varumarknaden varumarknaden Kan politikerna styra växelkursen? Mundell-Fleming modellen. Gränser för f r ekonomisk politik är r 0.
|
|
- Oliver Lund
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Förläsnng 11 Växlkursr, ränor r och BN Vad bsämmr växlkursn? v Kan polkrna syra växlkursn? v undll-flmng modlln. Gränsr för f r konomsk polk. F11: sd Jämvk påp varumarknadn Jämvk påp varumarknadn krävr som v dgar s a nhmsk produkon,y,, ska vara lka md frfrågan påp nhmska varor C+I+G-I/ I/ε+X, d.v.s. Y = C( Y T ) + I( Y, r) + G I ( Y, ε ) / ε + X ( Y, ε ) Y = C( Y T ) + I( Y, r) + G + NX ( Y, Y, ε ) (+) ( +, ) (, +, ) F11: sd. 2 Jämvk påp varumarknadn I da kapl gör g r v vå förnklngar: 1. rs hmma och uland är r gv och ändras n (dvs( v analysrar ffkr påp kor sk). DärfD rför r kommr dn nomnlla och rala växlkursn v a röra r ra sg parallll: = 1 ε = 2. Inflaonn, faksk och förvf rvänad är r 0. π = 0, så r = Jämvk påp varumarknadn kan dåd skrvas: Y = C( Y T ) + I( Y, ) + G + NX ( Y, Y, ) (+) ( +, ) (, +, ) F11: sd. 3 1
2 20-2 Jämvk påp d fnanslla marknadrna Som v dgar s mås ränan r hmma vara lka md ränan r uomlands plus dn förvf rvänad dprcrngn för f r a nvsrar ska vara vllga a hålla båd b nhmska och uländska oblgaonr. (1 + ) = (1 + ) + 1 Lå oss fxra dn förvf rvänad växlkursn v näsa n prod ll + 1 = V får f r dåd = Gnom a höja h dn nhmska ränan r sgr. Varför? r? Högr nnbär r n apprcrad valua. Gv växlkursn v framdn, nnbär r dagns apprcrng a växlkursn v förvf rvänas falla (mr). Da kompnsrar för f r dn högr h ränan r hmma sås båd uländska och nhmska oblgaonr gr samma avkasnng. F11: sd. 4 Jämvk påp d fnanslla marknadrna Rlaonn mllan räna r och växlkurs, v gvn av ränparsvllkor. Ränpar, gv och n högr nhmsk räna r ldr ll n högr h växlkurs, v dvs n nhmsk apprcrng. n lägr nhmsk räna ldr ll n lägr l växlkurs, v dvs n dprcrng. Om förvf rvännngarna om framda växlkurs ändras skfar kurvan Inhmsk räna, Ränpar, gv och > Växlkurs, F11: sd Varu och fnansmark- nadrna llsammans F11: sd. 6 V har nu r jämvksvllkor j för f r dn öppna konomn och r ndogna varablr, Y, och. 1. Varumarknadsjämvk mvk (-kurvan) dn öppna konomn, som gr n rlaon mllan Y och som bror påp växlkurs och fnanspolk (T och G) och uländsk produkon, Y. Y = C( Y T) + I( Y, ) + G + NX ( Y, Y, ) 2. nnngmarknads jämvk j (L-kurvan), som också gr n rlaon mllan Y och som bror påp ral pnnngmängd ngd /. = YL( ) 2. Ränpar, som gr n rlaon mllan och, som bror påp uländsk räna och förvf rvänad växlkurs v = 2
3 -L dn öppna konomn -L dn öppna konomn n öknng ränan r sänkr s produkonn, båd b drk va fal- land nvsrngar och ndrk frsom högr h räna r ldr ll n apprcrng va ränparsvllkor. r -kurvan luar ndå. Gv dn rala pnnngmängdn, ngdn, högr h nkoms ldr ll högr frfrågan påp pngar vlk ökar ränan. r L-kurvan är därför r som vanlg uppåluand luand. Räna, L Räna, Ränpar, gv och F11: sd. 7 Y rodukon, Y Växlkurs, 20-4 ffkr av konomsk polk n öppn konom Räna, Vad händr h om rgrngn ökar G (llr mnskar T)? Y = C( Y T) + I ( Y, ) + G + NX ( Y, Y, ) = YL( ) n öknng av G ökar frfrågan och därmd d produkonn för f varj rännvr nnvå. -kurvan skfar därfd rför r uppå ll. Slusas: rodukonn ökar ll Y,, ränan r ökar ll och ökar ll (valuan apprcrar). L Räna, = Ränpar, gv och F11: sd. 8 Y Y rodukon, Y Växlkurs, Räna, ffkn av pnnngpolk n öppn konom Vad händr h om n mnsknng av / skfar L kurvan nå ll L, mn nga rksbankn mnskar andra kurvor påvrkas. p /? Slusas: rodukonn fallr ll Y,, ränan r ökar ll och ökar ll (valuan apprcrar). Y = C( Y T) + I ( Y, ) + G + NX ( Y, Y, ) = YL( ) L L Räna, = Ränpar, gv och F11: sd. 9 Y Y rodukon, Y Växlkurs, 3
4 Dn yska årförnngn rnngn och R I R som bldads 1979 skull dlagand uropska ländr l hålla sna växlkursr v nom band ±2.25 % mo varandra. Svrg håll h också sn växlkurs v nom band mo n korg av andra valuor. Som v s dgar sås var pnnngpolkn sram och fnanspolkn xpansv undr och fr dn yska årförnngn. rnngn. Båda dssa ffkr har som v s n apprcrand ffk påp D- markn. Da gjord d svår a klara av växlkurssysm v R. Krs sysm och Svrg och många m andra ländr l kund n hålla h mo och vngads låa l kronan flya hösn h F11: sd r om fasa växlkursrv I ländr l md fra valuamarknadr kan cnralbankn ändå försöka hålla h n fas växlkurs v fas prs påp valuan. an mås dåd vara brdd a köpa k och sälja s sn valua ll da prs. Om man n kan,.x. påp grund av a lagrn md uländsk valua ar slu, sås vngas man låa l valuan flya llr sås ransonrar man, dvs förbjudr fr valua handl. n ländr l fxrar (pg( pg) ) sn valua ll n annan valua, ofas dollarn. Andra ll n korg av andra valuor, ofa md handlsvkr var växlkursrna v mllan sor anal ländr l fxrad ll dollarn, som sn ur var fxrad ll guld d s.k. Bron Woods aval. fr Bron Woods sysms sammanbro börjad