KOMBINATORIK Torbjör Tambour Matematisa istitutioe Stocholms uiversitet Första upplaga 005 Eftertryc förbjudes eftertryclige
Postadress Matematisa istitutioe Stocholms uiversitet 06 9 Stocholm Besösadress Kräftriet hus 5 och 6, Stocholm Iteret www.math.su.se
Till lärare och läsare Det här lilla häftet är tät att avädas som e itrodutio till ombiatori i lärarutbildige. Iehållet a ortfattat besrivas som grudläggade teori för permutatioer och ombiatioer samt biomialsatse. Jag tar tacsamt emot syputer och påpeade om fel. Stocholm de 3 augusti 005 Torbjör Tambour torbjor@math.su.se Iehåll Iledig Olia typer av urval 3 Multipliatiospricipe 3 4 Permutatioer 5 5 Kombiatioer 7 6 Biomialsatse 7 Egesaper hos biomialoefficieter. Pascals triagel. 4 8 Ett exempel: poerhäder 8 9 De fjärde ruta 0 Övigar
Iledig Kombiatori är de del av matematie som sysslar med frågor av type På hur måga sätt a ma...? Några gasa typisa exempel är följade:. På hur måga olia sätt a åtta persoer bilda e ö?. Hur måga Lottorader fis det? Säg att Lottodragige är gjord. Hur måga rader fis det med precis fyra rätt? 3. Hur måga ord a ma bilda av bostävera i MISSISSIPPI? Med ord meas bara ett sätt att sriva bostävera i e rad, orde behöver alltså ite fias i SAOL. 4. På hur måga sätt a ma välja ut ett fotbollslag om spelare blad 3 persoer? 5. Vad är oefficiete för x i polyomet ( + x 3? 6. I e sål ligger tre äpple, fyra apelsier och 35 vidruvor. På hur måga sätt a ma välja ut två äpple, tre apelsier och 0 vidruvor? 7. På hur måga olia sätt a ma fördela 00 000 ulor på 500 000 lådor? Ma får lägga flera ulor i samma låda och å adra sida ehöver ma ite lägga ulor i alla lådor. 8. Till Nobelfeste ett visst år är 00 gäster ibjuda. Ka ma vara säer på att det fis e grupp beståede av 00 gäster i vile atige alla äer varadra eller ige äer ågo aa? De sju första frågora sall vi besvara i det här häftet, me de åttode sall vi läma därhä; trots att de är väldigt eel att förstå så är de utomordetligt svår att besvara - i själva veret är svaret i srivade stud ite ät! Ia vi börjar så tycer jag att du sall fudera igeom vad de fjärde och femte fråga har gemesamt. Försö ise varför de har samma svar. Om du ite lycas just u, så gör det iget, då ommer du att ise det lite seare. De typ av ombiatori som vi sall syssla med hadlar alla om på hur måga sätt ma ur e give mägd föremål a välja ut ett visst atal. De adra fråga ova är e såda eftersom det gäller att välja ut 7 tal blad 35. De fjärde och sjätte fråga är uppebarlige ocså av de här sorte och vi sall seare se att de övriga (utom de sista a formuleras på det här sättet. Olia typer av urval Fråga På hur måga sätt a ma välja ut 7 tal blad 35? verar ase eel och oomplicerad, me är ma börjar fudera så iser ma att de fatist a tolas på flera olia sätt. Får ma välja samma tal flera gåger? I Lotto får ma ju ite det, me ma a aturligtvis täa sig e sorts Lotto i
vile samma tal a föreomma flera gåger i e rad. E rad sulle då ua vara 0,, 34,,, 34, 34. De här forme av Lotto ase sulle äas lite egedomlig, me visst är de fullt möjlig. E aa fråga är om ordige mella de valda tale spelar ågo roll. I valig Lotto är ju,, 3, 4, 5, 6, 7 och 3,, 7, 6,, 5, 4 samma rad, me självlart a ma täa sig ytterligare e form av Lotto i vile ordige mella de draga eller valda tale spelar roll. Fråga På hur måga sätt a ma välja ut föremål blad styce? a tydlige tolas på mist fyra olia sätt beroede