Något om Integraler och Mathematica

Transkript

1 HH/ITE/BN Integraler och Mathematica Något om Integraler och Mathematica Bertil Nilsson tan 6 tan 6 3 tan tan tan tan log log 6 log log 4 3 log log 6

2 Integraler och Mathematica HH/ITE/BN Förord På följande sidor presenteras en elementär "streetwise guide" till integraler med flitig användning av Mathematica. Framställningen är fåordig, fri från pedanteri men i någon mening fullständig. Det man väsentligen ehöver veta om egrepp, terminologi, eteckningar och teori för att modellera och lösa prolem i framtida kurser och rkesliv som ingenjör, naturvetare eller lärare klarläggs och tpiska eempel ges. Primitiv funktion Om F ' f för alla i ett intervall I, säger vi att F är en primitiv funktion till f i intervallet I. Eempelvis har funktionen den primitiva funktionen. En annan är 7 eller mer allmänt C, där C etecknar en godtcklig konstant. Detta inses genom att derivera "aklänges", därför kallas på engelska den primitiva funktionen för "the antiderivative of f ". Så om vi har hittat en primitiv funktion F till f så skiljer sig alla andra primitiva funktioner från denna enart med en konstant. Om F är en primitiv funktion till f i intervallet I, så gäller att F ' f och varje annan primitiv funktion till f kan skrivas FC, där C etecknar en godtcklig konstant. Uttrcket FC kallas den oestämda integralen till f och etecknas f. Alltså f FC kallas integraltecken. f kallas integranden. kallas integrationsvariael. där kallas måttet. F kallas primitiva funktionen, sådan att F ' f. C kallas integrationskonstanten. Eempel: Genom att snegla på taellen för standardderivator har vi eempelvis att 3 3 C, C och sin cosc. Om f är en kontinuerlig funktion har vi speciellt följande att vila oss mot. Oservera att detta ara talar om eistensen, inget om hur den faktiskt ser ut eller hur man ska "räkna ut den". Huvudsatsen för primitiva funktioner. Om f är kontinuerlig i intervallet I, så har f primitiva funktioner i detta intervall. Om F är en av dem, så kan varje annan primitiv funktion skrivas FC, där C är en godtcklig konstant. Bestämd integral Främsta argumentet för integralens införande är att få ett sätt att mäta arean A av en plan figur. Vi tänker oss att denna plana figur är innesluten mellan kurvan f, aeln och linjerna a och, det vill säga vi har situationen enligt figuren till höger. f a Antag att en f är kontinuerlig i intervallet I och att a och är punkter inne i detta intervall. Strategin är nu att dela in intervallet a, i mindre delområden, en så kallad partition, a n, se nedan. Mellan två på varandra följande tal har vi intervallet k k, k. I dessa intervall estämmer vi sedan funktionens etremvärde, m k min f respektive M k ma f. k k

3 HH/ITE/BN Integraler och Mathematica 3 f M k m k a n n n a k k k n M k m k I varje delområde estämmer vi nu en undertäckande rektangel med arean U k m k k, där k är längden av intervallet k, och en övertäckande rektangel med arean Ö k M k k. Om vi kallar den sökta arean för A n har vi följande naturliga olikhet n n n n U k U k k m k k A n k M k k k Ö k Ö a k k k n Om vi nu gör en förfining av partitionen så att n ma k Ö U, så har vi genom gränsövergång vid instängning att A n A U Ö och säger att arean A är mätar och att f är integrerar i iemanns mening Bernhard iemann a n n Över- respektive undersumma i ändlig form ovan, eempelvis U k U k k m k k, kallar vi för iemannsumma. Denna kommer till flitig användning vid modellering. Med den estämda integralen av f från a till, etecknad a f menas då talet A. Man säger ofta att detta är "arean under f mellan a och " istället för det lite mer omständiga, "arean av det område som egränsas av kurvan f, -aeln och linjerna a och ". Stra får vi ntta av Integralkalklens medelvärdessats. Om f är kontinuerlig i intervallet a, så finns en punkt Ξ a, så att a f f Ξ a. Den geometriska inneörden av denna sats är att arean av rektangeln f Ξ a är lika stor som a f, eller " f Ξ är det djup vi får när stormen lagt sig och ankdammen ligger spegellank". Låt m min a, f och M ma a, f så har vi M f Ξ m f a Ξ a m a f a M Självklar olikhet m a a f M a Dividera med a m a a f M Låt talet K a a f m K M Men f är kontinuerlig och antar därför enligt satsen om mellanliggande värden alla värden i m, M och speciellt då K. Alltså finns ett Ξ a, så att f ΞK a a f, vilket är satsens inneörd

4 4 Integraler och Mathematica HH/ITE/BN Kopplingen mellan estämd integral och primitiv funktion till integranden utreds i Analsens huvudsats. Om f är kontinuerlig i intervallet a så är F a f tt en primitiv funktion till f, det vill säga F ' f. Geometrisk etder F arean under f i a,. Vi får F f FhF h FhF h FhF h h a h f tt a f tt Differenskvoten h h f tt Medelvärdessatsen, Ξ, h h F ' f f Ξ h f Ξ Låt nu h F ' och Ξ Färdig a t Därmed har vi a f FFa. För skillnaden FFa används smolen Fa, kallad insättningstecken. Vi sammanfattar Den estämda integralen av f från a till a f Fa FFa där kallas integraltecken. kallas integrationsvariael. a kallas undre integrationsgränsen. kallas måttet. kallas övre integrationsgränsen. F a kallas insättningstecken. f kallas integranden. Oservera att FFa inte eror på vilken primitiv funktion vi väljer. Är nämligen F och F åda primitiva funktioner till f så är F FC och Notera Den oestämda integralen f är en funktion. F F afcfacffa Den estämda integralen a f är ett tal helt estämt av integranden f och integrationsgränserna. I iemannsumman får vi en konkret ild av integralens eståndsdelar lim n n m k k f a k a f. Av iemansumman inser vi att m k k ska uppfattas som en produkt, varför ofta skrivs kompaktare som f. f Vägen till den estämda integralen går via den oestämda, t a f f Fa a FFa. Den estämda integralen är helt oeroende av vilken integrationsvariael vi använder a f a f a f öö a f. Vi sammanfattar den estämda integralens välkända geometriska inneörd. Om f och f är kontinuerlig i intervallet a,, så är a f lika med arean av det område som egränsas av kurvan f, -aeln och linjerna a och. Detta kan generaliseras till ett te av -aeln mot en funktion g f i a,.

