Tentamen i Tillämpad Matematik och statistik för IT-forensik. Del 2: Statistik 7.5 hp

Transkript

1 Tetame i Tillämpa Matematik och statistik för IT-foresik. Del 2: Statistik 7.5 hp 18 april, 2017 Maxpoäg: 30p. Betygsgräser: 12p: betyg 3, 18p: betyg 4, 24p: betyg 5. Hjälpmeel: Miiräkare samt formelsamlig som meföljer tetamestexte. Kursasvarig: Eric Järpe, telefo , Till uppgiftera skall fullstäiga lösigar lämas. Lösigara ska vara utförligt reovisae! Varje lösig ska börja överst på ytt papper. East e lösig per bla. Lösigar kommer fias på iteret: Matematik och statistik för IT-foresik. 1. [2:1] Atalet itråg mot itraätet vi ett företag är per vecka uer ett år förelae eligt Atal itråg eller fler Atal veckor Beräka treje kvartile för variable atal itråg per vecka vi företaget. (4p) 2. Atag att X N(1, 3)(vs σ 2 = 3) och beräka (a) [2:2] P (X > 2.17). (b) [2:2] P (X 2 X + 1). (2p) (3p) 3. [2:1] Atalet virusattacker på atorera i ett atorätverk per år och per ator är Poissoförelat me λ = 7, oberoee frå ator till ator. Va är saolikhete att e ator blir utsatt för högst 4 attacker uer ett år? (2p) 4. [2:2] Nellie köper e 1 jui ett 27 cm högt steariljus och ställer et på sitt matbor. Vi varje miag ska ho täa et och förbruka e el som i cm räkat har väteväre 0.8 och staaravvikelse 0.3. Va är approximativt saolikhete att ljuset räcker jui måa ut? (3p) 5. [2:2] Aele fragmeterig av skrivyta på e hårisk ka beskrivas av e X 1 + e X är X N( 4, 2). Om aele är större ä 10% ka ma ite aväa ett visst carvigprogram. Va är saolikhete att ma ka aväa carvigprogrammet? (3p) 6. [2:1] Vi e vitteskofrotatio har ma ställt upp 3 misstäkta bla 7 oskyliga. Va är saolikhete att ett vitte pekar ut mist 2 av e misstäkta av re slump? (3p)

2 7. Valemar är på Liseberg me sia kompisar. Kompisara vier på choklahjulet är e spelar på förmiage, me är Valemar spelar på eftermiage på eftermiage har ha ite samma tur. (a) [2:3] Choklahjulet har umre 1, 2,..., 20 och uer 30 spelomgågar observerar Valemar hur utfalle förelar sig eligt Nr Frekves Tyer essa siffror på att et är ågot fusk me choklahjulet? Avgör fråga me ett hypotestest på 5% sigifikasivå. (3p) (b) [2:3] Tie et tar för e spelomgåg varierar me Valemar tycker e är alleles för låg. Om ma atar att variase för tie för e omgåg är σ 2 = 50 å tie räkas i miuter, hur måga observatioer måste Valemar ha för att ett 99% kofiesitervall för e förvätae tie för e spelomgåg ska bli högst 5 miuter brett? (3p) (c) [2:3] För e 30 spelomgågara har Valemar beräkat 30 x i = 277 och 30 x 2 i = är x i är tie i miuter räkat av spelomgåg r i. Hjälp Valemar me ett test på 5% sigifikasivå av om e förvätae tie per spelomgåg är större ä 8 miuter. Va blir p-väret? (4p) LYCKA TILL!

3 Formelsamlig Formler och tabeller iom Matematik och statistik för IT-foresik Kursasvarig: Eric Järpe Högskola i Halmsta Matematik Defiitio 1 Mägbeteckigar Tomma mäge Ω Hela utfallsrummet Uioe Sittet C Komplemetet A Atalet elemet i A Sats 1 Aitiossatse För alla mäger A och B gäller att A B = A + B A B. Sats 2 De Morgas lagar För alla mäger A och B gäller att (A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. Sats 3 Expoetlagara a b+c = a b a c, a bc = (a b ) c = (a c ) b, a 0 = 1, a 1 = a, a 1 = 1 och a 1/2 = a. a Sats 4 Logaritmlagara För alla a > 0, b > 0, c > 0 och R gäller log a (bc) = log a b+log a c, log a (b c ) = c log a b, log a a = 1, log a 1 = 0, log a b c = log a b log a c. Sats 5 Kvarerigsreglera (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 och (a + b)(a b) = a 2 b 2. Sats 6 Aragrasekvatioer Om x 2 + px + q = 0 så är x = p ± p 2 q. 2 4 Sats 7 Faktorsatse Varje polyom p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a 1 x 1 + x av gra har ollställe x 1, x 2,..., x och ka faktoriseras mha essa eligt p(x) = (x x 1 )(x x 2 ) (x x ). Sats 8 Sambaet mella koefficieter och ratioella rötter Om ekvatioe a 0 + a 1 x + a 2 x a x = 0 har e ratioell rot x = p/q så måste a 0 vara mulitpel av p och a vara mulitipel av q.