dels på om ordige mella de valda föremåle spelar roll eller ej, dels på om samma föremål får väljas flera gåger. Ova aväde vi Lotto som exempel, me iblad är det bra att ha e allmäare situatio att fudera utifrå och ma täer sig ofta i stället e sål eller ura med umrerade (frå till ulor ur vile ma sall välja styce. I stället för välja säger ma emellaåt dra, alltså På hur måga sätt a ma dra 3 ulor blad 70 styce?. Vårt mål i de här dele av urse är att räa ut atalet sätt att göra urval av ulor blad styce på de fyra olia sätte och vi ommer att aväda betecigara i tabelle eda. Med häsy Uta häsy till ordige till ordige Med återläggig A(, B(, Uta återläggig P (, C(, Att dra eller välja med återläggig iebär att samma ula eller tal får föreomma flera gåger. Drar ma uta återläggig får alltså e viss ula eller ett visst tal föreomma högst e gåg i ett urval. 3 Multipliatiospricipe På restaurag Goda gåse ser mey ut så här: Förrätter Soppa på arljohasvamp Ägg béedictie Varmrätter Gås med rås och sås potatis Sjötuga meuière med pressad potatis Ordet sätt sall ite missförstås som metod, som t ex att ploca ut ulor med förbuda ögo, med picett eller ågot sådat. Ett sätt att välja är alltså bara ett visst urval av föremål. 3
Woat strimlat fläsött med grösaer och ris Idis curry med liser, grösaer och ris Efterrätter Sås äppleaa med vailjsås Crème brulée med färsa hallo Citrosorbet På hur måga sätt a ma ompoera e trerättersmiddag beståede av förrätt, varmrätt och efterrätt? Om vi börjar med vale av för- och varmrätt, så a vi för varje val av förrätt välja fyra olia varmrätter. Atalet möjliga sätt att ombiera ihop för- och varmrätt är därför 4 8. Me för varje val av för- och varmrätt a vi välja efterrätte på tre sätt, så atalet middagar vi a ompoera måste vara 4 3 4. Det här smaliga exemplet illustrerar de s multipliatiospricipe, som allmät a formuleras så här: Atag att vi sall göra två val som är oberoede av varadra. Om det första valet a göras på m sätt och det adra på sätt, så är totala atalet möjligheter att välja lia med m. Att vale är oberoede av varadra betyder att hur vi gör det första valet ite påverar våra möjligheter att välja adra gåge. Självlart a multipliatiospricipe geeraliseras till fler ä två val; vårt meyproblem hadlar ju t ex om tre (av varadra oberoede val. Exempel: I strytips sall ma gissa utgåge av 3 fotbollsmatcher och alterative är (seger för hemmalaget, X (oavgjort och (seger för bortalaget. Hur måga olia strytipsrader fis det? Jo, de första matche a ma tippa på 3 sätt, de adra på 3 sätt osv och de olia vale är oberoede. Eligt multipliatiospricipe är totala atalet rader lia med 3 } 3 {{... 3 } 3 3 594 33. 3 fatorer Strytipset är fatist ett exempel på dragig med återläggig och med häsy till ordige, vilet ase ite är alldeles uppebart. Me vi a ju täa oss e ura med tre ulor märta med, X och ur vile vi drar 3 gåger, med återläggig (e strytipsrad får ju iehålla samma symbol flera gåger och med häsy till ordig (rade XXXX är ite desamma som XXXX. Atalet strytipsrader är tydlige A(3, 3, så vi har A(3, 3 3 3. Det här exemplet visar på ett fatum som vi sall få aledig att återomma till seare, ämlige att svårighete i måga ombiatorisa problem (i alla fall av de sort som vi sall syssla med består i att avgöra och förstå vile typ av dragig problemet hadlar om (eller vile ombiatio av dragigar; ofta måste ma ombiera de olia typera, sarare ä att göra själva beräigara. 4