b man dskura n uropsk valua. Fr.o.m. 70-al flra övrnskommlsr nom uropa om växlkurssamarb. Valuorna skull röra r ra sg nom vss band,.x. R nom S. F11: sd. 11 Spkulava aackr Ländr md fasa växlkursr v llr md växlkursband v har hsorsk s ofa dvalvra. Ofa samband md n spkulav aack llr lågkonjunkur l och svag lönsamh l xporndusrn. Undr fas växlkurs v mås m Rksbankn hålla h vss prs påp sn gna valua rmr av andra valuor. Anag a Svrg bsämmr sg för f r a SK,$ = 1/7.50. Anag a Rksbankn har 10 mljardr $ sna kassaksor. Lå nu n sor fnansll spkulan kommr ll Rksbankn för f r a köpa dollar för f r da prs. Om spkulann köpr k alla 10 mljardr dollar mås m rksbankn låa l kronan flya. an kan dåd vara näs n hl säkr s påp a valuan kommr a dprcra, dvs a mnskar. Spkulann kan dåd sälja llbaka sna dollar och fåf högr h prs SK än n han balad och göra g n spkulav vns. F11: sd. 12 4
5 Vad krävs för f r n fas växlkursv Öppna ränparn r krävr: Vd fas växlkurs v krävs därfd rför = + 1 = Förändrngar pnnngfrfrågan gan mås m därfd rför r xak machas av Rksbankns mås m hla dn säa s så a ränan r är dnsamma som omvärldn. = YL( ), = = YL( ) Om.x. llr Y ökar mås m öka samma proporon för f r a n för f r a n ränan r ska förändras. f F11: sd. 13 Fnanspolk undr fas växlkursv Vad händr h om rgrngn ökar G? När r rgrngn ökar G skfar som v s kurvan uå.. Ränan R sgr och valuan ndrar a apprcra. För r a hålla h valuakursn konsan mås ränan r vara oförändrad. L-kurvan mås m därfd rför r skfas uå lls ränan r är r llbaka påp dn ursprunglga nvån. n. Slusas: Öknngn Y fr öknngn G blr sörr (Y( C - Y A ) undr fas växlkurs v än n undr flyand (Y( B - Y A ) frsom Rksbankn mås m ackommodra dn xpansva fnanspolkn md n xpansv pnnngpolk för f r a växlkursn n ska apprcra. Räna, Y A Y B rodukon, Y Y C L L F11: sd. 14 Gränsr för r konomsk polk Kan polska bslusfaar syra konomn rä? Vll polska bslusfaar syra konomn rä? r F11: sd. 15 5
6 24-1 Osäkrh om vad som är r rä r polk konomn är r n n maskn som man kan syra xak. Bydand osäkrh om 1. Varablr som är r bydlsfulla mn uanför r drk konroll för f r bslusfaarna. 2. aramrar modllrna. 3. Vlkn modll som är r bäs b för f r d syf man har. F11: sd. 16 odllosäkrh ffkn påp BN av n monär r xpanson: rdkonr från n 12 olka modllr. Sora skllnadr mngn och sorlkn påp ffkn. F11: sd. 17 Osäkrh och polcy d sörr osäkrh om polkns ffkr och vad som är r rä r polk är r d ofa bär b a göra mndr, förskghsprncpn.. SåS kallad fn unng,, a mr llr mndr konsan försöka syra konomn n vss rknng, är förmodlgn n bra. Hndrar n a man mr xrma fall försf rsökr använda nda konomsk polk. F11: sd. 18 6
7 Vll bslusfaarna syra konomn rä? r Kom håg g dn gnrlla formulrngn av samband mllan arbslösh sh och nflaon: π = π + α ( u u n ) Kan fnnas n frsls a unyja da samband. r xpansv pnnngpolk ldr ll lägr l arbslösh sh påp kor och kansk mdllång, mn påp sk (näsan) bara ll mr nflaon. sä s a lösa l da s.k. dsnkonssns-problm är a dlgra pnnngpolkn ll n obrond cnralbank. Vrkar fungra. F11: sd. 19 Självs lvsändga cnralbankr och nflaon Inflaon och cnralbanks- obrond Inom OCD fnns ngav samband mllan cnralbanksobrond och nflaon. n n någo n mosvarand samband mllan arbslösh sh och cnralbanksobrond. F11: sd. 20 Vll bslusfaarna syra konomn rä? r In uppnbar a polkrs prfrnsr sammanfallr md väljarnas. 1. olkrna kan ha ncamn a manpulra konomn syf a öka chansn a bl årvalda. 2. olkrna kan ha ncamn a manpulra konomn syf a påvrka möjlghrna för f r polska mosåndar a bdrva polk fr n gn valförlus. Fnns sudr som vsar a båda b dssa mkansmr fnns påp kommunnvå. 1. Sörr ugfr och lägr l skar nför r val. 2. Förlorand vänsrmajorr v lämnar l från n sg n mndr kommunal skuld än n förlorand f högrmajorr. h Kansk syf a påvrka p offnlga ugfr fr n valförlus. n rad xmpl påp försök k a movrka da gnom a bgränsa manövrurymm. Rglr för f r budgundrsko och/llr ugfsak fnns många m ländr, l USA, vssa dlsar, U och Svrg. F11: sd. 21 7
Mycket i kapitel 18 är r detsamma som i kapitel 6. Mer analys av policy
Blanchard kaptel 18-19 19 Växelkurser, räntor r och BNP Mycket kaptel 18 är r detsamma som kaptel 6. Mer analys av polcy F11: sd. 1 Uppdaterad 2009-05-04 IS-LM den öppna ekonomn IS-LM den öppna ekonomn
Öppenhet på olika marknader
Blanchard kapl 6 IS-LM dn öppna konomn Vad nnbär öppnh? Vad bsämmr val mllan uländska och nhmska llgångar och varor? Vad bydr växlkurs- och frfrågförändrngar för BNP och handlsbalans? B kap 6 sd. 1 Uppdarad
Öppenhet påp. olika marknader. Öppenhet för f r handel och kapitalrörelser. Handelsbalansunderskott. relser
Blanchard kapil 18-19 19 Dn öppna konomin Vad innbär öppnh? Vad bsämmr val mllan uländska och inhmska illgångar och varor? Vad bydr växlkursv xlkurs- och frfrågf gförändringar för f r BNP och handlsbalans?
Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Formell beskrivning. A=kB. A= k (för ett tal k)
Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Tllämpnngar av dffrnalkvaonr TILLÄMPNINGAR AV DIFFERENTIAL EKVATIONER Följand uryck används ofa olka problm som ldr ll dffrnalkvaonr: Tx A är proporonll mo B A är omvän proporonll
Allmänt om korttidsplanering. Systemplanering 2011. Allmänt om korttidsplanering. Allmänt om vattenkraft. Det blir ett optimeringsproblem!
Sysemplanerng 2011 Allmän om kordsplanerng Föreläsnng 8, F8: Kordsplanerng av vaenkrafsysem Kapel 5.1-5.2.4 Innehåll: Allmän om kordsplanerng Allmän om vaenkraf Elprodukon Hydrologsk kopplng Planerngsprobleme
Vid tentamen måste varje student legitimera sig (fotolegitimation). Om så inte sker kommer skrivningen inte att rättas.
UPPSALA UNIVERSITET Nationalkonomiska institutionn Vid tntamn måst varj studnt lgitimra sig (fotolgitimation). Om så int skr kommr skrivningn int att rättas. TENTAMEN B/MAKROTEORI, 7,5 POÄNG, 7 FEBRUARI
Den öppna ekonomin. Öppenhet påp. olika marknader. Öppenhet för f r handel och kapitalrörelser. relser
Förläsning 1 Dn öppna konomin Vad innbär öppnh? Vad bsämmr val mllan uländska och inhmska illgångar och varor? Vad bydr växlkursv xlkurs- och frfrågf gförändringar för f r BNP och handlsbalans? F1: sid.
Sammanfattning. Härledning av IS kurvan
F12: sid. 1 Förläsning 12 Sammanfattning Vi har studrat konomin på olika sikt, llr mr xakt, undr olika o antagandn om vad som kan ändra sig. 1. IS-LM, Mundll Flmming. Prisr är konstanta, växlkurs och ränta
Förra gången. Internationell ekonomi. Handel, räntor och växelkurser. Export o import, bytesbalansen (, )
Förra gångn Inrnaionll konomi Invsringsori Jämviksvillkor Hyrsmodlln Tobins Q R F( K, N) = K Handl, rglr, organisaionr, m m, U, MU Konkurrns Lönr, knik Ökad konkurrns från vissa ländr Asin (Kina), gamla
Tentamen 1 i Matematik 1, HF sep 2017, kl. 9:00-13:00
Tnamn i Mamaik, H9 sp 7, kl. 9:-: Eaminaor: rmin Halilovic Undrvisand lärar: Nils Dalarsson, Jonas Snholm, Elias Said ör godkän bg krävs av ma poäng. gsgränsr: ör bg,,, D, E krävs, 9, 6, rspkiv poäng.
Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).
TENTAMEN 0 jan 0 HF00 och HF008 Momn: TEN Analys, hp, skrflg namn Kursr: Analys och lnjär algbra, HF008, lärar: Frdrk Brgholm och Ing Jovk, Lnjär algbra och analys, HF00, lärar: Armn Hallovc Eamnaor: Armn
System med variabel massa
Sysm m varabl massa Rörlsmängn hos kropp m är: p m mv Anag nu a kroppns massa änras gnom a v llför massor m pr snh, som har hasghn v k. Rörlsmängsföränrngn pr snh hos kroppn blr: pm m( vk v är ( v k v
Uppgift 1 (max 5p) Uppgift 2 (max 5p) Exempeltenta nr 6
ppgf (max 5p) Exempelena nr 6 ppgfen går u på a förklara några cenrala begrepp nom kursen. Svara korfaa men kärnfull och ange en förklarng på e fåal menngar som ydlg beskrver var och e av de fem begreppen.
Öppenhet på olika marknader. Öppenhet för handel och kapitalrörelser. Export och Import i USA
Förläsning 1 Dn öppna konomin Vad innbär öppnht? Vad bstämmr valt mllan utländska och inhmska tillgångar och varor? Vad btydr växlkurs- och ftrfrågförändringar för BNP och handlsbalans? Öppnht på olika
Konsumtion. Förväntningarnas roll för f r konsumtion och investering. Förväntningar i IS-LM modellen. Mer om stabiliseringspolitik.
Blanchard kapitl 16-17 17 Förväntningar och stabilisringspolitik Förväntningarnas roll för f r konsumtion och invstring. Förväntningar i IS-LM modlln. Mr om stabilisringspolitik. Kap 16-17 sid. 1 Snast
Tentamen i Linjär algebra 2010 05 21, 8 13.
LINKÖPINGS UNIVERSITET Mamaika Iniuionn Ulf Janfalk Kurkod: ETE Provkod: TEN Tnamn i Linjär algbra,. Inga hjälpmdl. Ej räkndoa. Rula mddla vi -po. För godkän räckr poäng och min uppgifr md llr poäng. Godkända
För de två linjerna, 1 och 2, i figuren bredvid gäller att deras vinkelpositioner, θ 1 och θ 2, kopplas ihop av ekvationen
Knemak vd roaon av sela kroppar Inledande knemak för sela kroppar. För de vå lnjerna, och, fguren bredvd gäller a deras vnkelposoner, θ och θ, kopplas hop av ekvaonen Θ Θ + β Efersom vnkeln β är konsan
Konsumtion. Ett räkneexempelr. Förväntningarnas roll för f r konsumtion och investering. Förväntningar i IS-LM modellen. Mer om stabiliseringspolitik.
Blanchard kapitl 16-17 17 Förväntningar och stabilisringspolitik 16-1 Konsumtion Förväntningarnas roll för f r konsumtion och invstring. Förväntningar i -LM modlln. Mr om stabilisringspolitik. Modrn tori
där a och b är koefficienter som är större än noll. Här betecknar i t
REALRNTAN OCH PENNINGPOLITIKEN Dt finns flra sätt att närma sig frågan om vad som är n långsiktigt önskvärd nivå på dn pnningpolitiska styrräntan. I förliggand ruta diskutras dnna fråga md utgångspunkt
Tentamen på grundkursen EC1201: Makroteori med tillämpningar, 15 högskolepoäng, lördagen den 14 februari 2009 kl 9-14.
