Preliminär smmnfttning v erfrenheter från projektet Gymnsieskolns mål och högskolns förväntningr i mtemtik Underlg för diskussioner vid KTH Mtemtik om plnering inför HT2005. Mikel Cronhjort, Lrs Filipsson, Hns Thunberg. KTH Mtemtik 16/2 2005 Projektet pågår fortfrnde, men någr delprojekt hr kommit så pss långt tt vi kn formuler någr slutstser inför utformningen v sommrkurs, introduktionskurs, bskurs och de först kursern i linjär lgebr och envribel-nlys till hösten 2005. Nednstående är bsert på preliminär resultt från En inventering v det mteril som tidigre hr nvänts i KTHs sommrmtemtik (på nätet) och 5B1120 Introduktionskurs i mtemtik. (Hns Thunberg och Lrs Filipsson) Enkätundersökning till lärre och studenter under introduktionskursen 5B1120 HT2004. (Hns Thunberg och Lrs Filipsson) Undersökning v vnligt förekommnde fel och missförstånd på tentmen 5B1120. (Mikel Cronhjort). Undersökning v vnligt förekommnde fel och missförstånd på tentmen i Mtemtik 1. (Som del v kursen Vetenskp, Teknik och Lärnde II, Sr Isksson och Emm Enström, CL-studenter åk 3). Andr källor är Lrs Brndells undersökningr kring det inlednde dignostisk provet. Sttistik från det ny dignostisk provet HT 2005. Vnligt förekommnde fel, brister och missförstånd som de rpporterts v institutionens lärre under 2003, smmnställt v Gunnr Jonson. De åtgärder som föreslås här är bserde på den strukturell sitution som råder idg, dvs med de behörighetskrv och det söktryck som för närvrnde gäller för KTHs civilingenjörsutbildningr och med den utformning och kunskpssyn som gymnsieskolns mtemtikkurser hr idg. Nednstående åtgärder skll lltså ses som förslg på kortsiktig lösningr på ett kut problem, lösningr som kommer tt kräv ett pris i form v tt nu obligtorisk moment i de, redn hårt slimmde, först årets kurser fller bort. För en hållbr lösning på sikt krävs helt ndr typer v åtgärder; en kort diskussion v dett ges i sist vsnittet. Begrepp och färdigheter tt repeter Här listr vi sådnt som vi bedömer lämpr sig för repetition under t ex en kort, frivillig introduktionskurs. Vi tänker då på sådnt som merprten v de ny studentern kn förmods 1
h reltivt god färdighet i och förståelse för ifrån sin gymnsiestudier, men som definitivt mår br v en repetition. Kommentrer om begrepp och delmoment som kn vr värd tt uppmärksmms speciellt hr infogts. Elementär numerisk räkningr (bråk, heltlspotenser, kvdrtrötter) och enklre lgebrisk räkningr med polynom, rtionell uttryck. Den vnlig lgoritmen för tt bestämm minst gemensmm multipel v två heltl är obeknt för de flest, och ett vnligt misstg vid räkning med bråk och rtionell uttryck är tt inte sök minst gemensmm nämnre, och därför få ohnterlig räkningr. Observer tt bestämning v minst gemensmm multipel kräver tt mn snbbt kn primfktoriser tlen ifråg; mång är säkert obeknt med erforderlig enkl delbrhetsregler. Förenklingr v uttryck med kvdrtrötter är svårt, mång är ovn vid tt räkn exkt (utn vill vänd sig till räknren direkt), och hr svårigheter med tt direkt se (och utnyttj) tt t ex tt 8 = 2 2. Potenslgrn för positiv heltlsexponenter bör repeters, och också hur (och vrför) mn sedn definierr potenser med icke-positiv heltls exponenter. Se vidre nedn om icke heltlig exponenter. Fktorisering v polynom erbjuder svårigheter för mång studenter. Ambitionsnivån i en repetitionskurs får knske begränss till direkt tillämpningr på konjugtrespektive kvdreringsregeln och uppgifter med uppenbrt gemensmm fktorer. Den upplevd svårighetsgrden stiger snbbt med uttryckens komplexitet. Rät linjens ekvtion. De flest är beknt med den på formen y = kx + m, men resulttet på vårt ny dignostisk prov visr tt mång (över 50% på Öppen Ingång, en medelgrupp ) inte kn bestämm ekvtionen för en linje bestämd v två punkter när de börjr på KTH. Dunkels bok innehåller ing övningr på dett, här behövs en komplettering. Den llmänn formen Ax + By + C = 0, liksom prmeterfrmställning, är obeknt för mång, och dett bör lltså inte (enbrt) behndls i en repetitionskurs. Linjär ekvtioner och ndrgrdsekvtioner. Enklre rotekvtioner. Logiken (ekvivlenser, impliktioner, prövning) i ekvtionslösning måste träns. Vikten v rutinmässig lösningskontroll bör betons. Elementär räkningr med n:te rötter och reell potenser. Potenslgrn. (Enkl tillämpningr v logritmer) Mång är mycket osäkr på definitionern och innebörden v t ex brutn exponenter och definitionen v n:te rötter. Återigen stiger den upplevd svårigheten snbbt med uttryckens komplexitet. 2