Med hjälp av multipliatiospricipe a vi lätt bestämma A(, i allmähet. De första dragige a vi göra på sätt. De adra a vi ocså göra på sätt, eftersom vi lägger tillbaa de första ula är vi har dragit de och oterat vile de är. De tredje dragige a vi ocså göra på sätt osv och då vale är helt oberoede av varadra får vi att det totala atalet möjliga dragigar är A(, } {{... }. fatorer Exempel: Hur måga ord på 5 bostäver a ma bilda av alfabetets 8 bostäver om samma bostav får föreomma flera gåger? Att bilda ett sådat ord a ma tola som e viss dragig med återläggig och med häsy till ordig. Vi lägger ämlige lappar med de 8 bostävera i e ura och seda drar vi 5 gåger med återläggig och med häsy till ordig. Atalet sätt att dra är A(8, 5 8 5 7 0 368, vilet tydlige äve är atalet ord. 4 Permutatioer E permutatio av ett atal föremål (ulor, tal, bostäver eller aat är ett sätt att räa upp dem i ågo ordig. Exempelvis är ABC, ACB, BAC, CBA, BCA, CAB permutatioer av bostävera A, B och C. I själva veret är det samtliga permutatioer, som du lätt a otrollera själv. Det är lätt att räa ut atalet permutatioer av föremål med hjälp av multipliatiospricipe. För det första föremålet a vi välja på sätt. Eftersom samma föremål ite får föreomma mer ä e gåg (samma perso a ju ite stå på två olia ställe i e ö, så a det adra föremålet väljas på sätt. Det tredje a väljas på sätt osv, det äst sista (dvs det ( :a på sätt och det sista på sätt. Vale är oberoede av varadra, så multipliatiospricipe ger att atalet permutatioer är ( (.... Det här talet betecas!, vilet utläses -faultet. Atalet permutatioer av tre föremål är således 3! 3 6, vilet ju stämmer med vad vi såg yss. Vi har vidare 4! 4, 5! 0 och 6! 70. Faultetera växer som syes sabbt i storle. Vi sall härleda formel för atalet permutatioer på ett aat sätt ocså. Beteca atalet med p(. Låt oss för tydlighetes sull börja med att betrata fallet 3 och låt föremåle vara de tre bostävera A, B och C. Det fis två sätt att sätt att sätta A och B i e ö, ämlige A B och B A (dvs p(. I ö A B a vi placera i C på tre ställe: C A B A C B A B C I ö B A fis det förstås ocså tre platser att sätta C på, så vi måste ha p(3 3 p( 3 6. 5
Det är lart hur det här resoemaget a geeraliseras till föremål A,..., A som sall placeras i ö. De första a placeras i ö på p( sätt och seda fis det platser att sätta A på, varför vi måste ha sambadet p( p(. Nu är förstås p(, så p( p(. Detta ger i si tur p(3 3p( 3, p(4 4p(3 4 3 osv. Vi ser hur formel p(! växer fram. Faultete! är defiierad för, me ofta är det bevämt att tilldela äve 0! ett värde. Eftersom fråga På hur måga sätt a 0 persoer bilda e ö? ite är meigsfull (utom möjlige för e och aa filosof och det således ite fis ågo aturlig defiitio, så a vi i och för sig tilldela 0! vilet värde vi vill, me det fis ett val som är listigare ä adra. Vi har ju ämlige (+! (+! för. De här egesape aratäriserar (tillsammas med! faultetsfutioe och vi aser att de därför är så vitig att vi vill att de sall gälla äve för 0. Sätter vi 0 så får vi! 0! och vi måste tydlige defiiera 0!. (Ma a geeralisera faultet avsevärt mycet mer ä så här, me det hör ite till ombiatorie, uta till de högre matematisa aalyse. Talet p(! defiierade vi som atalet sätt att orda föremål i e ö och detta a tolas som dragig av föremål blad styce med häsy till ordig, me uta återläggig; samma föremål får ju ite stå på flera olia platser