Matematik. Definition 1 Mängdbeteckningar Tomma mängden Ω Hela utfallsrummet Unionen Snittet C Komplementet A Antalet element i A

Transkript

1 Formelsamlig Formler och tabeller iom Matematik och statistik för IT-foresik Kursasvarig: Eric Järpe Högskola i Halmsta Matematik Defiitio 1 Mägbeteckigar Tomma mäge Ω Hela utfallsrummet Uioe Sittet C Komplemetet A Atalet elemet i A Sats 1 Aitiossatse För alla mäger A och B gäller att A B = A + B A B. Sats 2 De Morgas lagar För alla mäger A och B gäller att (A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. Sats 3 Expoetlagara a b+c = a b a c, a bc = (a b ) c = (a c ) b, a 0 = 1, a 1 = a, a 1 = 1 a och a 1/2 = a. Sats 4 Logaritmlagara För alla a > 0, b > 0, c > 0 och R gäller log a (bc) = log a b+log a c, log a (b c ) = clog a b, log a a = 1, log a 1 = 0, log a b c = log ab log a c. Sats 5 Kvarerigsreglera (a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2, (a b) 2 = a 2 2ab+b 2 och (a+b)(a b) = a 2 b 2. Sats 6 Aragrasekvatioer Om x 2 +px+q = 0 så är x = p 2 ± p 2 4 q. Sats 7 Faktorsatse Varje polyom p(x) = a 0 +a 1 x+a 2 x a 1 x 1 +x av gra har ollställe x 1,x 2,...,x och ka faktoriseras mha essa eligt p(x) = (x x 1 )(x x 2 ) (x x ). Sats 8 Sambaet mella koefficieter och ratioella rötter Om ekvatioe a 0 +a 1 x+a 2 x a x = 0 har e ratioell rot x = p/q så måste a 0 vara mulitpel av p och a vara mulitipel av q.

2 Algoritm 1 Divisiosalgoritme För alla heltal a och b 0 fis et heltal k och r såaa att 0 r b 1 och a b = k + r b är talet k kallas kvot och talet r kallas (pricipal) rest. Defiitio 2 Ett primtal är ett heltal som ite är jämt elbart me ågot aat heltal ara ä 1 och sig självt. Algoritm 2 Eratosthees såll Atag att ma vill geerera alla primtal. 1. Gör e lista över alla heltal from 2 tom. 2. Riga i et första icke struka eller irigae talet. 3. Stryk alla multipler av et seast irigae talet frå reste av lista. 4. Om ite alla tal är irigae eller struka, gå tillbaks till steg Då alla tal som är behalats är e icke struka tale primtale. Defiitio 3 De största gemesamma elare, gc(a,b), för två heltal, a och b, är proukte av alla primtalsfaktorer som är gemesamma i a och b. Defiitio 4 Heltale a och b kallas relativt prima om gc(a,b) = 1. Algoritm 3 Euklies algoritm För att bestämma gc(a,b), är a > b, bestäm r 1,r 2,r 3,... så att { a = c1 b+r 1 är 0 r 1 b 1 b = c 2 r 1 +r 2 är 0 r 2 r 1 1 och fortsättigsvis r 1 = c 3 r 2 +r 3 är 0 r 3 r 2 1 r 2 = c 4 r 3 +r 4 är 0 r 4 r r 2 = c r 1 +r är 0 r r 1 1 r 1 = c r +0 (är alltså r +1 = 0) De första reste r i som är = 0 (vs r +1 i förklarige ova) kallas e första försviae reste, e seaste reste ia e (r i förklarige ova) kallas e sista ickeförsviae reste. Och et är e sista icke-försviae reste som är gc(a, b).

