AMMANFATTNING AV KUR 6 TATITIK (Newbold katel [7], 8, 9,, 3, 4) INLEDNING 3 Proortoer 3 Proortoer 4 Poulatosvaras 5 KONFIDENINTERVALL 6 Itutv förklarg 6 Arbetsgåg vd beräkg av kofdestervall 7 Tfall. ök KI för µ, käd 8 Tfall. ök KI för µ, okäd Tfall 3 ök KI för µ, fördelg okäd Tfall 4. ök KI för π 3 Tfall 5 ök KI för π π 5 Tfall 6 ök KI för 7 Tfall 7:A. ök KI för µ µ (matched ars) 9 Tfall 7:B ök KI för µ µ ( stort, matched ars) Tfall 8:A. ök KI för µ µ ( & oberoede stok.var.) 3 Tfall 8:B ök KI för µ µ ( & ober.), 6 HPOTEPRÖVNING 7 Itutv förklarg 7 Arbetsgåg vd utförade av hotesrövg 9 Tfall. Testa µ, gvet N.f. och käd 3 Tfall. Testa µ, gvet N.f. och okäd 3 Tfall 3. Testa π 35 Tfall 4A. Testa µµ är 37 Tfall 4B. Testa µµ är 39 Tfall 4C. Testa µµ, okäd fördelg, stora stckrov 4 Tfall 5. Testa, N.f, oberoede stckrov 4 Eemel : 43 Eemel 3, testa dubbelsdgt: 43 trka 45 ENKEL REGREION 48 Itutv förklarg 48 Hotestestg 48 Korrelatoskoeffcete 5 Regressosmodelles förklargsstrka 5 Determatoskoeffcete, förklargsgrad 54 Predktostervall 55 Kofdestervall för redktosutfall 55
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. ICKEPARAMETRIKA TET 57 Parvst beroede/ matchade stckrov 57 Tecketest 57 Wlcoos rakade tecketest 6 Oberoede stckrov 6 Ma-Whtes U-test 6 Wlcoos ragsummetest 64 earmas ragkorrelato 65 ANPANINGTET 67 Itutv förklarg 67 ecfcerade saolkheter 67 Okäda oulatosarametrar (osecfcerade saolkheter) 69 Bowma-heltos ormaltetstest 7 P 73 KOM IHÅG PÅ TENTAN 74
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 3 INLEDNING Poulatosstorhet Poulatosmedelvärde Poulatosadel Poulatosvaras Parameter Estmator Estmat µ π s Estmator: tora bokstäver Estmat: må bokstäver Närmare förklarg å ästa sda. KOM IHÅG FRÅN TAT. ( ) ( µ ) P ( ) ( ) ( ) Parametrara har de för de stokastska varabel de sftar tll, P µ detta fall. Var :s beräkade värde elgt modell medelvärde för verklgt -värde P robablt, dvs saolkhet för ett vsst värde. Σ summatecke, dvs. summera alla aktuella värde. tadardavvkelse är varase och vsar å hur stor de fövätade srdge frå det förvätade medelvärdet, är. Om v har ett stort stckrov med medelvärde där frå e oulato med medelvärde µ ( m e )och varas ( sgma två ) så har stckrovet medelvärde E där ( ) µ och stadardavvkelse Vd hergeometrsk stuato (dvs. då stckrovet är stort jämförelse med oulatoes storlek, valet har gjorts uta återläggg) så får v N N Om oulatosfördelge är ormal, så är stckrovets fördelg ormal. Läs: Det förvätade värdet för -bar (som är, eller om ma så vll, vlket är medelvärdet för stckrovet) är µ (alltså medelvärdet för oulatoe). Ite så kostgt som det ser ut alltså, v förvätar oss bara att stckrovet har samma medelvärde som oulatoe. Varableras saolkheter fördelas å ågot sätt över tallje, med e area som alltd ugår tll (%). Fördelge ka vara att varabels saolket ugår tll samma värde för varje gltgt tal å tallje, då ser det ut som Newbold å sda8 (e frkat höjer sg över tallje). Normalfördelges utseede däremot, llustreras lte överallt det här dokumetet och eemelvs å sda 87 Newbold. V brukar skrva hur fördelgara ser ut, å följade vs: ~ N µ ;, där : de aktuella stokastska varabel ( ) : är fördelad.. N : ormalt µ : med vätevärde.. : med varas. Iblad aromerar v fördelgar med adra fördelgar, valgtvs tll ormalfördelge.
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 4 Proortoer Estmator: Estmator uskattar de stokastska (slumartade) varabel tll ett vsst värde, eftersom v te har ågo formato om de rktga stokastska varabel, uta bara formato om stckrovet. Estmate är de tal v aväder uträkgara, alltså de tal som går stckrovet. E E E E Estmat: ( ) ( ) π π B( ; π) Om: π( π)>9 gäller, aromatvt å är ~ N( µ ; ) tckrov: E ρ E E π Var ( ) ( ) π ( ρ ) Var Var Var π ( π ) Proortoe e oulato som har e vss egeska π ( π ) Bomalfördelg är v har e stuato med success falure. uccess (%) Falure (%) π success falure När v brter ut ur varase Glöm te att kvadrera, eftersom varase är kvadrerad! Ite mst fall där v ska räka med *oulato jämfört med *oulato, och dlkt. Då blr medelvärdea lätta att räka med, me te varase. Om: π ( π ) 9 å är gäller, aromatvt ~ π N π ; ( π ) aolkhetsfördelge för stckrovsadele.
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 74 KOM IHÅG PÅ TENTAN krv tdlgt och var strukturerad. Att skrva fördelge korrekt ger måga oäg, slarva därför te med att skrva ut de. De hjälstrukturer som v har arbetat med har vart just hjälstrukturer. Därför bör te ukt ages som ukt, uta som modellatagade. Om samma msstag återkommer flera gåger å olka frågor, så kommer de att ge oägavdrag för varje eskld gåg. Återreferera så hög må som möjlgt tll tdgare besvarade delsvar (a, b, c...). Referera däremot absolut te mella frågor (,, 3 ). Age vlke modell som kommer att avädas för att besvara fråga. Om tde tar slut, så aväd de otato som aväts uder kurse, aars blr det svårt för de som rättar att följa resoemaget och förstå vad som står. krv te för mcket, då ser det oftast ut för de som rättar som att de som skrvt te vet vad de gör. Varato/varabltet varas. Verbal tolkg Verbal tolkg slutsats. lutsats: Förkasta H lutsats: Förkasta ej H Verbal tolkg: Data vsar å att (alteratv). Verbal tolkg: Data vsar te å att (alteratv). Esdgt test Verbal tolkg: Age testets rktg. Tll eemel: Medelvärdet förefaller vara ostvt. Aväd ord, te och. Varas och formler Om å: FEL: RÄTT: + s 4 + 4 + + s 4 + 4 + 4 s 4 + 4 8 4
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 5 Poulatosvaras Om oulatosvarase är okäd, så ka ma skatta de med stckrovets varas: ( ) Om N(µ; ) och v har ett stckrov,, 3 där ( ) gäller, ~ χ så har v att ( ) Ch-två -fördelg. Fördelas med ett vsst atal Degrees of freedom, frhetsgrader, som beteckas υ och detta fall ugår tll -. Täk: Hur stor frhet har varase? Ju större stckrov, desto större atal frhetsgrader. Om v tttar å Kofdestervall, tfall 6, så betder detta att det tervall v beräka utfrå stckrovsdata för var de rktga varase (oulatoes varas) lgger, blr NÄVARE med TÖRRE ANTAL frhetsgrader. Alltså, ju fler frhetsgrader (dvs: ju större stckrov v har), desto säkrare ka v vara å att de data v får frå stckrovet stämmer överes med oulatoe. υ χ tervall GLÖM INTE! Alla de arametrar och stokastska varabler v aväder, skulle aturlgtvs kua heta recs vad som helst. skulle kua heta K (som kossa) och π skulle kua heta KA (som kossa-adel). Det är därför som det är så vktgt att v berättar vad v kallar för vad och faktskt deferar våra stokastska varabler. Alteratvt så ka e erso som aser sg ha humor och gott om td, frågå de beteckgar som Newbolds femte ulaga aväder, och därmed ataglge reta gallfeber å de stackars semarelärare som har studeters halvt oläslga tetasvar att rätta geom. På samma sätt är arbetsordgaras ukter -5 och -7 bara hjälmedel för att v ska göra klart för oss själva att v tagt med alla steg beräkgara. I stuatoer där v te ka aväda oss av dessa tera beteckgar (som tetor), ska v aturlgtvs ska umrerge och stället skrva utförlgt vad det är v gör, så att adra ä v själva vet vad v gjort. När e tetafråga eller dlkt ska besvaras, är det alltd vktgt att det första v gör är att formulera själva roblemställge, aars blr det både svårt och tråkgt att försöka lsta ut vad v vll med alla våra edklottrade sffror.