5 HH/ITE/BN Integraler och Mathematica 5 f f a a f a a f g g Lika välkänt ör det vara att a f eräknar arean med tecken. Positiv om f och negativ om f. Så skilj noga på a f och den målade arean som kan ehövas inför en resa till färghandeln! f Inte så sällan har man ntta av att derivera en estämd integral med avseende på integrationsvariaeln. Å inte nog med det, även integrationsgränserna ehagar iland också vara funktioner av samma variael. Då är det onödigt att först estämma den primitiva funktionen, det kanske inte ens är möjligt, utan vi utnttjar ara eistensen av en sådan om integranden är kontinuerlig. Vi får h g f F h g Fh Fg F ' hh' F ' gg ' f hh' f gg ' Iland har man ntta av följande om kontinuerliga funktioner Generaliserade medelvärdessatsen. Om g i a, finns ett tal Ξ a, så att a f g f Ξ a g. Triangelolikheten för integraler. a f a f. Enkla integrationsregler och standardintegraler Liksom vid derivering används metoden med att "söndra och härska". Strategin som ska följas är att sstematiskt tillämpa integrationsregler som återför integralerna till vissa standardintegraler (SI). Vi sammanfattar dessa. Integrationssregler, k konstant, f och g integrerara i I, a,, c I kf k f a kf k a f f g f g a f g a f a g c a f a f c f a a f f a k k a Standardintegraler SI f f C Α Α Α, Α sin cos ln cos sin arctan Eempel: så vi får anledning att titta på taellerna med regler och (SI) igen

6 6 Integraler och Mathematica HH/ITE/BN t t t t t C 4 3 t3 C 4 t t C 3 cos cos sinc t t t t t t 3 t 3 t ln 5 ln5lnln5 c c 3 3 c c 3 c3 c c 3 c3 Jämfört med att derivera, som är rätt fram med givna regler och standardderivator, juder integration väsentligt mer motstånd och har ofta karaktären av knep och knåp. En nödvändighet när man integrerar för hand är att man måste ha deriverat så mcket att man känner igen strukturer och standardderivator "aklänges", samt har ett rejält uppslagsverk med standardintegraler och diverse tricks till hands. Dessa standardverk med tusentals standardintegraler och en uppsjö av aretskrävande trick har plågat generationer av ingenjörer. Titta gärna i en gammal lärook (eller n för den delen också, eempelvis PB!). Men nu är det na tider Att lära en dator att derivera är förhållandevis mcket enkelt, medan integrationsalgoritmer ständigt kräver resultat från den senaste forskningen inom matematik. Mathematica ligger i asolut topp land CAS (computer algera sstems) och klarar i princip av att estämma en primitiv funktion om det är möjligt. Det hela är mcket lättanvänt, antingen via palette, eller på funktionsform Integrate[f,] och Integrate[f,{,a,}], vilka naturligtvis döljer sig akom de mer smakfulla grafiska varianterna. Funktionsformerna har dock fördelen att man i vanlig ordning kan lägga till Options om man ehöver skedmata med hjälpande information om integrand och gränser som inte går att lista ut från formuleringen. Enda tillägget man ehöver göra själv vid oestämd integral är att lägga till C (om man nu i praktiken är intresserad av detta). Eempel: Mathematica vill ha () om integranden är f g. 3 3 Som sagt, C får man lägga till själv om så önskas 3 3 Vi har tidigare lärt oss att sammansättningen av två kontinuerliga funktioner är en n kontinuerlig funktion och för sådana eisterar en primitiv funktion. Prolemet är att det är ara en mcket liten mängd av alla sådana som kan skrivas ned med hjälp av våra elementära funktioner. När det går ra rukar man kalla integralen analtisk annars icke analtisk. Naturligtvis finns det gott om tillämpningar där icke analtiska estämda integraler dker upp, då får man nöja sig med en numerisk lösning, eempelvis har vi a som är mcket vanlig i statistik. I Mathematica finns NIntegrate[f,{,a,}] för numerisk integration. I princip används en iemannsumma, där partitionen förfinas på ett fiffigt sätt tills önskad noggrannhet uppnåtts. s Eempel: Vid konstruktion av kameralinser draas man av Fresnels integraler Cis cost s t och Sis sint t. Integranderna är som snes en sammansättning av de snälla kontinuerliga funktionerna g och f cos respektive f sin, men den kontinuerliga sammansättningen f g resulterar i en icke analtisk integral. En annan tillämpning av dessa integraler är av- och påfartsramper till motorvägar. Om s är den körda sträckan så kommer, Cis, Sis att vara positionen på rampen. Denna lussekattsformade kurva (av vilken man använder sig av den inledande iten!!) rukar av väg- och vatteningenjörer kallas för en klotoid. Eftersom dessa integraler är så vanliga finns de definierade i Mathematica på ett ur datorsnpunkt effektivt sätt. Så här har vi en normaliserad avfartsramp och var vi efinner oss på kartan efter att ha kört.75 längdenheter längs vägen. (Eftersom vi har högertrafik lägger vi till ett minustecken framför -koordinaten!)

7 HH/ITE/BN Integraler och Mathematica 7 För sådana här integraler måste vi i det allmänna fallet göra en numerisk integration, även om Mathematica är duktig nog att härleda många vanligt förekommande fall till lite mer raffinerade standardintegraler. Sint t N Π S Π.368 NIntegrateSint, t,,.368 Eempel: Låt f vara den stckvis konstanta funktionen 4 i figuren och eräkna 4 f 3. f Lösningsförslag: Integration av stckvis konstant funktion. Dela upp intervallet i lämpliga itar så vi har a k k a i varje intervall. Så med lite integrationsregler och standardintegraler 4 4 f f f f f Π Eempel: Bestäm cos och den målade arean som innesluts mellan kurvan cos, -aeln och de två linjerna och Π. Lösningsförslag: Situationen återges i figuren cos Vi får den estämda integralen Π cos sin Π sinπ sin. Π Cos Π Den målade arean lir däremot cos. Det finns ingen direkt metod att integrera asoluteloppsfunktionen, utan denna z om z måste lösas ut med hjälp av sin definition z. Om vi då har teckenväling i integrationsintervallet måste detta z om z stckas upp på motsvarande sätt. Så är fallet här, cos ter tecken åde vid Π 3Π och enligt figur ovan, varför

8 8 Integraler och Mathematica HH/ITE/BN Π Π 3Π Π cos cos Π cos 3Π cos Π sin sin 3Π Π Π sin 3Π 4. Naturligtvis tar Mathematica hand om situationen på ett korrekt sätt Π AsCos 4 Eempel: Sök den målade arean som innesluts mellan kurvorna, och linjen i första kvadranten. Lösningsförslag: Vi har situationen Plot,,,,, Filling, FillingStle Green, AesLael "", "", Epilog Tet" ",.8,.8, Tet"",.8, Kurvorna skär varandra vid, så den målade arean lir As Återigen, rita figur så prolemställningen lir tdlig. En direkt förväling med integral ger en av de två felaktiga svaren,, Partiell integration Enligt regeln för derivering av en produkt har vi Integrera nu åda sidor med avseende på f g f ' g f g ' f g f ' g f g ' I vänsterledet kan vi "förkorta ort" måttet och kvar lir f g C f gc så f gc f ' g f g ' Om vi akar in integrationskonstanten C i någon av de två integrationskonstanterna som genereras av de oestämda integralerna på högersidan och stuvar om termer så har vi partiell integration.

