En bi-sk Görn Schmidt http://www.gschmidt.se/skpelsefrgn/frn_skpelsens_smorgsbord/en_bisk/en_bisk.html http://uplod.wikimedi.org/wikipedi/commons//9/imker.jpg På bilden ovn ser du en vxkk tillverkd v honungsbin (Apis mellifer). Kkn består v en mängd små fck eller celler där bin förvrr näring i form v honung eller pollen i viss v cellern och lrver i ndr. Nedn ser du en bild v cellerns geometri. Cellens form klls med mtemtisk termer för ett rkt sexsidigt prism som vsluts med en tresidig pyrmid bestående v tre rombisk ytor. Hel strukturen brukr gå under nmnet Mrldis prism. Cellväggrns tjocklek är 0,07 mm för rbetrceller och 0,094 mm för drönrceller, med en vvikelse på mindre än 4%, medn bottnrn är något tjockre. Cellern är - mm djup, beroende på om det är rbetr- eller drönrceller. Det är människns lott tt förundrs och fsciners över skpelsens underverk. Bins rkitektkonst är ett v dem. Den här rtikeln tr dig med på en liten mtemtisk utflykt i syfte tt undersök bicellerns geometri och vd den kn visk oss i ört när det gäller bins ursprung.. Ingångsöppningrn Som du ser på bildern ovn är ingångsöppningrn formde som regelbundn sexhörningr. En nturlig fråg är: Vrför just sexhörningr? Vrför inte tre-, fyr-, fem-, sjueller 9- hörningr, eller helt rund celler? Det finns br tre geometrisk figurer som möjliggör tt ll cellerns väggr blir gemensmm med grnncellern, och det är tre-, fyr- och sexhörningrn. All ndr lterntiv leder till mellnrum melln cellern där det skulle nsmls bkterier och prsiter. - -
Av dess tre visr det sig tt sexhörningen hr den minst omkretsen om ren på ingångsöppningen bibehålls. Det innebär tt bin tycks h vlt den optiml designen v ingångsöppning med vseende på mterilåtgång. Mn kn dessutom tillägg tt om bin hde byggt sin celler med fyrhörnig ingångsöppningr och därmed fyrsidig prismn så skulle resulttet h utgjort en instbil geometrisk struktur. Vxkkn skulle h kunnt vik ihop sig för en stöt i sidled, och bin skulle h vrit mycket plttre än de är idg ;). Bin tycks följktligen h drgit smm slutsts som en modern byggingenjör eller rkitekt skulle h gjort sexhörnig ingångsöppningr är ett optimlt vl!. Cellbotten Anledningen till tt cellens botten är formd som en pyrmid är tt bin bygger vxkkorn med celler på båd sidor, och för tt bottnrn sk kunn möt vrndr vägg mot vägg så måste vrje cellbotten h kontkt med tre ndr celler från motstt sidn v vxkkn. Därv tre bottenytor. Bottenytns tre sidor är rombisk till formen, d v s de hr formen v skev kvdrter. I en kvdrt är ll fyr vinklrn rät, d v s 90 grder. Rombern i bicellerns botten hr i stället två vinklr (vinkeln w i figuren) som är trubbig 0 grder och två (vinkeln v) som är spetsig - 70 grder. Mn kn nturligtvis tänk sig mång tänkbr vinklr i hörnen på dess romber, men ännu en gång väcks misstnken tänk om det finns en rtionell nledning till tt honungsbin utöver vår jord bygger med just 70 och 0 grder i hörnen när de konstruerr sin vxceller. Kn det måhänd h med mterilekonomi tt gör även den här gången? Vi skulle kunn t red på dett genom tt välj en godtycklig vinkel v och sedn beräkn cellens begränsningsre. Därefter välj en nnn vinkel och gör om smm beräkning, och upprep dett förfrnde på ett begåvt sätt så tt vi närmr oss de vinklr som leder till de cellproportioner som medför minst möjlig mterilåtgång. Men i stället för tt pröv oss frm (eller låt ett dtorprogrm iterer sig frm) så plockr vi frm vår gymnsiemtte och vrje gymnsists älsklingsbegrepp - derivt - och sätter igång! Låt oss börj med tt beräkn ren v bicellens väggr. Ant tt vrje sid i sexhörningen är längdenheter lång. I figuren nedn innebär det tt sträckorn AB = BC = Vinkeln ABC = 0 vilket innebär tt vinkeln RBC = 60, som i sin tur ger tt - -
