.5 () Antg tt O ι är öppn mängder för ll ι I. Då är unionen U = ι I O ι också öppen. (b) Antg tt O, O 2,..., O m är ändligt mång öppn mängder. Då är skärningen S = m k= O k också öppen. Bevis. () Antg U. Det betyder tt det finns ett ι I sådnt tt O ι. Efterstom O ι är öppen, hr en omgivning N O ι, och denn omgivning tillhör också unionen U, vilket bevisr påståendet. (b) Antg S. Då gäller O k för ll k. Eftersom O k är öppen, finns en omgivning N k = N(, δ k ) till i O k. Sätt δ = det minst v tlen δ k och N = N(, δ) (observer tt δ > ). Då gäller N N k för ll k, vilket betyder tt N ligger i S, och sken är klr. ι I j= 6

Övningr. Bestäm inre punkter och rndpunkter till följnde mängder. Vilk v mängdern är öppn eller slutn? ) {(x, y) R 2 : y > } b) Q = de rtionell tlen på R c) {(x, y) R 2 : < x < } d) {x R : < x < } e) {(x, y) R 2 : < x <, y = } f) {(x, y) R 2 : xy > }.2 Bestäm A och A då A = {(x, y) : x 2 + y 2 <, x, y rtionell}..3 Bevis tt Ø och hel R n är den end delmängder v R n som är både öppn och slutn..4 ) Gäller M = (M)? Bevis eller motexempel! b) Om A B, gäller då A B?.5 Ge ett exempel på tt skärningen v oändligt mång öppn mängder inte behöver vr öppen. (Det går tt finn exempel där mängdern är intervll på R.).6 Vis följnde sts för slutn mängder, som kn uppftts som komplementär till sts.5: Unionen v ändligt mång slutn mängder är sluten; och en godtycklig skärning v (ändligt eller oändligt mång) slutn mängder är sluten..7 Ge exempel (med intervll på R) på tt unionen v oändligt mång slutn mängder inte behöver vr sluten..8 Bevis eller ge motexempel till följnde reltioner: ) (A B) = A B b) (A B) = A B c) A = (A ) d) (A B) A B.9 Bevis olikhetern x x n x (lemm.).. Bevis tt lim p x p = x.. Vis tt tringelolikheten gäller för normern och, dvs. tt x + y p x p + y p om p = eller p =..2 Vis tt begreppen inre punkt och rndpunkt till en mängd inte förändrs om mn definierr omgivningr med hjälp v det vståndsbegrepp som ges v normen eller normen..2 Gränsvärde och kontinuitet Med en (oändlig) punktföljd i R n menr vi en svit punkter, numrerde med heltl:, 2, 3,.... Mn skriver också sådnt som { k } k= eller helt enkelt { k}. En mtemtisk purist kn tänk sig en punktföljd som en funktion : Z + R n, dvsėn funktion som till vrje positivt heltl k ordnr en punkt k i R n. (Nturligvis behöver indexeringen inte börj med just tlet.) En punktföljd { k } sägs vr konvergent, om det finns en punkt b med följnde egenskp: för vrje tl ε > finns ett tl K (som i llmänhet beror på ε), sådnt 7

tt för ll k > K gäller tt k b < ε. Smm sk kn även formulers med omgivningsbegreppet så här: till vrje omgivning N v b finns ett K så tt k N för ll k > K. Om dett gäller säger vi också tt b är gränsvärdet v k och skriver lim k = b eller k b då k. k Om en följd inte är konvergent, klls den divergent. Låt k = ( k, k2,..., kn ) och b = (b, b 2,..., b n ). Genom tt nvänd olikhetern i lemm. inser mn tt k b är ekvivlent med tt mn hr koordintvis konvergens. Närmre bestämt gäller ju mx kj b j = k b k b k b = j n n kj b j. Om kj b j för vrje j, kommer högerledet här tt gå mot noll och därmed också mitterst ledet; och om dett går mot noll gäller detsmm för vänsterledet och därmed gäller kj b j för vrje j. I det följnde kommer vi oft tt nvänd följnde resultt. Sts.6 En mängd M är sluten om och endst om den hr följnde egenskp: Om { k } är en följd v punkter ur M som konvergerr mot en punkt b, så ligger lltid b också i M. Bevis. Antg först tt M är sluten, och låt { k } vr en punktföljd utvld ur M som konvergerr mot b. Dett betyder tt vrje omgivning v b innehåller mång (rentv oändligt mång) v punktern k som ll ligger i M, och dett innebär ju tt b är en höljepunkt till M. Eftersom M = M följer då tt b M, vilket bevisr den en riktningen v påståendet. I ndr riktningen: ntg tt mn lltid vet tt gränsvärdet för en konvergent följd ur M också tillhör M. Låt b vr en rndpunkt till M och låt N k = N(b, /k) för k =,, 2,.... Vrje N k innehåller säkert en punkt k M (enligt definitionen v rndpunkt), och eftersom k b < /k gäller tt k b. Det följer tt b M, och lltså innehåller M ll sin rndpunkter, vilket betyder tt M är sluten. Mn studerr även gränsvärden v funktioner definierde i någon del v R n, med värden i R eller rentv i något rum R p. Definitionen kn formulers ordgrnt som i det endimensionell fllet, fst beloppsstrecken nu beskriver vstånd i rum v högre dimension. Att j= lim f(x) = A eller f(x) A då x x betyder lltså tt mn till vrje tl ε > kn finn ett δ > sådnt tt < x < δ medför tt f(x) A < ε. Med omgivningsspråk kn mn också uttl dett så här: till vrje omgivning N v A finns en punkterd omgivning O v sådn tt f(o ) N. Nturlig modifiktioner v gränsvärdesdefinitionen kn görs för det fll tt ligger på rnden till definitionsområdet för f. När mn hr gränsvärde, kn mn också tl om kontinuitet. Funktionen f är kontinuerlig i om f() = lim x f(x). I prktiken händer det oft tt mängder beskrivs genom ekvtioner och olikheter som innehåller olik funktionsuttryck. Exempelvis beskriver vi den öppn enhetscirkeln i R 2 genom olikheten x 2 + y 2 <. För tt vgör om en sålund beskriven mängd är öppen eller sluten, eller vd den nu är, kn mn h glädje v följnde sts. 8

Sts.7 Antg tt D är en öppen mängd i R n, och låt f : D R vr en kontinuerlig funktion. För vrje reellt tl t är då mängden M t = {x D f(x) < t} öppen. Bevis. Antg M t och sätt f() = u. Då är lltså u < t, och vi sätter ϱ = t u >. På grund v gränsvärdesdefinitionen, och på grund v tt definitionsmängden D är öppen, finns en omgivning N v sådn tt för ll x N gäller f(x) f() < ϱ. Speciellt hr mn tt denn olikhet är snn även utn beloppsstreck. För ll dess x gäller lltså tt f(x) = ( f(x) f() ) + f() < ϱ + u = t u + u = t. Dett innebär ju tt x M t, dvs. hel omgivningen N tillhör M t. Alltså är en inre punkt, och påståendet följer. Med denn sts inser mn exempelvis tt mängden som beskrivs v de tre olikhetern x + y 2 > 3 och < x < 2 är öppen. Ty de tre olikhetern kn ll skrivs om på formen f(x) < t: 3 x y 2 <, x <, x < 2, där vänsterleden är kontinuerlig; och skärningen v tre öppn mängder är öppen. Övningr.3 Antg tt f : D R är kontinuerlig på den slutn mängden D, och låt t vr ett reellt tl. Vis tt mängden {x D f(x) t} är sluten..4 Vis tt en funktion definierd i en öppen mängd är kontinuerlig om och endst om invers bilden v en öppen mängd lltid är öppen. 9