9 HH/ITE/BN Integraler och Mathematica 9 f g ' f g f ' g Partiell integration. Oestämd form. a f g ' f ga a f ' g Partiell integration. Bestämd form. Det handlar alltså om ett litet trick när integranden är en produkt. Genom att fltta "sparven" från g till f så är önskemålet att integralen på högersidan ska li enklare än den på vänstersidan. Vi tar det tpiska eemplet Eempel: Bestäm ln. Lösningsförslag: Partiell integration (vad annars?). Det gäller ara att välja rätt g och f! Om vi tcker att integralen lir svårare kan man ju alltid prova tvärtom, eller så är det inte partiell integration som är medicinen ln Vi provar med att derivera ihjäl ln, så välj g ' och f ln g ln f g f ' ln ln 4 C Naturligtvis känner Mathematica till partiell integration Log log 4 Π Eempel: Bestäm sin. Lösningsförslag: Partiell integration... Π sin Välj f och g ' sin Π Π cos cos Π Π cos cos å igen med f, g ' cos Π cos Π Π sin sin Π cos Π sin cos Π Π cossin Π cosπ ΠsinΠ cos sin Π Π 4 Eller med lite mindre möda Sin sin cos Π Sin Π 4 Variaelsustitution Om vi drar oss till minnes kedjeregeln vid derivering och kör detta aklänges får vi integration genom variaelsustitution f g g ' f uu med u g. Om nämligen F är en primitiv funktion till f har vi Fg F ' g g ' f g g ' Med u g f g g ' Fg C FuC f uu Vi sammanfattar i en a f g g ' Kokok för variaelsustitution. Välj sustitution u g. Bt mått, derivera sustitutionen implicit; u g u g ' u g 3. Om estämd integral, så t gränser u a ga ua u f uu

10 Integraler och Mathematica HH/ITE/BN Eempel: Bestäm Π4 cos. Lösningsförslag: Variaelsustitution (vad annars?). Vi tar fram kokoken. Π4 cos. Välj sustitution u g. Bt mått, u u g u u g Π 3. Om estämd integral, så t gränser Π 4 u a g Π cosu u sinu Π Med Mathematica är det ara att skedmata som vanligt Π4 Cos Eempel: Bestäm arctan. g ' g Lösningsförslag: Först partiell integration, f arctan f ' arctan arctan I sista integralen får vi ta till variaelsustitution. Fram mé kokoken. Varav slutligen. Välj sustitution u g. Bt mått, u u u g u g 3. Om estämd integral, så t gränser u a g u u u lnu u ln arctan arctan ArcTan Π log4 4 Π ln Π ln Π ln Π ln4 4 Eempel: Bestäm 4. Lösningsförslag: Visst, variaelsustitution. Vad skulle vi göra utan kokoken 4. Välj sustitution u g u. Bt mått, u u g uu 3. Om estämd integral, så t gränser u g4 3 u a g 3 u arctanu u 3 Π Π Π u u u u 4 Π 6 Eempel: Bestäm arean av en cirkel med radien. Lösningsförslag: På grund av duel smmetri räcker det att studera en fjärdedel av tårtan och förväntar oss alltså svaret 4 Π.

11 HH/ITE/BN Integraler och Mathematica Åkalla cirkelns ekvation. Vi väljer naturligtvis att placera dess centrum i origo, så. Låt nu licken svepa från vänster till höger över figurerna, det vill säga approimera kvartscirkelns area underifrån med många små rektanglar och studera sedan en i mängden vid. Denna har arean A höjdas. Dividera åda sidor med, A A och låt så har vi A. Sedan är det ara att lägga samman alla de små areorna A A. Nu väntar variaelsustitution!. Välj sustitution sinθ. cosθ Θ sinθ Θ 3. sinθ Θ Π Π sin Θ cosθ Θ Trig. ettan Π Π cosθ cosθ Θ Θ, cosθ Π cos Θ Θ Dula vinkeln, cosθ cos Θ sin Θ Trig. ettancos Θ cos Θ cosθ cos Θ cos Θ cosθ Π cosθ Θ Θ sinθ Π Π 4 Π Eller med lite mindre möda Π 4 PowerEpand Duel- och trippelintegral Vi har tidigare stiftat ekanskap med funktioner som har flera oeroende varialer och en eroende variael. På samma sätt som vid anals i en variael är man även i dessa fall intresserad av hur funktionen eter sig i närheten av en punkt. Därför introducerades egreppet partiell derivata. Om man vill kan man se derivata som en lokal operation och integral som en gloal operation, det vill säga eräkning av eempelvis area, volm och massa för ett område. Följaktligen vill man utvidga integralegreppet för en enkelintegral, a f, till att gälla för funktioner med flera oeroende varialer och en eroende variael. Antag att vi har en funktion z f, : och vill ge mening åt duelintegralen f,. esan följer i allt väsentligt den för framtagning av estämd enkelintegral, repetera gärna denna och se figurerna nedan. Vi örjar med att täcka över integrationsområdet med ett rektangulärt rutnät och låter partitionen vara de små tstckena med arean A som genereras av rutnätet. Om vi finner att n st av dessa rutor ligger i så kommer ruta nr k att innehålla punkten k, k och ha den lilla rektangulära arean A k k k. Tillsammans med funktionsvärdet f k, k definieras så en smal pelare med volmen f k, k A k.

12 Integraler och Mathematica HH/ITE/BN Om vi utgår från att f är snäll kan vi göra proceduren kort med hjälp av en iemannsumma. Gör en allt finare rutnät och se till att den största rutans area går mot noll så har vi att Duelintegralen f, lim n maa k n f k, k A k kan tolkas som volmen under funktionstan f, k då, genomlöper. Speciellt har vi med f, att arean av. På grund av denna konstruktion är det inte så märkligt att de enkla integrationsreglerna vi känner sedan tidigare ärvs över. Integrationssregler, kf, k f, k konstant f, g, f, g, f, f, f, k k arean För att ha "en chans" att eräkna f, analtiskt krävs att integrationsområdet är vänligt sinnat i den meningen att dess utseende gör att vi kan eräkna f, som två enkelintegraler. Vi väljer att ehandla två sådana utseenden under separata ruriker. Men först en kort notis om att duelintegralen utvidgas naturligt till polära koordinater, se de två figurerna till vänster, samt till trippelintegral i den högra figuren. Duelintegral i polära koordinater Trippelintegral Β r Θ Α r Θ f r, Θ r rθ där lilla arean A åglängdradieökning r Θr r rθ del av ananasring A Θ Πr Π r r Θr r r A r Θr r f,, z där lilla volmen V z

13 HH/ITE/BN Integraler och Mathematica 3 ektangulärt integrationsområde Med detta menar vi ett rektangulärt område parallellt med -alarna a, c, d, se figurerna nedan. d d Med skivformeln har vi att volmen enligt den vänstra figuren är V f, c A c a f, men också d enligt den högra figuren V f, a A a c f,. Så vi kan tdligen vid rektangulärt reducera eräkningen av duelintegralen till eräkning av två enkelintegraler. Man rukar tala om den ttre och den inre integralen. Vid eräkning av den inre integralen etraktar man den ttre integralens integrationsvariael som konstant (jämför partiell derivering). Slutligen noterar vi att det är oeroende i vilken ordning vi ehandlar integralerna f, c d a f, a c d f, vid rektangulärt a, c, d. I Mathematica är det ara att starta med att trcka på integrationspaketet i palettenå en gång till med markören ställd i integrandrutan. Eempel: Bestäm arean av den rektangel som har sidorna a och. Lösningsförslag: Meka in rektangeln i första kvadranten så att dess sidor lir parallella med -aeln respektive -aeln. Efter en liten kalkl har vi den välkända arean. Det är inte fel att förtdliga gränserna vid insättningstecknet med vilken variael det faktiskt är som man ska göra insättningen i, eempelvis a. Denna enkla okhållning eliminerar många "trckfel" vid handräkning! a A a a a a a a a a Eempel: Bestäm 3. Lösningsförslag: Vi söker tdligen volmen under z f,,, 3,. Vi örjar väl med en liten ild Plot3D,,,,, 3,, AesLael "", "", "z" Håll ordning på vilken integrationsvariael "som gäller" för tillfället så får vi följande lilla kalkl. V