STOCKHOLMS UNIVERSITET Naionalekonomiska insiuionen Mas Persson Tenamen på grundkursen EC1201: Makroeori med illämpningar, 15 högskolepoäng, lördagen den 14 februari 2009 kl 9-14. Tenamen besår av io frågor
Den naturliga (strukturella) arbetslöshetsniv. shetsnivån n och Phillips Curve. rväntad inflation och arbetslöshet. Inflation, förvf.
Förläsig 6 Mr om arbslösh sh och iflaio Phillips kurva Arbslösh, sh, prisr och iflaio. Phillips-kurva rad-off mlla arbslösh sh och iflaio. Är r da sambad sabil? F6: sid. 1 D aurliga (srukurlla) arbslöshsiv
AID:... Lisa börjar spara 1000 per månad från och med nästa månad. Hon sparar under 35 år tills hon fyller 67 år.
Lösnngar: Akedelen Tena 4-5-5 Uppgf (4 poäng) Defnera ydlg följande begrepp a) APV och skaesköld b) IRR, som bland har lösnngar, när uppsår dessa? c) Asse Bea d) Yeld curve Se exbook and web sources. Uppgf
Vad är reglerteknik? Reglerteknik AK F1. Vad är ett dynamiskt system? Principer för reglering. Vad är återkoppling? Alternativ: Framkoppling
Rglrknik AK F Vad är rglrknik? Vad är rglrknik? ID-rglaorn Rglrknik handlar om rglring av dynamiska sysm A få dynamiska sysm a ppföra sig som önska / 4 2 / 4 Vad är dynamisk sysm? rincipr för rglring Dynamiska
Vill veta kvaliteten hos våra vattenföringsdata?
Vll vt kvlttn hos vår vttnförngsdt? Bnt Görnsson, G Bo Toms Lndlus, FoU //9 Bkgrund - gnomförd v n stud för tt tst någr xmpl på noggrnnhtskrv på Bo:s Q-dt En v Bo:s huvuduppgftr är tt t frm kvlttskontrollrd
Ur KB:s samlingar Digitaliserad år 2013
Ur KB:s samlngar Dgtalsrad år 2013 H n H I Emñgnaámtåfçømdwâg gnom V 9 mg 5900510001 åäá: ääwüzwmmâ Hufvudkontow: Lv m0 0 0 l 23 Watr Strt mså ss z: ;s n: : 3 57% :s :ra w ;ü ;På qqmøs DQSJQQS 1001300
i) exakt en lösning ii) oändligt många lösningar iii) ingen lösning.
TENTAMEN -Dc-9, HF och HF8 Momnt: TEN (Lnjär algbra, hp, srftlg tntamn Kursr: Analys och lnjär algbra, HF8, Lnjär algbra och analys HF Klassr: TIELA, TIMEL, TIDAA Td: -7, Plats: Campus Flmngsbrg Lärar:
Varumarknaden och IS-kurvan
Blanchard Kaptel 5 Varu och pennngmarknaderna tllsammans -L modellen IDAG: Varumarknaden balans + pennngmarknaden balans. Smultan bestämnng av både ränta och produkton. Hur påverkas ränta och produkton
Konsumtion. Den förutseende konsumenten:1
Blanchard kapitl 16-17 Förväntningar och stabilisringspolitik Förväntningarnas roll för konsumtion och invstringar. Förväntningar i IS-LM modlln. Mr om stabilisringspolitik. Kap 16-17 sid. 1 Snast uppdatrad
Malmö stad, Gatukontoret, maj 2003 Trafiksäkra skolan är framtaget av Upab i Malmö på uppdrag av och i samarbete med Malmö stad, Gatukontoret.
Cykln Malmö stad, Gatukontort, maj 2003 Trafiksäkra skolan är framtagt av Upab i Malmö på uppdrag av och i samarbt md Malmö stad, Gatukontort. Txt: Run Andrbrg Illustrationr: Lars Gylldorff Min cykl Sidan
Bengt Assarsson. Hemsida. www.bassarsson.com. Litteratur m m
Bng Assarsson Forskning Makro, konomri Skar, EMU, frfrågsysm Finansdparmn Svrigs Riksbank Sora konomriska modllr Svnsk modll BASMOD Modll för världskonomin Modll för kors prognosr Inflaion/rlaiva prisr
ÖVN 3 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Nyckelord och innehåll
ÖVN 3 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM KARL JONSSON Nycklord och innhåll x f, x sysm av diffrnialkvaionr Linjära sysm av diffrnialkvaionr x P x
Lösningar till ( ) = = sin x = VL. VSV. 1 (2p) Lös fullständigt ekvationen. arcsin( Lösning: x x. . (2p)
Akadmin ör utbildnin, kultur oc kommunikation Avdlninn ör tillämpad matmatik Eaminator: Jan Eriksson Lösninar till TENTAMEN I MATEMATIK MAA0 oc MMA0 Basutbildnin II i matmatik Datum: auusti 00 Skrivtid:
Sammanfattning. Härledning av LM - kurvan. Efterfrågan, Z. Produktion, Y. M s. M d inkomst = Y >Y. M d inkomst = Y
F12: sd. 1 Föreläsnng 12 Sammanfattnng V har studerat ekonomn påp olka skt, eller mer exakt, under olka antaganden om vad som kan ändra sg. 1. IS-LM, Mundell Flemmng. Prser är r konstanta, växelkurs v
Varumarknaden och IS-kurvan
Föreläsnng 3 Varu och pennngmarknaderna tllsammans -L modellen IDAG: Varumarknaden balans + pennngmarknaden balans. Smultan bestämnng av både ränta och produkton. Hur påverkas ränta och produkton av pennngpoltk
Den naturliga (strukturella) arbetslöshetsniv. shetsnivån n och Phillips Curve. rväntad inflation och arbetslöshet.
