Matematisk Modellering Övning 3

Transkript

1 HH/IDE/BN Matematisk Modellering, Övning 8 6 Matematisk Modellering Övning 6 8 Allmänt Övningsuppgifterna är eempel på uppgifter, eller delar av uppgifter, du kommer att möta på tentamen. Undantag utgör naturligtvis moment som direkt hänvisar till användning av Mathematica. På tentan är du ensam, så det är viktigt att du klarar av uppgifterna på egen hand för hand! Trots detta rekommenderas och uppmuntras arete i grupp samt användning av Mathematica!! I lösningsförslagen hittar du oftast åde "tentavarianten" för hand och Mathematica. Detta för att du ska få träning på åda! Avsaknad av handräkning eller "snåla" sådana ska tolkas positivt som en inspiration och utmana dig till att flla igen luckor och verifiera det som är gjort för hand eller med Mathematica. Uppgifter. Bestäm arean som innesluts mellan kurvorna f = och g = - då œ,. f,g Lösningsförslag: Vi måste dela upp integrationsintervallet eftersom kurvorna skär varann där. Först funktionerna sedan skärningspunkten f ;g ; Solvef g Ø, Ø Nu är det ara att hålla reda på vilken som är överst i respektive intervall och integrera. A f g ÅÅÅÅÅ A g f 5 ÅÅÅÅÅ A A Eller direkt med asolutelopp. Asf g

2 HH/IDE/BN Matematisk Modellering, Övning. Använd integral för att estämma arean av triangeln med hörnen i,, 5, och 5,. 5 Lösningsförslag: Hpotenusan har ekvationen = ÅÅÅÅ varav arean ÅÅÅÅÅÅÅÅ 5. Området under grafen = ÅÅÅÅÅ för œ, delas i två lika stora delar av linjen = a. Sök a a Lösningsförslag: Vi får direkt a ekv Simplif a 5 a ã 8, a Solveekv a Ø 8 ÅÅÅÅÅ 5. För arean A i figuren gäller för alla > att A = arctan. Bestäm funktionen f för alla >. A = f Lösningsförslag: Detta är ju inget annat än geometrisk tolkning av estämd integral när f >, så f = F = F - F = arctan fl f = def F ÅÅÅÅÅÅÅ f DArcTan,Simplif ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + = ÅÅÅÅÅÅ arctan = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Bestäm A = - f t t, -. Ange det analtiska uttrcket för A i varje delintervall. f Lösningsförslag: Definiera funktionen och integrera fram A i varje intervall.

3 HH/IDE/BN Matematisk Modellering, Övning f_ : ² ² ± ² ² ± ;A_ ² ² ± t ft t t ftt t ftt t PlotA,,,, PlotStle Hue., AesLael "", "A"; A Bestäm arean mellan graferna = - och =. = -,= Lösningsförslag: Här kan det vara lämpligt att integrera i -led för att slippa dela upp integrationsintervallet samt att få enklare integrander. Först integrationsgränserna som ges av skärningspunkterna. Solve, Ø-, Ø-, Ø, Ø Så med vetskapen att den räta linjen ligger överst i -led 9 ÅÅÅÅÅ 7. Bestäm riktningskoefficienten för en rät linje l : = k + m som går genom, så att området som innesluts av aeln, aeln, l och linjen + = 6 får arean. =k+m,+= Lösningsförslag: Vi får = k + som förslag på l, t m = enligt uppgift. Först skärningspunkten mellan l och den givna linjen, det vill säga en av integrationsgränserna. c. Solve k, 6,,First ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ k + Slutligen estämmer önskat villkor på arean värdet på k

