Förväntade och önskade förkunskaper i Matematik vid KTHs civilingenjörsutbildningar

Transkript

1 Förväntde och önskde förkunskper i Mtemtik vid KTHs civilingenjörsutbildningr Inledning Hns Thunberg, KTH Mtemtik thunberg@mthkthse Lrs Filipsson, KTH Mtemtik lfn@mthkthse I denn rpport inventerr vi de förväntde och önskde förkunskpern i mtemtik vid KTHs civlingenjörsutbildningr så som de tr sig i uttryck i två frivillig introdukitons- och repetitionskurser KTHs sommrmtemtik är ett nätbsert självstudiemteril som ll nyntgn studenter rekommenders tt t del v under sommren innn de börjr vid KTH Kursmterilet återfinns på hemsidn för KTH Mtemtik, för närvrnde under dressen Introduktionskurs i mtemtik, p, är en icke-obligtorisk mtemtikkurs som ges under mottgningsveckorn för de nyntgn studentern Som kurslittertur nvänds de fem först kpitlen i Mot bättre vetnde i mtemtik v A Dunkels m fl Läsnvisningr till denn kurs finns också på KTH Mtemtiks hemsid, för närvrnde under dressen Såväl KTHs sommrmtemtik som Introduktionskurs i mtemtik är utformde så tt de måste uppftts som utpräglde repetitionskurser, dvs mterilet behndls på ett sådnt sätt tt förutsätter en tidigre mer grundläggnde behndling Per definition är det också mteril som KTH Mtemtik nser vr relevnt och viktig förkunskper för fortstt studier vid KTH Kursern kn lltså sägs utgör ett uttryck för önskde och förväntde förkunskper Tnken bkom denn inventering är tt den skll kunn utgör ett underlg vid jämförelser v de vid KTH förväntde och önskde förkunskpern med gymnsieskolns mål och mbitioner i mtemtikundervisningen Avgränsning Vi intresserr oss i denn rpport endst för det stoff som förekommer i de två nämnd kursern Eempelvis behndls inte differentil- och integrlklkyl Uppgiftern är därför också v utprägld räknefärdighetskrktär Dett skll inte tolks som tt KTH inte hr någr förväntningr på förkunskper inom t e problemlösningsförmåg, begreppsförståelse (utöver vd som krävs för tt lös uppgifter v nednstående typ) eller inom differentil- och integrlklkyl Skälet till denn vgränsning är tt de ovnnämnd kursern är ett enkelt och reltivt tydligt uttryck för de förväntde och önskde förkunskpern just inom de områden som behndls En motsvrnde inventering v ndr stoffområden och kompetenser förefller svårre tt gör, och kräver ndr metoder Vl v eempel

2 pporten hr formen v en eemplifierd ktlog över begrepp, kunskper och färdigheter Övningr v olik svårighetsgrd och kompleitet förekommer nturligtvis; eemplen är vld så tt de utgör typisk uppgifter v något högre svårighetsgrd Annorlund uttryckt ger vi inte eempel som är introducernde, lätt övningr och ej heller hr vi vlt ut de svårste, mer udd, uppgiftern Observer tt smtlig övningr i princip är tänkt tt löss utn formelsmling (även om nturligtvis kursmterilet finns tillgängligt under övning) eller räknre Det mest v stoffet förekommer i bägge kursern; vi påpekr i denn frmställning eplicit när så inte är fllet Förekommnde stoff: En ktlog Aritmetik och elementär lgebr Aritmetik med rtionell tl Dubbelbråk Eempel : Eempel : Eempel : Förenkl följnde uttryck Beräkn Beräkn ( ( ) 4 5) 4 5 Minst gemensm nämnre Kvdrtrötter Eempel 4: Skriv om så tt nämnren inte innehåller rottecken: Eempel 5: Förenkl Eempel 6: 6 (prick för ett lterntiv) = 4, 6, 8 Algebrisk förenklingr Tecken och prenteshntering Kvdrerings- och konjugtregeln äkning med enklre rtionell uttryck äkning med mer smmnstt rtionell uttryck Minst gemensmm nämnre Att förenkl uttryck (och kunn bedöm vd som nses som en förenkling) Endst i KTHs sommrmtemtik Endst i Introduktionskurs i mtemtik