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 6 KONFIDENINTERVALL Itutv förklarg När v har ett stckrov frå e oulato så ka v te räka med att de data v får stckrovet stämmer överes med de data som gäller för oulatoe. V ka då ta fram tervall, med e vss s.k. kofdes (dvs. trovärdghet), som vsar å ugefär var de egetlga värdea lgger. Om v väljer att sätta vår öskade sgfkasvå för trovärdghet tll 5 %, så kommer 95 % av alla stckrov v tar att vsa å att oulatoes medelvärde lgger om det tervall v får fram. Aorluda uttrckt så kommer det att vara trolgt att 5 % av alla beräkade kofdestervall är felaktga är v går tllväga å detta sätt. Normalfördelgstabeller vsar hur måga stadardavvkelser (rote ur varase) v måste aväda är v sätter ett så trovärdgt tervall för ormalfördelade data. V ka då slå u ett lämlgt värde tabelle. Motsvarade gäller för adra tabeller är det förelgger adra fördelgar, då ka det också vara aktuellt att aväda sg av ett vsst atal frhetsgrader, vlka är agvet hur ma får fram de tfall då frhetsgrader ska avädas. Frhetsgrader ka sägas vara hur stor frhet v bör ge varase gvet att v har e vss storlek å stckrovet. Med ormalfördelge så aväder v oftast ett fast värde för varje sgfkasvå och som te åverkas av stckrovets storlek och om v käer tll varase eller te. Om v te käer tll fördelge för data, brukar v behöva göra ett modellatagade, som tfall 3. Dea måste vara ormal för medelvärdet om v ska kua ta fram ett tervall. Om v behöver komesera osäkerhet gällade varase (hur brett varatoe värdea sträcker sg), aväder v t-fördelge, vars svasar sträcker sg lägre ut åt sdora. I tfall och är det µ, medelvärdet för oulatoe, v söker geom att göra ett kofdestervall utfrå de data v fått frå stckrovet. I fall har v varase gve (tll eemel geom hstorsk erfarehet, v har gjort lkadaa tester tdgare och vet hur stor varatoe brukar vara mella värdea), me det är ett ovalgt fall. Oftast brukar det se ut som fall, där varase för oulatoes värde är okäd och v aväder stckrovets varas stället (vlket ger större osäkerhet, varför v aväder de geerösare t-fördelge). I tfall 4 går v över tll att testa roortoer. Det som tresserar oss är ett tervall för e adel av ågotg, tll eemel hur stor adel som tcker JA e vss fråga. Där har v e bomalfördelg grude, me aromerar med ormalfördelg är stckrovet är tllräcklgt stort. Om stckrovet te är tllräcklgt stort så ka v te alls göra ågo hotesrövg för roortoer. I tfall 5 testar v därefter skllade mella två oulatoers roortoer. Tfall 6 hadlar om att ta fram ett tervall för varase, dvs. varatoe hos oulatoes värde. I grude måste v som valgt ha e ormalfördelg, då blr fördelge för varatoe χ -fördelge. Mssa te att dea fördelg te är smmetrsk, så som ormalfördelge är. Alltså kommer v te att kua aväda oss av det sätt som v tar fram kofdestervall för medelvärdet, där v räkar med att
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 7 avstådet är lka lågt både uåt och edåt frå stckrovsmedelvärdet (för e vss saolkhet) för var det egetlga oulatosmedelvärdet lgger. Istället så skftar te varase lka mcket edåt som uåt, av förklarlga skäl. Täk bara logskt är du tttar å χ -fördelges graf. Tfall 7 är lättast att täka å som ett test av e vktmskgsmetod. Hur stor är chase att medelvkte (medelvärdet) verklge blr lägre för oulatoe är v har e vss storlek å stckrovet och e vss varas? För att sla räka med korrelato/covaras, vlket v ms frå kurs 6 att det är e kråglg rocedur, så för v e varabel D som får stå för dfferese mella de två oulatoera. Ej att förväla med tfall 8, där v mäter skllade mella två oberoede oulatoer, v har då alltså te att göra med ett fall stl med före-efter. Arbetsgåg vd beräkg av kofdestervall. Frågeställg, defto av stokastska varabler och vad v vet.. Nödvädga modellatagade. 3. Estmator(er) med fördelgar. 4. Aväd data och beräka kofdestervallet. 5. Tolkg av resultatet ord.
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 8 Tfall. ök KI för µ, käd. N.f Normalfördelad data. Vktg fo för hela ugfte. Poulato µ N.f. tckrov 3,4 6 PUNKTETIMAT ökt : Beräka 95% kofdestervall för medelvkte för kossor som gllar att äta gräs. Defera de stokastska varabel : Vkt för e kossa som gllar att äta gräs. Fördelg för : ~ N µ; 6 tckrov, 6 6. Iga modellatagade behöver göras. 3. Estmatorer och fördelg : är estmator för µ. Då ~ N µ; följer att 6 tadardsera: µ Z ~ N ( ; ) 4. Ett 95 % KI ges av Att stadardsera ebär att dra oulatosvärdet frå stckrovsvärdet och dela med stadardavvkelse. För ormalfördelge ebär det att de fördelg som följer har oll medelvärde och ett varas. Fördelge för Z (alltså ormalfördelge) httar v tabell slutet av stat.boke. För att slå u z, 5 så letar v u det värde för z som ger,95, dvs,64. ± z,5 3,4 ±,64 6 (7,5 ; 37,3)
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 9 5. Ett 95 % KI för geomsttlg vkt hos kossor som gllar gräs, ges av (7,5 ; 37,3).
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. Tfall. ök KI för µ, okäd. Poulato µ N.f. tckrov s ökt : Beräka 95% kofdestervall för medelvkte hos amerkaska kossor som gllar att äta gräs. Defera de stokastska varabel : Vkt för e amerkask kossa som gllar att äta gräs. Fördelg för : ( ; ) N µ tckrov,,,..., 3 ~ Ej ödvädgt. 3 7 3. är estmator för µ. Eftersom är okäd, skattar v de med stckrovets varas,. s ( ) 3. 3 7 ( ) 3 3 ± 4 ( ) 3 ( ) 4 Praktsk uställg för att räka ut (blad aat) varas.