Kpitel 2 Generliseringr v gränsvärdesbegreppet 2. Förberedelser Vi skll studer punktföljder i det n-dimensionell euklidisk rummet R n. Precis som för vnlig tlföljder gäller nturligtvis tt en sådn punktföljd inte lls behöver vr konvergent. Vi skll undersök vd som kn sägs i llmännre situtioner. Vi gör först någr definitioner. Definition 2. Låt { ν } vr en punktföljd i R n och b en punkt i R n. Vi säger tt b är en hopningspunkt till följden { ν }, om det till vrje omgivning N v b finns oändligt mång indexvärden ν sådn tt ν N. Att b är en hopningspunkt uttrycker mn också så tt punktern ν hopr sig mot b. Anmärkning. Någon läsre tycker knske tt definitionen ser mer än nödvändigt tillkrångld ut. Vrför skulle mn inte br kunn säg tt N skll innehåll oändligt mång punkter ur följden? Orsken är tt mn kn h följder som upprepr smm punkt ett extremt exempel är en konstnt följd, där ν = = fix punkt, smm för ll ν. I dett fll vill vi likfullt tt skll räkns som hopningspunkt, trots tt följden i viss mening br innehåller en end punkt. Om mn emellertid kommer överens om tt mn skll tolk uttrycket oändligt mång punkter ur följden som punkter för oändligt mång indexvärden, kn mn väl nvänd uttryckssättet, och den som skriver dess rder syndr själv oft på denn punkt. Definition 2.2 Antg tt ν < ν 2 < ν 3 <, där ll ν j är heltl. Då säger vi tt följden j νj är en delföljd v följden ν ν. Det vnlig skrivsättet är tt mn ser { νj } eller mer specificert { νj } j eller { νj } j= som en delföljd v { ν} (eller { ν } ν eller { ν } ν= ). Mn inser lätt tt en punktföljd är konvergent med ett visst gränsvärde b om och endst om vrje delföljd är konvergent med smm gränsvärde. Vi skll nu krkteriser begreppet hopningspunkt med hjälp v delföljder. Sts 2.3 Punkten b är hopningspunkt till följden { ν } om och endst om det finns en delföljd v { ν } som konvergerr mot b. Bevis. Antg först tt b är en hopningspunkt. Låt N j = N(b, /j) vr omgivningr (öppn bollr med rdie /j) för j =, 2,.... Vrje sådn innehåller ju

oändligt mång ν. Välj först ν N, välj sedn ν 2 så tt ν 2 > ν och ν2 N 2, ν 3 > ν 2 så tt ν3 N 3 osv. Dett ger en delföljd { νj } j=, där ν j N j, dvs. νj b < /j, vilken är den önskde delföljden. Den omvänd delen v påståendet är lätt och lämns till läsren som övning. Övningr 2. Bestäm ll hopningspunkter till tlföljden { n } n=, då ) n = ( ) n + n b) n = 2( ) n 3( ) 2n + ( ) 3n 3n + c) 2k = cos k + ( )k, 2k = sin k + ( )k. 2.2 Bestäm ll hopningspunkter till { ( n }, där ) n = 2 + cos nπ b) n = sin πn 2 cos ) 2 n ( nπ ) ( c) n = cos 2 e/n d) n = ( ) n + ) n n ( cos πn ) n e) n = + f) n = tn ( πn 3 e /n) n ( π ) ( g) n = sin n 2 2 + n h) n = cos πn 3 sin ) n i) n = cos n j) n = 4 n cos n 2.3 Punktföljden {P n } n= i Rn definiers v tt P n hr de polär koordintern r n = n n +, θ n = n. Bestäm ll hopningspunkter till följden. 2.4 Låt U vr en öppen mängd, och låt U vr det inre v det slutn höljet v U, U = ( U ). Vis tt om U = U, så finns det för vrje punkt p på rnden till U en följd v yttre punkter till U, som konvergerr mot p. 2.5 Vis tt mängden v hopningspunkter till en följd är sluten. 2.2 Bolzno Weierstrss sts En mängd K R n klls begränsd om K N(, r) för något r >, dvs. ll punkter i K ligger inom ett visst fixt vstånd från origo. Mängder som är både slutn och begränsde visr sig h intressnt egenskper, vilket motiverr tt de ges en egen benämning: Definition 2.4 En mängd K R n klls kompkt om den är sluten och begränsd. Huvudresulttet i dett vsnitt är sts 2.6. För dess bevis behöver vi följnde resultt, som även är intressnt för sin egen skull.

Sts 2.5 ((Intervllkpslingsstsen)) För ν =, 2,..., låt I ν vr ett kompkt intervll på reell xeln, I ν = [ ν, b ν ], med längd I ν = b ν ν. Antg tt Då är genomskärningen I = I ν I ν+, ν =, 2,.... (2.) I ν icke-tom; i själv verket är I självt ett kompkt ν= intervll med längd I = lim ν I ν. Observer tt stsen blir flsk om intervllen inte är kompkt. Undersök t.ex. vd som händer om I ν =], /ν] eller I ν = [ν, [. Bevis. Antgndet (2.) kn skrivs ν ν+ b ν+ b ν, ν =, 2, 3,.... Mn ser tt { ν } är en växnde (dvs. icke-vtgnde) följd, och eftersom ν b ν b är den uppåt begränsd (v tlet b t.ex.). Alltså existerr gränsvärdet ξ = lim ν, och ν ξ för ll ν. Anlogt är {b ν } en vtgnde (dvs. icke-växnde) och nedåt begränsd tlföljd med ett gränsvärde η = lim b ν sådnt tt η b ν för ll ν. Eftersom ν b ν följer även tt ξ η, så tt för ll ν gäller ν ξ η b ν. Dett visr tt [ξ, η] I = ν= I ν, dvs. skärningen är icke-tom. Mn inser lätt tt ing punkter utnför [ξ, η] kn tillhör ll I ν, så tt mn i själv verket hr I = [ξ, η]; påståendet om I följer sedn omedelbrt. Ett viktigt specilfll v stsen är det fll då I ν när ν. I det läget blir förstås ξ = η, och det finns precis en punkt som tillhör ll intervllen I ν. Sts 2.6 ((Bolzno Weierstrss sts)) Vrje begränsd punktföljd i R n hr minst en hopningspunkt. Bevis. Vi genomför beviset fullständigt i fllet n =. Sedn ntyds hur mn kn generliser till godtycklig (ändlig) dimension. Vi ntr lltså tt { ν } ν= är en reell tlföljd, som är begränsd, dvs. det finns ett tl M sådnt tt ν M för ll ν. Låt I vr intervllet [ M, M]. Betrkt de båd delintervllen [ M, ] och [, M]. Minst ett v dem måste innehåll oändligt mång punkter ur följden. Kll ett sådnt intervll för I 2 (om båd duger, välj t.ex. det högr som I 2 ). Betrkt sedn de två slutn intervll, som mn får genom tt del I 2 mitt itu. Av dess finns (minst) ett som innehåller oändligt mång element ur följden, och det klls I 3. Fortsätt på dett vis. Vi får en följd v kompkt intervll I I 2 I 3, som uppfyller villkoren i inkpslingsstsen, och vilks längd går mot noll. Enligt denn sts finns då ett ξ som tillhör ll I ν. Vi påstår tt ξ är hopningspunkt till den givn följden. Vi kn nämligen konstruer en delföljd v { ν }, som konvergerr mot ξ, på följnde sätt. I I 2 I 3 I 4 I 5 I 6 I 7 I 8 M M 2