i ö. Alltså har vi p( P (,, där P defiieras i tabelle ova. Med samma metod som är vi räade ut p( a vi beräa P (, i allmähet. Ty det första valet a vi göra på sätt, det adra på sätt, det tredje på sätt osv. Val ummer a vi göra på ( + sätt och eftersom vale är oberoede av varadra, så ger multipliatiospricipe att P (, ( (... ( (. Kotrollera att det här stämmer med vad vi fa för ova! Uttrycet för P (, formlige srier efter att bli omsrivet på ågot elare sätt och det är lätt gjort. Om < så a vi förläga med ( ( ( +... och får då P (, (... ( ( (... ( ( ( ( ( +... ( ( ( +...! (!. Notera att vi gjorde de här omsrivige uder förutsättig att <. Me eftersom vi har defiierat 0! så gäller de äve för (vilet ige visar hur listig defiitioe 0! är. 6
Exempel: Hur måga ord om 5 bostäver a ma bilda av det valiga alfabetets bostäver om varje bostav får föreomma högst e gåg? - Det här är ästa samma problem som i det förra exemplet, sillade är bara att iga upprepigar får föreomma, så här har vi ett exempel på dragig med häsy till ordig, me uta återläggig. Svaret är således P (8, 5 5 Kombiatioer 8! 8 7 6 5 4 793 600. (8 5! Med e ombiatio meas e dragig uta häsy till ordig och uta återläggig. Exempelvis är EFG e ombiatio av tre bostäver ur alfabetet och det är precis samma ombiatio som FEG och GFE. För de som äer till lite mägdlära så a e ombiatio av föremål blad styce helt eelt defiieras som e delmägd med elemet till e mägd med elemet. Kombiatioe EFG motsvarar 6 styce dragigar med häsy till ordige (uta återläggig, ämlige EFG, FEG, EGF, GFE, FGE, GEF. Att det blir 6 styce beror förstås på att det fis 3! 6 olia sätt att permutera bostävera EFG. Allmät ser vi på samma sätt att varje dragig av föremål uta häsy till ordig motsvarar! dragigar med häsy till ordig, eftersom föremål a ordas (permuteras på p(! olia sätt. Alltså måste vi ha!c(, P (, och därför C(, P (,!! (!! (... ( (.! Det här talet dyer upp i så måga olia sammahag i matemati och statisti att det har fått ett eget am och e ege betecig. Det betecas ( (!, alltså ( (!! och allas e biomialoefficiet. Varför det heter så sall vi se om e stud. Symbole ( utläses över (på egelsa choose. Exempel: Atalet sätt att fördela 0 ihadlade varor i två assar så att de iehåller 0 vardera är ( 0 0 84 756. Detta är ocså atalet delmägder med 0 elemet till e mägd med 0 elemet. Exempel: Atalet sätt att välja ut ett lag om fotbollsspelare blad 3 spelsuga aspirater är ( 3 35 978. Exempel: E Lottorad a som vi disuterade i börja uppfattas som e dragig uta häsy till ordig och uta återläggig och vi sall dra 7 styce av tale,,..., 35. Atalet Lottorader är således ( 35 7 35 34 33 3 3 30 9 7 6 5 4 3 7 6 74 50.
Exempel: E had i ett ortspel, t ex poer, a ocså uppfattas som e dragig uta häsy till ordig (huruvida ma först får upp spader ug och seda hjärter eller tvärtom spelar ige roll och uta återläggig (e spelare som plötsligt sitter med två hjärteräss blir omedelbart doppad i tjära och rullad i fjäder. I poer består e had av 5 ort, så atalet poerhäder är ( 5 5 5 5 50 49 48 5 4 3 598 960. (E ortle har 5 ort om ma ite aväder jorar. Vi sall seare beräa atalet häder med par, triss osv. Exempel: Hur måga ord a ma bilda av bostävera A,A,A,B,B? Ett sätt att lösa problemet är att täa sig fem tomma platser på vila vi sall placera i tre A: och två B:. Detta a formuleras som att vi sall välja ut tre platser på vila vi sall sriva A och på de två som