UMEÅ UNIVERSITET Isttutoe för matematsk statstk Statstk för lärare, MSTA38 Lef Nlsso TENTAMEN 04--6 TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Statstk för lärare, 5 poäg Skrvtd: 9.00-15.00 Tllåta hjälpmedel: Utdelad tabellsamlg, Ege Mräkare, Persolgt formelblad (A4). Studetera får behålla tetamesuppgftera. Tabellera återlämas efter tetame. 1 poäg ger säkert godkät. Lösgsförslag kommer att läggas ut på hemsda. Lycka tll!
1. Kostade vd e vss tllverkg består dels av e fast kostad på 30 kroor per dag och dels e kostad på 3 kroor per tllverkad ehet. Atal tllverkade eheter per dag varerar mella olka dagar elgt saolkhetsfukto eda X 4 6 8 p(x) 0.1 0.3 0.4 0. 0,4 0,3 p(x) 0, 0,1 4 5 6 7 x 8 9 Låt Y vara de daglga tllverkgskostade a) Bestäm saolkhetsfuktoe för Y. (1p) b) Beräka de förvätade tllverkgskostade per dag. (1p) c) Beräka stadardavvkelse för Y. (1p). Ett ekelt blodprov tas på gravda kvor. För 95% vsar provet get oormalt, me övrga har förhöjda APF-värde. Adele tvllgfödslar är 1 på 0. Sju av to tvllggravdteter ger utslag förhöjda APF-värde. a) Hur stor är saolkhete att e kva med ormal APF-halt ädå får tvllgar? (1.5 p) b) Hur stor adel av kvora har höjd APF-halt och/eller föder tvllgar? (1.5 p) 3. Prset kroor på e bobljett (elgt Statstsk årsbok) och kosumetprsdex (KPI) för vssa år uder perode 1975-1995 vsas edaståede tabell: År 1975 1980 1985 1990 1995 000 Bobljettprs (kroor) 11.63 19.74 35.00 54.44 63.80 7.90 KPI 60.8 0.0 153.8 07,8 54,8 60.7 a) Räka om beloppe (löpade prsera) tll de prsvå som gällde 1975 (fasta prser). (1p) b) Beskrv prsutvecklge för bobljetter uder perode 1975-000 med två dexserer, var och e med basår 1975, varav de ea utgår frå löpade prser och de adra frå fasta prser. (p) 4. Ata att ma plockar fem kort på måfå och ur e kortlek med 5 kort. Vad är saolkhete att få tre ess och två kugar om ma plockar a) uta återläggg? (1.5p) b) med återläggg? (1.5p)
5. To dvders blodtryck (övertryck) y och ålder x är lstad tabelle eda. I 1 3 4 5 6 7 8 9 x 39 47 45 47 5 46 67 9 67 1 y 144 166 138 145 15 14 170 130 158 x 433, x 0965, y 09314, y 1438, xy 1 1 1 1 1 64366, a) Bestäm korrelatoe mella x och y. Förklara vad korrelatoe mäter och kommetera det värde på korrelatoe du fått. (0.75p) b) Bestäm msta kvadratskattge av lje ya+bx. (0.75p) c) Predktera blodtrycket på e dvd som är 0 år. Det fs e rsk med att göra e såda predkto, vlke? (0.75p) d) Predktera skllade blodtryck för två dvder vars åldersskllad är år? (0.75p) 6. Vd tllverkg av kolvar och cyldrar ka dameter för e vss typ av kolv betraktas som e ormalfördelad slumpvarabel med vätevärdet 8. mm och stadardavvkelse 0.1 mm. För cyldrara ka hålets dameter betraktas som e ormalfördelad slumpvarabel med vätevärdet 8.35 mm och stadardavvkelse 0.16 mm. E cylder ases passa tll e kolv om hålets dameter är större ä kolves dameter och om skllade ej överstger 0.6 mm. Frå e mycket stor produktossere väljs helt slumpmässgt e kolv och cylder. Hur stor är saolkhete att kolve passar tll cylder? (3 p) 7. Två olka laboratorer ombads att bestämma, med e vss stadardmetod, de totala fosfatkocetratoe (µg/l) ett vatteprov. Varje laboratorum geomförde 36 bestämgar av fosfatkocetratoe. Följade resultat erhölls: Laboratorum 1 Laboratorum Medelvärde 5.16 4.08 Skattad varas (s ) 3.39.37 Fs det ågra statstska belägg för att laboratoreras bestämgar te är lkvärdga? Blda ett lämplgt 99%-gt kofdestervall för att besvara fråga. (3p) 8. I e stor kommu plaerar ma att bygga e y shall. E stckprovsudersökg omfattade 900 slumpmässgt utvalda vuxa kommuvåare geomfördes. I stckprovet var 459 stycke postvt ställda tll plae. a) Beräka ett 99%-gt kofdestervall för de faktska adele postvt ställda. Age de förutsättgar som måste gälla för att aalyse skall vara gltg. (1.5p) b) Atag u att de faktska adele postvt ställda är 0.490. Hur stor är saolkhete att ma får fler ä 450 postvt ställda ett stckprov omfattade 900 persoer? (1.5p)