Blachard kapil 9 Mr om arbslösh sh och iflaio Phillips kurva Arbslösh, sh, prisr och iflaio. Phillips-kurva rad-off mlla arbslösh sh och iflaio. Är r da sambad sabil? F6: sid. 1 D aurliga (srukurlla) arbslöshsiv
Ekosteg. En simulering om energi och klimat
Ekostg En simulring om nrgi och klimat E K O S T E G n s i m u l r i n g o m n rg i o c h k l i m a t 2 / 7 Dsign Maurits Vallntin Johansson Pr Wttrstrand Txtr och matrial Maurits Vallntin Johansson Alxandr
Kursens innehåll. Ekonomin på kort sikt: IS-LM modellen. Varumarknaden, penningmarknaden
Kursens innehåll Ekonomin på kor sik: IS-LM modellen Varumarknaden, penningmarknaden Ekonomin på medellång sik Arbesmarknad och inflaion AS-AD modellen Ekonomin på lång sik Ekonomisk illväx över flera
Revisionsrapport 7/2010. Åstorps kommun. Granskning av intern kontroll
Rvisionsrapport 7/2010 Åstorps kommun Granskning av intrn kontroll Bngt Sbring, ordf Tord Stursson, 1: v ordf. Bngt Johns, 2: v ordf. Stig Andrsson Nils Prsson Rvisorrna Innhållsförtckning SAMMANFATTNING...
Svar: a) i) Typ: linjär DE med konstanta koefficienter i homogena delen dy men också separabel ( y = 10 4y
Diffrnilkvionr, lndd ml DIFFERENTIALEKVATIONER, BLANDADE EXEMPEL Ugif i Bsäm y [srl DE, linjr DE, homogn konsn llr ickkonsn kofficinr ] för ndnsånd diffrnilkvionr ii Bsäm dn llmänn lösningn ill vrj DE
GRAFISK PROFILMANUAL SUNDSVALL NORRLANDS HUVUDSTAD
GRAFISK PROFILMANUAL SUNDSVALL NORRLANDS HUVUDSTAD INLEDNING Sundsvall Norrlands huvudstad Sundsvall Norrlands huvudstad, är båd tt nuläg och n önskan om n framtida position. Norrlands huvudstad är int
Åstorps kommun. Revisionsrapport nr 4/2010. Granskning av kommunens kommunikation med medborgarna
Rvisionsrapport nr 4/2010 Åstorps kommun Granskning av kommunns kommunikation md mdborgarna Bngt Sbring, ordf Tord Stursson, 1: v ordf. Bngt Johns, 2: v ordf. Stig Andrsson Nils Prsson Innhållsförtckning
Distributionsförare. Loggbok för vuxna. Underlag för APL-handledare/-instruktör på APL-företag
A Distributions ktör på DISTRIBUTIONSFÖRARE 1(5) Arbtsplatsförlagd dl av tstmodul, validring llr utbildning När du dokumntrar dn arbtsplatsförlagda dln i ndanstånd chcklista gör då ävn bdömning inom säkrhts-,
Enkätsvar Sommarpraktik - Grundskola 2016
Enkätsvar Sommarpraktik - Grundskola 2016 1. Födlsår 2. Inom vil praktikområd har du praktisrat? 3. Hur är du md dn information du fick på informationsmött. Svara på n skala mllan 1-5 där 1 btydr och 5
OLYCKSUNDERSÖKNING. Teglad enplans villa med krypvind Startutrymme: Torrdestillation av takkonstruktion Insatsrapport nr: 2012012917
BRANDUTREDNINGSPROTOKOLL Datum: 20121130 Vår rfrns: Grt Andrsson Dnr: 2013-000138 Er rfrns: MSB Uppdragsgivar: Uppdrag: Undrsökningn utförd: Bilagor: Landskrona Räddningstjänst Brandorsak, brandförlopp
Ekvationen (ekv1) kan bl. annat beskriva värmeledningen i en tunn stav där u( x, temperaturen i punkten x vid tiden t.
Armi Halilovi: EXRA ÖVNINGAR Värmldigsvaio VÄRMEEDNINGSEKVAIONEN Vi braar öljad PDE u u v där > är osa Evaio v a bl aa bsriva värmldig i u sav där u bar mpraur i pu vid id därör am värmldigsvaio Radvärdsproblm
HOMOGENA DIFFERENTIALEKVATIONSSYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER
HOMOGENA DIFFERENTIALEKVATIONSSYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER Vi brr sysm v lijär omog DE (v förs ordig) md os offiir dx x x d dx x x d dx x x d där x ), x ( ),, x ( ) är ob fuior v vribl ( Ovsåd sysm
Slumpjusterat nyckeltal för noggrannhet vid timmerklassningen
Jacob Edlund VMK/VMU 2009-03-10 Slumpjustrat nyckltal för noggrannht vid timmrklassningn Bakgrund När systmt för dn stockvisa klassningn av sågtimmr ändrads från VMR 1-99 till VMR 1-07 år 2008 ändrads
Lektion 8 Specialfall, del I (SFI) Rev 20151006 HL
Lekton 8 Specalfall, del I (SFI) Rev 0151006 HL Produktvalsproblem och cyklsk planerng Innehåll Nvå 1: Produktval (LP-problem) (SFI1.1) Cyklsk planerng, produkter (SFI1.) Nvå : Maxmera täcknngsbdrag (produktval)
Referensexemplar. Vi önskar er Lycka till! 1. Välkommen till Frö-Retaget
t g a t R Frö ar pl m x ns r f R 1 1. Välkommn till Frö-Rtagt Hj, nu ska du och dina klasskompisar starta rt alldls gna förtag. Vi på FramtidsFrön har valt att kalla dt Frö-Rtag. Md Frö mnar vi att du
SVÄNGNINGAR Odämpad svängning för ett diskret system med en frihetsgrad.
SVÄNGNINGA Odäpad svängnng för e dsre sse ed en frhesgrad. r svängnng jäder [N/] Sas jävsläge. [g ] [ ] & & : & & & So har lösnngen; Bsn C cos Lösnngen nnebär; Vnelhasgheen rad/s och svängnngsfrevensen
Per Sandström och Mats Wedin
Raltids GPS på rn i Vilhlmina Norra samby Pr Sandström och ats Wdin Arbtsrapport Svrigs lantbruksunivrsitt ISSN Institutionn för skoglig rsurshushållning ISRN SLU SRG AR SE 9 8 UEÅ www.srh.slu.s Tfn: 9-786
Malmö stad, Gatukontoret, maj 2003 Trafiksäkra skolan är framtaget av Upab i Malmö på uppdrag av och i samarbete med Malmö stad, Gatukontoret.