återstår sall vi sriva B, me fråga är vile typ av val eller dragig det är fråga om. Vi täer oss att vi sriver tale till 5 på lappar som vi lägger i e ura och seda drar vi tre gåger. På de platser som ages av lappara sriver vi A. Alltså gäller det dragig uta återläggig (aars sulle vi ua sriva två bostäver på samma plats och uta häsy till ordig (det spelar ige roll om vi får upp platsera,,4 i de ordige eller i ordige 4,,. Atalet ord är således ( 5 3 0. Det här exemplet är istrutivt såtillvida att det är lätt att täa fel är ma sall avgöra om det är dragig med eller uta häsy till ordig. Det ser ase ut som om det är val med häsy till ordig eftersom de fem bostävera fatist står i e viss ordig, t ex ABABA. Me det är ite ordige mella bostävera som sae gäller, uta de ordig i vile ma väljer ut de platser på vila det sall stå A. Ett aat sätt att lösa problemet är följade: Låt oss silja mella de tre A:a respetive de två B:a geom att sätta idex på dem, så att vi i stället sall bilda ord av A, A, A 3, B, B. Atalet sådaa ord är förstås lia med atalet permutatioer av 5 föremål, dvs p(5 5!. Låt oss säga att vi ollapsar ett ord är vi stryer alla idex. Exempelvis ollapsar A B A B A 3 till ABABA. Hur måga ord med idex på bostävera ollapsar till ABABA? Jo, det gör A B A B A 3 och alla ord ma får geom att permutera A:a ibördes och B:a ibördes. Atalet sådaa ord är 3!! (eligt multipliatiospricipe, så atalet ord ma a bilda av A,A,A,B,B är 5!/3!! 0. Notera att 5!/3!! ite är ågot aat ä biomialoefficiete ( 5 3. Exemplet a aturligtvis geeraliseras: Atalet ord ma a bilda av styce A och m styce B är (, där + m. Vi täer oss då att vi har + m platser blad vila vi sall välja ut de på vila vi sall sriva A. Atalet sådaa val ges av biomialoefficete ova. I stället för att välja ut de platsera för A:a ( a vi ju välja ut de m platsera för B:a och det a vi göra på ( m sätt. Alltså måste ( (. ( 8
Självlart är det eelt att visa det här sambadet med hjälp av formel ( för biomialoefficietera ocså: ( (! ( (!(!!!(!! (!!. Det här bruar ma säga är ett algebraist bevis för (, till sillad frå det första som är ett ombiatorist bevis. Vi sall seare se flera exempel på sambad mella biomialoefficieter som ma a bevisa både algebraist och ombiatorist. Båda typera är aturligtvis giltiga bevis, me ofta är ett ombiatorist bevis mer upplysade ä ett algebraist; ma förstår så att säga varför ett visst sambad är sat om ma a visa det ombiatorist. Vi sall fortsätta disutera exemplet med ord bildade av vissa giva bostäver, me u sall vi täa oss att vi har flera bostäver, alltså ite bara A: och B:. Säg att vi i stället har 4 styce A:, 5 styce B: och 7 styce C:. Hur måga ord a vi bilda av dem? Låt oss först täa oss att A:a, B:a respetive C:a är olia, så att vi i stället har A,..., A 4, B,..., B 5, C,..., C 7. Atalet ord vi a bilda av dessa är 6! och som förut ser vi att atalet ord som ollapsar till samma ord är vi stryer idexe är 4! 5! 7!. Svaret är tydlige att atalet ord är 6! 44 440. 4! 5! 7! Ett aat sätt att beräa atalet ord är följade: Vi väljer först ut de 4 platser på vila vi sall sriva A. Det a vi göra på ( 6 4 sätt. Blad de 6 4 platser som återstår väljer vi ut 5 på vila vi sall sriva B. Det a vi göra på ( 5 sätt. På de platser som återstår sriver vi C. Atalet ord blir eligt multipliatiospricipe ( 6 4 ( 6! 5 4!!! 5!7! 6! 4!5!7!. Om vi har styce A:, m styce B: och p styce C:, så blir atalet ord förstås ( ( + m + p m + p! (m + p!! m!(m + p! m!p!!m!p!, där + m + p. Äu mer geerellt a vi beräa atalet ord som vi a bilda av ett godtycligt atal bostäver. Säg alltså att vi har styce a(, styce a( osv till m styce a(m (bostävera betecas a(, a( osv. Precis som yss får vi att atalet är!!!... m!, där + +... + m. Iblad betecar ma det här talet med (,,..., m 9