Logritmer är för de flest studenter något som de känner till ytligt, och lärt sig nvänd till tt lös enklre potensekvtioner med räknrens hjälp. Vi är tveksmm till om dess frgment om logritmer lämpr sig för repetition. Ekvtionen för origo-centrerde cirklr. Definition v de trigonometrisk funktionern. Rätvinklig tringlr. Trigonometrisk ettn. På vårt dignostisk prov löste endst 15% v studentern på Öppen Ingång uppgiften Lös ekvtionen 2 cosx = 1 (på ndr progrm låg lösningsfrekvensen melln 9% och 34%). På det prov som vslutde introduktionskursen på Öppen Ingång (uppgiftern vrierde melln progrmmen) vr det de två trigonometriuppgiftern som hde lägst lösningsfrekvens. Uppgiften Vd är sin v då cosv = 1/ 3 då 0 < v <π? löstes v 48% v studentern, och Lös ekvtionen cos 2x = cosx löstes v 29% v studentern. Lösningrn vittnr om utbredd dålig förståelse. Dett tlr för tt även enklre trigonometrisk ekvtioner, såväl som trigonometrisk identiteter och något mer komplicerde ekvtioner behöver behndls grundligt, och tt en repetitionskurs främst bör inrikt sig på tt befäst de mest elementär kunskpern i trigonometri. Redn i en inlednde/repeternde kurs (och vidre genom vår grundkurser) måste vi försök hjälp studentern till tt (i) formuler sig tydligt i tl och skrift. (ii) strukturer sin lösningr och skriv svr (iii) tt tänk igenom logiken; vd frågs det efter? vd hr mn utgå ifrån? vd implicerd vd? är omskrivningrn ekvivlenser eller impliktioner? (iv) tt våg försök tänk själv (v) tt kontroller räkningr och pröv lösningr (vi) bli klr över skillnden melln exkt värden och pproximtioner (vii) utveckl sin syn på formler och identiteter ifrån tt vr regler i formelsmlingen som mn (till skillnd från ndr presumtiv formler) får nvänd, till ett mer mtemtiskt moget synsätt. Det här är punkter där mång v oss lärre bedömer förkunskpern och färdighetern som mycket svg. Så dett är egentligen inte fråg om repetition, men det är en ttityd som vi, just därför, måste h med från börjn. Nturligtvis hr studentern ndr förkunskper i mtemtik än de ovn listde när de kommer hit, bl i geometri, snnolikhetslär och sttistik och i differentil- och integrlklkyl. Dett är dock stoff som vi inte hr behndlt i vår inlednde kurs de senste åren, och vi hr ingen bild v hur förkunskpern ser ut inom dess områden. Kommentr 1: Delr v det ovnnämnd stoffet är sådnt som bäst behndls i smbnd med stoff som inte är v repetitionskrktär, och följktligen inte hör hemm i en repetitionskurs. (Exempel: Ekvtionen för origo-centrerde cirklr är de flest beknt med, medn vståndsformeln i plnet och ekvtionen för en cirkel i llmän position måste ts mer grundligt.) Kommentr 2: Ett återkommnde resultt är tt mång studenter i princip kn lgoritmer för t ex bråkräkning, som ett mekniskt mönster. Mång kn nvänd dess i uppgifter med låg komplexitetsgrd, men när uppgiften inte direkt fller in under ett v stndrdfllen utn 3