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. s ( ) 4 7 3 Eftersom är okäd och skattad med, vll v våra beräkgar ge uttrck för de ökade osäkerhete om oulatoes varas. t-fördelge komeserar dea osäkerhet. Frhetsgradera ka sägas vara ett sätt komesera u så att kofdestervallet blr ågot geerösare. Ju större stckrov, desto lägre blr därmed varase, eftersom större stckrov ger mskad osäkerhet. Observera att v måste veta att det fs e ormalfördelg grude för att kua aväda t-fördelge. I de här kurse får v atge ormalfördelge gve talet, har ett stort stckrov och ka aväda cetrala gräsvärdessatse, eller gör ett atagade uder ukt. s Kofdestervallet ges av ± t ; α där υ DF( frhetsgrader) 3 4 ± t ; α 7 4 ± 4,33 3 7 3 Fördelge för t httar v tabell slutet av stat.boke. För att slå u t så letar v u det värde,5 3 ; som rereseterar υ och α, dvs 4,33..5 (,573 ;,573 4. Ett 95 % KI för geomsttlg vkt hos amerkaska kossor som gllar gräs, ges av (,573 ;,573
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. Tfall 3 ök KI för µ, fördelg okäd. Poulato µ fördelg okäd tckrov s ökt : Beräka 95% kofdestervall för medelvkte hos jaaska kossor som gllar att äta gräs. Defera de stokastska varabel : Vkt för e jaask kossa som gllar att äta gräs. Fördelg för : okäd. tckrov,,...,, 3. Ej ödvädgt. 3. är estmator för µ. Eftersom är okäd, skattar v de med stckrovets varas,. Då v har. ett stort stckrov/ atal stokastska varabler ( 3 ). som är oberoede 3. och följer samma fördelg så följer av cetrala gräsvärdessatse att µ aromatvt ~ N ( ; ), där (om är stort gäller också att t α ; α Z ) Därutöver är fallet detskt med fall.
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 3 Tfall 4. ök KI för π. Poulato π tckrov ökt : Beräka 9% kofdestervall för adele kossor oulatoe som gllar att äta gräs. Defera de stokastska varabel : kossa som gllar att äta gräs. Fördelg för : ~ B( ;π ) tckrov,,,..., 5 5 PUNKTETIMAT. Ej ödvädgt. 3. är estmator för π Då 5 > 4 3 5,67 π ( π ) > 9 (Newbold s.76) Eftersom π är okäd, så ( ) > 9, me Newbold ger oss gevägsregel >4 å följer av CG att, är v ersatt de okäda med dess estmator, aromatvt π π Z ~ N(;) ( ) 4. I elghet med ukt 3 ges ett 9% KI för π av ( ) ± Z α,67 ±,64,67 5 (,67)
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 4 5. Ett 9% KI för π ges av (,59;,66)
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 5 Tfall 5 ök KI för π π. Poulato π Poulato π Ordare rs å havre Etrars å havre tckrov tckrov ökt: Beräka 9 % kofdestervall för skllade mella adele kossor oulatoe som köer havre är det är ordare rs och kossor som köer är det är etrars ( π π ). Defera de stokastska varabel : kossa som köer havre tll ordare rs. Defera de stokastska varabel : kossa som köer havre tll etrars. Fördelg för estmatorera: ~ B( ; π ) tckrov,,,..., 5 5 ( ; π ) ~ B tckrov,,,..., 33 33 3 5,67. Ej ödvädgt. 3. är estmator för π är estmator för π är estmator för π π 8 33,54 Då 5 > 4 och 33 > 4 å följer av CG att, är v ersatt de okäda med dess estmator,
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 6 aromatvt π π Z ~ N(;) ( ) och, med de okäda med dess estmator, Z π π ( ) aromatvt ~ N(;) Vlket s tur ger aromatvt ( ) ~ N ( π π ) tadardsera: ; ( ) ( ) ( ) ( π π ) ( ) ( π π ) 4. 9 % KI för π π ges av ( ) ± Z α (,67,54),85 ±,57 (,8;,4) ±,64 + ( ) ( ) + ( ) ( ) +,67 5 ~ aromatvt (,67),54(,54) + 33 N(;) Bra att vara oggra med detta mellaled, eftersom det fs adra fall där varablera te är oberoede och häs måste tas tll covaras och korrelato. 5. Ett 9% KI för π π ges av (,59;,66) Notera att det är e ostv skllad, det är fler kossor som hadlar havre vd etrars ä vd ordare rs å havre.
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 7 Tfall 6 ök KI för. Poulato N.f. tckrov s ökt : Beräka 9% kofdestervall för varatoe av medelvkte hos kesska kossor som gllar att äta gräs. Defera de stokastska varabel : Vkt för e kessk kossa som gllar att äta gräs. Fördelg för :. ~ N( µ ; ) tckrov,,,...,. Ej ödvädgt. 3. är estmator för. Fördelg för : ~ µ, å gäller att ( ) eakt ~ χ 4. 9 % KI för : Då N( ; ) s 9;,5 8,898 6,9 5 9 8, 5,4,3 Udre ( ) ( ) gräs: 5, 37 χ Övre gräs: ( ) ( ) 78, χ s 9;,95 8,898 3,33 6 5,9,3 7, 7 3 6,3 6,8 4,8 8 9,5
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 8 5. Ett 9 % KI för medelvkte hos varatoe av medelvkte hos kesska kossor som gllar att äta gräs, ges av (5,37; 78,)
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 9 Tfall 7:A. ök KI för µ µ (matched ars). Poulato µ Poulato µ Vkt a batgskur Vkt efter batgskur Poulatosdfferese µ D D På detta sätt udvker v att behöva behadla e evetuell covaras för varase. ökt: Beräka 9 % kofdestervall för skllade mella medelvkte för kossor oulatoe a de geomgått e batgskur och efter. Defera de stokastska varabel : kossa a vktmskg. Defera de stokastska varabel : kossa efter vktmskg. D -,,, 3 3 Data: Kossa Vkt före Vkt efter d d Dfferese d ( ) 6 6-3 9 8 74 7 3 9 3 98 4 Σ ± 8 d d tckrov tckrov d 4 3 ( d d ) 8 Dessa två behövs te förrä ukt 4.. Modellatagade: D ~ N( µ D; D )
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 3. Estmator för µ D ges av D D Då D är N.f och D är okäd, gäller att D µ D t t där ~, D 4. 9 % KI för µ D ges av D D d t s d ± ;, 5 4 4 ± t3 ;, 5 4 ±,9 4, ± 5, 9 3 9 3 d ( d d ) 3 s d 8 9 3 5. Ett 9 % KI för skllade mella medelvkte för kossor oulatoe a de geomgått e batgskur och efter, ges av (-,; 9,). Observera att här är det tressat att otera att oll fs tervallet. Det betder att batgskure evetuellt te haft ågo verka å oulatoes geomsttlga vktmskg.
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. Tfall 7:B ök KI för µ µ ( stort, matched ars). Poulato µ Poulato µ Vkt a batgskur Vkt efter batgskur Poulatosdfferese µ D D ökt: Beräka 9 % kofdestervall för skllade mella medelvkte för kossor oulatoe a de geomgått e batgskur och efter. Defera de stokastska varabel : kossa a vktmskg. Defera de stokastska varabel : kossa efter vktmskg. tckrov D -,,, 3 3 Data: Kossa Vkt före Vkt efter d Dfferese 6 6 8 74 7 3 3 d 4 s 9 d tckrov 3. Ej ödvädga. 3. Estmator för µ D ges av D. D är estmator för och ersätter D. Då v har. stort stckrov/atal stokastska varabler. som är oberoede 3. och följer samma fördelg
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. å följer av CG att aromatvt D µ D D µ D Z ~ N(;) s s d d 4. Ett 9% KI ges av sd 9 d ± zα 4, ±,64 3 5. Ett 9 % KI för skllade mella medelvkte för kossor oulatoe a de geomgått e batgskur och efter, ges av (3,; 4,9).