Växa i trafikn Malmö stad, Gatukontort, maj 2003 Trafiksäkra skolan är framtagt av Upab i Malmö på uppdrag av och i samarbt md Malmö stad, Gatukontort. Txt: Run Andrbrg Illustrationr: Lars Gylldorff Växa
Föreläsning 1. Metall: joner + gas av klassiska elektroner =1/ ! E = J U = RI = A L R E = J = I/A. 1 2 mv2 th = 3 2 kt. Likafördelningslagen:
Förläsning 1 Eftr lit information och n snabbgnomgång av hla kursn börjad vi md n väldigt kort rptition av några grundbgrpp inom llära. Vi pratad om Ohms lag, och samband mllan ström, spänning och rsistans
INTRODUKTION. Akut? RING: 031-51 20 12
INTRODUKTION Btch AB är i grundn tt gränsövrskridand nätvrk av ingnjörr, tknikr, tillvrkar (producntr) som alla har myckt lång rfarnht inom Hydraulik branschn. Dtta inkludrar allt från tillvrkning och
Sommarpraktik - Grundskola 2017
Sommarpraktik Grundskola 2017 1. Födlsår 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2. Inom vilkt praktikområd har du praktisrat? 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 Förskola/fritidshm Fritid/kultur
Arbetsmarknad - marknadsformer. Förra gången. Svensk arbetsmarknad. Arbetsutbudets komponenter
Förra gångn Prisbildning Rala och nominlla tröghtr Marknadsformr Ej fri konkurrns man sättr prist Bilatrala rlationr, optimalt Prisr trögrörliga Olika branschr Övr tidn Arbtsmarknad - marknadsformr Monopol
Den kinetiska energin för bilen ges av massan och sluthastigheten enligt
FYSIKTÄVLINGEN Fnaln - o apl LÖSNINGSFÖSLAG SVENSKA FYSIKESAMFNDET. a Dn kompla ablln s u nlg följan T/s Hasg/(m/s Acclaon (m/s Kaf (N Säcka (m Ab (Nm,7 3,,6 8735 8 583 7, 3,6 6 38 5,, 3, 5657 8 5588 7,
F & 34 ø øl ø øl ø V. ø øl ø. &øl ø# øl ø øl ø ? F. &speg - lar Hår - ga - ber - get. ? ú ø ú ø ú ø. Hårga-Låten. som - mar - nat - ten, i
L L L L V Hm l är blek VSpel man n är HårgaLåt L L L mar nat t, n g matt, L Text: Carl Peter Wckström Sats: Robert Sund (.2) L L # Ljus L nans vat t sg be satt L # Hm l är blek Spel man L n L är V mar
Aggregerat Utbud. Härledning av AS kurvan
Blanchard kapitel 7 edellång sikt S- modellen 7-1 ggregerat Utbud F5: sid. 1 IDG: Gifta ihop alla marknader vi diskuterat. Vad bestämmer priser och produktion (samt arbetslöshet, shet, ränta r och löner)
DEMONSTRATION TRANSFORMATORN I. Magnetisering med elström Magnetfältet kring en spole Kraftverkan mellan spolar Bränna spik Jacobs stege
FyL VT06 DEMONSTRATION TRANSFORMATORN I Magntisring md lström Magntfältt kring n spol Kraftvrkan mllan spolar Bränna spik Jacobs stg Uppdatrad dn 9 januari 006 Introduktion FyL VT06 I littraturn och framför
F5: Vektorer (Appendix B) och Vektormodulation (Kap PE 2)
F5: korr Appnd B oh kormodlon Kp PE g välrkr - Norml nl n nrlldrn g välrkr -S-p g välrkr -PWM Modlon v omvndlr - + R L C d + d Fgr.8: Dn ndrök omvndlrn yrd lkrkr nln ll nä Fgr.9: Bärvågmodlon md nformg
re (potensform eller exponentialform)
Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Kompla tal. Polär form och potnsform KOMPLEXA TAL I POLÄR FORM och KOMPLEXA TAL I POTENSFORM, där, R (rktangulär form r(cos sn (polär form n n r (cosn sn n D Movrs forml r
Föreläsning 5 och 6 Krafter; stark, elektromagnetisk, svag. Kraftförening
Förläsning 5 och 6 Kraftr; stark, lktromagntisk, svag. Kraftförning Partiklfysik introduktion Antimatria, MP 13-1 Fynman diagram Kraftr och växlvrkan, MP 13-2 S ävn http://particladvntur.org/ 1 2 3 Mot
Kedjningsmetoder för kvartalsdata i Nationalräkenskaperna
Kedjnngsmeoder för kvaralsdaa Naonalräkenskaerna 2009-04-21 Gusaf Srandell Marn Odencrans STATSTSKA ENTRALBYRÅN 2(17) Bakgrund... 3 Over he year... 4 Annual Overla... 6 Grunddaa... 7 Jämförelsemå... 8
Reflektion och transmission
RfTas / Ljud byggad oh samhäll / VTAF0 Rflko oh asmsso Tdga ha bhadla ågubdg homoga md ua a gå äma å ad som sk ögåg få mdum ll aa ll ad som sk d äda. Da ska äma gå å hä. V ka ll ml äka oss såg a sål som
Formelsamling Ljud i byggnad och samhälle
ormlsamlg jud bggad oh samhäll Några räkrglr för logarmr: log log log log log log log log log log log log Några grudläggad akusska dfor oh räkrglr -dmsoll la ljudåg som ubrdr sg os -rkg: Aos Effkärd rms
Barn i Guds tid. Nattvardsmässa för barnkör, diskantkör och instrument. Församlingsagenda
Barn Guds td Nattvardsmässa för barnkör dskantkör och nstrument Församlngsagenda Barn Guds td Nattvardsmässa för barn Text: Eyvnd Skee Sv. text: Chrstna Lövestam Musk: Johan Varen Ugland 1. Processon med
II{FORMATIOFI TrR 1 BRF MAJROPARKE]V
{FORMATOF TrR BRF MAJROPARKE]V ÅngTs FoRSTA MEDDELAYDE 9 l. TT STYREL.ST'TT 999-03-05.', :.. r.:;..a Årsstämman999 Tden går nu så fort att v redan är framme årsstämmotder. Årsstämman är beslutad att äga
Blixtkurs i komplex integration
Blxtkurs komplex ntegraton Sven Spanne 7 oktober 998 Komplex ntegraton Vad är en komplex kurvntegral? Antag att f z är en komplex funkton och att är en kurva det komplexa talplanet. Man kan då beräkna
Tanken och handlingen. ett spel om sexuell hälsa och ordassociationer
Tankn och handlingn tt spl om sxull hälsa och ordassociationr 2 / 13 GR Upplvlsbasrat Lärand GR Utbildning Upplvlsbasrat Lärand (GRUL) syftar till att utvckla, utbilda och gnomföra vrksamht md dn upplvlsbasrad
ICKE-HOMOGENA DIFFERENTIALEKVATIONSSYSTEM ( MED KONSTANTA KOEFFICIENTER I HOMOGENA DELEN)
Armi Hlilovi: ETRA ÖVNINGAR, S676 Ik-omog sysm Mrismod Sid v 0 ICKE-HOMOGENA DIERENTIALEKVATIONSSYSTEM MED KONSTANTA KOEICIENTER I HOMOGENA DELEN Vi brkr sysm v lijär ik-omog DE v örs ordig md kos koiir
Partikeldynamik. Dynamik är läran om rörelsers orsak.