4 Algoritm 1 Divisiosalgoritme För alla heltal a och b 0 fis et heltal k och r såaa att 0 r b 1 och a b = k + r b är talet k kallas kvot och talet r kallas (pricipal) rest. Defiitio 2 Ett primtal är ett heltal som ite är jämt elbart me ågot aat heltal ara ä 1 och sig självt. Algoritm 2 Eratosthees såll Atag att ma vill geerera alla primtal. 1. Gör e lista över alla heltal from 2 tom. 2. Riga i et första icke struka eller irigae talet. 3. Stryk alla multipler av et seast irigae talet frå reste av lista. 4. Om ite alla tal är irigae eller struka, gå tillbaks till steg Då alla tal som är behalats är e icke struka tale primtale. Defiitio 3 De största gemesamma elare, gc(a, b), för två heltal, a och b, är proukte av alla primtalsfaktorer som är gemesamma i a och b. Defiitio 4 Heltale a och b kallas relativt prima om gc(a, b) = 1. Algoritm 3 Euklies algoritm För att bestämma gc(a, b), är a > b, bestäm r 1, r 2, r 3,... så att { a = c1 b + r 1 är 0 r 1 b 1 b = c 2 r 1 + r 2 är 0 r 2 r 1 1 och fortsättigsvis r 1 = c 3 r 2 + r 3 är 0 r 3 r 2 1 r 2 = c 4 r 3 + r 4 är 0 r 4 r r 2 = c r 1 + r är 0 r r 1 1 r 1 = c r + 0 (är alltså r +1 = 0) De första reste r i som är = 0 (vs r +1 i förklarige ova) kallas e första försviae reste, e seaste reste ia e (r i förklarige ova) kallas e sista icke-försviae reste. Och et är e sista icke-försviae reste som är gc(a, b).

5 Defiitio 5 Låt a och b vara heltal. Det mista tal, c, såat att a = bc eller b = ac kallas mista gemesamma multipel för a och b och beteckas lcm(a, b). Sats 9 lcm(a, b) = ab gc(a, b) för alla heltal a och b. Algoritm 4 Lösig av iofatisk ekvatio För att lösa e iofatiska ekvatioe ax + by = c 1. beräka = gc(a, b) mha Euklies algoritm. 2. Om ite c är e multipel av så sakar ekvatioe heltalslösigar. 3. Om c är e multipel av, låt k = c. 4. Lös hjälpekvatioe ax + by = mha Euklies algoritm bakläges (x 0, y 0 ). 5. Allmä lösig till e fullstäiga ax + by = c är å {(kx 0 + b, ky 0 a), Z}. Sats 10 Resträkig Om a r och b s (mo c), så är a + b r + s (mo c). Om a r och b s (mo c), så är ab rs (mo c). Om a r (mo c), så är a b r b (mo c). Defiitio 6 De iskreta (multiplikativa) iverse till x mo är ett tal b som satisfierar ab 1 (mo ). Defiitio 7 De iskreta a x b (mo ). a-logaritme till x mo är ett tal b som satisfierar Algoritm 5 Fermats faktoriserigsmeto Atag att ma vill faktorisera et ua talet N, vs ma vill hitta heltal, p och q, såaa att N = pq. Då ka ma göra eligt följae proceur. Om talet ma vill faktorisera är ett jämt tal, bryt ut faktor 2 och fortstt tills ett ua tal, N, erhålls. 1. Låt (iitialt) x = 1 + [ N] 2. Beräka x 2 N. 3. Om x 2 N är e jäm kvarat (vs om x 2 N är ett heltal), låt p = x + x 2 N och q = x x 2 N och gå till Om x x 2 N < 2, låt p = N och q = 1 och gå till Aera 1 till x och gå till Klart! Om faktoriserige blir p = N och q = 1 (såsom et ka i steg 4. ova) så är talet N ett primtal.