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 3 Tfall 8:A. ök KI för µ µ ( & oberoede stok.var.). Poulato µ Poulato µ Kvgor som gllar att äta gräs Kalvar som gllar att äta gräs tckrov tckrov ökt: Beräka 95 % kofdestervall för skllade mella medelvkte för kvgor oulatoe som gllar att äta gräs och kalvar som gllar att äta gräs. µ µ Defera de stokastska varabel : kvga som gllar att äta gräs. Defera de stokastska varabel : kalv som gllar att äta gräs. 3 4 och är okäda, me lka stora, dvs Data:. Modellatagade: ~ N ~ N µ ( µ ) ( ) ; 7 3 5 4 6 ;
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 4 3. 3 s 7 ( ) 8 9 3 ( ) 7 3 9 4-3 9 ± 8 64 6 4 s ( ) skattas med 6 8,67 4 ( ) 3-3 9 5-6 4 6 64 ± 6 s ( ) s + ( ) ( ) + ( ) s ( 3 ) 9 + ( 4 ) ( 3 ) + ( 4 ) 6 3 8 + 6 + 3 E lämlg estmator för µ µ ges av Då ~ N gäller att ( µ ) ~ N( ) ; ~ N µ µ ; µ och ; + okäd me lka, 44 5 8,8 + tadardsera: ( µ µ ) + ( ; ), där skattas med s ~ N
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 5 ( µ ) µ s s + ~ t + 4. 95 % KI för µ µ ges av s s ( ) ± t + + ;,5 ( 7 6) 9 ± 5,7 ±,57 8,8 3 + 8,8 4 5. Ett 95 % KI för skllade mella medelvkte för kvgor oulatoe som gllar att äta gräs och kalvar som gllar att äta gräs ges av(-4,7; -3,3).
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 6 Tfall 8:B ök KI för µ µ ( & ober.),. Allt detskt med ova, MEN. om ova. 3. E lämlg estmator för µ µ ges av z skattas med s och skattas med s Då ~ N ( µ ) ~ N( ) ; µ och och okäda, ej lka och skattade med å gäller att s s + ( µ µ ) ; och s s + ~,. t υ där D f υ s s + 4,4 4, Eftersom v te atar att oulatosvarasera är lka, så får v färre atal frhetsgrader, ga ökad osäkerhet. Kom håg: färre frhetsgrader ger geerösare KI. Därav krågelformel. 4. 95 % KI för µ µ ges av s s ( ) ± t + υ ;,5 ( 7 6) 9 ± 9,9 ± 4, 9 3 + 6 3 4 5. Ett 95 % KI för skllade mella medelvkte för kvgor oulatoe som gllar att äta gräs och kalvar som gllar att äta gräs ges av(-8,9;,9). Observera att dea gåg kom oll med tervallet, vlket vsar å att det evetuellt te är som 8A, då v kude vara tämlge säkra å att kalvar gllar att äta gräs mer ä vad kvgor gör.
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 7 HPOTEPRÖVNING Itutv förklarg Ata att v testat e rodukt som v fuderar å att lasera å markade. Testet sker å ett stckrov eftersom det ataglge skulle vara för drt att testa hela oulatoe. Eemelvs skulle det kua röra sg om ett läkemedel. Om testet vsar att läkemedlet har väldgt stora beffekter, så vll v aturlgtvs te sälja det tll kosumeter, me om beffektera är väldgt låga så vll v te göra msstaget att låta bl att sälja det. Hotesrövg är det redska v aväder för att bestämma gräsera för accetabla avvkelser hos stckrovet frå det v vll att oulatoe ska uflla. Dvs., låt säga att stckrovet vsar sg ehålla e lte avvkelse frå bra : hotesrövg hjäler oss att bestämma är v aser att dea avvkelse ataglge gäller för oulatoe med. MEN, är v utför hotesrövg häder det te alltd att v hamar de bra alteratve, det fs alltd e lte rsk att v hamar de dålga alteratve, eftersom v aväder oss av ett stckrov och därmed te har full formato om oulatoe. När v geomför hotesrövg så utgår v frå e ollhotes, H, och om v efter vår rövg te tcker att de verkar stämma, så förkastar v de tll förmå för alteratvhotese, H. α står för de sgfkasvå v väljer att utföra hotesrövge å. Alltså hur stor rske är att v, trots vår fa testmetod, förkastar ollhotese är de är sa.
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 8 β är rske att te förkasta ollhotese är de är falsk, alltså att te tro å alteratvhotese som är sa. β ager testets strka (ower), alltså hur stor chase är att ollhotese vart falsk är v förkastat de. Gällade hotesbestämg bör följade akttas: Observera att ollhotese alltd omfattar ett -tecke. V testar ämlge alltd det lägsta/högsta värde som v vll ska omfattas av ollhotese. Alla övrga värde hamar uder alteratvhotese. Det är alltså bara ett värde v testar, de värde som (utfrå de sgfkasvå v valt) hamar å fel sda av ollhotese förkastar v. Välj ollhotes så att det allvarlgaste felet blr av t, dvs välj tllräcklgt låg saolkhet för t fel. V vll ga Ho (dvs. v utgår alltd frå att ollhotese är sa), så v ska ha starka bevs som talar emot de för att v ska förkasta de. Gult utl roved ot gult Det ebär följaktlge att om v vll ha rktgt starka bevs som talar för ågot, så ställer v u det som alteratvhotes. lutsatse beror ofta å vlke sgfkasvå v valt. Därför räkar v ut -värde, som är det gräsvärde där v förkastar ollhotese trots att de är sa. Då ka ma efterhad se hur låg sgfkasvå som skulle behövas för att kua förkasta ollhotese. Ju lägre -värde, desto svårare att förkasta ollhotese. förkasta H H sat Ju falskare Ho, desto mdre är också rske att P-värde ( ) P råka ut för fel. MEN sgfkasvå får aldrg bestämmas efter det att v räkat ut -värdet, då förlorar v hela dé med att testa å e vss trovärdghetsvå. Alla data v aväder oss av är v räkar, är uder H eftersom v utgår frå att H är sa.
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 9 Arbetsgåg vd utförade av hotesrövg. Frågeställg, defto av stokastska varabler och vad som är gvet.. Nödvädga modell-atagade. 3. Hoteser och sgfkasvå. 4. Testvarabel och dess fördelg uder H. 5. Beslutsregel. 6. Aväd data, beräka erverad storhet och dra slutsats. 7. Tolkg av resultatet ord.