14 4 Integraler och Mathematica HH/ITE/BN Undrar ängsligt om det lir samma svar om vi ter ordning på integralerna V Vá ra, nu återstår ara att låta Mathematica få sista ordet , 95 6, 3 Eempel: Bestäm volmen under den flgande mattan z f, cossin,, Π, Π. Lösningsförslag: Vi örjar väl som vanligt med en liten ild Plot3DCosSin,,, Π,,, Π, AesLael "", "", "z" Håll ordning på vilken integrationsvariael "som gäller" för tillfället så får vi följande lilla kalkl. V Π Π Π cossin Π sinsin sinπ Πsin sinsin Π Π Π sin Πcos ΠcosΠ cos Undrar vad Mathematica säger i ärendet Π Π CosSin Icke-rektangulärt integrationsområde Med detta menar vi att vi "släpper i väg" en av integrationsriktningarna till att få ha funktioner som undre och övre integrationsgränser, se figurerna nedan. I fallet med de två vänstra figurerna har vi g f, a g f, och analogt med ett enligt den högra figuren. d h f, c h f, Notera i dessa fall att den inre integralen måste eräknas först eftersom dess gränser är funktioner av den ttre integralens integrationsvariael!

15 HH/ITE/BN Integraler och Mathematica 5 Eempel: Bestäm arean av den triangel som egränsas av -aeln och linjerna och 6. Lösningsförslag: Vi örjar väl med en liten ild. Plot,,, 6, Filling Ais, FillingStle Orange, AesLael "", "" Eftersom vi söker arean är f,. Vidare har vi funktioner som integrationsgränser i -riktningen, så nu är det ara att välja rätt formel ovan. Håll slutligen ordning på vilken integrationsvariael "som gäller" för tillfället så får vi följande lilla kalkl. g A a g f, Ser ju ra ut, eftersom vi vet att A ashöjd Men Mathematica då 6 9 Eempel: En tunn stenplatta i form en parallelltrapets med hörnen i,, 4,, 5, 3 och, 3 har masseläggningen Ρ, kgm. Bestäm stenplattans massa. Lösningsförslag: Vi örjar väl som vanligt med en liten ild över integrationsområdet sten,, 4,, 5, 3,, 3; GraphicsLighterBlue, Polgonsten, ed, Tet,, Background White & sten, Plotange, 6,, 4, Aes True, AesLael "", "" 4 3, 3 5, 3, 4, Vi har funktioner, räta linjer, som integrationsgränser i -riktningen men konstanter i -riktningen, så det gäller först att vaska fram de räta linjerna h och h. Med två kända stödpunkter applicerat på k m får vi lätt ekvationssstemen k m k 3 m k, m 5 varav h 5 och 4 k m 5 k 3 m k, m 5 varav h 7 Nu är det ara att integrera fram massan. Håll slutligen ordning på vilken integrationsvariael "som gäller" för tillfället!! h m a h Ρ, kg Å så här mcket tcker Mathematica att stenplattan väger

16 6 Integraler och Mathematica HH/ITE/BN otationsvolm kring -aeln Vi är intresserade av att estämma den volm som uppstår då området som är innesluten mellan kurvan f, -aeln och linjerna a och sveper ett varv kring -aeln. Vi gör en partition av a, och approimerar den uppkomna volmen underifrån med en mängd små clindrar. Situationen åskådliggörs nedan. f f a z Vi studerar nu en av de små clindrarna i mängden. Den genereras genom att låta en liten rektangel svepa ett varv runt -aeln, se figur nedan. Volmen för denna lilla clinder lir V astahöjd Π eller som det ser ut i figuren V Π. Det spelar ingen roll, ska vi se, vilken vi väljer. Spektaklet ska ju helst fungera oeroende av kurvans lutning vid. f f a z V Π V Π V Π VΠ V V V a Π Dividera åda sidor med. Gå i gräns, det vill säga låt. Definition av derivata i VL. Multiplicera upp måttet på andra sidan. Lägg nu samman alla dropparna med stöd av iemann Färdig När en ingenjör aretar rukar denne lita på gränsövergången och "ta genvägen" från figuren direkt till de två sista leden. Likartade sekvenser återkommer i tid och otid vid modellering. Idén är att rta ned ett ojekt i små enkla väldefinierade atomer; räta linjestcken, rektanglar, clindrar, rörstumpar, parallellepipeder... som sedan läggs samman med stöd av iemann. Lär dig metoden, inte den färdiga formeln! otationsvolm kring -aeln V a Π

17 HH/ITE/BN Integraler och Mathematica 7 Eempel: Bestäm den rotationsvolm som uppstår då området som är innesluten mellan kurvan, -aeln och linjerna och sveper ett varv kring -aeln. Lösningsförslag: epetera aretsgången ovan! Sedan har vi direkt V Π Π Variaelsustitution u Π u u Π u Π Π z Π Π otationsvolm kring -aeln Vi är intresserade av att estämma den volm som uppstår då området som är innesluten mellan kurvan f, -aeln och linjerna a och sveper ett varv kring -aeln. Vi gör en partition av a, och approimerar den uppkomna volmen underifrån med en mängd tunnväggiga rör, som stundom kallas "lökringar". Situationen åskådliggörs nedan. f f a z Vi studerar nu en av de små lökringarna i mängden. Den genereras genom att låta en liten rektangel svepa ett varv runt -aeln, se figur nedan. Volmen för denna lilla lökring lir V omkretstjocklekhöjd Π. f f a z

18 8 Integraler och Mathematica HH/ITE/BN V Π V Dividera åda sidor med. Π Gå i gräns, det vill säga låt. Definition av derivata i VL. V Multiplicera upp måttet på andra sidan. V Π Lägg nu samman alla dropparna med stöd av iemann V V V a Π Färdig otationsvolm kring -aeln V a Π Samma resultat lir det om man delar upp varvet i n st tändstickor med rektangulär as, V nastahöjdn Π Π n eller om man etraktar hela ottentan som en annanasskiva V Π Π Π Π V Hela tiden iemannsumma av små geometriska atomer Π. Gå i gräns! Eempel: Bestäm den rotationsvolm som uppstår då området som är innesluten mellan kurvan, -aeln och linjerna och sveper ett varv kring -aeln. Lösningsförslag: epetera aretsgången ovan! Sedan har vi direkt V Π Π Π 3 Π 4 4 3Π Π 4 Π 3 Π z Båglängd Vi är intresserade av att estämma längden S av en kurva som är eskriven på parameterform t t, t, t t, t. Som snes väljer vi att areta i två dimensioner, men en utvidgning till rmdkurva sker odramatiskt genom att "lägga till" en tredje koordinatfunktion zt. Se sammanfattning nedan. Strategin lir som tidigare att göra en partition av t, t i parameterrummet och approimera kurvan med små räta linjestcken, enligt den vänstra figuren. t,t t t tt,t t,t s t t t t Vi väljer ett litet linjestcke i mängden som går mellan punkterna t, t och t t, t t. Situationen återges i den högra figuren och vi använder oss naturligtvis av Ptagoras sats för att estämma längden s av det lilla linjestcket

