laiablanals I Vintn Ösikt föläsninga läscka Dt tj kapitlt i ksn bhanla bbl- och tipplintgal. Dn intgaln i känn till fån naiablanalsn b a f kan j ofta ss som aan n f mllan a och b fnktion a tå aiabl och m f btckna olmn n z f. Dt t sig å natligt att tiga bgppt till n ö omåt i plant. Dtta låt sig natligtis int göas lättinigt; t ä int själklat a man skall mna m f måst olmn a tt oglbnt omå i mmt och bblintgaln finias m liknan sonmang som fö nklintgaln. Mn tolkningn a bblintgaln som n olm kan änå aa tt stö fö n intitia föstålsn. Pcis som fö nklintgal isa sig f aa tt älfiniat tal fö n ganska i klass a fnktion; till mpl g alla kontinliga fnktion. Man bäkna oftast f gnom så kalla ita intgation. Dt bt nklt ttck att man intga föst m asn på n na aiabln och san m asn på n ana. I t nklast fallt ä omåt n ktangl. mpl: Bäkna ä gs a Lösning: Vi intga föst m asn på. (Vi kan älja ilkn i ill mn äkningana bli i tta fall nkla om i böja m.). Dt innbä att Om ä min glbnt kan intgationn bli bsäliga. Hlst ill man knna bskia omåt på följan sätt: (t gå föstås ba om och bt oll ). a b Man intga å föst m asn på och san på och t ä iktigt att man ha konstanta gäns fö.
mpl: Bäkna ä D ä omåt Lösning: Vi bski omåt som östa intgaln: Däfö bli 7 Iblan kan man bskia omåt på tå olika sätt ä man på t na sättt fösta intga m asn på och på t ana föst m asn på. Dt kan aa n smaksak ilkt man föa mn t finns många fall ä t na sättt l till btligt nkla äkninga och t fökomm att n bskining l till n omöjlig intgal. mpl: Bäkna ä ä tiangln m hön i pnktna samt oigo. Lösning: Hä måst i bskia omåt så att i föst intga m asn på ; annas ställs i infö ppgiftn att hitta n pimiti fnktion till.
Alltså: gs a östa intgaln: och äfö bli I naiablanals anän man sig a aiablsbstittion fö att klaa issa bsäliga intgal. Man kan bta aiabl än i bblintgal mn sftt ä i fösta han att skapa tt nkla omå. Dt anligast btt ä att inföa poläa kooinat. Då man infö na aiabl säg och måst man än bta aalmntt nligt ä ä bloppt a n så kalla fnktionaltminantn. ö poläa kooinat sin cos gäll att
mpl: Bäkna ä ä t in a nhtscikln. cos Lösning: Vi bt till poläa kooinat och få sin sin ä gs a Dn na intgaln kan bäknas som poktn a tå nklintgal: sin ln sin M t aiabl få man föga öaskan tipplintgal och såana bäknas nligt samma pincip alltså ita intgation. Hä käs följaktlign t intgation ft aana. Man kan själ älja ilkn oning aiablna intgas bot mn i alla flsta fall ä intgann och omåt såant att man böja m z. ft n fösta intgaln ppstå n bblintgal och t omå som n bblintgaln skall bäknas ö ä pojktionn a t spngliga omåt på plant. Dt gäll alltså att ha n kla bil a t spngliga omåt n ppgift som int allti ä tiial. mpl: bäkna z ä ä ttan m hön i Lösning: ttan bgänsas a fa plann z samt z ä man hitta t sista plant tack a goa knskap i linjä algba. 4
Om i n intga föst i z-l få i intallt intgaln Alltså bli z z z och (intgann ä j konstant).. Omåt ä pojktionn a n på plant. bli å n tiangl som bgänsas a linjna samt. Dn ana intgaln bli äfö. Rsltatt bli tt ttck i som till sist skall intgas fån till. Räkningana ä nkla mn ga. 5