kräver en längre kedj v beräkningr, där fler olik lgoritmer kommer till nvändning, står de hndflln. Förmodligen kommer sig dett v en stor osäkerhet på vrför lgoritmern ser ut som de gör; förståelse skns med ndr ord. Under en repetitionskurs, där mn repeterr t ex ovn listt mteril, är det därför viktigt tt börj med uppgifter v låg svårighetsgrd och ständigt för ett resonemng om vrför mn gör som gör, och sedn försiktigt stegr komplexiteten på uppgiftern. Att inse tt räkneregler inte är godtycklig, tt mn kn resoner sig frm till hur mn löser mer komplex problem i fler elementär steg, tt mn kn begrip vd mn gör, är sådnt som måste träns i ll vår kurser, även inlednde/repeternde kurser. Ett nnt återkommnde tem i undersökningrn är den kulturskillnd som finns melln gymnsiemtemtiken och vår syn på mtemtik vd gäller de vnligste formlern. Från gymnsiet är studenten vn tt lltid h en formelsmling till hnds, ytterst få moment, om ens något, genomförs utn formelsmling. För mång studenter tycks formelsmlingen vr en smling v mer eller mindre godtycklig regler som mn får nvänd sig v, utn tt mn hr reflektert över vrför. Mång är oklr på vd det betyder tt en formel är snn respektive flsk. På KTH förväntr vi oss (plötsligt) tt de skll kunn t ex logritmlgrn och de vnligste trigonometrisk identitetern utntill, och kunn nvänd dem i problemlösning. Mn bör därför i en repetitionskurs närm sig dett utifrån välbeknt mteril; problemtiser och sedn bevis t ex kvdreringsreglern eller formeln för lösning v ndrgrdsekvtioner. Potenslgrn skll diskuters från börjn: definition för positiv heltlspotenser, stser som följer, definition för icke-positiv heltlsexponenter osv. Studentern måste, med börjn i enkl fll, träns tt se hur definitioner, stndrdidentiteter och ekvtioner bildr en konsistent helhet, tt den en formeln kn fås ur den ndr, tt presumtiv formler kn tests (dvs flsifiers eller troliggörs) och beviss. Knske sk vi hjälp dem tt hitt minnesstöd? Exempel: det är nog inte ovnligt tt studenter minns tt en v formlern log xy = log x + log y och log ( x + y) = (log x)(log y) gäller, men vilken? Alltför få kommer på tnken tt undersök rimligheten med tio-logritmer och positiv heltl x och y. (Som hr frmgått ovn pekr undersökningrn på tt förståelsen för logritmer är mycket svg hos del flest. Skll det ts upp i en repetitionskurs får mn t det väldigt elementärt; dett exempel hör knske snrre hemm i en först obligtorisk kurs). Vi hr hft en tendens i tidigre repetitionskurser tt närmst förstärk synen på formler och lgoritmer som godtycklig regler som mn tillämpr blint; skillnden melln gymnsiet och högskoln hr bestått i tt här skll mn kunn fler regler och dessutom utntill! Kommentr 3: Studentern är från gymnsiet vn vid tt förlit sig på sin (grfritnde) räknre, för såväl klkyler som grfritnde. Vid högskoln krävs plötsligt tt mn skll klr sig utn räknren vid numerisk klkyler och vid grfritning, vilket är en nyhet och en ytterligre svårighet för mång. Vi kn h god skäl för tt inte nvänd räknre, men vi måste som sgt vr medvetn om tt dett är ovnt (och därmed svårt!), och skpr osäkerhet. Begrepp och färdigheter som kräver omfttnde övning Här listr vi sådnt som vi, implicit eller explicit, v trdition förutsätter tt studentern kn ifrån gymnsiet, och som inte brukr vr föremål för nnt än en kort repetition, men som nu enligt vår bedömning måste behndls grundligt med omfttnde tid för övning och därför 4
inte lämpr sig för tt (enbrt) behndls i frivillig introduktions- och repetitionskurser. Det kn vr stoff som överhuvudtget inte ingår i gymnsiets kurs A D, eller stoff som behndls översiktligt utn tillräcklig övning eller med ndr kunskpskrv än de vi ställer. På kort sikt måste dett implementers i de obligtorisk kursern under det först året, inom givn rmr. Det kommer med ll säkerhet tt innebär tt vi på progrm som inte redn hr utrymmet för dett (i form v t ex en bskurs) måste prioriter bort mteril som nu ingår i kursern. Stoff beknt från gymnsiet som behöver utförlig övning och fördjupning Fktorisering v polynom med hjälp v, utbrytningr, kvdreringsregeln, konjugtregeln och omskrivningr. Förenkling v mer komplex rtionell uttryck. Förenklingr och beräkningr (även numerisk) som kräver fler steg och företgsmhet. Mer komplex räkningr med rötter och potenser. Olikheter Logritmer som begrepp. Logritmlgrn och ders smbnd med potenslgrn. Enklre logritmräkningr. Enhetscirkeln