Låt ν = ; tt ν I är klrt. Antg sedn tt vi hr funnit νk I k för k =, 2,, p. Eftersom I p+ innehåller oändligt mång v tlen ν, kn vi finn ett ν p+ > ν p så tt νp+ I p+. Genom induktion får vi { νk } k=, och konstruktionen medför tt νk ξ då k. Dett visr stsen i det endimensionell fllet. För högre dimensioner kn mn förfr på följnde sätt. Att { ν } är en begränsd följd i R 2, med ν = ( ν, b ν ), innebär tt det finns ett tl M så tt dels ν M, dels b ν M för ll ν. Då är { ν } en begränsd följd v reell tl, och den hr enligt det föregående en hopningspunkt ξ, som är gränsvärde för en viss delföljd { νk } k=. Betrkt så delföljden {b νk } k=. Den är också begränsd och hr en hopningspunkt η, gränsvärde för en del-delföljd {b νkj } j=. Punktern ν kj bildr då en delföljd v den givn följden, som konvergerr mot (ξ, η), vilken lltså är hopningspunkt. Hur mn fortsätter till högre dimension än två borde stå klrt. Följdsts 2.7 En begränsd punktföljd är konvergent om och endst om den hr precis en hopningspunkt. Beviset för följdstsen överlåtes åt läsren. Vi skll närmre studer fllet n =, lltså reell xeln. En begränsd tlföljd { ν } hr lltså lltid minst en hopningspunkt. Genom tt i beviset för Bolzno Weierstrss sts konsekvent välj det högr intervllet, så snrt det är möjligt, inser mn tt det finns en störst hopningspunkt ξ. Denn brukr klls övre limes eller limes superior för följden, vilket skrivs ξ = lim sup ν = lim ν. ν ν Dett tl kn även krkterisers på följnde sätt: (i) För vrje ε > finns ett N så tt ν > N ν < ξ + ε, (ii) För vrje ε > och vrje N finns ett ν sådnt tt ν > N och ν > ξ ε. En lterntiv formulering v dess villkor är följnde: (i ) För vrje ε > är endst ändligt mång ν större än ξ + ε, (ii ) För vrje ε > finns det oändligt mång ν som är större än ξ ε. Läsren uppmns tt tänk igenom ekvivlensen melln de två krkteriseringrn, och tt övertyg sig om tt de verkligen beskriver precis vd som måste vr den störst hopningspunkten. Anlogt kn mn identifier den minst hopningspunkten, undre limes eller limes inferior, η = lim inf ν ν = lim ν ν. Det är en lämplig övning tt skriv upp krkteriseringr v denn, nlog med ovnstående för övre limes. Även för obegränsde följder tlr mn iblnd om lim sup och lim inf. De kn då nt oändlig värden. Exempel: lim ν sin ν = +, ν lim ν = lim ν = +. En prktisk sid v övre och undre limes är tt de, till skillnd från vnlig gränsvärden, lltid existerr. I viss situtioner kn de ersätt äkt gränsvärden. Exempel. Med hjälp v övre limes kn mn formuler en krftigre version v Cuchys rotkriterium för konvergens v positiv serier: 3

Antg tt n för ll n och sätt A = lim n A < n är konvergent, A > n är divergent. n n. Då gäller tt Antg först tt A < : sätt r = (A + )/2. Eftersom r > A, finns ett N så tt för ll n > N gäller n n < r, dvs. n < r n ; men r <, så tt jämförelse med den geometrisk serien ger tt n är konvergent. Om å ndr sidn A >, finns oändligt mång n för vilk n n > och därmed n >, vilket medför seriens divergens (termern går inte mot noll). Övningr 2.6 Bestäm lim sup n och lim inf n, då n = ( ) ( ) n + n) n ( ) n b) + c) tn ( πn 3 e /n) ( π ) d) sin n 2 2 + n cos nπ n 2.7 Vis tt om n b n, n =, 2,..., så gäller lim n lim b n. 2.8 Antg n, n =, 2,..., och lim n n >. Vis tt det finns godtyckligt stor tl i följden. Gäller lim n = +? 2.9 Antg n, b n >. Vidre ntr vi tt { n } är begränsd och lim n b n / n <. Vis tt det existerr ett tl k < så tt b n < k n för ll tillräckligt stor n. 2. Låt { n } och {b n } vr begränsde tlföljder. Vis tt lim( n + b n ) lim n + lim b n, och ge ett exempel som visr tt olikhet kn inträff. 2.3 Cuchys konvergensprincip Definitionen v tt en punktföljd är konvergent ser ju ut så här: Följden { ν } är konvergent om det finns ett tl b sådnt tt för vrje ε > existerr ett N sådnt tt ν > N ν b < ε. Här förekommer en referens till det vsedd gränsvärdet, dvs. punkten b. I mång fll kn det vr svårt tt nvänd denn definition det kn vr mer eller mindre omöjligt tt bestämm gränsvärdet, även om mn känner sig gnsk säker på tt följden konvergerr. Det finns emellertid ett villkor på { ν } som är ekvivlent med konvergens, men som inte refererr till någon punkt utnför följden själv. Först en definition: Definition 2.8 En punktföljd { ν } i R n klls en Cuchyföljd eller sägs uppfyll ett Cuchyvillkor, om till vrje ε > finns ett tl N sådnt tt för ll indexvärden µ, ν gäller tt µ, ν > N µ ν < ε. 4