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 3 Tfall. Testa µ, gvet N.f. och käd. Poulato µ 9 N.f. tckrov 3 3 ökt : Testa å 5% sgfkasvå ollhotese att medelvkte för kossor som gllar att äta gräs är högst. Defera de stokastska varabel : Vkt för e kossa som gllar att äta gräs. Fördelg för : ~ N µ ;, där 9 3 3 tckrov, 3 3 7 4 8 3. Iga modellatagade behöver göras. 3. Hoteser och sgfkasvå: H : µ µ H : µ > α 5% 4. Testvarabel och dess fördelg uder H : Z är estmator för µ. Uder H är µ ~ N ( ; ), där 5. Beslutsregel µ Om Z > Z krt så förkastas H
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 3 Om Z µ Z Grafsk beslutsregel: krt så förkastas ej H 6. Aväd data, beräka erverad storhet och dra slutsats: Z µ 3,73 3 3 > Z krt,64 Alltså förkastas H å 5% sgfkasvå. 7. Verbal tolkg: Det förefaller som att µ -värde: > (,73),958, 48 F z Om Z skulle vara större ä mavärdet tabelle, skrv: -värde, eller -värde,
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 3 Tfall. Testa µ, gvet N.f. och okäd. Poulato µ N.f. tckrov 3 3 s 9 ökt : Testa å 5% sgfkasvå ollhotese att medelvkte för amerkaska kossor som gllar att äta gräs är högst. Defera de stokastska varabel : Vkt för e kossa som gllar att äta gräs. Fördelg för : ~ N µ ; tckrov, 3 3 7 4 8 3 8 7 4 39 ( ) 5 4 ± 5 6 4 Bra sätt att räka ut s. 39 3 3 s ( ) 4 3
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 33. Iga modellatagade behöver göras. 3. Hoteser och sgfkasvå: H : µ H : µ > α 5% 4. Testvarabel och dess fördelg uder H : t är estmator för µ. Uder H är µ ~ 5. Beslutsregel Förkasta H om Förkastas ej H om Grafsk beslutsregel: t t s skattar µ > krt ; α t t µ t krt t 6. Aväd data, beräka erverad storhet och dra slutsats:
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 34 t µ 3,3 3 < krt s t,9 Alltså förkastas ej H å 5% sgfkasvå. 7. Verbal tolkg: Data ger ej stöd för att förkasta H.
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 35 Tfall 3. Testa π. Poulato π tckrov ökt : Testa å % sgfkasvå att adele kossor oulatoe som gllar att äta gräs, är 5%. Defera de stokastska varabel : kossa som gllar att äta gräs. Fördelg för : ~ B( ;π ) tckrov,,,...,. Iga modellatagade behöver göras. 3. Hoteser och sgfkasvå: H : µ H : µ > α %,4 4. Testvarabel och dess fördelg uder H : är estmator för π. Då >4 så gäller att uder H är π Z ~ N( ; ) π ( π ) aro ~. π N π; ( π ) >4 π π > ( ) 9 5. Beslutsregel Förkasta z π < krt H om π ( π ) z,33
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 36 Förkasta z π z krt H om π ( π ) Grafsk beslutsregel:,33 6. Aväd data, beräka erverad storhet och dra slutsats: z π,4,5, > zkrt π ( π ),5(,5) Alltså förkastas ej H å % sgfkasvå.,33 7. Verbal tolkg: Data ger ej stöd för att förkasta H. -värde: (,),97,8,8% F z Dvs. H skulle förkastas å sgfkasvåer som överstger,8 %.
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 37 Tfall 4A. Testa µµ är. Poulato µ Poulato µ Kvgor som gllar att äta gräs Kalvar som gllar att äta gräs tckrov tckrov ökt : Testa å 5% sgfkasvå ollhotese att medelvkte är desamma för kvgor som gllar att äta gräs och kalvar som gllar att äta gräs. Defera de stokastska varabel : Vkt för e kvga som gllar att äta gräs. Defera de stokastska varabel : Vkt för e kalv som gllar att äta gräs. Fördelg för och : ~ N µ ; ~ N µ ; tckrov 3 5 s 4 4 9 s,33. Iga modellatagade behöver göras. 3. Hoteser och sgfkasvå: H : µ µ H : µ α 5% µ 4. Testvarabel och dess fördelg uder H : är estmator för µ µ.
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 38 Då och okäda, lka och skattade med uder H är ( ) ( µ µ ) ( ) + 5. Beslutsregel Förkasta H om t + ~ t + ;, där ( oolad), så gäller att ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) >, 57 t krt t + ; t3+ 4 ;,5 t5;,5 α + Eller t ( ) ( ) <, 57 krt + + t Aars förkastas ej H. Grafsk beslutsregel: 6. Aväd data, beräka erverad storhet och dra slutsats: ( 3 ) 4 + ( 4,33 ) 8,4 3 + 4 t ( ) ( ) ( ) ( 5 9) s s + 8,4 3,8< t 8,4 + 4 Alltså förkastas ej H å 5% sgfkasvå. 7. Data stöder ej att förkasta ollhotese. krt,57
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 39 Tfall 4B. Testa µµ är Allt lkadat som 4A fram tll: 4. Testvarabel och dess fördelg uder H : är estmator för µ µ. Uder H gäller, s s + ( µ µ ) 5. Beslutsregel Förkasta H om s s + ~,. t υ där D f υ s s + t då och okäda, ej lka och skattade med och att 4,87 4, ( ) ( ) >, 776 t t t + krt υ ; α 4;,5 + Eller t ( ) ( ) <, 776 krt + + t Aars förkastas ej H. 6. Aväd data, beräka erverad storhet och dra slutsats: t ( ) ( 5 9) s s + 4 3,96,33 + 4,776 < t,96 <,776 Alltså förkastas ej H å 5% sgfkasvå. 7. Data stöder ej att förkasta ollhotese. -värde: -värdet är lägre ä 5%.
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 4 Tfall 4C. Testa µµ, okäd fördelg, stora stckrov. ökt : Testa å 5% sgfkasvå ollhotese att medelvkte är desamma för kvgor som gllar att äta gräs och kalvar som gllar att äta gräs. Defera de stokastska varabel : Vkt för e kvga som gllar att äta gräs. Defera de stokastska varabel : Vkt för e kalv som gllar att äta gräs. Fördelg för och : okäd tckrov 4 3, s 5, 3 36 9,9 s 7,4 Iga modellatagade behöver göras.. Hoteser och sgfkasvå: H : µ µ H : µ α 5% µ 3. Testvarabel och dess fördelg uder H : är estmator för µ µ. Då 4 > 3 och 36 > 3, så följer av CG att Uder H är ( ) ( µ µ ) + aro ~. N ( ; ), där skattar och skattar 4. Beslutsregel Förkasta H om z ( ) ( ) >, 96 krt + + z Eller z ( ) ( ) <, 96 krt + + z Aars förkastas ej H. 5. Aväd data, beräka erverad storhet och dra slutsats:
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 4 z ( ) 3, 9,9,3 >, 96 krt + 5,3 4 7,4 + 36 z Alltså förkastas H å 5% sgfkasvå. 6. Det förefaller som att medelvärdea för de både oulatoera ej är lka. Det förefaller ret av som att kvgora väger mer ä kalvara. -värde: [ F (,) ] [,97],58,58% z Dvs. H skulle förkastas å sgfkasvåer som överstger,58 %.
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 4 Tfall 5. Testa, N.f, oberoede stckrov. Poulato µ Poulato µ Kvgor som gllar att äta gräs Kalvar som gllar att äta gräs tckrov tckrov ökt : Testa å 5% sgfkasvå ollhotese att varase för medelvkte är lägre för kvgor som gllar att äta gräs ä för kalvar som gllar att äta gräs. Defera de stokastska varabel : Vkt för e kvga som gllar att äta gräs. Defera de stokastska varabel : Vkt för e kalv som gllar att äta gräs. Fördelg för och : Vktgt är det kommer ~ N µ ; ~ N µ ; tll varaser. Grudförutsättg för χ -fördelge. tckrov 8 s, 8 Iga modellatagade behöver göras.. Hoteser och sgfkasvå: H : H : α 5% > 4 s 3, 3. Testvarabel och dess fördelg uder H : är estmator för och är estmator för Uder H är.