och de trigonometrisk funktionern. Trigonometrisk formler. Trigonometrisk ekvtioner. Smmnsättning v funktioner. Att för hnd kunn gör kvlittivt korrekt skisser v grfern till enklre ekvtioner i två vribler. Stoff som inte ingår i kurs A D, eller som mång studenter inte lls känner igen. Kvdrtkomplettering. Summsymbolen. Fktorstsen, polynomdivision och lösning v polynomekvtioner v grd 3. Komplex tl. Absolutbelopp. Avståndsformeln i plnet. Cirkelns ekvtion i llmän position. Ekvtionern för kägelsnitten. Mer komplex uppgifter med logritmer. Definition v logritmer. Bsbyte i logritmer. Formler och identiteter: Att h memorert, kunn härled och förstå smbnd melln de vnligste formlern för trigonometrisk funktioner, smt potens-, logritm- och exponentilfunktioner; tt förstå innebörden v tt en formel är snn, tt kunn flsifier formler etc. Mer vncerd kurvritning: symptoter, trnsltioner, sklning. Diskussion förändringr på längre sikt. Försämrde förkunskper? Det är väl dokumentert tt förkunskpern i mtemtik inom de områden som prioriters v mtemtikintensiv högskoleutbildningr stegvis hr försämrts hos nyntgn studenter under en längre period, se t ex rpporter från KTH (Brndell 2004) och Umeå (Bylund och Boo 2003) och översikter i rpportern Förkunskpsproblem i Mtemtik? (Skolverket 1998) 5
och Räcker förkunskpern i mtemtik? (Högskoleverket 1999). En rd olik fktorer hr spelt in, bl ändrde kursplner i gymnsiet, betygsinfltion i gymnsiet, sänkt behörighetskrv och sänkt söktryck vid högskolorn. Undersökningr visr också tt mtemtikkunskpern i grundskolns krftigt försämrdes under nittiotlet, så orskskedjn går långt ner i skolsystemet. Tecken tyder på utvecklingen de senste åren inte hr lätt till någon förbättring, men tt den negtiv utvecklingen i grundskoln i ll fll hr bromsts upp. (Se TIMMS 2003, PISA 2003 och NU03 och smmnfttningr på Skolverkets hemsid). Ändrd behörighet Vid övergång till det målrelterde betygssystemet sttes behörigheten i mtemtik till betyg G (godkänt) på gymnsiets kurs E. I det tidigre reltiv betygssystemet vr den särskild behörigheten betyg 3 i mtemtik från Nturvetenskplig eller Teknisk linje. Enligt mång bedömningr, se t ex Mtemtikdelegtionens slutbetänknde Att lyft mtemtiken, inkluderr betyget G i det ny systemet betyg 2 i det gml. Övergången till de målrelterde betygen innebr lltså i sig en sänkning v den särskild behörigheten. Vid högskolorn eftersträvr mn en breddd rekrytering. Vid KTH hr det inneburit tt den särskild behörigheten i mtemtik till civilingenjörsutbildningrn loklt hr sänkts till Kurs D från gymnsiet. Dett sänker nturligtvis den genomsnittlig förkunskpsnivån iblnd de ntgn, mycket tlr för tt vi inte hr sett den full effekten v dett ännu, och leder till ökd stoffträngsel i det först årets mtemtikkurser. Fler progrm på KTH hr de senste åren stärkt det först årets mtemtikkurser på bekostnd v kurser över grundläggnde nivå. Dess förändringr gjordes, som ett sätt tt möt studentern på ett bättre sätt utifrån de förkunskper de hde, året innn den särskild behörigheten sänktes. Dett tillskott på grundläggnde nivå hr till stor del nu ätits upp v det ny stoff som tillkommer då Kurs E ej längre är förkunskpskrv. Noter också tt c hälften v civilingenjörsprogrmmen inte hr förstärkt det först årets kurser, trots försämrde förkunskper och sänkt behörighetskrv. Fr o m hösten 2005 hr mottgningsperioden för de ny studentern kortts från tio till sju dgr. Dett medför tt den repeternde introduktionskursen i mtemtik under mottgningen ges på kortre tid, och mängden undervisning minskr från 24 timmr till 17 timmr. Dett underlättr inte situtionen, även om introduktionskursens betydelse inte sk överdrivs. Smmnfttning och någr förslg Den särskild behörigheten hr på reltivt kort tid sänkts i två steg, dels ntionellt genom övergång till det målrelterde betygssystemet, dels loklt på KTH genom tt Kurs E ej längre är obligtorisk. Därtill kommer