Sts 2.9 En punktföljd i R n är konvergent om och endst om den är en Cuchyföljd. Bevis. ( ) Antg { ν } konvergent med gränsvärde A. Låt ε > vr givet. Då finns definitionsmässigt ett N sådnt tt för ll ν > N gäller ν A < 2ε. Om både µ och ν är större än N gäller lltså µ ν = µ A + A ν µ A + ν A < 2 ε + 2 ε = ε, dvs. följden uppfyller ett Cuchyvillkor. ( ) Nu ntr vi tt { ν } är en Cuchyföljd. Speciellt gäller då (för ε = ) tt det finns ett N så tt µ, ν > N medför tt µ ν <. Om ν > N gäller då ν = ν N + N ν N + N < + N, dvs. ll ν för ν > N ligger under ett fixt tl; dett betyder tt den givn följden är begränsd. Enligt Bolzno Weierstrss finns då (minst) en hopningspunkt ξ med tillhörnde konvergent delföljd: νj ξ, j. Vi skll vis tt hel följden fktiskt konvergerr mot ξ. Låt därför ε > vr givet, och välj tillhörnde N enligt Cuchyvillkoret: µ, ν > N µ ν < ε. Eftersom den speciell delföljden νj konvergerr mot ξ finns säkert ett j-värde sådnt tt ν j > N och νj ξ < ε. För ll ν > N får vi då ν ξ = ν νj + νj ξ ν νj + νj ξ < ε + ε = 2ε, vilket ju innebär tt ν ξ då ν, dvs. följden är konvergent. Exempel. Sätt n = + 2 + 3 + + n ln n. Vi kn nt tt m < n. Då gäller n m = m + + m + 2 + + n ln n m. Integrluppskttning (se envribelnlysen!) ger ln n m + = n m+ dx x < m + + m + 2 + n < n m dx x = ln n m, så tt n ln m + ln n m < n m <, dvs. n m < ln n m ln n m + = ln m + m = ln( + ). Låt ε >. Eftersom m ln( + t) då t, finns ett N så tt ln ( + /m) < ε om m > N (och därmed även n > N). Alltså existerr lim n n. Gränsvärdet brukr beteckns γ eller C och klls Eulers konstnt. Mn vet tt γ =.577..., men det är t.ex. inte känt om γ är rtionellt eller irrtionellt. Cuchys princip kn även formulers för ndr former v gränsövergång. Som ett exempel: låt oss formuler ett Cuchyvillkor för gränsvärden v typen lim x f(x) (där f t.ex. är en reellvärd funktion v en reell vribel). För ett sådnt gränsvärde gäller följnde grundläggnde hjälpsts. 5

Lemm 2. Antg tt f är definierd i en punkterd omgivning v. Då gäller tt lim f(x) existerr och är lik med A om och endst om det för vrje tlföljd x {x ν } ν= sådn tt x ν för ll ν och lim x ν = gäller tt lim f(x ν) = A. ν ν Bevis. ) Antg tt lim x f(x) = A. Om ε > är givet finns lltså ett δ > så tt för ll x som uppfyller < x < δ gäller f(x) A < ε. Låt nu {x ν } vr en punktföljd sådn tt x ν för ll ν men x ν då ν. Det betyder tt det finns ett N så tt < x ν < δ för ll ν > N, där δ är smm δ som ovn. Men då hr vi ju tt ν > N f(x ν ) A < ε, dvs. lim ν f(x ν ) = A. ) Nu ntr vi tt lim ν f(x ν ) = A för ll punktföljder {x ν } med x ν för ll ν och lim ν x ν =. Dessutom ntr vi tt det inte gäller tt lim x f(x) = A. Då skulle det finns ett ε-värde, säg ε = b, som är sådnt tt hur litet δ jg än väljer, så kommer det lltid tt finns något x-värde som uppfyller < x < δ medn det trots dett gäller tt f(x) A > b. Vi väljer då successivt δ-värden δ = /ν, ν =, 2, 3,..., och kllr motsvrnde x-värden för x ν. Dett ger en följd {x ν } med x ν, men x ν < /ν, så tt x ν då ν. Att f(x ν ) A b betyder tt f(x ν ) inte går mot A, vilket strider mot ntgndet. Motsägelse! Med hjälp v lemmt kn mn vis följnde Cuchysts : Sts 2. lim f(x) existerr om och endst om till vrje ε > finns ett δ > x sådnt tt för ll x, x 2 gäller tt < x < δ < x 2 < δ Beviset lämns som övning. Övningr } f(x ) f(x 2 ) < ε. 2. Vis med nvändning v Cuchyvillkor tt tlföljden { n } är konvergent, om n ges v ) n + n n b) c) sin(x 2 ) dx. n k! k= 2.2 Med Cuchys konvergensprincip kn mn ge ett mycket koncist bevis för stsen tt en bsolutkonvergent serie är konvergent. Gör det! 2.3 Bevis sts 2.! Blndde övningr på kp. 2 2.4 Skärp kvotkriteriet för positiv serier på följnde sätt: Antg n >. Då är serien n konvergent, om lim n+ / n <, divergent om lim n+ / n >. 2.5 { n } är en tlföljd sådn tt p = lim ln n existerr ändligt. Vis tt det till ln n vrje tl ε > finns en konstnt k sådn tt n < k n p+ε för ll n. 6

2.6 Vis följnde olikhet för begränsde tlföljder, och ge också exempel på tt olikhet kn inträff: lim + 2 + + n n lim n. 2.7 A och B är två delmängder v R n, A är kompkt och B är sluten. Vis tt A + B = { + b : A, b B} är sluten. 2.8 {x ν } är en följd v punkter i R n sådn tt följden { x ν } v reell tl konvergerr. Vis tt ) följden {x ν } hr minst en hopningspunkt x, b) x = lim x ν, c) om dessutom sklärprodukten x µ, x ν x 2 för ll µ och ν, så är följden {x ν } konvergent. 2.9 Antg tt n >, n =, 2,..., och tt lim n+ existerr ändligt. Vis olikhetern n lim n+ n lim n n lim n n lim n+ n. 7

Kpitel 3 Kontinuerlig funktioner 3. Funktioner definierde på en kompkt mängd Vi skll vis någr fundmentl resultt för kontinuerlig funktioner, definierde i en del v R n och med värden i R eller R m. Från och med nu vstår vi från tt vektormrker punkter i R n v smmnhnget får frmgå om t.exṡymbolen x står för ett reellt tl eller för en punkt x = (x, x 2,..., x n ) i R n. För definitionen v kontinuitet och dess elementär egenskper hänviss till kurslitterturen. Vi börjr nu med en hjälpsts. Lemm 3. Funktionen x x från R n till R är kontinuerlig. Bevis. Enligt en vrint v tringelolikheten gäller x x, vrv följer tt x då x, vilket är påståendet. Sts 3.2 Antg tt K är en kompkt mängd i R n och tt f : K R m är kontinuerlig. Då är värdemängden f(k) = {f(x) : x K} en kompkt delmängd v R m. Bevis. Vi skll vis dels tt f(k) är sluten, dels tt den är begränsd. Vi börjr med slutenheten. Därvid skll vi utnyttj den sts som säger tt en mängd M är sluten om och endst om den är sluten under gränsövergång, dvs. tt den hr följnde egenskp: Om { ν } är en punktföljd i M och ν b då ν, så gäller lltid tt b M. Låt lltså y ν f(k) för ν =, 2,..., och ntg tt y ν konvergerr mot en punkt η. Vår uppgift är tt vis tt η f(k). Att y ν f(k) innebär tt y ν = f(x ν ) för något x ν K. Dett ger oss en följd v punkter {x ν } ν=, som ll ligger i K. Eftersom K är begränsd, hr följden en hopningspunkt ξ (Bolzno Weierstrss), och eftersom K är sluten gäller dessutom ξ K (ovn citerd sts). Till ξ hör en delföljd {x νj } j= sådn tt x ν j ξ. Enär ξ K är f(ξ) definiert, och då f är kontinuerlig gäller tt f(ξ) = lim j f(x νj ) = lim j y νj = η, vilket just säger tt η tillhör f(k); f(k) är lltså sluten. Antg sedn tt f(k) inte vore begränsd. Det skulle innebär tt det funnes punkter y k f(k) sådn tt y k k för k =, 2,.... Som ovn är y k = f(x k ) för något x k K, och punktföljden {x k } k= hr enligt Bolzno Weierstrss en 8