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 43. ~ F υ ; υ 4. Beslutsregel, där υ ochυ Förkasta H om F s > Fkrt F F s υ ; υ ; α 7;3;,5 Fscher-fördelge. Ka sägas vara e slags dubbel χ -fördelg, där ma tar häs tll frhetsgrader för såväl som för. Det är gaska uebart hur ma slår de tabelle Newbold är ma väl försöker. 8,89 Aars förkastas ej H. 5. Aväd data, beräka erverad storhet och dra slutsats: F s,8 6,5 < F 3, krt s 8,89 Alltså förkastas ej H å 5% sgfkasvå. 6. Data stöder ej att H förkastas å 5% sgfkasvå. Eemel : tckrov 8 s, 8 4 s 3, s,8 F,9 s 3, Ej tressat med värde lägre ä oll, eftersom v testat att. Då ka v kostatera å e gåg att ollhotese trolge stämmer. Eemel 3, testa dubbelsdgt:. ~ N µ ; ~ N µ ; tckrov 8 s, 8 Iga modellatagade behöver göras. 4 s 3,
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 44 H H. : : α % 3. är estmator för och är estmator för Uder H är. ~ F υ ; υ 4. Förkasta H om, där υ ochυ F Aars förkastas ej H. s. ma > F krt Fυ ; υ ; α F7;3;,5 s Välj kvot eller efter de som är större 8,89 ä. Detta gör att v sler testa de udre gräse, för vlke tabelle Newbold ej är deferad (vad jag förstår det). 5. s,8 F ma 6,5 < F krt s 3, 8,89 Alltså förkastas ej H å % sgfkasvå. 6. Data stöder ej att H förkastas å % sgfkasvå.
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 45 trka Vad har testet för strka att avslöja de falska ollhotese? Eemlferas här med ett tfall :. Fördelg för : ~ N( µ;4) tckrov, 6 ej gve. Iga modellatagade behöver göras. 3. Hoteser och sgfkasvå: H : µ µ H : µ > α 5% 4. Testvarabel och dess fördelg uder H : Z är estmator för µ. Uder H är µ ~ N ( ; ), där 4 6 5. Beslutsregel Förkasta H om µ Z > Z krt alltså om: > +,64, 8 4 µ, dvs. > z, 64 krt 6
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 46 Vad är testets strka? P ( Förkasta H µ,5) P ( >,8 µ,5) P(,8 µ,5) F Z F Z,8,5 4 (,64),7389,6 aolkhete att förkasta H gvet att µ, 5 (dvs. att ollhotese är falsk). Jämför med om v rövar testets strka om µ, 8 : P ( Förkasta H µ,8) P ( >,8 µ,8) P(,8 µ,8) F Z F Z ( ),5,5,8,8 4 Om v räkar ut för tterlgare ågra ukter så ka v rta strkefuktoe: P ( Förkasta H µ ) P ( >,8 µ ) P(,8 µ ) F F Z Z,8 4 FZ (,56) (,56), 9948
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 47 Observera: * trkefuktoe börjar vd α s värde, me te eakt, därav rge stället för att låta lje börja eakt värdet. Detta eftersom strkefuktoe ebart är deferad där H EJ är sa. * De går asmtotskt mot,. * Grafe ka göras dubbelsdg för dubbelsdga hoteser.
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 48 ENKEL REGREION Itutv förklarg När v gjort kofdestervall, så har v tagt stckrovsdata och tagt fram ett trolgt tervall för oulatoes förvätade medelvärde. När v utfört hotesrövg så har v atagt att oulatoe haft ett vsst värde och tagt fram om det vart trolgt att vårt atagade vart rktgt gvet vssa stckrovsdata(valgtvs vll v ha starka bevs för att e vss sak gäller, och då sätter v de sake som mothotes, alteratvt vll v ha reda å om det fs e relato mella två oulatoer). När det gäller regresso, så vll v ta fram e modell som förvätade medelvärde ka täkas följa. Dea modell ka v seda utttja för att ta fram kofdestervall lksom hotesrövgar för olka värde, tll eemel tercetet (ukte där lje skär -ael, dvs. där lje börjar) eller rktgskoeffcete. Dessutom så är det u möjlgt att ta fram ett redktostervall, alltså ett slags kofdestervall för förvätade (ofta framtda) värde. Det blr som e lje (t.e. tde) för medelvärde. Eller vad v u vll ha fram med vår ljära modell. Frå dea lje avvker oftast ett eller flera värde e bt. Om v har e bra modell, så kommer dessa värde att förvätas avvka med medelvärdet och e vss varas. Dea avvkelse/felmargal frå lje kallar v för ε (som error). Ljära regresso resulterar två vktga saker: dels ett rogostserat (redcted) värde för de beroede varabel (valgtvs ) som e fukto av de oberoede (valge ), dels e uskattg av de margella förädrge de beroede varabel () som effekt av e förädrg de oberoede (). Observera att v te bör aväda modelle utaför det område där, de oberoede varabel, är deferad. Hotestestg. Fa Påverka Varabel ökt : Hur mcket gräs e kossa sarar för vter, åverkas av hur stor komst de har av s mjölkförsäljg varje måad. Testa om det fs starka bevs för att dea åverka är ostv. Gör e ljär modell av förvätade saolkheter, eemelvs ljär med tde. V aväder msta kvadratmetode för att ta fram e såda modell. Det ebär att v elmerar evetuella mustecke avståde tll de lje v vll ta fram, geom att kvadrera dem. Beräkgar vsar ett säkert och ekelt (me tdskrävade) sätt att behadla data för att få e lämlg ljär modell. E modell för kossors vtersarade ges av: Beräkat värde för de beroede varabel (som fukto av ) Itercet (e kostat som korrgerar korrelatoskoeffcete, INTE det värde de beroede varabel atar är ) + korrelatoskoeffcet * gräskomst + felmargal. Dvs: β + β + ε
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 49 E beräkad lje för detta ges av Beroede varabel Itercet + korrelatoskoeffcet * gräskomst Dvs: β + β För lje tar v te med felmargale, eftersom deas förvätade medelvärde är oll för varje ukt å lje. Defera stok.var. : arade för vter. Defera : komst frå mjölkförsäljg. tckrovsstorlek: 8 Betrakta e ljär regressosmodell β + β + ε där Gauss-Markov s förutsättgar gäller: e fogad ruta. De är alltså te stokastska, uta förutbestämda. tadardförutsättgara för ljär regressosmodell (Gauss-Markov s förutsättgar). är fa.. Feltermera har samma vätevärde och varas ε (dvs. de är homosedastska och har vätevärdet ). Dvs: E[ ε ] och E[ ε ] för alla (,,..., ). Feltermera är okorrelerade (dvs. är te beroede av varadra). Alltså: E[ ε ε ] för alla j j Ka också skrvas H : β β (där ssta terme är β uder H.. Ata att ε N( ; ) 3. H H : β : β > α 5% ~ ε Läs: Vätevärdet av felterme för gåger felterme j, är lka med oll. Detta gäller för alla. Feltermera är te korrelerade med varadra, det vll säga:förekomste av ett stort fel ska te åverka de adra fele. och j uder ukt 3 behadlar recs samma värde som ukt, det är bara ett aat sätt att skrva att det gäller för de olka tal som feltermera atar och att dessa tal te är lka med varadra. Förutsättg och 3 håller om v ka se å ε som e stokastsk varabel. ormaltet hos felvarabel, krävs för att hotesrövge ska vara möjlg. Lägg märke tll att varase har subdeerg ε.. Omε ~ N, så är ~ N eftersom β, β och är kostater Nollhotes: oulatoes rktgskoeffcet är oll, mothotes: de är ostv Att testa β och ρ ger samma resultat Kofdestervall görs å samma sätt som v är vaa vd, med de tllägg som vsas hotesrövge
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 5 4. B är testvarabel för β, med fördelg uder H : t B β ~ t B, där de okäda 5. Förkasta H om t < t 3 ;,5, 353 6. Beräkgar ε är skattad med ( )( ) ( ) s e Om stort stckrov, >3, så: aro B β Z ~ N B ( ; ) 4 8-3 5 3 5 9 3 9 3 3 4 6 6 - - 4 5 3 6-4 - 8 4 35 4 ± ± 8 8 35 4 7 8 5 5 b b ( )( ) ( ) b 5,44,56 Vlket ger de skattade modelle: 5,44 +, 56 + e och lje: 5,44 +, 56 e 6,44 s e 5,48 Varas för stckrovets felmargal. 5 se 5,48 b,55 Varas för stckrovets rktgskoeffcet. ( ) 8 se b,56 t,87 ( var atoera ) 5,48 8 å, förkasta H å 5% sgfkasvå. 7. Vår hotesrövg vsar att v har starka bevs för att om komste stger, så stger saradet.
