Geometri. Matematik i tre dimensioner

Transkript

1 Geometri Matematik i tre dimensioner

2 Geometriska figurer kvadrat rektangel rom parallellogram parallelltrapets liksidig triangel likent triangel rätvinklig triangel cirkel ellips = oval pentagon = femörning exagon = sexörning oktagon = åttaörning

3 Geometriska kroppar ku rätlock klot cylinder kon prisma pyramid

4 Dimension 1 - Längd oc omkrets Längd oc omkrets är ara linjer. Omkretsens linje går runt föremålet. Eneter: mm, cm, dm, m, km, mil Kvadrat: O = +++ = 4 Rektangel: O = +++ = = 2+2 Triangel: O = ++c c Cirkel: O = d π d

5 Dimension 2 - Area Area kan eskrivas med ur många kvadrater av en viss storlek som får plats på ytan. Eneten kvadrat (²) visar på att man joar med 2 dimensioner: längd oc redd. Eneter: mm², cm², dm², m², km², mil² Kvadrat: A = =² Rektangel: A = Triangel: A = 2 Cirkel: A = π r² = π r r r

6 Dimension 3 - Volym Volym kan eskrivas med ur många kuer av en viss storlek som får plats i figuren (som kallas kropp). Eneten kuik (³) visar på att man joar med 3 dimensioner: längd, redd oc öjd. Eneter: mm³, cm³, dm³, m³, km³, mil³ Ku: V = a a a = a³ a Rätlock: V = d d Pyramid, kon: V = B 3 B=ottens area B B Prisma, cylinder: V = B B B Klot: V = 4/3 r³ π r

7 Det magiska talet π Talet pi är det tal som alltid lir resultatet då omkretsen på en cirkel divideras med samma cirkels diameter, ur stor eller liten cirkel vi än tittar på. Om man gör denna division mycket noggrant kan man upptäcka att pi kan uttryckas med etydligt fler decimaler än ara två (3,14). Idag vet man att talet pi kan uttryckas med ur många decimaler som elst d.v.s. med oändligt många. Med jälp av datorer ar man ittills funnit ca 200 miljarder decimaler. Talet kallas även Arkimedes konstant efter Arkimedes, som 250 f.kr. fann att dess värde låg mellan 223/71 oc 22/7, oc Ludolps tal efter Ludolp van Ceulen som kring år 1600 räknade ut 35 decimaler. In på 1900-talet var det inte ovanligt att använda 22/7 (ungefär 3.143) i eräkningar, som Arkimedes ade kommit på. Beteckningen π, som ärstammar från det grekiska ordet περιφέρεια (periferi), valdes 1706 för att eteckna talet oc standardiserades samma årundrade d Det går åt exakt pi diametrar för att nå runt cirkeln! r r Arean på cirkeln = 4 r² - de randiga örnen. Det eövs pi 3.14 randiga örn för att fylla upp den sista fjärdedelen. Arean på cirkeln är alltså r² π

8 Vinklar Vinkel är mellanrummet mellan två linjer som skär varandra eller lutningen mellan två strålar, som utgår från en oc samma punkt. Denna punkt kallar man vinkelspets, de åda räta linjerna vinkelen. Vinkeln är eter α. α vinkelspets vinkelen 0 /360 Vinklar mäts i grader ( ). Ett elt varv är 360. Summan av vinklarna i en cirkel är alltså Vinkelsumman längs en rät linje är 180. Vinklar som ligger redvid varandra så är längs en rät linje kallas sidovinklar. De är vinklarna eter ACD oc BCD. α=β α β isektris En linje som delar en vinkel på mitten kallas isektris. (i = 2 oc sektris = del)

9 Mera vinklar En rät vinkel är alltid 90. Oftast ritar man den som ett örn. En spetsig vinkel är mindre än 90. spetsig vinkel truig vinkel En truig vinkel är mindre än 90. Om två räta linjer skär varandra uppkommer fyra vinklar. Vinklar, som ligger redvid varandra kallas sidovinklar. De ar ett en gemensamt oc är tillsammans 180º Vinklar som står mitt emot varandra kallas vertikalvinklar. Vertikalvinklar är lika stora. VINKELSUMMA 180 2*180 = 360 3*180 = 540 4*180 = 720 Oc så vidare i all oändliget. (antal örn 2) * 180