3 Eempel 7: Förenkl ( p q)( p q) ( p q) 4 7y 5 y Eempel 8: Förenkl 9y y Eempel 9: Eempel 0: Sätt följnde uttryck på gemensmt bråkstreck Förenkl b b Formelhntering mm b b Hntering v formler (identiteter), tt lös ut vribler Eempel : Lös ut ur formeln Polynom och polynomekvtioner b b c c Definition v polynom v grd m och tolkning v densmm (tt kunn identifier ett polynom och tt kunn skriv ett polynom på stndrdform) Kvdrtkomplettering (även med prmetrr ) Bestämm nollställen och etremvärden ifrån kvdrtkompletterd form Formeln för lösning v ndrgrdsekvtioner Eempel : Kvdrtkompletter 4 40 Eempel : Lös ekvtionen Eempel 4: Lös ekvtionen 5( ) 6( ) Fktorstsen Känn till begreppet dubbelrötter Divisionslgoritmen för polynom Polynomdivision med liggnde stolen (och direkt division ) med tillämpning på lösning v tredje ordningens polynomekvtioner med en känd rot Teckenstudier v polynom Eempel 5: Utför polynomdivisionen Eempel 6: Lös ekvtionen Eempel 7: För vilk gäller olikheten 0 4 tionell funktioner Endst i Introduktionskurs i mtemtik Endst i KTHs sommrmtemtik

4 Fktorisering v täljre och nämnre Teckenstudier v fktoriserde rtionell funktioner Eempel 8: Lös olikheten men se först till tt få 0 på en sid om olikhetstecknet: 5 Allmänt om ekvtioner Multipliktion v bägge led i ekvtion med gemensm nollskild fktor Addition v en och smm term till bägge led Linjär och rtionell ekvtioner Eempel 9: Lös ekvtionen Känn till begreppen obeknt, till skillnd från prmeter Kunn lös ekvtioner med prmetrr och förstå innebörden v ekvtionen kn bli singulär (även om det ordet inte nvänds) för viss värden v prmetrrn (linjär och enklre rtionell ekvtioner) Eempel 0: Lös ekvtionen Enklre potensekvtioner och ders lösning med logritmering (se nedn) Ekvtioner med bsolutbelopp Eempel : Lös ekvtionen 5 Lösning v ekvtioner som innehåller te kvdrtrötter, där lösningsproceduren kn ge upphov till flsk rötter Eempel : Lös ekvtionen 9 Substitutioner vid ekvtionslösning Eempel : Lös ekvtionen 6 6 (Ingen ledning om substitution ges i uppgiften, men löst eempel finns str tidigre i teten) Trigonometrisk ekvtioner (se nedn) 6 Potenser, logritmer och eponentilfunktioner Tolkning v positiv, negtiv och brutn eponenter Definition v n-te roten ur ickenegtiv tl för positiv heltl n Definition v n-te roten ur godtycklig reell tl för udd heltl n äkning med potenser och logritmer (huvudskligen nturlig logrtimer) Potens- och logritmlgrn Logritmer i godtycklig bs definiers, men de rekommenderde övningrn behndlr huvudskligen den nturlig logritmen Läroboken Mot bättre vetnde i mtemtik Endst i KTHs sommrmtemtik Endst i Introduktionskurs i mtemtik

5 som nvänds på Introduktionskurs i mtemtik behndlr också smbndet melln logritmer i olik bser, men KTHs läsnvisning nger ing övningr på bsbyte i logritmer; vi nser därför tt dett moment inte ingår i introduktionskursen Färdighet i numerisk räkning och ekvtionslösning 6 Eempel 4: Beräkn 4 8 Eempel 5: Beräkn 8 8 Eempel 6: Beräkn Eempel 7: Avgör, utn pproimtioner (dvs med hjälp v potenslgrn, förf nm), vilket v tlen som är störst: 7 och 4 ln e e : 5 Eempel 8: Bestäm ln e Eempel 9: Skriv på formen Eempel 0: Lös ekvtionen ln ln Eempel : Lös ekvtionen ln ln( 4) ln( ) Eempel : Lös ekvtionen Trigonometri Vinkelmått i rdiner Sinus- och cosinusfunktionern (definierde på / enhetscirkeln) och ders grfer Tn-funktionen Sinus- och cosinus i rätvinklig tringlr och för stndrdvinklr Begreppen frekvens, mplitud och fsförskjutning Trigonometrisk formler som studenten förvänts kunn (d v s h memorert eller snbbt kn härled vid behov): trigonometrisk ettn, dditionsformler, dubbl vinkeln, hlv vinkeln, periodicitetsformler, symmetriformler, omvndling sinus och cosinus Känn till produktformlern Lösning v trigonometrisk ekvtioner Eempel : Bestäm det ekt värdet v cos( 5 / 6) Eempel 4: it i smm koordintsystem kurvorn y cos och Eempel 5: Lös ekvtionen cos 4 Eempel 6: Lös ekvtionen cos cos( / 6) Eempel 7: Lös ekvtionen sin 4cos 0 Eempel 8: Vis tt för ll v gäller tt cosv 4cos v cosv y cos Endst i KTHs sommrmtemtik