en betydnde betygsinfltion på gymnsiet. KTH, och högskoln i llmänhet, måste t nsvr för den breddde rekryteringen. Att sänk de särskild behörighetskrven för tt bredd rekryteringen, och sedn inte ge utrymmer i läro- och timplner för tt möt de ny studentktegoriern på ett br sätt är inte försvrbrt KTH måste hitt en blns i dess frågor. Vill vi h en bred rekrytering, utn tt prut på utbildningens kvlité vd gäller grundläggnde färdigheter i mtemtik, måste det först årets kurser i mtemtik förstärks betydligt, utn tt dett sker på bekostnd v mtemtikkursern i högre årskurser. Ett tänkbrt pket v åtgärder på längre sikt skulle kunn vr följnde: 6
- Höj den särskild behörigheten till ntionell stndrd, dvs betyg G från gymnsiets Kurs E. - Inför en mtemtisk bskurs om 4 5 poäng på smtlig progrm, utöver de redn obligtorisk kursern. - Genomför en mer genomgripnde revision v det först årets mtemtikkurser med vseende inte br på stoffinnehållet, utn också vd gäller prioriterde mål och undervisnings- och exmintionsformer. - Ge det först årets mtemtikkurser ökde resurser för studiedignos, uppföljning och studierådgivning. - Ge möjlighet till en flexibel studiegång i mtemtik under det först året. Mn kn t ex tänk sig tt studenter med dokumentert god förkunskper byter ut den ovn föreslgn bskursen mot nnn kurs. - Erbjud en högskoleförberednde termin som finnsiers på smm villkor som bsåret. Andr kombintioner v åtgärder är nturligtvis tänkbr; med höjd behörighetskrv sjunker behovet v flexibilitet och högskoleförberednde kurser. KTH bör förstås också fortsätt tt ger i utbildningspolitisk frågor, och stödj förslg som vill reformer grund- och gymnsieskoln på ett sådnt sätt tt mtemtikämnet stärks i llmänhet och tt de högskoleförberednde gymnsieprogrm på ett bättre sätt förbereder för högskolestudier i mtemtik. Vi vill speciellt nämn det förslg som skissers i rpporten från Mtemtikdelegtionens rbetsgrupp 11 H (dvs från gymnsiets ndr år till högskoln), där mn pläderr för ett mer differentiert kurssystem på gymnsiet. Tyvärr vlde Mtemtikdelegtionen tt inte t med dett förslg i sin rpport. Dett är frågor som ngår oss ll i hög grd, och sk nturligtvis vr föremål för en llmän diskussion; förslgen ovn sk ses som exempel bserde på vår personlig slutstser bl utifrån rbetet med undersökningen Gymnsieskolns mål och högskolns förväntningr. Fler ny delprojekt hr initierts, bl en enkätundersökning till gymnsielärre i mtemtik om hur de bedömer nyutexminerde gymnsisters förutsättningr tt lös olik typer v uppgifter som de möter under vår inlednde kurser, smt ytterligre nlyser v vnligt förekommnde fel och missförstånd på de inlednde kurserns tentmin. 7
Referenser Att lyft mtemtiken intresse, lärnde och kompetens. (2004). Betänknde v mtemtikdelegtionen. SOU 2004:97. Brndell, Lrs. (2004) Mtemtikkunskpern 2004 hos nybörjrn på civilingenjörsprogrmmen vid KTH. Bylund, Per och Boo, Per-Anders. (2003) Studenters förkunskper. Nämnren nr 3, 2003. Cronhjort, Michel.(2005) En studie v fel på tentmen 2004-08-27 i 5B1120 Introduktionskurs i mtemtik, 1 poäng. Pågående rbete Enström, Emm och Isksson, Sr. (2005). Feltyper på tentmenslösningr grnskning v lösningr på tentmen i mtemtik vid KTH HT-04. Filipsson, Lrs och Thunberg, Hns. (2005) Förväntde och önskde förkunskper i Mtemtik vid KTHs civilingenjörsutbildningr. KTH. Filipsson, Lrs och Thunberg, Hns. (2005) Lärre och studenters syn på KTHs introduktionskurs i mtemtik. Högskoleverket. (1999). Räcker kunskpern i mtemtik? PISA 2003. En smmnfttning smt en länk till den fullständig rpporten finns på Skolverkets hemsid, http://www.skolverket.se/publicert/press/press2004/press041206.shtml Skolverket. (1998). Förkunskpsproblem i mtemtik? Skolverket. (2003). Ntionell utvärdering NU 03. TIMMS 2003. En smmnfttning smt en länk till den fullständig rpporten finns på Skolverkets hemsid, http://www.skolverket.se/publicert/press/press2004/press041213.shtml 8