4 HH/IDE/BN Matematisk Modellering, Övning c 6 ekv k c 8 k ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ k ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ k + + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ k + + Simplifekv 6 k + 5 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ k + Solveekv k Ø ÅÅÅÅÅ 8. Beräkna aretet som krävs för att lfta 5 kg kol ur en 7 m djup gruva med en kael som väger.5 kgm. Vid varje lft kan man ta maimalt 8 kg kol i hisskorgen som väger kg. Lösningsförslag: Låt oss göra två lft om 75 kg. Linan har tngdpunkten mitt på så totala aretet med A = mgh lir g μ 6 g 9. En modell för att eskriva volmen ved i ett träd gavs av Zhang, Borders och Baile. h Om trädet är H högt så gäller för volmen upp till höjden h att Vh = k H -. a Bestäm enheten på konstanten k så att modellen lir konsistent. Integrera fram ett slutet uttrck för Vh. c Bestäm volmen för hela trädet. ita vedens utveckling med höjden! d Dela in höjden i tre lika delar och ange hur trädets volm fördelas över dessa. Lösningsförslag: Vi örjar väl med uppgift a) m = k m m ñ k = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ m ÅÅÅÅÅ = m. Så en lämplig n konstant kan vara k = c H med c dimensionslös. Solvem km m, k k Ø m m m ) Integrera på. Gör variaelsustitution u = H - om det stretar emot Vh = c h H H - = c - H ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + H - h + = ÅÅÅÅ 5 c H H 5 - H - h 5. Mathematica förenklar inte lika mcket. Vh_ 5 c H IntegrateH,,, h, Assumptions H h Simplif ÅÅÅÅÅÅÅÅ 5 c H H 5 - H - hh + h H - hh - h H - h c) Hela trädets volm, notera den rätta enheten m eftersom c är dimensionslös. VH ch ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 5 Så vedens utveckling. Det är inte ovanligt att använda dimensionslösa koordinater.

5 HH/IDE/BN Matematisk Modellering, Övning 5 PlotEvaluate Vh.H, h,,, VH PlotStle Hue., AesLael "hh", "VhVH"; VhVH hh d) Volmfördelning för angiven uppsågning. VH V H, V H V H, VH V H Simplif % N - ÅÅÅÅ - + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ, ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 9 9,.67,.9877,.65 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 9. Bestäm arean som innesluts mellan = sin, = - cos, ÅÅÅÅ p Lösningsförslag: Direkt tillämpning på areaeräkning, med sin överst Needs"Graphics`FilledPlot`"; FilledPlotSin, Cos,,,, AesLael,, Fills Hue.9; Sin Cos - p ÅÅÅÅÅ. Bestäm volmen av den kropp som uppstår då området som innesluts av aeln, linjerna = och = 5 samt grafen till = +, 5 roterar ett varv runt aeln. - - Lösningsförslag: Direkt tillämpning på formel a p. Formler ska alltid etraktas med misstänksamhet. Lär dig härledningen! Den är mcket nttig och metoden att summera små av de mest skilda slag återkommer i tid och otid!! 5 5 ÅÅÅÅÅ p 6

6 HH/IDE/BN Matematisk Modellering, Övning 6. Bestäm volmen av den kropp som uppkommer då området som innesluts av aeln, linjerna = och = samt grafen till = ÅÅÅÅ, roterar ett varv kring aeln Lösningsförslag: Vi får direkt med "formel" V = a p. Härled! Gör dé... p. När det markerade området som egränsas av den räta linjen aeln, linjerna = a och = a + roterar ett varv runt aeln alstras en kropp. Sök a œ, så att denna kropp får volmen p volmenheter. a a+ Lösningsförslag: Först den egränsande räta linjen som är = - ÅÅÅÅ. Integrera sedan med små clindrar i -led så har vi a+ kroppens volm V = a p a+ = = a p - ÅÅÅÅ =p ÅÅÅÅÅ 6 - ÅÅÅÅ + a+ a. Så villkoret på önskad volm ger oss direkt ekvationen ekv a a p a ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 8 Varav det sökta - p a ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + 7 p ÅÅÅÅÅÅÅÅ 6 p Epand ÅÅÅÅÅÅÅÅ 6 - ÅÅÅÅÅ + Solveekv % N a Ø ÅÅÅÅÅ 9-69, a Ø ÅÅÅÅÅ a Ø.5, a Ø När det markerade området i figuren roterar ett varv runt aeln alstras en kropp. Sök a så att denna kropp får volmen p volmenheter. a+ 6 =6- a a+ Lösningsförslag: Integrera med små clindrar i -led så har vi kroppens volm V = a p = a+ = a p6-6 =p6 - a+ a. Så villkoret på önskad volm ger oss direkt ekvationen a ekv 6 6 a