Lösg uppgft 1: a) Eftersom y 30 + 3x får v att X 4 6 8 Y 4 48 54 60 P(X x) P(Y y) 0.1 0.3 0.4 0. b) E(Y) 4*0.1 + 48*0.3 + 54*0.4 + 60*0. 5. c) σ V(Y) (4-5.) *0.1 + (48-5.) *0.3 + (54-5.) *0.4 + (60-5.) *0. 9.16 σ 9. 16 5.4. Lösg uppgft : a) Låt T kva föder tvllgar och N kvas blodprov vsar ormalt APF-värde. P(T N) P(T) P(N T) / ( (P(T) P(N T) + P(T*) P(N T*) ) (1/0)(3/) / ( (1/0)(3/) + (99/0) P(N T*) ). P(N) P(T) P(N T) + P(T*) P(N T*) P(N T*) (0,95 (1/0)(3/))/ (99/0) 947/990 P(T N) 3/950 0,00316. b) P(N* T) P(N*) + P(T) P(N* T) P(N*) + P(T) - P(T) P(N* T) 0,05 + 0,01 - (0,01)(0,7) 0,053. Lösg uppgft 3: Stat lärare 1999-03-18 r 1975 1980 1985 1990 1995 000 Bobljettprs (kroor) 11.63 19.74 35.00 54.44 63.80 7.90 KPI 60.8 0.0 153.8 07,8 54,8 60.7 a) Fast prs 11.63 1.00 13.84 15.94 15. 17.00 b) Idex löpade 0 169.73 300.94 468. 548.58 66.83 b) Idex fast 0 3.18 119.00 137.06 130.87 146.17 Lösg uppgft 4: a) A hädelse att få 3 ess och kugar. 4 4 g P(A) 3 4 6 1 P( A) 0.00000934 m 5 598960 890 5 5 b) Det fs totalt kombatoer med 3 ess och kugar. Varje följd förekommer 3 med saolkhete (4/5) 3 (4/5) 1/13 5 1/37193. P(A) /37193 0.00006933 Lösg uppgft 5: 1 1 433 1438 a) Kov(X,Y) x y xy 64366 * 33.4 1 1 1 S X 1 x 1 1 x S X 81.07 16.765 Korr(X,Y) 33.4/15.6918/16.765 0.887 1 433 0965 1 46.3 15.6918
Korrelatoe är ett mått på det ljära beroedet mella X och Y. Negatvt värde egatvt beroede, lgger tervallet [-1, 1], korrelato lka med 1 eller -1 betyder ett perfekt ljärt beroede. x 433 1438 y xy 64366 * b) 1 0.6 b 0.9479 433 16.1 x x 0965 1 1438 433 a y bx 0.9479.7567 19 y.7567 + 0.9479*x c) x 0 y.7567 + 0.9479*0 197.55 V predkterar uta för det x-område som de skattade lje är baserad på. V har med adra ord ge ag om hur sambadet ser ut utaför detta x-område (det kaske te är ljärt där). d) Predktera vd t.ex. x 1 och vd x 1 + och ta dfferese. Dfferese a + b*(x 1 + ) (a+b*x 1 ) b* 0.9479* 9.479. De förvätade skllade blodtryck hos två dvder vars ålder skljer med år är 9.479. Lösg uppgft 6: X kolves dameter N(8., 0.1), Y cylders dameter N(8.35, 0.16) Bestäm P(0<Y-X<0.6) Y-X:s förd: E(Y-X) 8.35-8. 0.5, V(Y) 0.1 + 0.16 0.04, Y-X N(0.5, 0.) P(0<Y-X<0.6) P(Y-X<0.6) - P(Y-X<0) [stadardserg] Φ((0.6 0.5)/0.) - Φ((0 0.5)/0.) Φ(1.75) - Φ(-1.5) 0.9599 0.56 0.8543 Lösg uppgft 7: X fosfathalt lab 1, Y fosfathalt lab. Elgt CGS är X ugefär ( µ 1, σ 1 / 36) 99%-gt approxmatvt kofdestervall för µ 1 - µ : N, och Y ugefär ( µ, σ / 36) N. s1 s 3.39.37 x y ± λ0.005 + 5.16 4.08 +.5758 + 1.08±.5758*0.4 36 36 36 36 1.08 ±1.03 [0.05,.11] I och med att tervallet bara ehåller postva dffereser så har v ett statstskt belägg för att laboratorera skljer sg åt ( lab1 mäter högre ä lab ) Lösg uppgft 8: a) Låt X atal postvt ställda B(900, p) där p adele postvt ställda. pˆ(1 pˆ) 99%-gt kofdestervall pˆ ± z0. 005 om pˆ >, (1 pˆ) > (CGS). ˆp 459 / 900 0.51 900*0.51> och 900*(1-0.51)> 0.51* 0.49 0.51±.5758 0.51±0.043 [0.467, 0.553] 900 b) Atag att p 0.49, dvs. X B(900, 0.49). Elgt CGS är X ugefär N(900*0.49, 900 *0.49*0. 51 ) N(441, 14.997) P(X>450) 1 - P(X 450) 1 - Φ((450 + 0.5-441)/14.997) 1- Φ(0.63) 1-0.7357 0.643