Tillämpad Matematik I Övning 4

Transkript

1 /ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning 8 6 Tillämpad Matematik I Övning 6 8 Allmänt Övningsuppgifterna, speciellt Tpuppgifter i första hand, är eempel på uppgifter du kommer att möta på tentamen. På denna är du ensam, så det är viktigt att du klarar av uppgifterna på egen hand! Trots detta rekommenderas och uppmuntras arbete i grupp samt användning av Mathematica även där endast handräkning förväntas! I lösningsförslagen hittar du oftast både handräkning och Mathematica, detta för att du ska få träning på båda! Avsaknad av lösningsförslag eller "snåla" sådana ska tolkas positivt som en inspiration och utmana dig till att flla igen luckor och verifiera det som är gjort. a teorikompendierna till hands, där finns många lösta eempel. Uppgifter Tpuppgifter i första hand. Bestäm a f b g c f g d f g e f f sinπg f g Lösningsförslag: Integration av stckvis konstant funktion. Dela upp integrationsintervallet enligt "stckvisheten", det vill säga så b att integranden är konstant f k i varje intervall. Vi har då a f i i k i k i i i k i i i i varje intervall. Till eempel uppgift a) f 9 f : ;g : ; f, g, fg, fg, f, SinΠ g,,,,,. Integrera a b c t t d e sin f cos g i u u u u j u k u u 6 t t t h Lösningsförslag: Drillövning på integration. Testa Mathematica! a i u7 7 C b 8u C c t C j) C k) C u u C d) C e) cosc f sinc g) t C h lnc. Integrera a b c d 8 t e t f s s s g c c

2 Tillämpad Matematik I, Övning /ITE/BN h s s s s s i a j k u u u Lösningsförslag: Fingerfärdighetsträning på integration. Testa Mathematica! a 6 b c ln d 8 e f 8 g) c h i a a j 8 k. Integrera a sin b Lösningsförslag: a) Gör variabelsubstitution. Substitution u sin Sin. Måttet u u. Inga gränser sinu u sinuu cosuc cosc cos b) Gör variabelsubstitution log. Substitution u. Måttet u u u. Gränserna u u u u lnu u lnln ln. Integrera a b Π c cosπtt d sin u u e v v mvv f sinωt t g Π sinπtt h u u i j b u u k 8 Π Θ a ab uv l m t n t cos Θ Lösningsförslag: Ännu mer fingerfärdighetsträning på integration. Testa Mathematica! a C b Π Π sinπt C c C d) cos u C e mv Π v f) cosωt C g Ω Π cosπ h ln i ln 8 j) a b k uv C l m ln n 6. Bestäm arean som innesluts mellan kurvorna f och g då, Lösningsförslag: Vi måste dela upp integrationsintervallet eftersom kurvorna skär varann där. Först funktionerna sedan deras skärningspunkt f ;g ; Solvef g, Nu är det bara att hålla reda på vilken som är överst i respektive intervall och integrera.

3 /ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning A f g A g f A A Eller direkt med absolutbelopp. Inga problem för Mathematica. Absf g 7. Använd integral för att bestämma arean av triangeln med hörnen i,,, och,. Lösningsförslag: potenusan har ekvationen, vilket inses av likformiga trianglar. Så arean 8. Området under grafen för, delas i två lika stora delar av linjen a. Sök a. Lösningsförslag: Vi får direkt a a ekv Simplif, a a a 8 Solveekv a 8 9. För arean A i figuren gäller för alla att Aarctan. Bestäm funktionen f för alla. f A