7 HH/IDE/BN Matematisk Modellering, Övning 7 Varav det sökta 6 p- a p p Solveekv a Ø ÅÅÅÅÅ 5 5. Bestäm med hjälp av integral volmen av en rak cirkulär clinder med asradien och höjden H. Genomför kalklen åde med små clindrar och små lökringar! Lösningsförslag: Först små clindrar. Lägg den ned och låt =, H svepa runt -aeln. Vi får då direkt med formel V = p H H p Sedan stående clinder med små lökringar runt -aeln där = H,. Vi får då direkt med formel V = p H H p 6. Bestäm med hjälp av integral volmen av en rak cirkulär kon med asradien och höjden H. Genomför kalklen åde med små clindrar och små lökringar! Lösningsförslag: Först små clindrar. Lägg konen ned så att spetsen hamnar i origo och -aeln längs dess rotationsael. Vid har den lilla clindern en radie som ges av likformiga trianglar (rita!) ÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅ H. Så med formel V = p H H ÅÅÅÅÅ H p Ställ sedan konen med spetsen uppåt. Vid har den lilla lökringen höjden som ges av likformiga trianglar (rita!) Så med formel V = p ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - = ÅÅÅÅÅ H. H ÅÅÅÅÅ H p

8 HH/IDE/BN Matematisk Modellering, Övning 8 7. Bestäm med hjälp av integral volmen av ett klot med radien. Genomför kalklen åde med små clindrar och små lökringar! Vilken integral lir enklast? Lösningsförslag: Först små clindrar. Vid har den lilla clindern en radie som ges av + =. Så med formel V = p p ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Vid har den lilla lökringen höjden som ges av + =. Så med formel V = p PowerEpand p ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Sista integralen juder helt klart mest motstånd. Gör variaelsustitutionen u = En chokladpralin är formad som en stmpad cirkulär kon med radierna och samt höjden. Sök dess volm. Lösningsförslag: Enklast är det nog positionera pralinen så att dess rotationsael sammanfaller med -aeln och etrakta den som en rotationsvolmen kring -aeln þ. Det enda ekmret vi har innan vi kan integrera är att estämma radien, som uppenarligen är linjär = k + m. Vi känner den i två punkter så = k + m, =,, =, fl = k ÿ + m = k ÿ + m fl k =- ÅÅÅÅ m = kåm Solve k m, k m, k, m First k Ø- ÅÅÅÅÅ, m Ø varav k m. kåm - ÅÅÅÅÅ Nu är det ara att integrera antingen direkt p - ÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ p -ÿ - ÅÅÅÅ =- p ÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅ - - ÅÅÅÅ =-ÅÅÅÅÅÅÅ p - 8 = p ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

9 HH/IDE/BN Matematisk Modellering, Övning 9 eller med variaelsustitution för att slippa krångel med inre derivatan. Sustitutionen u = - ÅÅÅÅ u. Måttet ÅÅÅÅÅÅ =- ÅÅÅÅ ñ =- u = fl u = - ÅÅÅÅ. Gränserna = = fl u = - ÅÅÅÅÅÅÅ = eller med Mathematica. fl -p u u =-ÅÅÅÅÅÅÅ p u =- p ÅÅÅÅÅÅÅ - 8 = p ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ p ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ 9. Bestäm med hjälp av integral längden av kurvan = -, œ, Lösningsförslag: Vi har med formel L = + '. Härled!! 5 Vi kontrollerar med Ptagoras sats, L = = - + ÿ - - ÿ - = + 6 = 5.. Bestäm med hjälp av integral arean av manteltan hos en rak cirkulär kon med asradien och höjden H. Lösningsförslag: Lägg konen ned så att spetsen hamnar i origo och -aeln längs dess rotationsael. Vid är radien som ges av likformiga trianglar (rita!) ÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅ H. Sutligen med formel A = p + '. H H H H p ÅÅÅÅÅÅÅÅ H +. Bestäm med hjälp av integral såväl area som omkrets för en cirkel med radien. Genomför areakalklen åde med små lökringar och små rektanglar!