6 Defiitio 8 Eulers φ-fuktio, φ(), är atalet positiva heltal < som är relativt prima me. Sats 11 Eulers sats Om a och är relativt prima så är a φ() 1 (mo ). Sats 12 Eulers prouktregel m φ() = p k i 1 i (p i 1) är = p k 1 1 p k 2 2 p km m är primtalsfaktoriserige av. i=1 Sats 13 Summerigsregler a b k = a b k a = ( m+1)a k=m (a k + b k ) = a k = k=m a k + a k m 1 a k b k Sats 14 k = Speciella regler ( + 1) 2 k=0 a k = a+1 1 a 1 om a 1 (a k a k 1 ) = a a 0 Defiitio 9 E fuktio kallas iverse till fuktioe f och beteckas f 1 om f 1 (f(x)) = x för alla x som f är efiiera för. Sats 15 Deriverigsregler Om f och g är fuktioer av variabel x och a e kostat så gäller f 1. (f + g) = + g x x x f 2. (af) = a x x 3. (a) = 0 x 4. x (x ) = x 1 om 0 g 5. (f g) = f + g f x x x 6. x (ef ) = f x ef 7. (l x) = 1 x x g f 8. Kejeregel: (f(g(x))) = (x) (g(x)) x x x Sats 16 Om f är e eriverbar fuktio så gäller att f (x) < 0 om och east om f är avtagae geom x, x (x) > 0 om och east om f är växae geom x. f x

7 Sats 17 Biomialkoefficieter Atalet sätt att välja k elemet bla möjliga (uta återläggig och uta häsy till orige) är ( ) k =! k!( k)! Sats 18 Biomialsatse För alla reella tal a och b och positiva heltal är (a + b) = k=0 är! = ( ) a k b k k j j=1 Matematisk statistik Defiitio 10 Saolikhet Saolikhete för e häelse A är ett tal, beteckat P (A), som uppfyller villkore: 1. 0 P (A) 1 2. P (Ω) = 1 3. Om A, B isjukta, så är P (A B) = P (A) + P (B) Sats 19 Komplemetsatse P (A C ) = 1 P (A) Sats 20 Aitiossatse P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). Defitio 12 Betiga saolikhet De betigae saolikhete av A givet B P (A B) är P (A B) = är P (B) > 0. P (B) Defiitio 13 E slumpvariabel, X, är e (valigtvis umerisk) geeraliserig av ett experimet. Mha slumpvariabel ka olika häelser formuleras som att X har vissa väre. E slumpvariabels utfallsrum, Ω X, är mäge av e väre som slumpvariabel ka ata. Defiitio 14 A och B är oberoee häelser om P (A B) = P (A)P (B). Två slumpvariabler, X och Y me utfallsrum Ω X resp. Ω Y, är oberoee om P (X M X, Y M Y ) = P (X M X )P (Y M Y ) för alla M X Ω X och M Y Ω Y. Sats 21 Biomialförelig Om X = Y 1 + Y Y är P (Y k = 1) = p och P (Y k = 0) = 1 p för alla k = 1, 2,... och variablera Y 1, Y 2,..., Y är oberoee av varara, så är X Bi(, p) (vs X är biomialförela ( me och p) vilket iebär att ess saolikhetsfuktio är P (X = k) = ) k p k (1 p) k är k {0, 1,..., } = Ω X, E(X) = p och V (X) = p(1 p).

8 Sats 22 Poissoförelig Om X är Poissoförela me itesitet λ beteckas etta X P oi(λ) och iebär att P (X = x) = λx x! e λ är x {0, 1, 2,...} = Ω X, E(X) = λ och V (X) = λ. Dessutom gäller att X P oi(λ X ) Y P oi(λ Y ) X + Y P oi(λ X + λ Y ). Sats 23 Normalförelig Dea beteckas N(µ, σ 2 ) är µ är väteväre och σ 2 är varias. Om X N(0, 1) kallas X staar ormalförela, och ess föreligsfuktio är Φ(x) = P (X x) för alla x R = Ω X. Om X N(µ, σ 2 ) så är P (X x) = Φ ( ) x µ σ för alla x R = ΩX. Symmetri: Φ( x) = 1 Φ(x) för alla x R. Saolikheter: P (a X b) = Φ ( ) ( b µ σ Φ a µ ) σ för all a < b R. Defiitio 15 Väteväret av e slumpvariabel X beteckas E(X) och är tygpukte i saolikhetsfuktioe respektive täthetsfuktioe för x. Lijaritet: E(aX + by ) = ae(x) + be(y ). Variase av e slumpvariablel X beteckas V (X) och efiieras V (X) = E((X E(X)) 2 ). Räkeregel: V (X) = E(X 2 ) E(X) 2. För iskreta variabler X är E(g(X)) = x Ω X g(x)p (X = x). Sats 24 Cetrala Gräsväressatse (CGS) Om X 1, X 2,..., X är oberoee och lika förelae me E(X i ) = µ och V (X i ) = σ 2 så är approximativt X = 1 i=1 X i N(µ, σ2 ) och i=1 X i N(µ, σ 2 ) å är stort. Defiitio 16 Beskrivae statistik Proportio: p = P (X A) = #{i : x i A} Meelväre: x = ˆµ = 1 x i ( i=1 ) Stickprovsvarias: s 2 = ˆσ 2 = 1 x 2 i x 2 1 i=1 i=1 Stickprovskorrelatio: R = ˆρ = x iy i ( i=1 x i)( i=1 y i) ( )( i=1 x2 i ( i=1 x i) 2 ) i=1 y2 i ( i=1 y i) 2 Defiitio 17 Kofiesitervall Atag X 1, X 2,..., X är stickprov på X och E(X) = µ X, att Y 1, Y 2,..., Y m är stickprov på Y och E(Y ) = µ Y och att V (X) = V (Y ) = σ 2. Då gäller att ett 100(1 α)% kofiesitervall för { x ± λα/2 σ om σ 2 är kä µ X är x ± t α/2 ( 1) s om σ 2 är okä x ȳ ± t α/2, (+m 2) s P µ X µ Y är är s 2 P = ( 1)s2 X +(m 1)s2 Y ( ) om mi(, m) 30 +m 2 m och s 2 P = s2 X + s2 Y m om mi(, m) > 30