4 Tillämpad Matematik I, Övning /ITE/BN Lösningsförslag: Detta är ju inget annat än geometrisk tolkning av bestämd integral när f, så f F FFarctan def F f arctan. f DArcTan,. Bestäm A f tt,. Ange det analtiska uttrcket för A i varje delintervall. f Lösningsförslag: Definiera funktionen och integrera fram A i varje intervall. f : ;A t ft t t ; ft t t ft t t PlotA,,,, PlotStle Orange, AesLabel "", "A" A 8 6. Bestäm arean mellan graferna och. Lösningsförslag: är kan det vara lämpligt att integrera i -led för att slippa dela upp integrationsintervallet samt att få enklare integrander, om man räknar för hand. Först integrationsgränserna som ges av skärningspunkterna. Solve,,,, Så med vetskapen att den räta linjen ligger överst i -led 9

5 /ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning. Bestäm riktningskoefficienten för en rät linje l : k m som går genom, så att området som innesluts av aeln, aeln, l och linjen 6 får arean. km, Lösningsförslag: Vi får k som förslag på l, t m enligt uppgift. Först skärningspunkten mellan l och den givna linjen, det vill säga en av integrationsgränserna. c. Solve k, 6,, First k Slutligen bestämmer önskat villkor på arean värdet på k c 6 ekv k c 8 k 8 k k k Simplifekv 6 k k Solveekv k. Beräkna arbetet som krävs för att lfta kg kol ur en 7 m djup gruva med en kabel som väger. kgm. Vid varje lft kan man ta maimalt 8 kg kol i hisskorgen som väger kg. Lösningsförslag: Låt oss göra två lft om 7 kg. Linan har tngdpunkten mitt på, så totala arbetet med A mgh blir med två lft g g Kanske är vi lite oroliga för arbetet att lfta linan? Vid djupet h har vi den lilla linstumpen h med massan m Ρh som kräver det lilla arbetet A ghm att lftas upp till marktan. Nu är det bara att lägga samman alla små lft. ghρh g Ρ. En modell för att beskriva volmen ved i ett träd gavs av Zhang, Borders och Baile. h Om trädet är högt så gäller för volmen upp till höjden h att Vhk. a Bestäm enheten på konstanten k så att modellen blir konsistent. b Integrera fram ett slutet uttrck för Vh. c Bestäm volmen för hela trädet. Rita vedens utveckling med höjden d Dela in höjden i tre lika långa delar och ange hur trädets volm fördelas över dessa.

6 6 Tillämpad Matematik I, Övning /ITE/BN Lösningsförslag: Vi börjar väl med uppgift a) m km mk m m m m. Så en lämplig n konstant kan vara k c med c dimensionslös. Solvem km m, k k m b) Integrera på. Gör variabelsubstitution u om det stretar emot h Vhc c h c h. Mathematica förenklar inte lika mcket. Vh c Integrate,,, h, Assumptions h Simplif c h h h h h c) ela trädets volm, notera den rätta enheten m eftersom c är dimensionslös. V c Så vedens utveckling. Det är inte ovanligt att använda dimensionslösa koordinater. PlotEvaluate Vh V., h,,, PlotStle Orange, AesLabel "h", "VhV" VhV h d) Volmfördelning för angiven uppsågning. V V, V V, VV Simplif N 9,, ,.9877,.6. Bestäm arean som innesluts mellan sin, cos, Π Lösningsförslag: Direkt tillämpning på areaberäkning, med sin överst Π Sin Cos Π

7 /ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning 7 6. Integrera a b c 8 d Lösningsförslag: Fingerfärdighetsträning på dubbelintegraler. a 8 8 b c d 6 Vi låter väl Mathematica få sista ordet,, 7,,, 8, 7. Bestäm då är området som begränsas av olikheterna, och. Lösningsförslag: Området som avses är den triangel som innestängs i första kvadranten under linjen. Vi tar väl en titt på det. RegionPlot,,,,,,, PlotStle Can, FrameLabel "", "" Vi har tdligen funktioner i -riktningen, så Vi låter väl Mathematica få sista ordet 6 8. Bestäm volmen av den kropp som uppstår då området som innesluts av aeln, linjerna och samt grafen till, roterar ett varv runt aeln. Lösningsförslag: Direkt tillämpning på formel a b Π. Formler ska alltid betraktas med misstänksamhet. Lär dig härledningen!