10 HH/IDE/BN Matematisk Modellering, Övning Lösningsförslag: Först omkretsen, där en liten it s = q om q är ågvinkeln, så p Sedan arean med små lökringar A = pr r rr p Sedan arean med små rektanglar A = = -. PowerEpand p Denna integral är något esvärlig. Gör variaelsustitution = sinj. Gå sedan över till dula vinkeln i integranden.. Vilket arete krävs för att dra ut en fjäder om man vet att kraften N drar ut den ÅÅÅÅÅ m ÅÅÅÅÅÅÅÅ m? Lösningsförslag: Låt fjädern vara utdragen m. Det lilla aretet att dra ut den tterligare ett litet scke lir då A = F = k = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å och slutligen A = A 5 ÅÅÅÅÅÅÅÅ. I en smal rak stång med längden L m är densiteten r kgm proportionell mot avståndet i kvadrat till stångens ena ändpunkt. Bestäm tngdpunktens läge T ur ekvationen m - T m =. L Lösningsförslag: Låt vara koordinat i stången räknat från "ena" ändpunkten. Massan för en liten it vid lir då m = r = k och slutligen tngdpunktens läge. L ekv Tp k kl ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅ kl Tp Solveekv, Tp Tp Ø L ÅÅÅÅÅÅÅÅ. Bestäm masströghetsmomentet m m för en smal stång med längden L och massan m, med avseende på a en ael vinkelrät genom centrum, en ael vinkelrät genom ena änden. L

11 HH/IDE/BN Matematisk Modellering, Övning Lösningsförslag: a) Låt vara koordinat i stången räknat från centrum. Masströghetsmomentet för en liten it vid lir då I = m = r = r = ÅÅÅÅÅ m L = ÅÅÅÅÅ m L och slutligen I = I L m L L L m ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ) Låt vara koordinat i stången räknat från ena ändpunkten. Masströghetsmomentet för en liten it vid lir då I = m = r = r = ÅÅÅÅÅ m L = ÅÅÅÅÅ m L och slutligen I = I L m L L m ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 5. I en smal rak stång med längden L m varierar densiteten r kgm linjärt så att den är r vid ena ändpunkten och r vid den andra. Bestäm tngdpunktens läge T om vi vet att denna estäms av ekvationen m - T m =. r r r L Lösningsförslag: Eftersom densiteten varierar linjärt har vi _ : k m där k och m estäms av tillståndet i de två ändpunkterna kåm Solve, L, k, m First k Ø r ÅÅÅÅÅÅÅÅ L, m Ør Vid läget i stången har vi den lilla massan m = r så nu är det ara att muppa ihop det hela varav till slut L ekv Tp. kåm 5 L r ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅ 6 L Tp r Solveekv, Tp Tp Ø ÅÅÅÅÅÅÅÅ 5 L 9 6. I en smal rak stång med längden L m varierar densiteten r kgm linjärt så att den är r vid ena ändpunkten och r vid den andra. Bestäm tröghetsmomentet m m kring aeln samt kring en ael genom mittpunkten parallell med aeln. r r r L Lösningsförslag: Eftersom densiteten varierar linjärt har vi _ : k m

12 HH/IDE/BN Matematisk Modellering, Övning där k och m estäms av tillståndet i de två ändpunkterna kåm Solve, L, k, m First k Ø r ÅÅÅÅÅÅÅÅ L, m Ør Vid läget i stången har vi den lilla massan m = r så nu är det ara att meka ihop det hela. Först tröghhetsmomentet kring -aeln L. kåm 7 L r ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Sedan kring en ael vinkelrät genom mittpunkten. Tänk på att r i formeln är avståndet från rotationsaeln till den lilla massan m. L L. kåm L r ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 8 7. I en smal rak stång med längden L m varierar densiteten r kgm paraelformat så att den är r vid ändpunkterna och r på mitten. Bestäm tröghetsmomentet m m kring aeln samt kring en ael genom mittpunkten parallell med aeln. r r r L Lösningsförslag: Vi har att göra med en parael som är skiftad L ÅÅÅÅ r =r + - ÅÅÅÅÅÅ L. Om vi inte inser detta får vi räkna... _ : a c där a, och c estäms av tillståndet i de två ändpunkterna och på mitten ac Solve, L, L, a,, c First a Ø ÅÅÅÅÅÅÅÅ L, Ø- ÅÅÅÅÅ L, c Ø i -led till - ÅÅÅÅÅÅ L samt i -led till det efterlängtade Vid läget i stången har vi den lilla massan m = r så nu är det ara att muppa ihop det hela. Först tröghhetsmomentet kring -aeln L. ac 7 L r ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 5 Sedan kring en ael vinkelrät genom mittpunkten. Tänk på att r i formeln är avståndet från rotationsaeln till den lilla massan m. L L. ac L r ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 5