och det allas e multiomialoefficiet. Lägg märe till att om m så är detta e valig biomialoefficiet: (! (,!!!!(! eftersom +. Exempel: Låt oss säga att Lottodragige e viss veca är gjord. Hur måga rader med exat 4 rätt fis det? (Här mear vi aturligtvis hur måga sådaa rader det fis ret teoretist, ite hur måga som fatist har lämats i; de seare är ite e ombiatoris fråga! E Lottorad består som sagt av 7 tal valda blad 35. E rad med exat 4 rätt består av 4 tal valda blad de 7 rätta och 3 valda blad de 35 7 8 felatiga. Eligt multipliatiospricipe är således det söta atalet lia med ( 7 4 ( 8 3 7 6 5 4 8 7 5 4 660. 4 3 3 På samma sätt ser vi att atalet rader med precis rätt, där 0 7, är ( ( 7 8. 7 Om vi summerar de här tale för 0,,..., 7 så får vi det totala atalet Lottorader; alltså har vi lihete 7 0 (( ( 7 8 7 ( 35. 7 För att geeralisera detta så täer vi oss ett Lottospel där e rad består av m tal valda blad styce. Totala atalet Lottorader är då å ea sida ( m. Vi sall sriva er ett uttryc för atalet rader med exat rätt. För att det här sall ha meig, så måste doc två saer vara uppfyllda: dels måste m, ty aars räcer de rätta umre ite till, dels måste m m, ty aars räcer ite de felatiga umre till. Om dessa två villor är uppfyllda så blir atalet rader med exat rätt lia med ( ( m m. m Totala atalet rader blir således å adra sida lia med ( ( m m, m där summa är över alla som uppfyller 0 m och m m. De adra olihete a ma, om ma vill, sriva som m. Alltså är ( ( ( m m. m m 0
Det är ite så lätt (jag är ite es säer på att det går att bevisa de här lihete geom att sätta i uttrycet ( för biomialoefficietera. Det fis doc ett aat, mer algebraist bevis, som vi sall disutera i sambad med biomialsatse. Kråglet med summatiosgräsera är ju e lite söhetsfläc, me det fis ett sätt att omma rut det. Vi sade ova att det är meigslöst att tala om atalet rader med rätt om det ite fis rätta ummer att välja blad. Me ma a ju ocså säga (och det är ase rimligare att atalet rader i så fall är 0. Mer allmät är det rimligt att säga att atalet sätt att dra (uta återläggig, uta häsy till ordig föremål blad styce är 0 om >. Alltså är det rimligt att defiiera ( 0 om >. Ma bruar ocså sätta ( ( 0 om < 0 och då är defiierat för alla. Med de här ovetioe a vi sriva m 0 ( m ( m m ( m och behöver ite beymra oss om summatiosgräsera. Vi avslutar det här avsittet med e lite filosofis refletio. Glöm ett ögoblic allt du vet om biomialoefficietera och säg att vi defiierar tal ( geom formel (!!(!. Det eda vi a priori vet om tale ( är att de är ratioella, me det framgår fatist ite att de är heltal. Ma a förstås förorta t ex med (! och får i så fall ( ( (... ( +,! me vad är det som säger att vi a förorta bort äve! och få ett heltal? Det är ite på ågot sätt uppebart att ma a göra det, me eftersom vi av adra säl vet att det här uttrycet betyder atalet sätt att dra föremål blad styce (uta återläggig, uta häsy till ordig, så måste det vara ett heltal. Ett atal a ju ämlige ite vara ågot aat ä ett heltal. 6 Biomialsatse Ett biom är ett uttryc av forme a + b, alltså e summa av två termer. I sola bruar ma lära sig vadrerigsregel (x + y x + xy + y som ma bevisar geom att multiplicera ihop de två paretesera i västerledet, och evetuellt äve uberigsregel (x + y 3 x 3 + 3x y + 3xy + y 3. Biomialsatse talar om hur utveclige av (x+y ser ut för,, 3, 4,...:
Sats (Biomialsatse För,, 3,... gäller (x + y 0 ( x y. Utsrive är summa i högerledet ( ( ( x y 0 + x y + x y +... + 0 ( xy + ( x 0 y och eftersom ( ( 0!!0! och x0 y 0, så är detta lia med ( ( ( x + x y + x y +... + xy + y. Me uttrycet de allmäa terme bruar ma mea ( x y. För lyder biomialsatse ( (x + y x + xy + y x + xy + y eftersom (!!(!. Fallet är således iget aat ä vadrerigsregel. För vilet som helst är ( (!!(! vilet ger (x + y 3 x 3 + ( 3 x y + ( 3 xy + y 3 x 3 + 3x y + 3xy + y 3. Vi har ( 4 4!!(4! 4 6, så ( ( ( 4 4 4 (x+y 4 x 4 + x 3 y+ x y + xy 3 +y 4 x 4 +4x 3 y+6x y +4xy 3 +y 4. 3 Efter dessa iledede exempel sall vi äga e stud åt att bevisa biomialsatse. Det fis måga mer eller midre olia bevis för de och vi sall resoera oss fram till ett ombiatorist. Vi börjar med att fudera lite över vad det är som häder är ma multiplicerar ihop pareteser. Om ma arbetar lite grad så får ma följade: (x + x (y + y x y + x y + x y + x y
och (x + x (y + y (z + z x y z + x y z + x y z + x y z + x y z + x y z + x y z + x y z Resultatet av hopmultipliatioera av paretesuttryce är summor av 4 respetive 8 termer, vila alla är uppbyggda som produter. Varje såda produt består av exat e fator frå var och e av paretesera i västerledet. I första fallet har varje term i högerledet utseedet x i y j, där idexe i och j sall ata värdea och i alla ombiatioer. I adra fallet ser termera ut som x i y j z där idexe i, j, sall ata värdea och i alla ombiatioer. (Eligt multipliatiospricipe måste vi alltså få 4 respetive 3 8 termer, vilet ju stämmer fit. När vi muliplicerar ut e produt som (x + y (x + y(x + y... (x + y }{{} fatorer så får vi på samma sätt e summa av termer, vila alla är uppbyggda som produter. I varje produt igår exat e term frå var och e av paretesera (x + y i västerledet. Med adra ord har termera utseedet xyxxyy... yyx med alla möjliga ombiatioer av x och y. (Eftersom det fis två val på varje plats atige x eller y så blir totala atalet sådaa termer lia med. Om atalet y i e viss term är, så iehåller de styce x och då är xyxxyy... yyx x y. Nu är förstås ite alla termer olia; exempelvis är ju xxyy xyxy xyyx yxxy yxyx yyxx x y i fallet 4. Låt oss beteca atalet termer xyxxyy... yyx som är lia med x y med a ; då är alltså (x + y a 0 x y 0 + a x y + a x y +... + a x y +... + a x 0 y. Fatum är att vi reda tidigare har räat ut a det är ju lia med atalet ord på bostäver varav styce är x och styce är y, alltså ( a. Beviset för biomialsatse är lart! Ett aat sätt att se på a och beräa dess värde är så här: Vi lägger de paretesera (x+y i e ura och drar gåger. Ur de pareteser vi får upp tar vi y och ur de som blir var i ura tar vi x. Atalet sätt att dra är lia med a. Dragige är uta återläggig, ty ur e viss paretes sall vi ta atige x eller y, me ite båda. De är vidare uta häsy till ordig eftersom det bara är det totala atalet y som har ågo betydelse. Alltså är a lia med atalet sätt att dra föremål blad styce uta återläggig och uta häsy till ordig, så att a (. 3