Partkeldynamk Dynamk är läran om rörelsers orsak. Tung och trög massa Massa kan defneras på två sätt. Den ena baserar sg på att olka massor attraheras olka starkt av jordens gravtaton. Att två massor är
ANALYS AV DITT BETEENDE - DIREKTIV
Karl-Magnus Spiik Ky Tst / 1 ANALYS AV DITT BETEENDE - DIREKTIV Bifogat finnr du situationr där man btr sig på olika sätt. Gnom att svara på dssa frågor får du n bild av ditt gt btnd (= din människotyp).
Hittills på kursen: E = hf. Relativitetsteori. vx 2. Lorentztransformationen. Relativistiskt dopplerskift (Rödförskjutning då källa avlägsnar sig)
Förläsning 4: Hittills å kursn: Rlativittstori Ljusastigtn i vakuum dnsamma för alla obsrvatörr Lorntztransformationn x γx vt y y z z vx t γt där γ v 1 1 v 1 0 0 Alla systm i likformig rörls i förålland
TENTAMEN Kurs: HF1903 Matematik 1, moment TEN2 (analys) Datum: 22 dec 2016 Skrivtid 8:00-12:00
TENTAMEN Kurs: HF9 Matmatik, momnt TEN anals atum: dc Skrivtid 8:-: Eaminator: Armin Halilovic Rättand lärar: Erik Mlandr, Elias Said, Jonas Stnholm För godkänt btg krävs av ma poäng Btgsgränsr: För btg
F8: Asynkronmaskinen. Sammanfattning
F8: Aynkonmknn Smmnfnng Allmän om ynkonmknn (I) Lgköld Uglåd Kylflän Kllg Mool Solndnng Fläk Roo Soplåpk Fg 0.. Aynkonmkn Lnd nv / Lnd knk högkol / Indll Elkoknk / PK Allmän om ynkonmknn (II) A ynkonmoon
Elektronik. Inledning. Översikt. Varför elektricitet? Genast ett exempel
Elekronk Öersk Inlednng Pero Andrean Insuonen för elekro- och nformaonseknk Lunds unerse Sröm, spännng, energ, effek Krchhoffs srömlag och spännngslag (KCL och KVL) Serekopplngar och parallellkopplngar
001 Tekniska byråns information. Värmefrån ventiler. Inom alla områden av såväl nyprojektering som ombyggnad och drift av redan byggda hus riktas inom
pe" `sfk K ".` _. :...... -.Y BS 00 Byggnadssyelsen Teknska byåns nfomaon 979-04 Vämefån venle VÄRMEAVGVNNG CENTRALER M M FRÅN OSOLERADE VENTLER UNDER- nom alla omåden av såväl nypojekeng som ombyggnad
Enkätsvar Sommarpraktik Gymnasiet 2016
Enkätsvar Sommarpraktik Gymnasit 2016 1. Födlsår 2. Inom vil praktikområd har du praktisrat? 3. Hur är du md dn information du fick på informationsmött. Svara på n skala mllan 1-5 där 1 btydr int och 5
Med alla härliga upplevelser från förra året i
! t v i L a l H n. t h g i l k r rv ö f s a t s u r Ut Midsommarkonfrns Ralingsåsgårdn, Anby 19-22 juni 2014 ! t v i L a l H s! å s g n i l a R ill t n m m o Välk Md alla härliga upplvlsr från förra årt
TNA003 Analys I Lösningsskisser, d.v.s. ej nödvändigtvis fullständiga lösningar, till vissa uppgifter kap P4.
TN00 nals I Lösningsskissr, d.v.s. j nödvändigtvis ullständiga lösningar, till vissa uppgitr kap P. P.5a) Om gränsvärdt istrar så motsvarar dt drivatan av arctan i. Etrsom arctan är drivrbar i d så istrar
Formelsamling Ljud i byggnad och samhälle
ormlsamlg jd bggad oh samhäll Några räkrglr för logarmr: log log log log log log log log log log log log Några grdläggad aksska dfor oh räkrglr -dmsoll la ljdfäl: Aos Effkärd rms för ljdrk k: ~ d jdrkså
Min cykel. 5 Cykelhjälm Det är viktigt att använda cykelhjälm när man cyklar. Men hur ska cykelhjälmen sitta på huvudet för att ge bäst skydd?
Min cykl Sidan Innhåll 4 På väg hm Ands och Osca ha båttom hm. Osca måst lämna matvaona han vait och handlat innan han och Ands kan cykla till täningn. 5 Cyklhjälm Dt ä viktigt att använda cyklhjälm nä
Tillståndsmaskiner. Moore-automat. Mealy-automat. William Sandqvist
Tllstånsmsknr Moor-utomt Mly-utomt Wllm Snvst wllm@kth.s ÖH. Bstäm tllstånsrm oh tllstånstll ör skvnskrtsn. Vlkn v mollrn Mly llr Moor pssr n på krtsn? Wllm Snvst wllm@kth.s . Ur krtsshmt kn öljn smn ställs
Revisionsrapport 2010. Hylte kommun. Granskning av samhällsbyggnadsnämndens och tillsynsnämndens styrning och ledning. Iréne Dahl, Ernst & Young
Rvisionsrapport 2010 Hylt kommun Granskning av samhällsbyggnadsnämndns och tillsynsnämndns styrning och ldning Irén Dahl, Ernst & Young Augusti 2010 Hylt kommun Rvisorrna Innhållsförtckning SAMMANFATTNING...