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 5 Korrelatoskoeffcete. Testa om det fs starka bevs för att e kossas sarade för vter är korrelerad med hur stor komst de har. Dvs., testa om det fs starka bevs för att korrelatoskoeffcete för de ljära modelle är ostv. Aväd samma sffror, förutsättgar och atagade som ova.. Atag att och är bvarat ormalfördelade (vlket betder att v får e tredmesoell täthetsfukto, eftersom v fogar samma och tllsammas med ρ e graf med tre alar) 3. H : ρ H : ρ > α,5 4. Aväd msta kvadratmetode. ätt r som testvarabel för ρ, uder H har de fördelge r r t ~ t, vlket är detsamma som t ~ t r r 5. Förkasta H om 6. Beräkgar: r t r > t5 ;,5 ( r ),353 ( )( ) tckrovscov ( ) ( ) stckrovsvar var stckrovs tervallet ( ) r t r. 8,85 8 6,85,8 > t (,85 ) 5 ;,5,353 5 lutsats: Förkasta H å 5% sgfkasvå., befer sg alltd 7. Data ger starka bevs för att det fs e korrelato mella kossors vtersarade och deras komst.
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 5 Regressosmodelles förklargsstrka De utomståede faktorer som åverkar kossors grässarade, beteckas med ε. V vll beräka hur stor del av avvkelse frå modelle som beror å dessa faktorer, och hur stor del av avvkelse som te ka förklaras. ( b b ) e + :s värde elgt lje medelvärde för verklgt -värde tckrovets felmargal(resdual) verklgt värde för fuktoe (för varje ukt ) mus fuktoes värde å lje (för varje ukt ). Resduale e är te e skattg utav ε, uta av e kombato av ε och de fel som ustår vd skattgar av β och β och därmed det sammalagda fel som ustår vd skattg av det förutsagda (redcted) värdet. ANOVA (aalss of varace) kallas de metod v aväder för att dela u de totala varatoe av e förklarad del och e felkomoet (se fgure). Där vsar medelvärdet för hela stckrovet, ger ANOVA de olka komoetera för att aalsera stckrovets varas. Fgure vsar +, vlket efter summerg för alla tal och kvadrerg (eftersom v vll få bort alla evetuella mustecke, ett egatvt värde har lka lågt avståd tll lje som ett ostvt), så får v:
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 53 ( ) + vlket är detsamma som T R + E E ( ( b + b )) e, dvs. de felmargal som v får fram frå stckrovet. Alltså de data v te ka förklara med vår modell. (Error um of quares) R b ( ), hur stor del av varatoe som ka förklaras av modelle. Dea beror, som formel vsar, drekt å rktgskoeffcete, samt srdg. (Regresso um of quares) T (Total um of quares) tora värde å R och mdre värde å E är att föredra, eftersom det gör att vår modell blr lättare att aväda för att få fram värde som kommer ära de erverade värdea. Det betder dessutom att v helst vll ha så stor srdg som möjlgt å de v samlar data om för att få så stor förklarad varato som möjlgt. T E T E E R Vktgt att lära sg. T T T T E T - R e E Modelles felvaras ges av e (dvso med - stället för - eftersom v har att göra med två uskattade arametrar, b och b, stället för bara e. ( )( ) ( ) Resdual: e 4 8-3 7, -3, 9,5 9 5 3 5 9,68,3, 5 3 9 3 3 8,56,44,6 9 4 6 6 - - 4 3,9, 4,43 5 3 6-4 - 8 4 3,9 -,9,8 6 35 4 ± ± 8 8 ± 6,44 6 e ( ) e ( 5,44) +, 56 Där de skattade modelle var 7 5,44 + + e 45
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 54 Determatoskoeffcete, förklargsgrad R R T, adel förklarad varato sarade. Dvs. varatoe av kossors komst () förklarar så här stor adel av varatoe av kossors sarade (). Högre värde (>, eftersom <E<T) dkerar e regressosmodell som bättre förklarar framräkade -värde. Uskattg av om v har att göra med e bra förklargsgrad eller te, beror helt å vad v har att göra med för data. Om v tll eemel ka förklara e dvds beteede med %, så ka det ases vara e mcket hög förklargsgrad, meda det adra fall skulle vara e mcket låg. För ekel regresso gäller att R r För ovaståede eemel med kossors sarade som fukto av komste, blr förklargsgrade: R b 7 ( ) 8 43, 56 ( ) 6 45 T R 43,56 r,76,85 T 6 De skattade modelle för kossors sarade, förklarar 7,6 % av varatoe sarade. Aorluda uttrckt, så förklarar komste 7,6 % av saradet.
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 55 Progoser Om det dker u tterlgare e kossa, hur ska v då gå tllväga för att beräka dees trolga sarade? Alteratvt vll v kaske beräka det förvätade värde för kommade kossors sarade. Predktostervall Itervall för ett esklt rogostcerat värde. Ifall v skaat e ljär modell utfrå ett vsst atal ervatoer, och v vll få fram e rogos för ett secfkt värde, atar v att v lägger detta värde tll de reda uträkade å det sätt som görs här eda. Det blr väldgt osäkert är ma ska försöka förutsäga ett esklt värde, därför kommer formel v arbetar med att ge ett geerösare tervall ä vad v kommer att se uder ästa rubrk, där det stället eftersöks redktostervall för förvätat medelvärde. Ta fram e rogos för e etra kossas sarade, där dee har komste +. Vad v vll få fram är + β + β + + ε +, me eftersom v edast har skattgar av 7 dessa värde att gå efter, får v ta vår modell 5,44 + + e. 45 7 Då får v + b + b + + e+ 5,44 + +, 6 45 För att ta fram ett lämlgt tervall för det förutsagda värdet, går v tllväga som följer: &. Gvet modelle, atagade om G-M vllkor som är ufllda samt ormaltet av resduale, 3. där är estmator för och övrgt samma estmatorer som ova gäller, + + 4. följer att ett 8 % [dvs: (-α)*%] PI för det faktska värdet ges av + ± t α ; s + ( ) där + s se + + + ( ) + 5,48 + 5 + ( 8) 8 7,794 ± t, s,6 ±,638 7,794,6 ± 4,57 ; + 5. Ett redktostervall med 8 % kofdesvå ges av (5,6;4,7). Med adra ord: Ett 8% tervall för det rogostcerade saradet för e etratllkomme ko med komst $, ges av (5,6;4,7). Kofdestervall för redktosutfall Itervall för förvätat rogostcerat värde.