6 8 Funktionslär och nlytisk geometri Känn till begreppet eistensområde (definitionsmängd) och innebörden v ej definierd för Förståelse för nturlig definitionsmängden för kvdrtrots- och logritmfunktioner Kunn bestämm definitionsmängd till funktioner som är kvdrtrötter ur rtionell funktioner respektive logritmer v polynom Eempel 9: Bestäm definitionsmängden för funktionen 7 Eempel 40: Bestäm definitionsmängden för funktionen ln( ) Evluering v funktioner Smmnsättning v funktioner Eempel 4: Eempel 4: f ( g( )) ( )( ) g( ) Bestäm g (05) f ( ) och g ( ) Bestäm ( ) Mn hr tt g och Absolutbelopp: definition, geometrisk tolkning, ekvtioner Eempel 4: Lös ekvtionen 5 Grfisk och symbolisk representtion v rät linjer på formen y k m (styckvis linjär funktioner ), ndrgrdskurvor (prbler, ellipser och hyberblr ), potens- och eponentilfunktioner (och logritmfunktioner ),, ) y 0 Eempel 44: it kurvn y 0 Eempel 45: it kurvn ( Eempel 46: it kurvn ( y ) Endst i KTHs sommrmtemtik Endst i Introduktionskurs i mtemtik

7 Eempel 47: Bestäm den geometrisk betydelsen v ekvtionen och rit motsvrnde kurv: y 4y 4 0 Trnsltioner (och dilttioner ) v funktionskurvor Asymptoter: Grfisk representtion v funktioner v typen y /( b), inklusive bestämning v vertikl symptoter (förekommer som eempel i smbnd med fktorisering v ndrgrdsuttryck) Asymptoter till (origo-centrerde) hyperblr Känn till begreppet invers funktion och tt inversens grf fås genom spegling i (speciellt eponentil - logritm-pr) y Avslutnde kommentrer Stoff som inte kn förvänts ingå i gymnsiets kurser A - D Viss delr v ovnstående stoff är sådnt som det är mer eller mindre välkänt tt det inte ingår i gymnsiets kurser A D i mtemtik Polynomekvtioner, fktorstsen och polynomdivision (Eempel 5 och 6) ingår i gymnsiets Kurs E, men ej i lägre kurser Dett frmgår v t e läromedlet Mtemtik 000, ett v de vnligst förekommnde I kursplnen för Mtemtik C står visserligen tt eleven efter vslutd kurs skll kunn lös polynomekvtioner v högre grd genom fktorisering, men åtminstone i det studerde läromedlet tycks dett inte h implementerts Erfrenhetsmässigt är dett också nytt stoff för mång studenter Kägelsnitt i llmänhet, och speciellt cirkelns ekvtion i sin llmänn form, (Eempel 45 47) kn inte sägs ingå i gymnsiets kurser A E, även om det nturligtvis kn förekomm enstk eempel i viss läromedel Kägelsnitt omnämns ej i kursplnern för gymnsiets kurser A E Frågor tt gå vidre med Under våren 005 kommer vi i en enkät till gymnsielärre i Stockholmsområdet be dem bedöm ett urvl v de eempel som här hr redovists, med vseende på hur dess förhåller sig till de fktisk kunskpern hos gymnsister i olik betygsktegorier Vi plnerr också tt nvänd mterilet i denn rpport som underlg för jämförelser med innehållet i de ntionell proven i mtemtik och i något v de vnligste läromedlen på gymnsiet 4 eferenser Dunkels et l (00) Mot bättre vetnde i mtemtik Studentlittertur KTH Mtemtik Läsnvisningr till Introduktionskurs i Mtemtik KTH Mtemtik KTHs sommrmtemtik Endst i Introduktionskurs i mtemtik Endst i KTHs sommrmtemtik