3 Defiitio 5 Låt a och b vara heltal. Det mista tal, c, såat att a = bc eller b = ac kallas mista gemesamma multipel för a och b och beteckas lcm(a, b). Sats 9 lcm(a,b) = ab gc(a, b) för alla heltal a och b. Algoritm 4 Lösig av iofatisk ekvatio För att lösa e iofatiska ekvatioe ax+by = c 1. beräka = gc(a,b) mha Euklies algoritm. 2. Om ite c är e multipel av så sakar ekvatioe heltalslösigar. 3. Om c är e multipel av, låt k = c. 4. Lös hjälpekvatioe ax+by = mha Euklies algoritm bakläges (x 0,y 0 ). 5. Allmä lösig till e fullstäiga ax+by = c är å {(kx 0 +b,ky 0 a), Z}. Sats 10 Resträkig Om a r och b s (mo c), så är a+b r +s (mo c). Om a r och b s (mo c), så är ab rs (mo c). Om a r (mo c), så är a b r b (mo c). Defiitio 6 De iskreta (multiplikativa) iverse till x mo är ett tal b som satisfierar ab 1 (mo ). Defiitio 7 De iskreta a-logaritme till x mo är ett tal b som satisfierar a x b (mo ). Algoritm 5 Fermats faktoriserigsmeto Atag att ma vill faktorisera et ua talet N, vs ma vill hitta heltal, p och q, såaa att N = pq. Då ka ma göra eligt följae proceur. Om talet ma vill faktorisera är ett jämt tal, bryt ut faktor 2 och fortstt tills ett ua tal, N, erhålls. 1. Låt (iitialt) x = 1+[ N] 2. Beräka x 2 N. 3. Om x 2 N är e jäm kvarat (vs om x 2 N är ett heltal), låt p = x+ x 2 N och q = x x 2 N och gå till Om x x 2 N < 2, låt p = N och q = 1 och gå till Aera 1 till x och gå till Klart! Om faktoriserige blir p = N och q = 1 (såsom et ka i steg 4. ova) så är talet N ett primtal.

4 Defiitio 8 Eulers φ-fuktio, φ(), är atalet positiva heltal < som är relativt prima me. Sats 11 Eulers sats Om a och är relativt prima så är a φ() 1 (mo ). Sats 12 Eulers prouktregel m φ() = p k i 1 i (p i 1) är = p k 1 1 p k 2 2 p km m är primtalsfaktoriserige av. i=1 Sats 13 Summerigsregler ab k = a b k a = ( m+1)a k=m (a k +b k ) = a k = k=m a k + a k m 1 a k b k Sats 14 Speciella regler k = (+1) 2 k=0 a k = a+1 1 a 1 om a 1 (a k a k 1 ) = a a 0 Defiitio 9 E fuktio kallas iverse till fuktioe f och beteckas f 1 om f 1 (f(x)) = x för alla x som f är efiiera för. Sats 15 Deriverigsregler Om f och g är fuktioer av variabel x och a e kostat så gäller f 1. (f +g) = + g x x x 2. (af) = af x x 3. (a) = 0 x 4. x (x ) = x 1 om 0 g f 5. (f g) = f +g x x x 6. x (ef ) = f x ef 7. (lx) = 1 x x g f 8. Kejeregel: (f(g(x))) = (x) (g(x)) x x x Sats 16 Om f är e eriverbar fuktio så gäller att f (x) < 0 om och east om f är avtagae geom x, x (x) > 0 om och east om f är växae geom x. f x