8 8 Tillämpad Matematik I, Övning /ITE/BN Den är mcket nttig och metoden att summera små av de mest skilda slag återkommer i tid och otid!! Π 8 Π 6 9. Bestäm volmen av den kropp som uppkommer då området som innesluts av aeln, linjerna och samt grafen till,roterar ett varv kring aeln.... Lösningsförslag: Vi får direkt med "formel" V a b Π. ärled! Gör dé... Π Π. När det markerade området som begränsas av den räta linjen aeln, linjerna a och a roterar ett varv runt aeln alstras en kropp. Sök a, så att denna kropp får volmen Π volmenheter. a a Lösningsförslag: Först den begränsande räta linjen som är. Integrera sedan med små clindrar i -led så har vi kroppens a volm V a Π a a Π Π a 8. Så villkoret på önskad volm ger oss direkt ekvationen a a ekv Π a Π Π a 8 Π a Varav det sökta Solveekv N 7 Π 6 Π a 9 69, a 9 69 a., a Med hänsn till kravet a,, duger bara den första lösningen.. När det markerade området i figuren roterar ett varv runt aeln alstras en kropp. Sök a så att denna kropp får volmen Π volmenheter. 6 6 a a Lösningsförslag: Med små clindrar i -led har vi kroppens volm V a a Π a a Π6 6 Π6 a a. Så

9 /ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning 9 villkoret på önskad volm ger oss direkt ekvationen a ekv Π6 6 Π a 6 Π a Π Π Varav det sökta Solveekv a. Bestäm med hjälp av integral volmen av en rak cirkulär clinder med basradien R och höjden. Genomför kalklen både med små clindrar och små lökringar Lösningsförslag: Först små clindrar. Lägg den ned och låt R, svepa runt -aeln. Vi får då direkt med formel V Π Π R Π R Sedan stående clinder med små lökringar runt -aeln där, R. Vi får då direkt med formel V Π R Π Π R. Bestäm med hjälp av integral volmen av en rak cirkulär kon med basradien R och höjden. Genomför kalklen både med små clindrar och små lökringar Lösningsförslag: Först små clindrar. Lägg konen ned så att spetsen hamnar i origo och -aeln längs dess rotationsael. Vid har den lilla clindern en radie som ges av likformiga trianglar (rita!) R. Så med formel V Π Π R Π R Ställ sedan konen med spetsen uppåt. Vid har den lilla lökringen höjden som ges av likformiga trianglar (rita!) formel V Π R R. Så med R Π R R Π R

10 Tillämpad Matematik I, Övning /ITE/BN. Bestäm med hjälp av integral volmen av ett klot med radien R. Genomför kalklen både med små clindrar och små lökringar Vilken integral blir enklast? Lösningsförslag: Först små clindrar. Vid har den lilla clindern en radie som ges av R. Så med formel V Π R R Π R ΠR Vid har den lilla lökringen höjden som ges av R. Så med formel V Π R Π R PowerEpand Π R Sista integralen bjuder helt klart mest motstånd. Gör variabelsubstitutionen u R.. En chokladpralin är formad som en stmpad cirkulär kon med radierna R och R samt höjden R. Sök dess volm. Lösningsförslag: Enklast är det nog positionera pralinen så att dess rotationsael sammanfaller med -aeln och betrakta den som R en rotationsvolmen kring -aeln Π. Det enda bekmret vi har innan vi kan integrera är att bestämma radien, som uppenbarligen är linjär k m. Vi känner den i två punkter så R R k m,, R, R, R R k m R k R m k m R R kåm Solve R k m, R kr m, k, m First k, m R varav k m. kåm R Nu är det bara att integrera antingen direkt R ΠR Π R R Π R R R Π R 8R ΠR eller med variabelsubstitution för att slippa krångel med inre derivatan