sträckn RB = cos 60 = sträckn AC = sin 60 = ( AC) sträckn RC = sträckn BP = tn sträckorn PR = RQ = cos Om nu cellens höjd är h längdenheter får vrje sidovägg i cellen ren A ( ) reenheter, där tn BC ( BP) tn A ( ) h h h.e. 4 Aren v en romb kn beräkns genom tt t produkten v digonlerns längder dividert med två, d v s vrje enskild romb i bottenväggen är A ( ), där ( ) ( AC) ( PQ) ( AC) ( PR) cos A ( ).e. cos Bicellens totl begränsningsre A utgörs v summn v de sex sidoväggrn och de tre rombern i botten, d v s: tn A( ) 6 A ( ) A ( ) 6 ( h ) ( ) ( tn) 6 h 4 cos cos.e. (0 90 ) Arefunktionen A ( ) hr minimum när uttrycket ( tn) hr minimum. Låt oss cos hädnefter kll dett f ( ). Vi bildr nu ett uttryck för derivtn f ( ) och tr red på för vilk vinklr som derivtn är = 0 (en klssisk optimeringsmetodik): - -
f ( sin cos cos sin cos ) f ( ) 0 när sin vilket ger 5, Av figuren frmgår tt: w ( RQ) tn ( RC) cos cos w tn cos 5, 0,707, vilket ger Bicellens totl begränsningsre hr följktligen minimum då 5,, vilket gäller när w 70,5, som i sin tur ger v 09,5 Heltlsvrundning ger v 70 och w 0, vilket råkr vr just de vinklr som honungsbin nvänder sig v när de bygger sin vxkkor! När såg du ett bi studer differentilklkyl senst? Fktum är tt bin inte sitter ner och deriverr när de sk till tt bygg sin celler. Som på ett löpnde bnd kommer hundrtls bin efter vrndr och levererr vrt och ett en liten portion bivx och plttr till det. När biet sk vgör om väggtjockleken stämmer på en tusendels millimeter när går det till på följnde sätt: Biet böjer sig ner och pressr sin överkäke mot cellens vägg och åstdkommer en liten buckl i den. När biet tr bort sin käke poppr cellväggen tillbk med ett ljud vrs frekvens är beroende v väggens tjocklek. Med hjälp v sin ntenner kontrollerr biet frekvensen på ljudet, och känns det ok så bygger biet vidre någon nnnstns. Mn hr undersökt det här genom tt klipp v topprn på bins ntenner. Konsekvensen blir tt cellern blir sexkntig och med de rätt vinklrn, men väggrn blir tjock och tunn om vrtnnt. Vd sk vi dr för slutsts v det här? J, det beror nturligtvis på vilket perspektiv mn hr på ursprungsfrågn. Drwinisten rycker som vnligt på xlrn och konstterr tt muttioner och nturligt urvl hr förmågn tt slip frm så här optiml strukturer i den levnde världen. Mn menr tt ättlingrn till ett bismhälle som v slumpen råkt utrusts med ett genetiskt progrm som mnr medlemmrn tt instinktivt bygg sin vxceller med de helt gln vinklrn grder respektive 69 grder på sikt skulle duk under i kmpen för tillvron, eftersom de skulle utkonkurrers v ett hypotetiskt grnnsmhälle som v smm slump utrustts med - 4 -