5 Sats 17 Biomialkoefficieter Atalet sätt att välja k elemet bla möjliga (uta återläggig och uta häsy till orige) är ( ) k =! k!( k)! Sats 18 Biomialsatse För alla reella tal a och b och positiva heltal är (a+b) = k=0 är! = ( ) a k b k k j j=1 Matematisk statistik Defiitio 10 Saolikhet Saolikhete för e häelse A är ett tal, beteckat P(A), som uppfyller villkore: 1. 0 P(A) 1 2. P(Ω) = 1 3. Om A,B isjukta, så är P(A B) = P(A)+P(B) Sats 19 Komplemetsatse P(A C ) = 1 P(A) Sats 20 Aitiossatse P(A B) = P(A)+P(B) P(A B). Defitio 12 Betiga saolikhet De betigae saolikhete av A givet B är P(A B) = P(A B) är P(B) > 0. P(B) Defiitio 13 E slumpvariabel, X, är e (valigtvis umerisk) geeraliserig av ett experimet. Mha slumpvariabel ka olika häelser formuleras som att X har vissa väre. E slumpvariabels utfallsrum, Ω X, är mäge av e väre som slumpvariabel ka ata. Defiitio 14 A och B är oberoee häelser om P(A B) = P(A)P(B). Två slumpvariabler, X och Y me utfallsrum Ω X resp. Ω Y, är oberoee om P(X M X,Y M Y ) = P(X M X )P(Y M Y ) för alla M X Ω X och M Y Ω Y. Sats 21 Biomialförelig Om X = Y 1 +Y Y är P(Y k = 1) = p och P(Y k = 0) = 1 p för alla k = 1,2,... och variablera Y 1,Y 2,...,Y är oberoee av varara, så är X Bi(,p) (vs X är biomialförela me och p) vilket iebär att ess saolikhetsfuktio är P(X = k) = ( k) p k (1 p) k är k {0,1,...,} = Ω X, E(X) = p och V(X) = p(1 p).

6 Sats 22 Poissoförelig Om X är Poissoförela me itesitet λ beteckas etta X Poi(λ) och iebär att P(X = x) = λx x! e λ är x {0,1,2,...} = Ω X, E(X) = λ och V(X) = λ. Dessutom gäller att X Poi(λ X ) Y Poi(λ Y ) X +Y Poi(λ X +λ Y ). Sats 23 Normalförelig Dea beteckas N(µ,σ 2 ) är µ är väteväre och σ 2 är varias. Om X N(0,1) kallas X staar ormalförela, och ess föreligsfuktio är Φ(x) = P(X x) för alla x R = Ω X. Om X N(µ,σ 2 ) så är P(X x) = Φ ( ) x µ för alla x R = ΩX. Symmetri: Φ( x) = 1 Φ(x) för alla x R. Saolikheter: P(a X b) = Φ ( b µ σ ) Φ ( a µ σ ) för all a < b R. Defiitio 15 Väteväret av e slumpvariabel X beteckas E(X) och är tygpukte i saolikhetsfuktioe respektive täthetsfuktioe för x. Lijaritet: E(aX + by) = ae(x) + be(y). Variase av e slumpvariablel X beteckas V(X) och efiieras V(X) = E((X E(X)) 2 ). Räkeregel: V(X) = E(X 2 ) E(X) 2. För iskreta variabler X är E(g(X)) = x Ω X g(x)p(x = x). Sats 24 Cetrala Gräsväressatse (CGS) Om X 1,X 2,...,X är oberoee och lika förelae me E(X i ) = µ och V(X i ) = σ 2 så är approximativt X = 1 i=1 X i N(µ, σ2) och i=1 X i N(µ,σ 2 ) å är stort. Defiitio 16 Beskrivae statistik Proportio: p = P(X A) = #{i : x i A} Meelväre: x = ˆµ = 1 x i ( i=1 ) Stickprovsvarias: s 2 = ˆσ 2 = 1 x 2 i x 2 1 i=1 i=1 Stickprovskorrelatio: R = ˆρ = x iy i ( i=1 x i)( i=1 y i) ( )( i=1 x2 i ( i=1 x i) 2 ) i=1 y2 i ( i=1 y i) 2 Defiitio 17 Kofiesitervall Atag X 1,X 2,...,X är stickprov på X och E(X) = µ X, att Y 1,Y 2,...,Y m är stickprov på Y och E(Y) = µ Y och att V(X) = V(Y) = σ 2. Då gäller att ett 100(1 α)% kofiesitervall för { x ± λα/2 σ om σ 2 är kä µ X är x ± t α/2 ( 1) s om σ 2 är okä x ȳ ± t α/2,(+m 2) s P µ X µ Y är är s 2 P = ( 1)s2 X +(m 1)s2 Y ( ) om mi(,m) 30 +m 2 m och s 2 P = s2 X + s2 Y m om mi(,m) > 30 σ