Kontinuerliga fördelningar. b), dvs. b ). Om vi låter a b. 1 av 12
KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLERR Allmänt om kontinurliga sv Dfinition En stokastisk variabl kallas kontinurlig om fördlningsfunktionnn ξ är kontinurlig Egnskar av fördlningsfunktion: Fördlningsfunktionn
TENTAMEN. HF1903 Matematik 1 TEN2 Skrivtid 13:15 17:15 Fredagen 10 januari 2014 Tentamen består av 3 sidor
ENAMEN HF9 Mmik EN Skrivid : 7: Frdgn jnuri nmn bsår v sidor Hjälpmdl: Udl ormlbld Räkndos j illån nmn bsår v uppgir som ol kn g poäng F är undrkän bg mn md möjligh ill komplring Komplringn kn nds görs
Lust och risk. ett spel om sexuell hälsa och riskbeteenden
Lust och risk tt spl om sxull hälsa och riskbtndn 2 / 11 GR Upplvlsbasrat Lärand GR Utbildning Upplvlsbasrat Lärand (GRUL) syftar till att utvckla, utbilda och gnomföra vrksamht md dn upplvlsbasrad pdagogikn
Linköpings Universitet IFM Kemi Formelsamling för Fysikalisk kemi Termodynamik, Spektroskopi & Kinetik. 2 van der Waals gasekvation
Lnköngs Unvrstt IFM Km 8-1-17 Formlsamlng ör Fyskalsk km rmodynamk, Sktrosko & Kntk Gasr. a n + ( nb) n R van dr Waals gaskvaton Z n R Komrssblttsaktor r nd r rducrad, c krtsk varabl Rducrad varablr c
Modell-anpassning: Minstakvadrat-polynom Polynom: interpolation Kurvor: styckevis polynom, Hermite, spline Bézier-kurvor
F4 Modell-anpassnng: Mnsavadra-polno olno: nerpolaon Kurvor: scevs polno, Here, splne Bézer-urvor 0-08-06 DN40 nu3 HT Eepel: Mnsavadraeoden V Mnsavadra-approaon ed polno f, [0,] 0.4 f s poler lgger vd
Tryckkärl (ej eldberörda) Unfired pressure vessels
SVENSK STANAR SS-EN 3445/C:004 Fastställd 004-07-30 Utgåva Trykkärl ( ldbrörda) Unfird prssur vssls ICS 3.00.30 Språk: svnska ublirad: oktobr 004 Copyright SIS. Rprodution in any form without prmission
vara en given funktion som är definierad i punkten a. i punkten a och betecknas f (a)
Drivaans iniion DERIVATANS DEFINITION Dfiniion Lå y f vara n givn funkion som är inirad i punkn a f a f Om gränsvärd israr som rll al sägr vi a funkionn är drivrbar i punkn a Gränsvärd kallas drivaan av
Räkneövning i Termodynamik och statistisk fysik
Räknövning i rmodynamik och statistisk fysik 004--8 Problm En Isingmodll har två spinn md växlvrkansnrginu s s. Ang alla tillstånd samt dras oltzmann-faktorr. räkna systmts partitionsfunktion. ad är sannolikhtn
En ALM modell med minimering av CVaR och krav på tillväxt. Tobias Anglevik
En ALM modell med mnmerng av CVa och krav på llväx av Tobas Anglevk Absrac In hs paper we develope a basc Asse-Lably Managemen model where asses mach he lables ae of reurns are randomly generaed wh Mone
Riktlinjer för avgifter och ersättningar till kommunen vid insatser enligt LSS
Rktlnjer för avgfter och ersättnngar tll kommunen vd nsatser enlgt LSS Beslutad av kommunfullmäktge 2013-03-27, 74 Rktlnjer för avgfter och ersättnngar tll kommunen vd nsatser enlgt LSS Fnspångs kommun
ICEBREAKERS. Version 1.0 Layout: Kristin Rådesjö Per Wetterstrand
Icbrakrs 2 / 10 Götborgs Rgionn och GR Utbildning GR är n samarbtsorganisation för 13 kommunr i Västsvrig tillsammans har mdlmskommunrna 900 000 invånar. Förbundts uppgift är att vrka för samarbt övr kommungränsrna
Blåsen nu alla (epistel nr 25)
lås al (epstel nr 25) ext musk: Carl Mchael ellman oprano 4 3 rr: Eva oller 2004 lto or 4 3 4 3 lå - s Fåg - r - al - tt - ta, hör öl - jor - fs - kar - sval - ås - kan sprt - ta ur stt går rum; e - gas
1 (3k 2)(3k + 1) k=1. 3k 2 + B 3k(A + B)+A 2B =1. A = B 3A =1. 3 (3k 2) 1. k=1 = 1. k=1. = (3k + 1) (n 1) 2 1
Uppgift Visa att srin (3k 2)(3k + ) konvrgrar och bstäm summan Lösning Vi har att a k = (3k 2)(3k+) Vi kan använda partialbråksuppdlning för att skriva om a k : a k = (3k 2)(3k + ) = A 3k 2 + B 3k(A +
Margarin ur miljö- och klimatsynpunkt.
Margarin ur miljö- och klimatsynpunkt. Dt är skillnad på och smör. Ävn när dt gällr miljön. Till barn i förskola och skola rkommndrar Livsmdlsvrkt och lätt för smör och smörblandad produktr. En ny analys
ATLAS-experimentet på CERN (web-kamera idag på morgonen) 5A1247, modern fysik, VT2007, KTH
ATLAS-xprimntt på CERN (wb-kamra idag på morgonn) 5A1247, modrn fysik, VT2007, KTH Laborationr: 3 laborationr: AM36: Atomkärnan. Handlar om radioaktivitt, absorbtion av gamma och btastrålning samt mätning