11 /ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning. Substitutionen u R u. Måttet u u R R. Gränserna R u R R R R Π R u u Π u R R Π R 8R ΠR eller med Mathematica. R Π Π R 6. Bestäm med hjälp av integral längden av kurvan,, Lösningsförslag: Vi har med formel L '. ärled!! Vi kontrollerar med Ptagoras sats, L Bestäm med hjälp av integral arean av manteltan hos en rak cirkulär kon med basradien R och höjden. Lösningsförslag: Lägg konen ned så att spetsen hamnar i origo och -aeln längs dess rotationsael. Vid är radien som ges av likformiga trianglar (rita!) R. Slutligen med formel A Π '. Π R R Π R R 8. Bestäm med hjälp av integral såväl area som omkrets för en cirkel med radien R. Genomför areakalklen både med små lökringar och små rektanglar Lösningsförslag: Först omkretsen, där en liten bit s RΘ om Θ är bågvinkeln, så

12 Tillämpad Matematik I, Övning /ITE/BN Π R Θ Π R Sedan arean med små lökringar A Πrr R Π r r Π R Sedan arean med små rektanglar A R. R R R PowerEpand Π R Denna integral är något besvärlig. Gör variabelsubstitution Rsin. Gå sedan över till dubbla vinkeln i integranden. 9. Bestäm med hjälp av dubbelintegral och polära koordinater arean för en cirkel med radien R. Lösningsförslag: Vi har det lilla areaelementet A rrθ, så nu är det bara att integrera Π R Π A rrθ r rr Π r Θ R Θ R ΠΠR Men Mathematica då Π Π R R r r Θ. Vilket arbete krävs för att dra ut en fjäder m om man vet att kraften N drar ut den m? Lösningsförslag: Låt fjädern vara utdragen m. Det lilla arbetet att dra ut den tterligare ett litet stcke blir då A F k och slutligen A A. I en smal rak stång med längden L m är densiteten Ρ kgm proportionell mot avståndet i kvadrat till stångens ena ändpunkt. Bestäm tngdpunktens läge G ur ekvationen m G m. L Lösningsförslag: Låt vara koordinat i stången räknat från "ena" ändpunkten. Massan för en liten bit vid blir då m Ρ k så slutligen tngdpunktens läge. L ekv G k kl kl G

13 /ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning Solveekv, G G L. I en smal rak stång med längden L m varierar densiteten Ρ kgm linjärt så att den är Ρ vid ena ändpunkten och Ρ vid den andra. Bestäm tngdpunktens läge G om vi vet att denna bestäms av ekvationen m G m. Ρ Ρ Ρ L Lösningsförslag: Eftersom densiteten varierar linjärt har vi Ρ : k m där k och m bestäms av tillståndet i de två ändpunkterna kåm SolveΡ Ρ, ΡL Ρ, k, m First k Ρ L, m Ρ Vid läget i stången har vi den lilla massan m Ρ så nu är det bara att meka ihop det hela varav till slut L ekv G Ρ. kåm L Ρ 6 L Ρ G Solveekv, G G L 9. En pappskiva i form av en rätvinklig triangel, med konstant tdensitet Ρ, är uppriggad enligt figur. Bestäm tngdpunktens läge G, G, om vi vet att denna bestäms av ekvationen m G m och analogt i riktningen. b a Lösningsförslag: Dela upp triangeln i tunna strimlor. öjden för en sådan vid ges av likformiga trianglar b, och med a konstant tdensitet Ρ ligger dess tngdpunkt i,. Vidare är m ΡA Ρ och slutligen de efterlängtade a Solve, G, G Ρ. b a, G, G G a, G b. Bestäm masströghetsmomentet m m för en smal stång med längden L och massan m, med avseende på a en ael vinkelrät genom centrum, b en ael vinkelrät genom ena änden. L Lösningsförslag: a) Låt vara koordinat i stången räknat från centrum. Masströghetsmomentet för en liten bit vid blir då I m Ρ Ρ m L m och slutligen I L I