19 HH/ITE/BN Integraler och Mathematica 9 s s Detta lir nu asen för att estämma åglängder när vi har en funktionen eskriven på lite olika former. Men först avslutar vi parameterformen där vi får s t t t t t t s t t t t s ' t ' t s ' t ' t t t Nu är det ara att lägga samman alla små stumpar S S s t t ' t ' t t Den eplicita formen f, a, lir nu en enkel tillämpning på det vi redan gjort. f f s a Eftersom vi lätt kan klä den eplicita formen i parameterskrud med som parameter,, f, a,, har vi direkt med resultatet ovan S S s a ' Till sist har vi den polära formen rθ, ΘΘ, Θ. rθ sinθ rθ rθ Θ Θ rθ cosθ Med stöd av figuren ovan till höger kan även denna lätt skrivas om till parameterform med Θ som parameter, nämligen ΘΘ, Θ rθcosθ, rθsinθ, ΘΘ, Θ. Nu är det ara att räkna på ' Θ rθcosθ r' ΘcosΘ rθsinθ Θ ' Θ rθsinθ r' ΘsinΘ rθcosθ Θ ' Θ r' Θ cos Θ rθ r' ΘcosΘsinΘ rθ sin Θ ' Θ r' Θ sin Θ rθ r' ΘcosΘsinΘ rθ cos Θ Så till slut s ' Θ ' Θ Θ rθ cos Θ sin Θ r' Θ cos Θ sin Θ Θ rθ r' Θ Θ S S s Θ Θ rθ r' Θ Θ Vi sammanfattar

20 Integraler och Mathematica HH/ITE/BN Båglängd Parameterform t t, t, zt, t t, t : S S s t t Eplicit form f, a, : S S s a ' t ' t z' t t ' Polär form rθ, ΘΘ, Θ : S S s Θ Θ rθ r' Θ Θ Dessa integraler juder vanligtvis upp till mcket hårt motstånd, då kommer numerisk integration väl till pass. Eempel: Bestäm längden av diagonalen i enhetskvadraten! Lösningsförslag: Om vi placerar in diagonalen i vårt koordinatsstem kommer den eempelvis att löpa från, till, och eskrivas av,,. Nu är det ara att välja den eplicita varianten ovan S. Eempel: Bestäm längden av helien Θ5cosΘ, 5sinΘ, Θ, Θ, 4Π. Lösningsförslag: Eftersom vi har en parameterframställning av en rmdkurva, väljer vi naturligtvis 4Π S 5sinΘ 5cosΘ Θ 6 Θ 4Π 4Π 6 4 Π D5 CosΘ, Θ D5 SinΘ, Θ DΘ, Θ Θ 4 6 Π ParametricPlot3D5 CosΘ, 5 SinΘ, Θ, Θ,,4Π, PlotStle Thickness.3, ColorFunction Function,, z, Huez otationsarea kring -aeln Vi är intresserade av att estämma arean av det skal eller såphinna som uppstår då kurvan f, a, sveper ett varv kring - aeln. Vi gör en partition av a, och approimerar den uppkomna arean med arean av en mängd smala and. Situationen åskådliggörs nedan. f f z a

21 HH/ITE/BN Integraler och Mathematica Vi studerar nu en av de tunna anden i mängden. Den genereras genom att låta ett ågelement s svepa ett varv runt -aeln, se figur nedan. f s f z För att estämma arean av ett sådant and klipper vi upp längs s och rullar ut det på ordet. Vi får då en del av en öppen cirkelring med innerradien och sektorns medelpunktsvinkel Θ samt de "ärvda" måtten Π och s inritade. Arean A av andet är tdligen skillnaden mellan två cirkelsektorer. A Θ Π s A Θ Π Π s Θ Π Π A Θs s A Π s s A s Skriv om Men ΘΠ enligt fig Dividera med s s Π Låt s. A Π s A Π s Multiplicera åda sidor med s Färdig Med åglängd i färskt minne s ' är det nu ara att lägga samman alla små areor otationsarea kring -aeln A a Π ' Även dessa integraler juder vanligtvis upp till mcket hårt motstånd, då kommer numerisk integration väl till pass. Eempel: Härled arean av manteltan A ΠS Π H för en rak cirkulär kon. Lösningsförslag: Placera spetsen i origo och rotationsaeln längs -aeln, se figur. Generatrisen eskrivs då av funktionen som ges av likformiga trianglar. Nu är det ara att räkna på! H H z H A a Π ' H Π H H Π H H H Π H Eller direkt i Mathematica H Π H D H,

22 Integraler och Mathematica HH/ITE/BN Π H H otationsarea kring -aeln Vi är intresserade av att estämma arean av det skal eller såphinna som uppstår då kurvan f, a, sveper ett varv kring - aeln. Vi gör en partition av a, och approimerar den uppkomna arean med arean av en mängd smala and. Situationen åskådliggörs nedan. f f a z Vi studerar nu en av de tunna anden i mängden. Den genereras genom att låta ett ågelement s svepa ett varv runt -aeln, se figur nedan. f s f z För att estämma arean av ett sådant and klipper vi upp längs s och rullar ut det på ordet. Vi får då en del av en öppen cirkelring med innerradien och sektorns medelpunktsvinkel Θ samt de "ärvda" måtten Π och s inritade. Arean A av andet är tdligen skillnaden mellan två cirkelsektorer. Π Θ A s A Θ Π Π s Θ Π Π A Θs s A Πs s A s A Skriv om Men ΘΠ enligt fig Dividera med s s Π Låt s. Π s A Π s Multiplicera åda sidor med s Färdig Med åglängd i färskt minne s ' är det nu ara att lägga samman alla små areor otationsarea kring -aeln A a Π ' Även dessa integraler juder vanligtvis upp till mcket hårt motstånd, då kommer numerisk integration väl till pass.

23 HH/ITE/BN Integraler och Mathematica 3 Eempel: Härled ännu en gång arean av manteltan A ΠS Π H för en rak cirkulär kon. Lösningsförslag: Detta lir manteltan till den "duala" konen till den i föregående eempel med rotation kring -aeln. Placera spetsen i origo och rotationsaeln längs -aeln, se figur. Generatrisen eskrivs då av funktionen som ges av likformiga trianglar H. Nu är det ara att räkna på H H z Eller direkt i Mathematica A a Π ' Π H Π H Π H Π D H, Π H Generaliserade integraler Vid definitionen av estämd integral a f FFa, där F är en primitiv funktion till f, förutsatte vi att integranden f var kontinuerlig överallt i intervallet a, samt att detta var egränsat. Dessa förutsättningar gör att vi får prolem med t.e. sin,,,,. I de tre första är integranden inte definierad i hela intervallet och i de två sista är intervallet oegränsat. Vi ska göra en generalisering i två etapper. Först antar vi att integranden är kontinuerlig i det inre av intervallet, det vill säga a, och definierar a f lim F lim F a Om åda gränsvärdena eisterar ändligt säger vi att a f är en konvergent generaliserad integral annars divergent. Vi har med andra ord överfört prolemet till att estämma egentliga och oegentliga gränsvärden. Eempel: Bestäm Lösningsförslag: Smolen får man inte räkna med utan måste ersättas med en variael samt gränsövergång. Sålunda är en konvergent generaliserad integral. lim lim arctan lim arctanarctan Π Π Eempel: Bestäm Lösningsförslag: I detta eempel är integranden inte definierad för. lim lim ln a a a lim lnlna lim lna a a a