hopningspunkt ζ, som tillhör K enligt ovn och är gränspunkt för någon delföljd {x kj } j=. Värdet f(ζ) är definiert och lik med någon punkt ω f(k). Men nu börjr det bli konstigt: f är kontinuerlig i K, speciellt i ζ, så tt ω = f(ζ) = lim j f(x kj ) = lim j y kj, vrv skulle följ (här nvänder vi lemmt ovn) ω = lim j y kj lim j k j = +. Men ing element i R m hr oändlig norm. Vi hr åstdkommit en orimlighet genom tt nt tt f(k) är obegränsd. Ett viktigt fll är nturligtvis m = (reellvärd funktioner). Vi skll formuler om resulttet i dett fll. Först en hjälpsts. Lemm 3.3 Om K är en icke-tom kompkt mängd på R, så innehåller K ett störst och ett minst tl. Bevis. K är begränsd och hr llstå en minst övre begränsning: Ξ = sup K = sup y. y K Definitionen v supremum ger tt för vrje heltl n finns ett tl y n K sådnt tt Ξ n < y n Ξ. Följden {y n } konvergerr mot en punkt som tillhör K, eftersom K är sluten; å ndr sidn är det klrt tt lim y n = Ξ, vrför Ξ K, vilket visr tt K hr en mximl punkt. Helt nlogt viss tt inf K K. Följdsts 3.4 (specilfll v sts 3.2) Om K R n är kompkt och f : K R är kontinuerlig, så är f begränsd, och dessutom ntr f ett mximum och ett minimum på K. Utsgn om mximum och minimum innebär tt det finns punkter ξ och η i K sådn tt f(η) f(x) f(ξ) för ll x K. Dett följer v tt f(k) är en kompkt mängd enligt stsen, och en kompkt mängd v reell tl hr mximum och minimum enligt lemmt. Följdstsen spelr en stor roll vid undersökning v mx- och min-problem: den kn oft nvänds för tt säkerställ tt en lösning till ett sådnt problem existerr. Ett viktigt resultt om kontinuerlig funktioner, som redn nvänts flitigt i tidigre kurs, är stsen om mellnliggnde värden. Eftersom vi skll generliser denn till ett llmännre fll, tr vi med den i dett smmnhng, med bevis. Sts 3.5 Låt [, b] vr ett intervll på R, och ntg tt f : [, b] R är kontinuerlig. Då ntr f på intervllet [, b] ll reell värden melln f() och f(b). Bevis. Först gör vi två förenklingr v förutsättningrn: () Vi kn nt tt f() < f(b), nnrs ersätter vi f med f. (b) Låt y vr ett tl melln f() och f(b), f() < y < f(b). Genom tt ersätt f med f y kn vi nt tt f() < < f(b), och det är tillräckligt tt vis tt f ntr värdet någonstns. 9

Bild mängden E = {x [, b] : f(x) < }. E är uppåt begränsd, ty om x E så är x b; och E är icke-tom, ty E. Enligt xiomet om övre gräns existerr då tlet c = sup E, och det är klrt tt < c < b. Vi påstår tt f(c) =. Om vi hde f(c) >, så skulle på grund v kontinuiteten gäll tt f(x) > i ett helt intervll till vänster om c, vilket strider mot definitionen v c som supremum. Om å ndr sidn f(c) vore <, så gåve kontinuiteten tt f(x) < i ett intervll till höger om c, vilket också strider mot definitionen v c. Återstår lltså endst möjligheten tt f(c) =. Om mn vill formuler en motsvrighet till dett resultt i högre dimensioner måste mn komm åt begreppet mellnliggnde i R n. Ett sätt tt gör dett ges v följnde definitioner. Definition 3.6 En kontinuerlig kurvbåge som förbinder två punkter och b i R n är en kontinuerlig vbildning x från ett kompkt intervll [α, β] R, sådn tt x(α) = och x(β) = b. Anmärkning. Språkbruket i smbnd med kurvor och kurvbågr är något vcklnde. Oft vser mn med orden de rent geometrisk objekten, som utgörs v värdemängden till funktionen x, dvs. en mss punkter i R n. Definition 3.7 En mängd A R n klls bågvis smmnhängnde, om vrje pr v punkter i A kn förbinds med en kontinuerlig kurvbåge som ligger helt i A. I fllet n =, dvs. på R, är en bågvis smmnhängnde mängd detsmm som ett intervll, vilket den intresserde kn försök bevis som övning. En motsvrighet till stsen om mellnliggnde värden är nu följnde. Sts 3.8 Antg A R n bågvis smmnhängnde och f : A R m kontinuerlig. Då är också f(a) bågvis smmnhängnde. Bevis. (Se figuren!) Låt y, y 2 f(a). Då är y = f(x ), y 2 = f(x 2 ), där x, x 2 A. Förbind x med x 2 vi en kontinuerlig kurvbåge x : [, b] A, där x() = x, x(b) = x 2. Den smmnstt funktionen f x : [, b] R m är då kontinuerlig, och den förbinder y och y 2 på önskt sätt. Övningr 3. Ge exempel på en sluten mängd A R och en kontinuerlig funktion f : A R sådn tt f(a) inte är sluten. 3.2 Ge exempel på en begränsd mängd B R och en kontinuerlig funktion f : B R sådn tt f(b) inte är begränsd. 2