13 HH/IDE/BN Matematisk Modellering, Övning 8. I en smal rak stång är densiteten r =r ÅÅÅÅ L kgm. Sök stångens längd L m om man vet att den väger M kg. r r L Lösningsförslag: Vid läget i stången har vi den lilla massan m = r så nu är det ara att muppa ihop det med villkoret att hela klumpen väger M kg. L ekv L M L r ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ M varav till slut stångens längd Solveekv, L L Ø M ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ r 9. En triangulär dammlucka enligt figur ska ära trcket från vattnet som varierar enligt p = rgnm, där är djupet under vattentan. Sök totala trckkraften på luckan. Lösningsförslag: Låt luckans redd vara vid djupet. Likformiga trianglar ger då ÅÅÅÅÅÅÅÅ - = ÅÅÅÅ varav = -. Test: = fl = och = + fl =, Ok! På djupet har vi så på den lilla rektangeln A = den lilla trckkraften F = p A = rg = rg -. Sedan är det ara att lägga samman alla de små idragen g 8 g r ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ. En tunn pappskiva i form av en rätvinklig triangel med massan m är uppriggad enligt figur. Sök tröghets momentet m r m då den roterar kring aeln. a m Lösningsförslag: Först har vi tdensiteten r = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ och hpotenusans ekvation (visa med likformiga trianglar!) ÅÅÅÅ a = - ÅÅÅÅ. Klipp sedan upp triangeln i smala rektangulära strimlor ä. Bidraget till tröghetsmomentet kring -aeln a från en sådan är J = m = r. Nu är det ara att lägga samman. a a m ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 6 m a a

14 HH/IDE/BN Matematisk Modellering, Övning. På stranden sitter ett arn och gger ett sandslott i form av en rak cirkulär kon av sand med densiteten r kgm. Vilket arete har arnet uträttat då sista sandkornet placerats på toppen av konen om dess asradie är m och höjd H m? Ledning: Att lfta massan m höjden h kräver aretet mgh. Betrakta sedan det uträttade aretet som att lfta många tunna cirkulära skivor på plats. Lösningsförslag: Följ tipset. Om h är höjden som en liten clinder ska lftas får vi hela aretet som arnet uträttar till H E = E E = m gh m = V ghr V = ghr pr H-h h = likformiga D : ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ H = ÅÅÅÅÅ r fl r = ÅÅÅÅÅ H H - h = H ghrp ÅÅÅÅÅ H H - h h som vi med nöje överlämnar Hg h H H h h ÅÅÅÅÅÅÅÅ gh p r. En rotationssmmetrisktank = 9 - ÅÅÅÅ, 8 som är helt flld av en vätska med densiteten r ska tömmas med hjälp av en pump på taket. Vilket arete kommer pumpen att uträtta? Lösningsförslag: Vi väljer att integrera i -riktningen. På höjden över "marken" ska vi lfta en liten vätskeclinder sträckan upp till taket, så det uträttade aretet lir E = E E = m g8 - m = V g8 - r V = g8 - r p = = = 9 - ÅÅÅÅ fl 8 = 9 - = g8 - rp 9 - som vi med nöje överlämnar 8 g8 9 g pr ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ. I en stad anser man att efolkningstätheten r invånare per kvadratkilometer varierar enligt r = -,, där km är avståndet från centrum. Hur många personer or det i staden som har mellan och 5 km till centrum? Ledning: Använd lökringar! Lösningsförslag: Lägg lökringar över staden. I den lökring som har radie r och tjockleken r or det då P = r A = = r pr r personer. Så nu är det ara att addera idragen från alla lökringar. 5 P r rr 688 p P N 78.. En noskon till en raket tillverkas genom att låta det område i planet som egränsas av aeln, linjen = och kurvan = c - c, där c är en konstant sådan att c, rotera ett varv kring aeln. Bestäm c så att noskonen får maimal volm.