24 4 Integraler och Mathematica HH/ITE/BN Alltså har vi en divergent generaliserad integral. I andra etappen tillåter vi att f är diskontinuerlig i ett ändligt antal punkter,,, n i det inre av intervallet, det vill säga a n, och överför prolemet till integraler under etapp ett genom att utnttja välkänd regel för uppdelning av integrationsintervallet a f a f f n f n f n Om nu samtliga integraler i högerledet är konvergenta enligt ovan säges a f vara konvergent, annars divergent. Speciellt har vi de viktiga resultaten är konvergent om Α, annars divergent. Α är konvergent om Α, annars divergent. Α Jämförelse f g : a g konvergent a f konvergent. a f divergent a g divergent. Till slut en liten tröst. I Mathematica ehöver vi inte göra något speciellt, uttrck av tpen som eemplifieras ovan ehandlas korrekt. Vi avslutar med eemplet framför andra, därefter en repris på eemplen ovan, sedan några till. Eempel: Bestäm arean och volmen av den kropp som uppstår då kurvan,, sveper ett varv kring aeln. Lösningsförslag: Med tanke på dess utseende och minst sagt lite mstiska egenskaper rukar denna kropp kallas för Gariels horn. Innan vi ger oss i kast med uppgiften piggar vi upp oss med en liten ild där spetsen på hornet är avhuggen. Volm och area för Gariels horn får vi genom att tillämpa välkända "formler" och nvunnen kunskap om generaliserade integraler. Först volmen Sedan arean V Π lim Π Πlim Πlim Π Π A Π ' lim Π Denna integral är inte enkel att estämma för hand, men för att avgöra konvergens räcker det med att göra en uppskattning av integranden och använda jämförelseresultatet ovan Π,Π ' A lim Π lim Π Π lim lnln Så A enligt jämförelse. Vi har alltså en konvergent respektive en divergent generaliserad integral. Gariels horn går med andra ord att flla med färg, Π volmsenheter, men det finns inte färg "i världen" att måla dess vägg!!! Det mstiska uppträder i oändligheten, för ändligt stora horn har vi ändliga mått på såväl volm som area. Eempelvis hornet i figuren ovan

25 HH/ITE/BN Integraler och Mathematica 5 5 V Π 4 Π 5 5 A Π ' Π 66 5 sinh sinh 5 Numeriskt... NV, A.537,.8...och den lite knepiga primitiva funktionen vid areaeräkningen Simplif Π ', Π sinh 4 Eempel: Bestäm. Lösningsförslag: Vid divergens kan Mathematica iland ehöva lite hjälp med omskrivning till ett gränsvärde enligt ovan. Plot,,,, PlotStle ed, AesLael "", "" Limit, a, Direction a Eempel: Bestäm ln och. Lösningsförslag: Detta är konvergenta generaliserade integraler, trots att den andra är diskontinuerlig mitt i integrationsintervallet.

26 6 Integraler och Mathematica HH/ITE/BN Log, Log 4, 4, As Blandade tillämpningar för resten Som vi har sett ovan vid estämning av volm, area och åglängd så är det tpiska angreppssättet att söndra och härska. Strategin är att dela upp modellen i små välkända delar f ; linjestcken, rektanglar, lådor, cirklar, clindrar, rör och sedan lägga samma dessa med en integration för att återskapa helheten, jämför Lego f Ofta handlar det om att integrera något astrakt egrepp som massa, arete eller energi som inte direkt ser ut att kunna integreras. Då kommer någon fsikalisk princip som kopplar egreppet till geometri väl till pass. En ofta använd sådan är att massa är densitet gånger volm m ΡV med enheten kgm 3 på densiteten. Inte sällan används lämplig enhet på densiteten eroende på situationen. Eempelvis en tråd m ΡL med kgm som enhet på Ρ och m ΡA på ett papper med Ρ i enheten kgm. För att passa den lilla infititesimala formen uppträder de sedan som m Ρ V och så vidare. För att vara stringent "medlem i kennelkluen" krävs att man modellerar med differenser, eempelvis, ildar iemannsumma och går i gräns för att komma över till en integral likt härledningarna för rotationsvolmer. En ingengör rukar hoppa över detta led och gå direkt till differentialen. I det följande kommer vi att se en landing av dessa angreppssätt. Eempel: Bestäm tngdpunkten (masscentrum) för en triangel med asen och höjden h. Lösningsförslag: Se figur nedan där ett antal diskreta massor m i är placerade vid i på -aeln och formulera frågeställningen vid tngdpunktseräkning som "Var ska stödet på gungrädan placeras så att vi har jämvikt?". Låt stödet vara placerat vid G (center of Gravit). De massor som sitter till vänster om G vrider moturs med ett kraftmoment i G m i g och de till höger med ett motsvarande kraftmoment medurs. Vid jämvikt ska idragen från de två sidorna ta ut varann, det vill säga n i i G m i g. Denna ekvation estämmer tngdpunktens läge G. Om vi sedan ersätter alla m i med en kontinuerlig masseläggning Ρ kgm på talaeln och går i gräns får vi så åda formerna av tngdpunktsestämning Diskret form n i i G m i rkgm m =r ò a + Kontinuerlig form m G m a G Ρ m m m Inte sällan görs en uppdelning i två integraler G m G m m G m m m G m m m m, där m är massan för hela kroppen. Denna uppdelning i två integraler är vanlig i Mekaniköcker. Wh, när det räcker med en?

27 HH/ITE/BN Integraler och Mathematica 7 Nu över till vår triangel som vi antar har tdensiteten Ρ kgm. Placera den enligt figur och strimla den i led. En sådan strimla rektangel vid har redden och höjden och sålunda arean A och massan m ΡA. Slutligen ges kopplingen mellan och av likformiga trianglar h. Så nu är det ara att h meka ihop det hela och lösa ut G. Skriv G med annan font i Mathematica så att den inte krockar med integrationsvariaeln, eempelvis G vilket skrivs dsg, eller helt enkelt G. h Solve h G Ρ h h, G G h 3 Eempel: En mur ska ggas längs trädgårdsgränsen sin Π,, 5 och i varje punkt, 5 längs gränsen ha höjden. Beräkna murens area Lösningsförslag: Tips, sätt lite smala rädor på muren Arean av en sådan smal räda lir A ashöjd s ',så : Sin Π 5 da ' 4 5 Π cos Π 5 4 sin Π 5 Integralen lämnas med varm hand över till Mathematica 5 A da 4 Π 45 sinh Π Π Π E 54 Π Π som till snes gärna tar hjälp av diverse "eotiska funktioner". Här arcussinushperolicus och en fullständig elliptisk integral. Om man tänkt sig att måla muren och vill göra ett estående intrck på färghandlarn är det ara att klippa ut och visa fram. När munterheten klingat av kan det vara lämpligt att ättra på med NA