3.2 Likformig kontinuitet Antg tt f är definierd i en mängd A (t.ex. ett intervll). Definitionen v tt f är kontinuerlig återför det hel på de enskild punktern i intervllet: f är kontinuerlig i A om f är kontinuerlig i vrje punkt A. Det senre definiers i sin tur med hjälp v gränsvärden: f är kontinuerlig i om lim x f(x) = f(). Om mn nlyserr denn definition i sin tur hr mn tt f är kontinuerlig i om ε > δ > x A : x < δ f(x) f() < ε. I llmänhet kommer δ här tt bero inte br på ε utn även på. En formulering v kontinuitet i mängden A blir då A ε > δ > x A : x < δ f(x) f() < ε. En skärpning v kontinuitetsbegreppet på en mängd får vi, om vi postulerr tt det skll finns ett δ som duger för ll -värden smtidigt. Det skulle innebär tt kvntifiktionen v flytts till efter kvntifiktionen v δ: ε > δ > x A A : x < δ f(x) f() < ε. (3.) Vi säger tt f är likformigt kontinuerlig i mängden A om (3.) gäller. Observer tt begreppet likformig kontinuitet är knutet till en mängd redn i och med sin definition; tt tl om likformig kontinuitet i en enstk punkt är tämligen meningslöst. I definitionen (3.) förekommer och x helt symmetriskt. Mn kn mrker denn symmetri genom ett bokstvsbyte, vilket ger följnde formulering. Definition 3.9 Låt A R n och f : A R m. Vi säger tt funktionen f är likformigt kontinuerlig på A, om det till vrje positivt tl ε går tt finn ett positivt tl δ sådnt tt för ll punkter x och y i A med x y < δ gäller tt f(x) f(y) < ε; eller med logisk symboler: ε > δ > x A y A : x y < δ f(x) f(y) < ε. (3.2) Vi tr ett pr exempel. Exempel. Låt A = [, 2], f(x) = x 2. Här gäller tt f(x) f(y) = x 2 y 2 = x + y x y 4 x y. Om ε > är givet, kn vi sätt δ = 4ε, så blir (3.2) uppfylld. Det går lltså tt finn ett δ som inte beror på vr i intervllet mn håller till, vilket betyder tt f är likformigt kontinuerlig i [, 2]. Exempel. Nu tr vi A = [, [ och f(x) = x 2. Vi hr fortfrnde f(x) f(y) = x + y x y, men sedn blir det besvärligre. Hur litet vi än väljer tlet δ, går det tt finn två punkter x och y med x y < δ, så tt trots dett differensen f(x) f(y) blir (icke blott icke mindre än något visst ε utn rentv) godtyckligt stor! Låt nämligen ω vr ett godtyckligt (stort) positivt tl, och välj x = ω δ, y = ω δ + δ, så är 2 x y = δ 2 < δ men f(x) f(y) = ω + δ2 4 > ω. 2

Dett betyder tt f inte kn vr likformigt kontinuerlig i intervllet [, [, trots tt f är kontinuerlig i vrje punkt i [, [. I övning 3.4 nedn ges ett exempel på en funktion som är kontinuerlig i ett begränst intervll, men inte likformigt kontinuerlig där. Att direkt med definitionen undersök likformig kontinuitet är, som frmgår v exemplen, inte särskilt inbjudnde. Lyckligtvis hr mn följnde sts, som klrr v mång situtioner. Det resultt, som ges i övning 3.8 nedn, kn också vr nvändbrt. Sts 3. Antg tt K är en kompkt mängd i R n och f en kontinuerlig funktion K R m. Då är f likformigt kontinuerlig på K. Bevis. Vi skll gör ett motsägelsebevis. Vi ntr lltså tt f inte är likformigt kontinuerlig på K. Dett innebär tt vi skll neger formeln (3.2), vilket ger resulttet ε > δ > x K y K : x y < δ f(x) f(y) ε. I ord uttryckt: det finns ett positivt tl ε, låt oss kll det för, som är sådnt, tt hur litet δ mn än försöker med, så finns det ett punktpr x, y med inbördes vstånd < δ där funktionsvärden trots dett skiljer sig åt med minst. Vi kn t.ex. välj δ = /k, k =, 2, 3,..., och får då två punktföljder {x k }, {y k } sådn tt x k y k < k och f(x k ) f(y k ). Som i beviset för sts x.x finner vi nu en konvergent delföljd {x kj } med gränspunkt ξ. För motsvrnde delföljd v {y k } får vi vrv y kj ξ y kj x kj + x kj ξ k j + x kj ξ, lim y k j ξ + lim x kj ξ =, j j vilket innebär tt även y kj ξ. (Dett är f.ö. ett br exempel på hur nvändning v övre limes kn bespr oss en mss epsilonmixtrnde!) Motsägelsen är nu när: då f är kontinuerlig i ξ gäller både f(x kj ) f(ξ) och f(y kj ) f(ξ) då j, men smtidigt är f(x kj ) f(y kj ) >. Dett är orimligt, som följnde smmnställning visr: < f(x kj ) f(y kj ) f(ξ) f(ξ) =. Som en tillämpning v begreppet likformig kontinuitet skll vi vis följnde viktig sts, som brukr ges utn bevis vid de först nlysstudiern. Sts 3. Om f är kontinuerlig på det kompkt intervllet [, b], så är f integrerbr på [, b]. Bevis. Att f är integrerbr på [, b] innebär tt det till vrje tl ε > finns en indelning v intervllet som är sådn tt differensen melln översummn och för tt undvik ssocitioner som vidlåder bokstven ε. 22

undersummn för är mindre än eller lik med ε. Med lite beteckningr: låt en indelning beskrivs v indelningspunktern Sätt sedn för k =, 2,..., n : = x < x < x 2 < < x n = b. M k = sup{f(x) : x k x x k }, m k = inf{f(x) : x k x x k }, och bild översummn resp. undersummn: S( ) = n M k (x k x x ), s( ) = k= n m k (x k x k ). Låt ε > vr givet. Eftersom f är kontinuerlig på [, b] och [, b] är kompkt, så är f likformigt kontinuerlig på [, b] enligt sts I. Det finns lltså ett δ så tt för ll punktpr x, y med x y < δ gäller f(x) f(y) < ε. Välj nu en indelning b sådn tt = mx (x k x k ) < δ. k Då följer tt värden v f på vrje delintervll [x k, x k ] skiljer sig åt med högst ε b, så tt M k m k ε, k =, 2,..., n. b Men då får vi k= S( ) s( ) = n k= (M k m k )(x k x k ) ε (b ) = ε. = ε b (b ) n k= (x k x k ) Vi hr funnit en indelning där undersummorn skiljer sig med högst ε. Eftersom ε kn väljs godtyckligt litet följer stsen. Övningr 3.3 Vis tt om > är f(x) = x likformigt kontinuerlig på [, [. 3.4 Vis tt f(x) = x inte är likformigt kontinuerlig på ], ]. 3.5 ) Vis tt f är likformigt kontinuerlig på R, då f(x) = x. b) Motsvrnde uppgift för f : R n R, där f(x) = x. 3.6 Är funktionen cos xy likformigt kontinuerlig på mängden {(x, y) : x, y }? 3.7 Vis tt om f : R R är deriverbr med begränsd derivt, så är f likformigt kontinuerlig på R. 3.8 En funktion f är kontinuerlig på [, [ och lim tt f är likformigt kontinuerlig på [, [. x f(x) existerr ändligt. Bevis 23