15 HH/IDE/BN Matematisk Modellering, Övning 5 Lösningsförslag: Kurvan skär -aeln i = c, så rotationsvolmen a p lir V c c c p c ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ -pc + ÅÅÅÅÅÅÅÅ p c Å så här ser ojektfunktionen (volmen) ut som vi ska maimera. PlotV, c,,, AesLael "c", "V", PlotStle Hue.6; V Etremvärde har vi då V ' c =. dvdc DV, c p c ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ c - p c + p ÅÅÅÅÅ c SolvedVdc, c c Ø ÅÅÅÅÅ, c Ø Här duger ara den första lösningen eftersom c = ger V =. Maimum och minimum ekräftas också efter teckenstudie av andraderivatan DV, c,. c -p, p Slutligen har vi mavolm V. c p ÅÅÅÅÅÅÅÅ 7 Denna optimala konfiguration återges i prolemtetens figur. 5. En triangel som är parallell med z planet har sina tre hörn på aeln, linjen z = ÅÅÅÅ c i z planet och på linjen ÅÅÅÅ a a + ÅÅÅÅ = i planet. Bestäm volmen av den kropp som uppkommer då triangeln sveper œ, a. z c a Lösningsförslag: Den lilla rätvinkliga triangelskivan har volmen V = A = ÅÅÅÅ as ÿ höjd = ÅÅÅÅ z.

16 HH/IDE/BN Matematisk Modellering, Övning 6 Nu är det ara att lösa ut = - ÅÅÅÅ c och z = ÅÅÅÅ från de två linjerna och lägga samman alla små skivor a a a V = ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ a ÅÅÅÅ c c a = ÅÅÅÅÅÅ a a - ÅÅÅÅÅ c = ÅÅÅÅÅÅ a a ÅÅÅÅÅ - a ÅÅÅÅÅÅ = ac ÅÅÅÅÅÅÅÅ. a a c a ac ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ a 6. Från en ost formad som ett rätlock ortskäres med tråd en kil så att den kvarvarande ostiten ildar en kropp där varje snitt vinkelrät mot z aeln är en parallelltrapets; urartad till en rektangel vid z = och en triangel vid z =. Sök ostitens volm.,, z,,,,,,,,,, Lösningsförslag: Vi estämmer först arean av parallelltrapetserna Az = ÅÅÅÅ h +. Höjden h = i -riktningen är oeroende av z, likaså redden = i z-planet vid =. Bredden i z-planet vid = varierar dock linjärt enligt = - ÅÅÅÅ z. De små volmerna lir då V = Az z. Nu är det ara att lägga samman alla små idrag z z 7. Bestäm volmen av den kropp som uppkommer då området som innesluts av aeln och grafen till = sin, proterar ett varv kring aeln Lösningsförslag: Vi får direkt med "formel" V = a p Sin p 8. Bestäm den volm som innesluts då området som innesluts mellan = sin, = - cos, ÅÅÅÅ p, roterar ett varv kring aeln Lösningsförslag: otation kring -aeln av tunna ananasskivor, a p - i. Denna ska du kunna härleda! Sin Cos

17 HH/IDE/BN Matematisk Modellering, Övning 7 - ÅÅÅÅÅ - +p p 9. En triangulär dammlucka enligt figur ska ära trcket från vattnet som varierar enligt p = rgnm, där är djupet under vattentan. Sök totala trckkraften på luckan samt det moment som trcket orsakar kring luckans upphängningsael vid vattentan. Lösningsförslag: Låt luckans spets vara på djupet h och dess redd vara vid djupet. Likformiga trianglar ger då ÅÅÅÅÅÅÅÅ h- = ÅÅÅÅÅ h varav = - ÅÅÅÅ. Test: = fl = och = h fl =, Ok! På djupet har vi på den lilla rektangeln A = den h lilla trckkraften F = p A = rg = rg - ÅÅÅÅ h. Sista pusseliten h ges av Ptagoras sats, h + ÅÅÅÅÅ =. Sedan är det ara att lägga samman alla de små idragen F Solve F h g h, h F Ø 5 g r, h Ø-5, F Ø 5 g r, h Ø 5 Sedan momentet M = F. M Solve M h g h, h M Ø-ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 65 g r, h Ø-5, M Ø ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 65 g r, h Ø 5, F, h, M, h. En dammlucka har utseende enligt vidstående figur. Sök totala trckkraften F N från vattnet om trcket varierar enligt p =rgnm, där är djupet under vattentan, r vattnets densitet och g tngdaccelerationen. Lösningsförslag: På djupet är den "lilla kraften" F = p A, där A är en "liten rektangel" ä på djupet. Bredden ges av likformiga trianglar (rita figur!) ÅÅÅÅ 6 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ +8-, så A = ÿ = ÅÅÅÅ 6 -. Nu är det ara att lägga samman alla små 8 8 idrag F 8 g 6 8 g r. På ett reningsverk finns en assäng för smutsigt vatten. Denna har höjden m och cirkulärt tvärsnitt med radien r = +,. Den är helt flld med smutsigt vatten som eroende på partiklar har densiteten rh = + h kgm, där h är djupet under tan. Bestäm vattnets totala massa. Lösningsförslag: Skiva upp assängen i små clindrar med höjden och varierande radie r. Den lilla clinderns massa ges sedan av m = r V = r p r = + - p +. Nu är det ara att lägga samman alla de små idragen 8 p ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