14 Tillämpad Matematik I, Övning /ITE/BN L L L m m L b) Låt vara koordinat i stången räknat från ena ändpunkten. Masströghetsmomentet för en liten bit vid blir då I m Ρ Ρ m L m och slutligen I L I L m L L m. I en smal rak stång med längden L m varierar densiteten Ρ kgm linjärt så att den ökar från Ρ vid ena ändpunkten till Ρ vid den andra. Bestäm tröghetsmomentet m m kring aeln samt kring en ael genom mittpunkten parallel med aeln. Ρ Ρ Ρ L Lösningsförslag: Eftersom densiteten varierar linjärt har vi Ρ : k m där k och m bestäms av tillståndet i de två ändpunkterna kåm SolveΡ Ρ, ΡL Ρ, k, m First k Ρ L, m Ρ Vid läget i stången har vi den lilla massan m Ρ så nu är det bara att meka ihop det hela. Först tröghetsmomentet kring - aeln L Ρ. kåm 7 L Ρ Sedan kring en ael vinkelrät genom mittpunkten. Tänk på att r i formeln är avståndet från rotationsaeln till den lilla massan m. L L Ρ. kåm L Ρ 8 6. I en smal rak stång med längden L m varierar densiteten Ρ kgm parabelformat så att den är Ρ vid ändpunkterna och Ρ på mitten. Bestäm tröghetsmomentet m m kring aeln samt kring en ael genom mittpunkten parallell med aeln. Ρ Ρ Ρ L Lösningsförslag: Vi har att göra med en parabel som är skiftad L ΡΡ L. Om vi inte inser detta får vi räkna... i -led till L samt i -led till det efterlängtade Ρ : Ρ a b c

15 /ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning där a, b och c bestäms av tillståndet i de två ändpunkterna och på mitten abc SolveΡ Ρ, ΡL Ρ, Ρ L Ρ, a, b, c First a L, b, c L Vid läget i stången har vi den lilla massan m Ρ så nu är det bara att muppa ihop det hela. Först tröghetsmomentet kring - aeln L Ρ. abc 7 L Ρ Sedan kring en ael vinkelrät genom mittpunkten. Tänk på att r i formeln är avståndet från rotationsaeln till den lilla massan m. L L Ρ. abc L Ρ 7. I en smal rak stång är densiteten ΡΡ kgm. L Sök stångens längd L m om man vet att den väger M kg. Ρ Ρ L Lösningsförslag: Vid läget i stången har vi den lilla massan m Ρ så nu är det bara att muppa ihop det med villkoret att hela klumpen väger M kg. ekv LΡ L L Ρ M varav till slut stångens längd Solveekv, L L M Ρ M 8. En triangulär dammlucka enligt figur ska bära trcket från vattnet som varierar enligt pρgnm, där är djupet under vattentan. Sök totala trckkraften på luckan. b Lösningsförslag: Låt luckans bredd vara b vid djupet. Likformiga trianglar ger då varav b. Test: b och b, Ok! På djupet har vi så på den lilla rektangeln A b den lilla trckkraften F pa Ρgb Ρg. Sedan är det bara att lägga samman alla de små bidragen Ρ g 8 g Ρ