10 Passare oc gradskiva Passare används för att rita cirklar. Man mäter upp cirkelns radie mellan pennudden oc nålen. Det är viktigt att passaren inte glappar. Om man inte ar en passare kan man inda ett snöre i en penna oc en nål oc rita upp sin cirkel. Gradskivan använder man för att läsa av ur stor en vinkel är. Den är graderad från 0 till 180 två gånger. Det är för att man ska kunna mäta alla vinklar. Om vinkeln är större än 180 måste man rita en jälplinje först oc lägga iop vinklarna. När du ska mäta vinkeln måste du vara noga med vilken skala du läser av. Vinkelns spets ska vara mitt i korset. Ett av vinkelenen ska ligga över nollan på skalan. Vid det andra vinkelenet läser vi av gradtalet. Vinkeln är nedanför är 60. Iland är vinkelenen för korta för att kunna läsas av. Då får du förlänga dem.

11 Kvadratrot Om man vet arean på en kvadrat kan man lätt räkna ut sidans längd med jälp av kvadratroten. Oftast kallas detta för roten ur oc tecknet kallas rottecken. Iland träffar man på jämna kvadrater. T.ex 25 = 5 eftersom 5 5=25 Om inte kvadraten är jämn är det enklast att använda miniräknaren. Du slår då först in talet du vill dra roten ur oc trycker sedan på rot-knappen. Iland vid ekvationer använder vi också roten ur. x² = 17 etyder ju att vi multiplicerar samma tal med sig själv för att få svaret 17. x = 17 = 4,12 (fast egentligen finns det 2 svar till x² = 17. x är åde 4,12 oc -4,12) Jämna kvadrater

12 Pytagoras sats Redan för 4000 år sedan i Baylonien visste man att rätvinkliga trianglar var speciella. Om man visste längden på två av sidorna kunde man räkna ut den tredje! För ca 1500 år sedan eskrev den grekiske filosofen oc matematikern Pytagoras samandet oc man kallade det därför Pytagoras sats. katet ypotenusa katet För alla rätvinkliga trianglar gäller att: Summan av kvadraterna på kateterna är lika med kvadraten på ypotenusan. Vi testar detta på den mest kända rätvinkliga triangeln. Kateterna (kortsidorna) är 3 oc 4 cm långa oc ypotenusan (långsidan) är 5 cm. 3 cm 5 cm 4 cm 3² + 4² = 5²!

13 Summan av kvadraterna på kateterna är lika med kvadraten på ypotenusan. Det är etyder att om man ritar kvadrater på sidorna i en rätvinklig triangel så är arean av de små kvadraterna lika stor som arean i den stora. Summan av kvadraterna på katerna lir: 3*3 + 4*4 = = 25 Kvadraten på ypotenusan lir: 5*5 = 25 c a På matematikspråk skriver man Pytagoras sats såär: a² + ² = c² Vill man veta ypotenusans längd adderar man kvadraterna på katerna oc sedan drar man roten ur summan. Vill man veta en katets längd tar man ypotenusans kvadrat minus den andra katetens kvadrat oc drar roten ur differensen.

14 Skala Förminskning Skala 1:2 Naturlig storlek Skala 1:1 (1 cm på ilden är 2 cm i verkligeten) Om det står 1:1000 etyder det att 1 cm på ilden motsvarar 1000 cm = 10 m i verkligeten. Förminskningar används l.a. på kartor oc ritningar för att se en förenklad ild av verkligeten. Om det står 1000:1 etyder det att 1 cm på ilden är 0,001 cm = 0,01 mm i verkligeten. Förstoringar används för att se detaljer. Förstoring Skala 2:1 (2 cm på ilden är 1 cm i verkligeten) Skala = ild : verkliget