18 HH/IDE/BN Matematisk Modellering, Övning 8. En tunn tråd med densiteten r öjs till en spiral med radien rq = kq, q p. Bestäm spiralens masströghetsmoment kring origo k=.5 Lösningsförslag: Klipp upp spiralen i små itar s = r q. Det lilla tröghetsmomentet ges sedan av I = r m = r r s = = r r r q. Sedan är det ara att lägga samman alla de små idragen k - + k p r ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ k. Bestäm volmen av den kropp som uppkommer då området som innesluts av aeln, linjen = samt grafen till =, roterar ett varv kring linjen = Lösningsförslag: Tunna lökringar kring aeln =-, som vid har radien r = - - och väggtjockleken. Dessa får volmen V = p r = p Nu är det ara att samla ihop alla små droppar p. Man vet att f ' = + - och att f - =. Bestäm f. f' Lösningsförslag: Integrera åda sidor i ekvationen från - till, alltså - f ' = Den sista integralen eräknas med hjälp av figuren ovan, den är ju enligt definition lika med arean av det färglagda området. Vi får f - = 5 ñ f - f - = 5 ñ f - = 5 ñ f = 6. Eller direkt i Mathematica ekv f - f - ã 5 f' As As

19 HH/IDE/BN Matematisk Modellering, Övning 9 Solveekv, f, f f Ø 6 5. Genom centrum på ett klot orras ett hål som visar sig få längden a. Bestäm volmen av det material som återstår. Lösningsförslag: Skiva kroppen i höjdled, då kan vi se den som summan av små ananasskivor med höjden på höjden œ -a, a. Tillsammans med Ptagoras sats två gånger får vi ekvationerna (rita figur!) ekv dv r r i d, r,a r i dv d p r - r i, + r, a + r i Lös ut dv. lillav Solveekv, dv, r i First dv Ø d p a - Integrera fram volmen vilken visar sig överensstämma med volmen av ett klot med radien a! a dv d. lillav a a p ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 6. Bestäm den volm som innesluts då området som innesluts mellan = sin, = - cos, ÅÅÅÅ p, roterar ett varv kring aeln Lösningsförslag: Lökringar kring -aeln a pövre - undre. Denna ska du kunna härleda! Sin Cos - ÅÅÅÅÅ - +p p 7. Bestäm längden av Pascals snäcka rq = + cosq, q p. Kurvan är uppkallad efter den erömde Blaise Pascals far Etienne Pascal rq q.5.5 Lösningsförslag: Den lilla åglängden s = + = ÅÅÅÅÅÅ q + ÅÅÅÅÅÅ q q. Vi får r Cos, r Cos, r Sin

20 HH/IDE/BN Matematisk Modellering, Övning cosq +, cosqcosq +, cosq + sinq ds Simplif cosq + Vi hamnar i en esvärlig integral, se nedan. ds 8 Om vi kommer ihåg s = r + r' q så fungerar det också... 8 r r När man räknar för hand är det lämpligt att gå över till halva vinkeln i uttrcket för s ovan s = cos q+ = cos ÅÅÅÅ q - + = cos ÅÅÅÅ q = cos ÅÅÅÅ q Här ter nu cos ÅÅÅÅ q tecken mitt i integrationsintervallet, p. Detta måste eaktas när vi "tar ort" asoluteloppet och slutligen integrerar fram åglängden L p L = S s = cos ÅÅÅÅ q q = p cos ÅÅÅÅ q q + p p -cos ÅÅÅÅ q q = = ÅÅÅÅÅÅÅ p ÅÅÅÅ - p ÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅ = = 8 sin q sin q p