7 Defiitio 18 Hypotestest Atag x 1,...,x är ett stickprov på X förela me parameter θ respektive x 1,...,x 1 och y 1,...,y 2 på X och Y förelae me parameter θ. För att testa { H0 : θ = θ 0 (ollhypotese) H 1 : θ Θ (alterativhypotese) aväs teststatistika U = U(X 1,...,X ) och beslutsregel A α som svarar mot Θ eligt förelige av F U uer H 0 vi sigifikasivå α. Testregel är { Förkasta H0 om A α Förkasta ite H 0 om ite A α θ H 0 H 1 u A α π < π 0 (p π0 ) u < λ α π π = π 0 π > π 0 π0 (1 π 0 ) u > λ α π π 0 å π 0 (1 π 0 ) > 5 u > λ α/2 π 1 < π 2 p 1 p 2 u < λ α π 1,π 2 π 1 = π 2 π 1 > π 2 p(1 p)( ) u > λ α π 1 π 2 å 1 π 1 (1 π 1 ) > 5 och 2 π 2 (1 π 2 ) u > λ α/2 µ µ < µ 0 x µ0 u < λ α (σ 2 kä) µ = µ σ/ 0 µ > µ 0 u > λ α µ µ 0 u > λ α/2 µ µ < µ 0 x µ0 u < t α ( 1) (σ 2 okä) µ = µ s/ 0 µ > µ 0 u > t α ( 1) µ µ 0 u > t α/2 ( 1) µ 1 < µ 2 x 1 x 2 u < t α,( ) µ 1,µ 2 µ 1 = µ 2 µ 1 > µ 2 ( 1 1)s 2 1 +( 2 1)s ( ) u > t α,( ) µ 1 µ 2 å σ 1 = σ 2 me okäa, och mi( 1, 2 ) 30 u > t α/2,( ) µ 1 < µ 2 x 1 x 2 u < t α,( ) µ 1,µ 2 µ 1 = µ 2 µ 1 > µ 2 s s2 2 2 u > t α,( ) µ 1 µ 2 å σ 1 = σ 2 me okäa, och mi( 1, 2 ) > 30 u > t α/2,( ) ( 11 c 2 12 c 1 ) A,B A B A B u > λ α/2 c1 c 2 r 1 r 2 F X F X = F 0 F X F K (o k e k ) 2 0 e k u > χ 2 α(k 1) är e k = NP(X I k ) Ekel lijär I e lijär moell, Y = β 0 +β 1 X +ǫ, som beskriver hur respose Y beror regressio av kovariate X me resiuale ǫ, basera på et parae stickprovet (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ),...,(x,y ) skattas iterceptet β 0 och regressioskoefficiete β 1 eligt ˆβ 1 = i=1 x iy i ( i=1 x i)( i=1 y i) i=1 x2 i ( i=1 x och i) 2 ˆβ0 = ȳ ˆβ 1 x me förklarigsgrae (etermiatioskoefficiete) ( R 2 i=1 x iy i ( i=1 x i)( ) 2 i=1 y i) = ( )( i=1 x2 i ( i=1 x i) 2 ) i=1 y2 i ( i=1 y i) 2

8 Normalföreligsväre Tabell över väre på Φ(x) = P(X x) är X N(0,1). För x < 0 utyttja relatioe Φ(x) = 1 Φ( x). Φ(x) 0 x x x Normal-percetiler: α λ α α λ α Några väre på λ α såaa att P(X > λ α ) = α är X N(0,1)

9 t-percetiler Tabell över väre på t α (f). 0 t α (f) α f α χ 2 -percetiler Tabell över väre på χ 2 α(f). 0 χ 2 α(f) α f α