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 56 Ta fram e rogos för det förvätade saradet för e gru tllkoma kossor, vlka har medelkomste. + 7 V aväder E( ) E( b + b + ε ), vlket är samma som 5,44 + + e. 45 7 Då får v + 5,44 + +, 6 45 För att ta fram ett lämlgt tervall för det förvätade förutsagda värdet, går v tllväga som följer: &. Gvet modelle, atagade om G-M vllkor som är ufllda samt ormaltet hos resduale, 3. där är estmator för och övrgt samma estmatorer som E + + E + + ova gäller, 4. följer att ett 8 % [dvs: (-α)*%] PI för det faktska värdet ges av + ± t α s ; E + ( ) där + s + s e E + ( ) + 5,48 + 5 ( 8) 8,3378 ± t, s,6 ±,638,3378,6 ±,49 ; E + 5. Ett tervall för det förvätade rogostcerade värdet, ges, med 8 % kofdes /redktosvå, av (7,7;,7). Med adra ord: Ett 8% tervall för det förvätade rogostcerade saradet för e etratllkomme gru kossor med medelkomst $, ges av (5,6;4,7).
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 57 ICKEPARAMETRIKA TET Parvst beroede/ matchade stckrov När v har arvst beroede data, som beskrvet kofdestervall för Tfall 7, så har v tre sätt v ka gå tllväga för att behadla dessa. De första väge att gå är att göra ett atagade om ormaltet, vlket är ett väldgt starkt atagade att göra. Då hamar v de kofdestervall och hotestest v behadlat ova. Om v göra ågot färre atagade och bara gör atagadet att v har att göra med e smmetrsk fördelg, så ka v utföra Wlcoos rakade tecketest. Ett ekelt tecketest, slutlge, utför v är v te vll ata ågot alls om fördelge för data. Ju osäkrare v är om data, desto färre atagade gör v och desto bredare kommer tervalle v gör att bl och desto svårare blr det att med säkerhet förkasta hoteser. Istället för medelvärde, testar v u medaer.om v te har möjlghet att ata ormaltet och därmed arbeta med e fördelg som tar häs tll medelvärdet, så får v stället gå efter hur de olka data lgger utsrdda testet. När v aväder Tecketest och Wlcoos tecketest, är v oftast tresserade av att veta om medae är desamma för två oulatoer, dvs. huruvda medae för dfferese mella oulatoera är oll eller te. Tecketest. Poulato Poulato Prs hos höleveratör A Prs hos höleveratör B Poulatosdfferese tckrov. ökt: Testa å 5% sgfkasvå hotese att höleveratörera och har samma geomsttlga hörs, mot ett dubbelsdgt alteratv. Detta gvet ett stckrov av arvst beroede ervatoer frå femto kohagar där båda leveratörera har ett försäljgsställe. Ata att v te vet ågot alls om utseedet å fördelge för dfferese besrs. Defera de stokastska varabel : Atalet ostva dfferes mella hörset hos leveratör och leveratör. (Alltså alla fall där - >, där,,, )
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 58 -: Atalet egatva dffereser. Defera π: aolkhete att ervera e ostv dfferes. D -,,, 5 5 Testet ka också göras för e eskld oulato. Då sätter ma eemelvs stället som ollhotes: H : Meda kr. Iga modellatagade behöver göras eftersom v gör ett Tecketest. 3. Hoteser och sgfkasvå: H : π,5 H : π,5 α 5% 4. Testvarabel och dess fördelg uder H : Uder H är testvarabel Bomalfördelad. ~ B( ;,5) Eftersom stckrovsstorleke är lte (5<), så kommer Bomalfördelge också att avädas. 5. Beslutsregel: Förkasta H å 5% sgfkasvå om α P s + P s P s < α, ( ) ( ) [ ( )] 5 m Aars, förkasta ej H. 6. ätt data, beräka erverad storhet och dra slutsats: e kurs 6. Detta är e fördelg som behadlar fall där data ka ata två olka värde (tll eemel vd ja- och ejsvar). Då är det roortoe π v är tresserade av att arbeta med. I detta fall testar v om roortoera är lka stora, mot alteratvet att de te är det. Det här sättet att få fram ett dubbelsdgt alteratv, att fördubbla - värdet, är möjlgt eftersom hotese gäller π,5. I dea kurs kommer v te att gå geom dubbelsdga fall där π är ågot aat ä,5. tckrov d Tecke (för d dfferese) 9,7 9,7, TRUKEN 9,6 9, -,4-9, 9, -, - 9,3 9,, + 9,5 9,4, + 9,3 9,3, TRUKEN 9,8 9, -,3-9, 9,5 -,3-9, 9,, TRUKEN 9, 9,4 -, - 8,87 8,86, + 9,3 9,, + 9,7 9, -,3-9, 9,4 -,3-9, 9,5 -,3 - Eftersom v testar om medae är oll, så räcker det med att v testar atge de ea sda om oll eller de adra. Därför testar v atge s eller -s (dvs atge ostva eller egatva dffereser), beroede å vlke som uvsar lägst atal. Detta är det eklaste sättet att gå tllväga och så ka v göra eftersom π,5. När v testar ågot aat värde å π, så blr det geast för kråglgt för dea kurs. Aväd eklast e bomaltabell för att få fram saolkhetera, aars är det bara att mas hur v tog fram bomalsaolkheter 6:a, alteratvt saa formelbladet. Frå data har v att s 4 och att efter att dffereser som är strukts. värde α P + P + P + P 3 + P 4 m [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] [ +,9 +,6+,537 +,8],3878 > α, 5, Täk logskt: Dffereser som är gör varke tll eller frå vårt test om rsera är lkadaa för de två leveratörera. Därför strks de helt och hållet och reduceras med så måga ervatoer som v strukt.
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 59 Alltså förkastas ej H å 5% sgfkasvå. 7. Resultat: Data stöder ej att ollhotese förkastas å 5% sgfkasvå. P-värdet är aromatvt 39 %, dvs det ka te förkastas att hörsera skulle vara desamma för de två leveratörera.
Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 6 Wlcoos rakade tecketest Eftersom v u atar att v har att göra med smmetrskt fördelade data, ka v ragorda dfferesera. Detta eftersom v u ka ata att större avvkelser frå oll åvsar större rsk för att medae te är oll. I det ekla tecketestet vsste v te om fördelge kaske såg ut som ågot stl med tll eemel χ -fördelge, där v ka få väldgt stora avvkelser å ea sda om mtte och väldgt små å adra sda. Nu atar v stället att rske för stora avvkelser är lka stor å båda sdor om mtte, och ka därför ragorda dem.. ökt: Testa å 5% sgfkasvå hotese att höleveratörera och har samma geomsttlga hörs, mot ett dubbelsdgt alteratv. Detta gvet ett stckrov av arvst beroede ervatoer frå femto kohagar där båda leveratörera har ett försäljgsställe. Ata att dfferese hörs te följer e ormal- me däremot smmetrsk fördelg. Defera de stokastska varabel D: Dfferese mella hörset hos leveratör och leveratör. Ata att v har e smmetrska fördelg av data 3. Hoteser och sgfkasvå: H : Meda H D : Meda D α 5% 4. Testvarabel och dess fördelg uder H : Iför testvarabel T m { T + ; T } (där T+ summa av ostva rager och T summa av egatva rager), vlke följer de tabulerade fördelge för Wlcoos tecketest. Det T 5. Beslutsregel: v testar ska alltså vara det msta Förkasta H å 5% sgfkasvå om T < av T T; α + och T, vlket fugerar eftersom v har Förkasta aars ej H. Vd ormalaromato, är > (dffereser som ej är oll), så blr beslutsregel för dubbelsdgt test: Förkasta H om ( ) T µ T Z + där µ T och 4 T T > Z α ( + )( + ) 4 e smmetrsk fördelg. Om v har för mcket + eller å ea eller adra sda, så ss det å hur lte v har av det ea eller adra å de T ger fåt, v vll få adra sda. Måga + reda å om dea fördelg är så skev att ollhotese te stämmer är v har e smmetrsk fördelg av data.. Blada te ho T med det t v aväder för t- fördelge!