förmågn tt bygg med de mtemtiskt optiml vinklrn. Låt oss i fortsättningen för enkelhets skull kll de här klntig bin för klåprn, och de duktig bin för proffsen. Drwinisterns resonemng är relevnt så länge mn uteslutnde tr hänsyn till en end fktor nämligen vinklrn i hörnen på rombern och bortser från ll ndr fktorer. Det scenriot är bsurt v fler skäl. För det först är det llmänt känt tt proffsen måste h en god portion tur för tt de sk lycks för sin gener vidre. Det gäller tt nllen som letr kolhydrter inför sin vinterslummer väljer tt lägg beslg på klåprns honungssmling och inte proffsens. Nllen kn nturligtvis omöjligt vgör rombvinklrn på någon stckrs grd när, och hr heller inget intresse v det, så det finns uppenbrligen en vsevärd slumpfktor med i leken. För det ndr så finns det en närmst oändlig mängd ndr fktorer vrs inverkn på bismhällets överlevndschnser vid överstiger den där vinkelgrdens besprde rbetsinsts. Ant till exempel tt klåprn råkr bygg sin bikup fem meter närmre ett bestånd nektrrik blommor än proffsen. Den inbesprde medelflygsträckn för klåprn på tio meter per bi vid vrje insmlingsrund skulle innebär en vsevärt större energibespring än de defekt vinklrn kostr smhället. Eller säg tt klåprn råkde bygg sin bostd på en plts med en medeltempertur som vr någon tiondels grd högre än proffsen. Även den energibespringen skulle säkerligen överstig vinkelförlusten. Och så där skulle mn kunn håll på. Det omgivnde bruset från mängder v konkurrernde miljöfktorer dränker helt enkelt den signl som någon vinkelgrd bättre cellgeometri skulle innebär. Bicellern är br ett v oräknelig exempel på nturens underverk. Det är br det tt det är ett mtemtiskt åtkomligt sådnt. Mn kn smmnftt hel den här diskussionen med tt säg tt det nturlig urvlet sknr förmåg tt selekter frm strukturer med den upplösning som skulle behövs för tt slip frm nturens underverk. Bin vittnr med sin ingenjörskonst om sin Skpre! Epilog I något smmnhng där jg presentert det här exemplet hr jg fått invändningen från evolutionsnhängre tt den geometrisk formen hos bins vxkkor är precis den som såpbubblor eller ndr mjuk bollr ntr när de trycks smmn i en behållre v något slg. Det rgumentet hde bsolut vrit värt tt bekt om det vore så tt vxkkorn konstruers genom tt luftbubblor i flytnde bivx trycks ihop vid ett och smm tillfälle i smbnd med tt de tillverks. Men så är inte fllet! Bin bygger successivt och metodiskt upp vxkkorn på det sätt jg beskrivit ovn under en längre tidsperiod utn tt konstruktionen någonsin ntr ett hlvflytnde tillstånd, vilket gör tt det rgumentet fller i prktiken. - 5 -
Det fktum tt de optiml vinklrn även uppstår när ett fysikliskt system spontnt uppsöker sitt lägst energitillstånd vid en bubbelkompression kn snrre nses som en oberoende bekräftelse vid sidn v den mtemtisk optimeringsmetoden på tt bins progrmmering är enstående. Däremot finns det i litterturen en nnn invändning, en som jg gärn skriver under på. Det är tt den mtemtisk beräkningen i den här rtikeln bygger på en ideliserd bicell. I synnerhet i kntern v vxkkorn är cellern inte fullt så symmetrisk. Dett rgument påverkr emellertid inte resonemnget i dess helhet. Vinklrn i en genomsnittlig bicell ligger tillräckligt när den ideliserde för tt beräkningrn sk äg giltighet. Källor: D Arcy Thompson: On Growth nd Form, Cmbridge University Press 004, ISBN 0 5 4776 8 Åke Hnsson, Stefn Brth: Ecologicl Design, ISBN 9-780-08-X Tomso Aste & Denis Veire: The Pursuit of Perfect Pcking, IOP Publishing Ltd 000, ISBN 0750 0648-6 -