Blndde övningr på kp. 3 3.9 Antg tt f : [, ] [, ] är kontinuerlig. Vis tt f hr en fixpunkt (dvs. tt det finns ett x [, ] sådnt tt f(x) = x). 3. ) Vis tt det inte finns en kontinuerlig surjektion [, ] ], [. b) Ge ett exempel på en kontinuerlig surjektion från en sluten mängd till en öppen mängd! 3. Är en begränsd kontinuerlig funktion på R säkert likformigt kontinuerlig? Ge bevis eller motexempel! 3.2 Funktionen f är likformigt kontinuerlig på det öppn intervllet ], b[. Är f begränsd i intervllet? Gäller tt lim x + f(x) existerr ändligt? 3.3 f är kontinuerlig på [, ] och f(x) <. Vis tt ekvtionen 2x x f(t) dt = hr exkt en rot i intervllet ], [. 3.4 Funktionen f är kontinuerlig i [, b] och f(x). Beräkn lim n ( b ) ( ) /n n f(x) dx. 3.5 f(x) = sin är kontinuerlig i intervllet ], [. Vis tt f ej är likformigt x kontinuerlig i smm intervll. 24

Kpitel 4 Omkstning v gränsprocesser 4. Derivering v integrler Vi skll i dett vsnitt studer funktioner, som på olik sätt är definierde med hjälp v (enkel-)integrler. Först betrktr vi fllet tt vribeln ingår i integrtionsgränsern. Exempel. Om F (x) = x f(t) dt, så gäller F (x) = f(x) i vrje punkt x, där f är kontinuerlig (integrlklkylens huvudsts). Exempel 2. Sätt F (x) = 4 x t cos t dt. Med omskrivningen F (x) = x 4 t cos t dt ser mn tt F är deriverbr enligt exempel och tt F (x) = x cos x. Exempel 3. Låt F (x) = (med u = x 2 ): x 2 F (x) = d ( u du e t dt. Här kn mn nvänd kedjeregeln och får + t e t ) + t dt du dx = Vi smlr oss nu till ett llmänt fll. Låt F (x) = ψ(x) ϕ(x) e u 2xe x2 2x = + u + x 2. f(y) dy, där f är kontinuerlig och ϕ och ψ deriverbr. Låt vr någon konstnt (melln ϕ(x) och ψ(x)). Då är och som i exempel 3 får mn F (x) = ψ(x) ϕ(x) F (x) = f(ψ(x)) ψ (x) f(ϕ(x)) ϕ (x). Härnäst studerr vi integrler v typen F (x) = d c, f(x, y) dy, (4.) där lltså x förekommer i integrnden, medn integrtionsgränsern (tills vidre) är konstnt (och ändlig). Här gäller följnde stser. 25

Sts 4. Om f är kontinuerlig i Q = [, b] [c, d], så är F : [, b] R kontinuerlig, där F definiers v (4.). Bevis. Q är en kompkt mängd, där f är kontinuerlig. Då är f likformigt kontinuerlig där; dvs. om ε > är givet, så kn mn säkert finn ett δ > sådnt tt så snrt två punkter p och q ligger inom vståndet δ från vrndr, så gäller f(p) f(q) < ε. Om nu h < δ får vi lltså F (x + h) F (x) = d( ) f(x + h, y) f(x, y) dy Eftersom ε är godtyckligt litet, följer påståendet. c d c f(x + h, y) f(x, y) dy d c ε dy = ε(d c). Sts 4.2 Om f är som i sts 4. och dessutom f x deriverbr i [, b] och är kontinuerlig i Q, så är F F (x) = d c f (x, y) dy = d c f (x, y) dy. x Bevis. På grund v sts 4. vet vi tt funktionen x g(x) = d c f (x, y) dy är kontinuerlig på [, b]. Den hr en primitiv funktion G definierd v G(x) = x g(t) dt = x d c f (t, y) dy dt. Enligt Fubinis sts kn vi kst om integrtionsordningen och får G(x) = d x c = F (x) F (). f (t, y) dt dy = d c [ ] t=x f(t, y) dy = t= d c f(x, y) dy d c f(, y) dy Derivering ger nu G (x) = F (x), men vi vet ju tt G (x) = g(x), vilket ger stsens påstående. Exempel 4. Om F (x) = F (x) = x dy x 2, x >, så är enligt sts 4.2 + y2 ( ) x 2 + y 2 dy = 2x dy (x 2 + y 2 ) 2. Å ndr sidn kn mn räkn ut tt F (x) = x rctn (sätt y = tx i integrlen), x och derivering ger F (x) = x 2 rctn x x( + x 2. Speciellt är t.ex ) F dy () = 2 ( + y 2 ) 2 = rctn 2, 26

vrv följer dy ( + y 2 ) 2 = π + 2. 8 Derivering under integrltecknet är fktiskt en förekommnde metod för beräkning v bestämd integrler, som exempel 4 visr. Exempel 5 som möjligt! Bestäm det reell tlet så tt ( ln(x + ) x ) 2 dx blir så liten Lösning. Mn kn sätt F () = ( ) 2 ln(x + ) x dx. Derivering är tillåten och ger F () = 2(x ln(x + ))x dx = = 2 3 2. F () = endst för = 3 4, som ger globlt minimum (studer tecknet hos F () för ll värden på ). Exempel 6 Sätt H(x) = Lösning. Sätt G(u, v) = och H (x) = u x G u = u e vu2, t e xt2 dt, x. Bestäm H (x). t e vt2 dt. Då är G v = u ( t) e vt2 dt d dx G( x, x) = G du u dx + G dv v dx = u e vu2 2 x = x 2x e x2 t e xt2 dt = [ 2x e x2 + 2x e xt2 = x e x2 2x e x. u ] t= x t= t e vt2 dt Allmänt gäller tt om f och f är kontinuerlig i [, b] [c, d] och ϕ, ψ : [, b] R är deriverbr, så är deriverbr på [, b] och F (x) = ψ(x) ϕ(x) x F (x) = ψ(x) ϕ(x) f(x, y) dy f (x, y) dy + f(x, ψ(x)) ψ (x) f(x, ϕ(x)) ϕ (x). (4.2) Övningr 4. Beräkn för x > uttrycket genom direkt beräkning. d e x+y dy, dels med formeln (4.2), dels dx ln x 4.2 J (x) = π π/2 π/2 cos(x sin θ) dθ. Vis tt J stisfierr differentilekvtionen J + x J + J =. 27