16 6 Tillämpad Matematik I, Övning /ITE/BN 9. En tunn pappskiva i form av en rätvinklig triangel med massan m är uppriggad enligt figur. Sök tröghets momentet m r m då den roterar kring aeln. b a Lösningsförslag: Först har vi tdensiteten Ρ m och hpotenusans ekvation (visa med likformiga trianglar!) b. ab a Klipp sedan upp triangeln i smala rektangulära strimlor. Bidraget till tröghetsmomentet kring -aeln från en sådan är J m Ρ. Nu är det bara att lägga samman strimlorna. m a b ab a a m 6. På stranden sitter ett barn och bgger ett sandslott i form av en rak cirkulär kon av sand med densiteten Ρ kgm. Vilket arbete har barnet uträttat då sista sandkornet placerats på toppen av konen om dess basradie då är R m och höjd m? Ledning: Att lfta massan m höjden h kräver arbetet mgh. Betrakta sedan det uträttade arbetet som att lfta många tunna cirkulära skivor på plats. Lösningsförslag: Följ tipset. Om h är höjden som en liten clinder ska lftas får vi hela arbetet som barnet uträttar till E E E m ghm V ghρv ghρπr h likformiga : h hand överlämnar till Mathematica g hρπ R h h Π g Ρ R r R r R h ghρπ R h h som vi med varm. En rotationssmmetrisk tank 9,8som är helt flld av en vätska med densiteten Ρ ska tömmas med hjälp av en pump på taket. Vilket arbete kommer pumpen att uträtta? Lösningsförslag: Vi väljer att integrera i -riktningen. På höjden över "marken" ska vi lfta en liten vätskeclinder sträckan 8 8 upp till taket, så det uträttade arbetet blir då E E E m g8 m V g8 ΡV g8 ΡΠ g8 ΡΠ9 som vi med nöje överlämnar till Mathematica 8 g8 Ρ Π 9 Π g Ρ

17 /ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning 7. I en stad anser man att befolkningstätheten Ρr invånare per kvadratkilometer varierar enligt Ρr r, r, där r km är avståndet från centrum. ur många personer bor det i staden som har mellan och km till centrum? Ledning: Använd lökringar Lösningsförslag: Lägg lökringar över staden. I den lökring som har radie r och tjockleken r bor det då P ΡrA ΡrΠrr personer. Så nu är det bara att lägga samma bidragen från alla lökringarna. P r Π r r 688 Π P N ärled volmen B för en pramid med kvadratisk basta B a och den vinkelräta höjden mot denna. z a a Lösningsförslag: Vid varje z har vi snitt vinkelrät mot z-aeln som är kvadratiska med sidan z a ur likformiga trianglar, rita figur! Så arean Az z a varav volmen för den lilla skivan V Azz. Nu är det bara att lägga samman alla små bidrag z a z a som med B a stämmer precis med problemtetens formulering. Lite enklare räkningar blir det om vi vänder pramiden upp och ned. Då blir istället Az z a. Gör det som övning! Men framför allt frestas inte till att låta bastan variera linjärt i z-led. Det blir fel!!! Vi får i detta fall Az z B och det felaktiga svaret B z B z. ärled volmen B för en pramid med triangulär basta B och den vinkelräta höjden mot denna. z Lösningsförslag: Låt den triangulära bastan ha basen b och höjden h mot denna. Vänd sedan för enkelhets skull pramiden upp och ned. Vid varje z har vi då snitt vinkelrät mot z-aeln som är triangulära med basen z b och höjden z h ur likformiga trianglar, rita figur! Så arean Az z b z h varav volmen för den lilla skivan V Azz. Nu är det bara att lägga samman alla små

18 8 Tillämpad Matematik I, Övning /ITE/BN bidrag bh 6 z b z h z varav V bh bh B enligt problemtetens formulering. Frestas inte till att låta bastan variera linjärt i z-led. Det 6 blir fel!!! Vi får i detta fall Az z B och det felaktiga svaret z B z B. Från en ost formad som ett rätblock bortskäres med tråd en kil så att den kvarvarande ostbiten bildar en kropp där varje snitt vinkelrät mot z aeln är en parallelltrapets; urartad till en rektangel vid z och en triangel vid z. Sök ostbitens volm.,, z,,,,,,,,,, Lösningsförslag: Vi bestämmer först arean av parallelltrapetserna Az hb b. öjden h i -riktningen är oberoende av z, likaså bredden b i z-planet vid. Bredden b i z-planet vid varierar dock linjärt enligt b z. De små volmerna blir då V Azz. Nu är det bara att lägga samman alla små bidrag z z 6. Bestäm med hjälp av dubbelintegral och polära koordinater volmen av läppstiftet som begränsas av, z och z 8. z Lösningsförslag: Läppstiftet är tdligen format som en clinder med radien R avskuren med planet z 8. Lägg in polära koordinater i bastan, det vill säga -planet. öjden i varje punkt blir då z 8 8 r cosθ så volmen av en liten pelare vid r, Θ blir V za zrrθ 8 r cosθrrθ. Nu är det bara lägga samman bidragen från alla små pelare för att få fram volmen Π Π 8 r cosθrrθ 8r r Π cosθrθ r r r Π 8 cosθ r Θ 6 cosθθ 6Θ 8 sinθ ΘΠ 8 Θ 6Π 6 8 Π Vi låter väl Mathematica få sista ordet Π Π 8 r CosΘ r r Θ