28 8 Integraler och Mathematica HH/ITE/BN Eempel: Beräkna arean av det område, som egränsas av aeln och en åge av ckloiden tat sint, ta cost. A Πa Lösningsförslag: Vi får A A t Variaelsustitution tat sint Πa tπ t t t t a Π cost t a Π costcost t Dula vinkeln, costcos tsin ttrig. ettan cos t cos t cos t cost a Π cost costt a 3 t sint sint Π 4 a 3 Π 3Πa A A a Π Cost t A 3 a Π Eempel: Beräkna arean av det område som egränsas av lemniskatan r a cosθ, Θ, Π. Lösningsförslag: Först lite tterligare teori för den polära formen. Vi söker den area som innestängs av kurvan och de två strålarna rθ och rθ Θ. Se figur. Vi går tillväga på motsvarande sätt som när vi örjade med estämd integral. Studera nu intervallet I Θ, Θ Θ och låt Ξ m, Ξ M,. Då kan vi finna r min min r rθ Ξ m Θ och I r ma ma r rθ Ξ M Θ. I rθ Θ rθ Vår area A innestängs tdligen mellan två cirkelsektorer med samma medelpunktsvinkel Θ, så Θ Θ Θ Θ Πr Π min A Θ Π Πr ma Dividera med Θ och för in r min och r ma rθ Ξ mθ A Θ M Θ Nu är det ara att gå i gräns, Θ. rθ A Θ rθ Instängning färdig A rθ Θ Lägg samman alla idrag Θ A Θ rθ Θ Att eercera är aldrig fel! Vi tar en metod till. Approimera A med den gröna triangeln i figuren. A ashöjd rθrθ ΘsinΘ Dividera med Θ A sinθ rθrθ Θ Nu är det ara att gå i gräns, Θ. Θ Θ A Θ A Θ A rθ Θ rθrθ sinθ Θ Nu är det äntligen da att tillämpa detta på ursprungsprolemet A Π A a AsCos Θ Θ A a Känt gränsvärde i HL Färdig

29 HH/ITE/BN Integraler och Mathematica 9 Eempel: Bestäm med hjälp av integral volmen av en rak cirkulär clinder med asradien och höjden H. Genomför kalklen åde med små clindrar och små lökringar Lösningsförslag: Först små clindrar. Lägg den ned och låt, H svepa runt -aeln. Vi får då direkt med formel V Π V H V Π V H Π Sedan stående clinder med små lökringar runt -aeln där H,. Vi får då direkt med formel V Π V V Π H V H Π Eempel: Bestäm med hjälp av integral volmen av ett klot med radien. Genomför kalklen åde med små clindrar och små lökringar Sök slutligen dess area Lösningsförslag: Först små clindrar som vid har radien vilken ges av. Så med formel V Π V V V 4 Π 3 V 3 Π V Π PowerEpand V 4 Π 3 3 Sista integralen juder helt klart mest motstånd. Gör variaelsustitutionen u u som passar som hand i handsken! Slutligen med u u och u ö får vi så standardintegralen V Π u u. Avslutningsvis klotets area som vi väljer att etrakta som en rotationsta kring -aeln. Integranden ser värre ut än vad den är, t Π ' Π Π Π A Simplif A A 4 Π Π D,, Eempel: Bestäm med hjälp av integral volmen av en rak cirkulär kon med asradien och höjden H. Genomför kalklen åde med små clindrar och små lökringar

30 3 Integraler och Mathematica HH/ITE/BN Lösningsförslag: Först små clindrar. Lägg konen ned så att spetsen hamnar i origo och -aeln längs dess rotationsael. Vid har den lilla clindern en radie som ges av likformiga trianglar (rita!). Så med formel V H Π V V HΠ H V 3 H Π Ställ sedan konen med spetsen uppåt. Vid har den lilla lökringen höjden som ges av likformiga trianglar (rita!) formel V Π H. Så med V V Π H V 3 H Π Eempel: Till helgen kan det kanske vara lämpligt att juda på en chokladpralin formad som en stmpad cirkulär kon med radierna och samt höjden. Sök dess volm. Lösningsförslag: Enklast är det att posionera pralinen så att dess rotationsael sammanfaller med -aeln och etrakta den som en rotationsvolmen kring -aeln Π. Det enda ekmret vi har innan vi kan integrera är att estämma radien, som uppenarligen är linjär k m. Vi känner den i två punkter så k m,,,, k m k m k m kåm Solve k m, k m, k, m First k, m varav k m. kåm Nu är det ara att integrera antingen direkt Π Π 3 3 Π Π Π3 3 eller med variaelsustitution för att slippa krångel med inre derivatan. Sustitutionen u u. Måttet u u 3. Gränserna u Π u u Π 3 u3 Π Π3 3 eller med Mathematica. V V Π

31 HH/ITE/BN Integraler och Mathematica 3 4 Π 3 V 3 Eempel: Bestäm den rotationsvolm som uppstår då området som är innesluten mellan kurvan, -aeln och linjerna och sveper ett varv kring linjen. Lösningsförslag: epetera aretsgången ovan och lssna inte på lockropen från en färdig formel! Vi har följande ilder som stöd, ett -snitt och en 3D-v. otationsael f En liten lökring vid har radien r, tjockleken och höjden, så dess lilla volm lir V Π. Nu är det ara att lägga samman alla de små idragen V V Π V 7 Π 6 z Eempel: Italienska ingenjörer projekterar en hängro över Messinasundet mellan Sicilien och fastlandet. Bron kommer att ha ett spann på 8 km och pilonerna lir 38 m höga. Antag att den längsta vajern har formen av en paraelåge. Sök längden på denna? Lösningsförslag: Placera ett koordinatsstem med origo i 4, och estäm paraelågen k utgående från givna data,, 4, 3838 k 4, så : 38 4 Nu är det ara att tillämpa färdig formel för att eräkna längden på vajern S S N 4 ' 9 S 36 sinh 9 S Eempel: Beräkna åglängden av spiralen, som i polära koordinater är definierad genom ekvationen rθ 8 Θ,Θ4Π Lösningsförslag: Direkt tillämpning på åglängd, S S s Θ Θ rθ r' Θ Θ

32 3 Integraler och Mathematica HH/ITE/BN rθ : Θ8 S S 4 Π rθ r'θ Θ S 65 Π Eempel: Vid lastning av en m hög clindrisk silo med radien 4 m räknar man med att materialet packas i silon påföljande sätt. Om silon är flld till höjden H m så ges densiteten h m över otten av Ρhln5 H h kgm 3, h H. Beräkna massan i en full silo. Lösningsförslag: Skiva upp silon i små clindrar med höjden h och varierande radie r. Massan för den lilla clindern på höjden h ges sedan av m ΡV ΡΠr h ln5 H hπ4 h. Nu är det ara att lägga samman alla de små idragen till en full silo M m Log5 h Π4 h M 8 Π4 log55 log5 Eempel: På ett reningsverk finns en assäng för smutsigt vatten. Denna har höjden 4 m och cirkulärt tvärsnitt med radien r h m, h 4. Den är helt flld med smutsigt vatten som eroende på partiklar har densiteten Ρ 8 kgm 3, där är djupet under tan. Bestäm vattnets totala massa. Lösningsförslag: Skiva upp assängen i små clindrar med höjden h och varierande radie r. Den lilla clinderns massa ges sedan av m ΡV ΡΠr h 4h 8 Πh h. Nu är det ara att lägga samman alla de små idragen M m 4 4 h 8 76 Π M 3 Π h h Eempel: Bestäm tngdpunkten för en tunn tråd som är öjd till en halvcirkel med radien och medelpunktsvinkel Α. Tngdpunktens läge G ges av ekvationen m G m. Α Lösningsförslag: Eftersom tngdpunkten ligger på en smmetriael ligger den uppenarligen på aeln. Använd polära koordinater. Låt massan för en liten it s vid cosθ lir då m Ρs ΡΘ, där Ρ är trådens konstanta densitet kgm. Så nu är det ara att lägga samman all små idrag och slutligen estämma tngdpunktens läge. s Θ Θ Θ Α ekv Α Α CosΘ G Ρ Θ Ρ sinα Α G Solveekv, G