4.3 Sök en kontinuerlig funktion f som stisfierr integrlekvtionen f(x) = + x f(x y) e y dy. 4.4 Funktionern f och g är definierde genom ( x 2 f(x) = e dt) t2, g(x) = e x2 (t 2 +) t 2 + Vis tt ) f (x) + g (x) =, b) f(x) + g(x) = π. c) Beräkn med ledning 4 härv e t2 dt. 4.2 Likformig konvergens Låt A vr en mängd i R n (i prktiken är det oftst fråg om ett intervll på R eller en kurvbåge i R n ). För k =, 2, 3,... låter vi f k vr en (reell- eller vektorvärd) funktion, definierd i A. Dett ger oss en funktionsföljd {f k }. Vi rdr upp någr exempel, som skll belys utvecklingen i det följnde. Läsren uppmns enträget tt rit figurer till ll exemplen! () A = [, ], f k (x) = kx k + x. (b) A = [, ], f k (x) = kx e kx. (c) A = [, ], f k (x) = k 2 x e kx. (d) A = [, [, f k (x) = e xk. För vrje fixt värde på x A får mn en tlföljd {f k (x)} k=. Denn kn h ett gränsvärde, vrs existens och värde i llmänhet beror på x; dett definierr i så fll en funktion på en del v eller hel A, som vi kllr f: f(x) = lim k f k(x). I vår exempel inträffr följnde: () f k (x) = x + x x, dvs. f(x) = x existerr i hel A. k (b) f k (x) = x k (e x för ll x A. ) k (c) Precis som i (b) är f(x) = för ll x A. (d) Här finner mn tt f(x) = om x <, = e om x = och = om x >. Mn observerr i exempel (d) tt trots tt ll funktionern f k är kontinuerlig och trots tt gränsfunktionen f är definierd för ll x, så är den diskontinuerlig. Mn söker då efter någon sorts villkor, som försäkrr oss tt sådn obehgligheter inte kn inträff. Orsken till det hel kn vr denn: vid gränsövergången hr vi studert ett x-värde i tget, och det skulle kunn tänks tt f k (x) går mot f(x) olik fort för olik x. Den hittills betrktde typen v gränsövergång skulle kunn klls punktvis. Vi gör nu en mer krävnde konvergensdefinition, som innebär tt mn betrktr ll x A smtidigt. dt. 28

Definition 4.3 Antg tt f k (k =, 2,...) och f är definierde i en mängd A och tt sup f k (x) f(x) då k. x A Då säger vi tt f k f likformigt i A. Likformig konvergens är lltså knuten till en mängd i definitionsområdet för de ingående funktionern. Att tl om likformig konvergens i en punkt är meningslöst (eller i vrje fll ointressnt). Likformig konvergens innebär lltså, tt mn till ett godtyckligt ε > kn finn ett N, som får bero på ε, men inte på x, så tt för ll n > N och ll x A gäller tt f k (x) f(x) < ε. Av dett följer förstås tt om f k f likformigt på A, så gäller speciellt punktvis konvergens för vrje enskilt x A. Vi studerr vår exempel igen. () Här gäller f k (x) f(x) = sup f k (x) f(x) = sup x kx k + x x = x2 k + x x x 2 k + x då. Konvergensen är lltså likformig., så tt = sup x x 2 k + x 2 k + = k, (b) Här är f k (x) f(x) = kx e kx, vrs supremum på [, ] bestäms genom derivering: derivtn är k( kx)e kx, som är noll endst för x = /k, där derivtn hr teckenväxlingen + och funktionen lltså mximum: f k (/k) = k k e = e, vilket inte går mot noll då k. Konvergensen är lltså inte likformig. (c) Helt nlogt med (b) får mn här tt sup f k (x) f(x) = k e Konvergensen är inte heller här likformig. då k. 29

Exempel (d) är en ning besvärligt tt undersök direkt. Frågn om likformig konvergens i dett fll kommer tt vgörs på indirekt väg, sedn vi vist sts 4.4. Vi skll nu nämligen vis, tt den ny konvergenstypen löser det problem, som den uppställdes för tt lös. Sts 4.4 Antg f k kontinuerlig i en mängd A och f k f likformigt i A. Då är gränsfunktionen f kontinuerlig i A. Bevis. Fixer x A och låt ε > vr givet. Vi skll vis tt f är kontinuerlig i punkten x. Vi gör följnde observtioner: (i) Eftersom f k f likformigt, finns det ett N så tt för ll k > N och ll x A gäller f k (x) f(x) < 3 ε. Fixer ett sådnt k = k. (ii) Funktionen f k är kontinuerlig i punkten x, dvs. det finns ett tl δ > så tt för ll x som uppfyller x x < δ gäller f k (x) f k (x ) < 3 ε. För ll x som uppfyller x x < δ kommer då tt gäll f(x) f(x ) f(x) f k (x) + f k (x) f k (x ) + f k (x ) f(x ), där den mellerst termen är mindre än 3ε på grund v (ii) och de övrig är mindre ε på grund v (i). Totlt är lltså än 3 f(x) f(x ) < ε för ll x sådn tt x x < δ. Dett betyder precis tt f är kontinuerlig i x, och eftersom x kn vr en godtycklig punkt i A är stsen visd. Vårt exempel (b) ovn visr tt stsens villkor inte är nödvändig: gränsfunktionen kn vr kontinuerlig utn tt konvergensen är likformig. Beträffnde exempel (d) kn vi nu också säg tt konvergensen inte kn vr likformig på [, [, eftersom gränsfunktionen inte är kontinuerlig. En nnn fråg som kn besvrs med hjälp v likformig konvergens är följnde. Låt [, b] vr ett kompkt intervll, och ntg tt f k är kontinuerlig på [, b]; ntg också tt f(x) = lim k f k (x) för x b. Gäller då säkert tt b lim k f k (x) dx = Vi återvänder till ett pr v vår exempel. b f(x) dx? (4.3) 3

() Här är f k (x) dx = ( = k k 2 ln + ) k f(x) dx = (c) Här är (prtiell integrtion) kx (k k + x dx = k2 k + x ( = k k 2 k ) 2k 2 + O(k 3 ) x dx = 2, gäller (4.3). ) dx 2 då k. Eftersom f k (x) dx = k 2 x e kx dx = (k+)e k, då k, medn gränsfunktionen hr integrlen noll. Följnde sts gäller. Sts 4.5 Antg tt f k är kontinuerlig i ett kompkt intervll [, b] och tt f k f likformigt i [, b]. Då gäller tt b f k (x) dx b f(x) dx då k. Bevis. b b f k (x) dx b f k (x) f(x) dx b f(x) dx = (f k (x) f(x)) dx b sup f k (x) f(x) dx [,b] = sup f k (x) f(x) (b ) då k. [,b] Observer tt beviset kräver tt intervllet hr ändlig längd. Följnde exempel visr tt stsen inte är snn för oändligt integrtionsintervll. Exempel. Definier f k (x) på [, [ genom tt sätt f k (x) = x/k 2 för x k, = 2/k x/k 2 för k x 2k och = för x 2k (rit figur!) Grfen v f k ser ut som en tringel med bsen 2k och höjden /k, så tt den generliserde integrlen över [, [ är konvergent och hr värdet. Men då k, konvergerr f k mot, likformigt på [, [, och gränsfunktionens integrl är lltså. I följnde sts, som brukr klls stsen om dominerd konvergens, hr mn ett tilläggsvillkor, som får det tt funger: ll funktioner i följden skll håll sig under en fix funktion g, som hr konvergent integrl. Mn säger tt funktionsföljden är dominerd v funktionen g. Sts 4.6 Antg tt f k är kontinuerlig på ett intervll [, [, och tt f k f likformigt på [, X] för ll X >. Antg tt det finns en fix kontinuerlig funktion g på [, [ sådn tt Då gäller f k (x) g(x) för ll k, ll x, och f k (x) dx g(x) dx konvergent. (4.4) f(x) dx då k. 3