9 Defiitio 18 Hypotestest Atag x 1,..., x är ett stickprov på X förela me parameter θ respektive x 1,..., x 1 och y 1,..., y 2 på X och Y förelae me parameter θ. För att testa { H0 : θ = θ 0 (ollhypotese) H 1 : θ Θ (alterativhypotese) aväs teststatistika U = U(X 1,..., X ) och beslutsregel A α som svarar mot Θ eligt förelige av F U uer H 0 vi sigifikasivå α. Testregel är { Förkasta H0 om A α Förkasta ite H 0 om ite A α θ H 0 H 1 u A α π < π 0 (p π0 ) u < λ α π π = π 0 π > π 0 π0 (1 π 0 ) u > λ α π π 0 å π 0 (1 π 0 ) > 5 u > λ α/2 π 1 < π 2 p 1 p 2 u < λ α π 1, π 2 π 1 = π 2 π 1 > π 2 p(1 p)( ) u > λ α π 1 π 2 å 1 π 1 (1 π 1 ) > 5 och 2 π 2 (1 π 2 ) u > λ α/2 µ µ < µ 0 x µ0 u < λ α (σ 2 kä) µ = µ σ/ 0 µ > µ 0 u > λ α µ µ 0 u > λ α/2 µ µ < µ 0 x µ0 u < t α ( 1) (σ 2 okä) µ = µ s/ 0 µ > µ 0 u > t α ( 1) µ µ 0 u > t α/2 ( 1) µ 1 < µ 2 x 1 x 2 u < t α, ( ) µ 1, µ 2 µ 1 = µ 2 µ 1 > µ 2 ( 1 1)s 2 1 +( 2 1)s ( ) u > t α, ( ) µ 1 µ 2 å σ 1 = σ 2 me okäa, och mi( 1, 2 ) 30 u > t α/2, ( ) µ 1 < µ 2 x 1 x 2 u < t α, ( ) µ 1, µ 2 µ 1 = µ 2 µ 1 > µ 2 s s2 2 2 u > t α, ( ) µ 1 µ 2 å σ 1 = σ 2 me okäa, och mi( 1, 2 ) > 30 u > t α/2,( ) ( 11 c 2 12 c 1 ) A, B A B A B u > λ α/2 c1 c 2 r 1 r 2 F X F X = F 0 F X F K (o k e k ) 2 0 e k u > χ 2 α(k 1) är e k = NP (X I k ) Ekel lijär I e lijär moell, Y = β 0 + β 1 X + ɛ, som beskriver hur respose Y beror regressio av kovariate X me resiuale ɛ, basera på et parae stickprovet (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x, y ) skattas iterceptet β 0 och regressioskoefficiete β 1 eligt ˆβ 1 = i=1 x iy i ( i=1 x i)( i=1 y i) i=1 x2 i ( i=1 x och i) 2 ˆβ0 = ȳ ˆβ 1 x me förklarigsgrae (etermiatioskoefficiete) ( R 2 i=1 x iy i ( i=1 x i)( ) 2 i=1 y i) = ( )( i=1 x2 i ( i=1 x i) 2 ) i=1 y2 i ( i=1 y i) 2

10 Normalföreligsväre Tabell över väre på Φ(x) = P (X x) är X N(0, 1). För x < 0 utyttja relatioe Φ(x) = 1 Φ( x). Φ(x) 0 x x x Normal-percetiler: α λ α α λ α Några väre på λ α såaa att P (X > λ α ) = α är X N(0, 1)

11 t-percetiler Tabell över väre på t α (f). 0 t α (f) α f α χ 2 -percetiler Tabell över väre på χ 2 α(f). 0 χ 2 α(f) α f α