33 HH/ITE/BN Integraler och Mathematica 33 G sinα Α Eempel: Bestäm tngdpunkten för en tunn homogen cirkelsektor med radien och medelpunktsvinkeln Α. Tngdpunktens läge G ges av ekvationen m G m. Α Lösningsförslag: Eftersom tngdpunkten ligger på en smmetriael ligger den uppenarligen på -aeln. Vi drar ntta av förra eemplet och etraktar varje liten lökringsit som en tunn tråd. Vid radien r har denna tngdpunkten rsinα och massan ΡrΑr. Så Α nu är det ara att lägga samman alla små itar och eräkna G. Solve G sinα 3 Α r SinΑ G Α Ρ rαr, G Om vi däremot inte har förra eemplet i färskt minne kan vi för att slippa uppdelning av integrationsintervallet välja att integrera i led istället. De små idragen kommer då från smala rädor med dimensionen och massan m Ρ. Dessa har naturligtvis tngdpunkten i mitten som i vårt koordinatsstem är placerat i a. Nu är det ara att sätta igång Tvärr lir integranden lite kinkig, så vi får låta Assumtions hjälpa till med lite information om ingående varialer. a Θ Α aå SolveTanΑ a,a, a, First a tanα, tanα dm Ρ d d Ρ ekv Integrate a G dm d. aå,,, SinΑ, 3 Ρ sinα 3 Α G Solveekv, G G sinα 3 Α Assumptions, Π Α Lite enklare integral lir det om vi går över till polära koordinater, sinθ. Glöm inte att fia måttet d dθ i dm ovan. aåå SolveTanΑ,a CosΘ, SinΘ, a,, First a a sinθ tanα sinθ tanα cosθ,, sinθ tanα Θ

34 34 Integraler och Mathematica HH/ITE/BN dm Ρ D. aåå, Θ dθ dθ Ρ cosθ Α ekv a G 3 Ρ sinα 3 Α G dm dθ. aåå Θ Solveekv, G G sinα 3 Α Eempel: I en smal rak stång med längden L m är densiteten Ρ kgm proportionell mot avståndet i kvadrat till stångens ena ändpunkt. Bestäm tngdpunkten G ur ekvationen m G m. L Lösningsförslag: Låt vara koordinat i stången räknat från "ena" ändpunkten. Massan för en liten it vid lir då m Ρ k och slutligen tngdpunktens läge. L ekv G k kl kl3 G Solveekv, G G 3 L 4 Eempel: Bestäm tngdpunkten för en homogen cirkulär kon med ottenradien och höjden H. Lösningsförslag: Först små clindrar. Lägg konen ned så att spetsen hamnar i origo och -aeln längs dess rotationsael. Vid har den lilla clindern en radie som ges av likformiga trianglar (rita!). Med konstant densitetet Ρ H kgm3 har vi så Solve H G ΡΠ H, G G 3 H 4 Eempel: Bestäm masströghetsmomentet J m r m för en tunn rektangel med redden a, höjden och massan m, med avseende på en ael längs kanten. a Lösningsförslag: Först har vi tdensiteten Ρ m. Klipp sedan upp rektangeln i smala rektangulära strimlor. Bidraget till a tröghetsmomentet från en sådan är J m Ρ. Nu är det ara att lägga samman. J m J a a

35 HH/ITE/BN Integraler och Mathematica 35 J a m 3 Eempel: En tunn pappskiva i form av en rätvinklig triangel med massan m är uppriggad enligt figur. Sök masströghetsmomentet m r m då den roterar kring aeln. a Lösningsförslag: Först har vi tdensiteten Ρ m och hpotenusans ekvation. Klipp sedan upp triangeln i smala a a rektangulära strimlor. Bidraget till tröghetsmomentet från en sådan är J m Ρ. Nu är det ara att lägga samman. J m J a a a J a m 6 Eempel: En tunn tråd med densiteten Ρ öjs till en spiral med radien rθ kθ,θ4π. Bestäm spiralens masströghetsmoment kring origo. I figuren till höger är spiralen uppritad med k k Lösningsförslag: Klipp upp spiralen i små itar s rθ. Det lilla tröghetsmomentet ges sedan av J r m r Ρs r ΡrΘ. Sedan är det ara att lägga samman alla de små idragen J 4 Π J Ρ k Θ 3 Θ Π k Ρ J 3 k Eempel: Vilket arete krävs för att dra ut en fjäder m om man vet att kraften 4 N drar ut den 3 m? Lösningsförslag: Låt fjädern vara utdragen m. Det lilla aretet att dra ut den tterligare ett litet stcke lir då A F k 4 3 och slutligen A A A 4 A 3 A 5 3 Eempel: En rotationssmmetrisk tank 9, 8 som är helt flld av en vätska med densiteten Ρ ska tömmas med hjälp av en pump på taket. Vilket arete kommer pumpen att uträtta? Lösningsförslag: Vi väljer att integrera i riktningen. På höjden över "marken" ska vi lfta en liten vätskeclinder sträckan 8 A m V 8 upp till taket, så hela det uträttade aretet lir A A g8 m g8 ΡV g8 ΡΠ g8 ΡΠ49 som vi med nöje överlämnar till Mathematica

36 36 Integraler och Mathematica HH/ITE/BN A 8 A g 8 Ρ Π 49 A 43 Π g Ρ 3 Eempel: Under en aretsdag med grävskopan produceras en konformad grushög med asradie är m och höjd H m. Vilket arete har grävskopan uträttat då sista sandkornet placerats på toppen av konen? Ledning: Att lfta massan m höjden h kräver aretet mgh. Betrakta sedan det uträttade aretet som att lfta många tunna cirkulära skivor på plats. Lösningsförslag: Följ tipset. Om h är höjden som en liten clinder ska lftas får vi hela aretet som grävskopan uträttar till A m V H A A ghm ghρv ghρπr h ita likformiga Hh H som vi med nöje överlämnar till Mathematica A A Hg hρπ H H h h A Π gh Ρ r r H H h H ghρπ H H h h Eempel: En triangulär dammlucka enligt figur ska ära trcket från vattnet som varierar enligt pρg Nm, där är djupet undervattentan. Söktotalatrckkraften på luckan. Lösningsförslag: Låt luckans redd vara vid djupet. Likformiga trianglar ger då 4 varav. Test: och 4, Ok På djupet har vi så på den lilla rektangeln A den lilla trckkraften F pa Ρg Ρg. Sedan är det ara att lägga samman alla de små idragen F F F 8 g Ρ 3 Ρ g Eempel: En triangulär dammlucka är lagrad kring en ael i luckans plan vid vattentan enligt figur. Antag att vattentrcket är pρg Nm vid djupet och sök sedan det vridmoment i aeln som vattentrcket orsakar. Lösningsförslag: Låt luckans spets vara på djupet H och dess redd vid djupet. Likformiga trianglar ger då att varav H H. Test: och H, Ok På djupet har vi på den lilla rektangeln A den lilla kraften H F pa orsakande det lilla momentet M F på aeln. Slutligen ges H av Ptagoras sats, H. Nu är det ara att härma i Mathematica ÅH Solve H H,H,H,, H First 5 3, H