19 /ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning 9 Etrauppgifter i andra hand i mån av tid 7. Låt f vara den stckvis konstanta funktionen i figuren och beräkna f och cosπf. f b Lösningsförslag: Integration av stckvis konstant funktion. Dela upp intervallet enligt stckvisheten, så vi har a k kb a i varje intervall. Men först två integrationsregler i första integralen f f f 9 8 cosπf cosπ cosπ cosπ cosπ, CosΠ, 8. Integrera a b c t t d e sin f cos g t t i u j u u k c u u c t h Lösningsförslag: Drillövning på integration. Testa Mathematica! a C b C c t t t C d C e) cosc f sin C g t i ln j ln k) c 6 C h 9. Bestäm volmen av den kropp som uppkommer då området som innesluts av aeln och grafen till sin,πroterar ett varv kring aeln Lösningsförslag: Vi får direkt med "formel" V a b Π Π Π Π Sin

20 Tillämpad Matematik I, Övning /ITE/BN. Bestäm den volm som innesluts då området som innesluts mellan sin, cos, Π, roterar ett varv kring aeln Lösningsförslag: Rotation kring -aeln av tunna ananasskivor, a b Π i. Denna ska du kunna härleda! Π ΠSin Cos Π Π. En triangulär dammlucka enligt figur ska bära trcket från vattnet som varierar enligt pρgnm, där är djupet under vattentan. Sök totala trckkraften på luckan samt det moment som trcket orsakar kring luckans upphängningsael vid vattentan. Lösningsförslag: Låt luckans spets vara på djupet h och dess bredd vara b vid djupet. Likformiga trianglar ger då b h h b. Test: b och h b,ok På djupet har vi på den lilla rektangeln A b den lilla trckkraften h F pa Ρgb Ρg. Sista pusselbiten h ges av Ptagoras sats, h h. Sedan är det bara att lägga samman alla de små bidragen varav F Solve F hρ g h, h, F, h F g Ρ, h, F g Ρ, h Sedan momentet M F. M Solve M h Ρ g h, h, M, h M 6 g Ρ, h, M 6 g Ρ, h. På ett reningsverk finns en bassäng för smutsigt vatten. Denna har höjden m och cirkulärt tvärsnitt med radien r,. Den är helt flld med smutsigt vatten som beroende på partiklar har densiteten Ρhh kgm, där h är djupet under tan. Bestäm vattnets totala massa. Lösningsförslag: Skiva upp bassängen i små clindrar med höjden och varierande radie r. Den lilla clinderns massa ges sedan av m ΡV ΡΠr Π. Nu är det bara att lägga samman alla de små bidragen Π 8 Π

21 /ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning. En tunn tråd med densiteten Ρ böjs till en spiral med radien rθ kθ,θπ. Bestäm spiralens masströghetsmoment kring origo. I figuren till höger är spiralen uppritad med k k..... Lösningsförslag: Klipp upp spiralen i små bitar s rθ. Det lilla tröghetsmomentet ges sedan av I r m r Ρs r ΡrΘ. Sedan är det bara att lägga samman alla de små bidragen Π Ρ k Θ Θ Π k Ρ k. Bestäm volmen av den kropp som uppkommer då området som innesluts av aeln, linjen samt grafen till, roterar ett varv kring linjen..... Lösningsförslag: Tunna lökringar kring aeln, som vid har radien r och väggtjockleken. Dessa får då volmen V Πr Π. z Nu är det bara att samla ihop alla små droppar Π Π. Man vet att f ' och att f. Bestäm f Lösningsförslag: Integrera båda sidor i ekvationen från till, alltså f '. Den sista integralen beräknas med hjälp av figuren ovan, den är ju enligt definition lika med arean av det färglagda området. Vi får f f f f f 6. Eller direkt i Mathematica ekv AbsAbs ff, f f f, f Solveekv, f, f

22 Tillämpad Matematik I, Övning /ITE/BN f 6, f Fördjupningsuppgifter i tredje hand eller inte alls 6. Integrera a b s s c ln d s ln e f g h sin i j arctan k tan Lösningsförslag: Fingerfärdighetsträning på integration. Testa Mathematica! a arctanc b s arctansc c ln C d 9ln C e C f h sincosc i ln C j arctanc k) lncos C C g) C Π 7. Integrera a cos b sinπ c d ln e tan f sin g cos h Π i j sin k Lösningsförslag: Fingerfärdighetsträning på integration. Testa Mathematica! a) b) Π k C ln c 8 d) Π lnc e tan C f cossinc g sin sin C h 9 i j 8. Genom centrum på ett klot borras ett hål som visar sig få längden a. Bestäm volmen av det material som återstår. Lösningsförslag: Skiva kroppen i höjdled, då kan vi se den som summan av små ananasskivor med höjden på höjden a, a. Tillsammans med Ptagoras sats två gånger får vi ekvationerna (rita figur!) ekv dv Πr r i d, r R,a r i R dv Πd r r i, r R, a r i R Lös ut dv som funktion av. lillav Solveekv, dv, r,r i dv Πa d d, r R, r i R a, dv Πa d d, r R, r i R a, dv Πa d d, r R, r i R a, dv Πa d d, r R, r i R a Välj rätt lösning med r i, r, och integrera fram volmen, vilken visar sig överensstämma med volmen av ett klot med radien a! a a dv d. lillav Π a 9. Bestäm den volm som innesluts då området som innesluts mellan sin, cos, Π, roterar ett varv kring aeln

23 /ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning Lösningsförslag: Lökringar kring -aeln a b Πövre undre. Denna ska du kunna härleda! Π Π Sin Cos Π Π 6. Bestäm längden av Pascals snäcka rθ cosθ, ΘΠ. Kurvan är uppkallad efter den berömde Blaise Pascals far Etienne Pascal..... rθ Θ.... Lösningsförslag: Den lilla båglängden s Θ Θ Θ. Vi får r CosΘ; r CosΘ; r SinΘ; ds D, Θ D, Θ Simplif cosθ Vi hamnar i en besvärlig integral, se nedan. Π ds Θ 8 Om vi kommer ihåg s r r' Θ så fungerar det också... Π 8 r Dr, Θ Θ När man räknar för hand är det lämpligt att gå över till halva vinkeln i uttrcket för s ovan s cosθ cos Θ cos Θ cos Θ är bter nu cos Θ tecken mitt i integrationsintervallet, Π. Detta måste beaktas när vi "tar bort" absolutbeloppet och slutligen integrerar fram båglängden L L Π Θ S s cos Π Θ cos Π Θ Π cos Θ Π Π 8 Π 6. ärled volmen B för en pramid med godtcklig basta B och den vinkelräta höjden mot denna. z Lösningsförslag: Bastan har ett karakteristiskt längdmått r B som varierar linjärt i höjdled. Vänd för enkelhets skull prami-

24 Tillämpad Matematik I, Övning /ITE/BN den upp och ned. Vid varje z har vi då snitt vinkelrät mot z-aeln som har arean Az z r varav volmen för den lilla skivan V Azz. Nu är det bara att lägga samman alla små bidrag B z B z Frestas inte till att låta bastan variera linjärt i z-led. Det blir fel!!!