7 Egesaper hos biomialoefficieter. Pascals triagel. Biomialoefficietera dyer upp precis överallt i matematie och de har e otrolig mägd itressata egesaper. Här sall vi disutera ågra av dem. De två vitigaste är förmodlige ( ( för 0,,,..., (3 ( + + ( ( för,,..., (4 (Om ma sätter ( 0 så är (4 giltig äve för 0. För symmetriegesape (3 har vi givit ett ombiatorist bevis ova. Ett algebraist bevis å adra sida ser ut så här: (!!(!! (!( (! (. Båda bevise är förstås giltiga, me fördele med det ombiatorisa är att ma på sätt och vis förstår varför (3 är sa. Å adra sida har det algebraisa beviset fördele att vara lättare att omma på. Vi sall ge två olia bevis för (4 ocså. Det algebraisa är eelt, ma bara sriver termera i högerledet på gemesamt bråstrec: ( (! +!(! +! (!( (!!!(! +! (!( +!!( +!( +! +!!( +!!( + +!( +! (!( + +!( +! Det här är förvisso e förträfflig övig i bråräig, me vi blir ite särsilt mycet loare över varför (4 är sa. Det ombiatorisa beviset ommer att upplysa oss betydligt bättre. Vi sall räa ord med + bostäver, vila ( är atige x eller y. Atalet sådaa ord med exat styce y är lia med +, alltså västerledet i (4. Nu sall vi räa detta atal på ett aat sätt, ämlige geom att dela i orde i två grupper. I Grupp placerar vi de ord som har sista bostav x och i Grupp de som har sista bostav y. Ett ord måste tillhöra ågo av dessa grupper och det fis iget ord som tillhör båda. Me atalet ord i Grupp är (, ty av de första bostävera sall styce vara y. Atalet ord i Grupp är ( eftersom av de första bostävera 4
sall vara y - totalt sall det ju vara styce y och de sista bostave har vi reda bestämt till y. Alltså är totala atalet ord å adra sida lia med ( ( +. Det fis äve sambad mella (3 och (4 och biomialsatse. Eligt dea är (x + y och om vi byter x och y så får vi (y + x 0 0 ( y x ( x y 0 ( x y. Me x + y y + x, så västerlede är lia och därmed ocså de två högerlede. Låt oss titta på terme x y i högerlede. I (x + y har de oefficiet (, meda de i (y + x har oefficiet ( (. Alltså måste (. Det här ase blir tydligare om ma tar ett speciellt, säg 5. Då är ( ( ( ( 5 5 5 5 (x + y 5 x 5 + x 4 y + x 3 y + x y 3 + xy 4 + y 5 3 4 och siftar vi x och y så får vi ( ( ( ( 5 5 5 5 (y + x 5 y 5 + y 4 x + y 3 x + y x 3 + yx 4 + x 5 3 4 ( ( ( ( 5 5 5 5 x 5 + x 4 y + x 3 y + x y 3 + xy 4 + y 4. 4 3 Jämför vi dessa så får vi ( ( 5 5 ( 4 och 5 ( 5 3. Sambadet mella (4 och biomialsatse är algebraist sett lite mer rävade, så vi börjar med ett speciellt fall. Vi sall räa ut (x + y 5 på två olia sätt. Det ea är helt eelt som ( ( ( ( ( ( 5 5 5 5 5 5 (x + y 5 x 5 + x 4 y + x 3 y + x y 3 + xy 4 + y 5. 0 3 4 5 5
Det adra sättet bygger på att (x + y 5 (x + y (x + y 4, vilet ger (( ( ( ( ( 4 4 4 4 4 (x + y 5 (x + y x 4 + x 3 y + x y + xy 3 + y 4 0 3 4 ( ( ( ( 4 4 4 4 x 5 + x 4 y + x 3 y + x y 3 + xy 4 3 4 ( ( ( ( 4 4 4 4 + x 4 y + x 3 y + x y 3 + xy 4 + y 5 0 3 ( (( ( (( ( 4 4 4 4 4 x 5 + + x 4 y + + x 3 y 0 0 (( ( (( ( ( 4 4 4 4 4 + + x y 3 + + + y 5 3 4 3 4 Om vi jämför oefficietera för t ex x 3 y i de här två uttryce för (x + y 5 så får vi ( ( ( 5 4 4 +, vilet är specialfallet 4, av formel (4. Det allmäa fallet är ite så mycet svårare, äve om ma möjlige måste vara lite mer slipad i räig med ( polyom. Å ea sida är oefficiete för x + y i (x + y + lia med +. Å adra sida a vi få fram ett uttryc för samma oefficiet geom att göra omsrivige (x + y + (x + y (x + y (x + y 0 ( x y. E term av type x + y a vi få atige som x x y eller som y x y och oefficiete a således äve srivas ( ( +. Sambadet (4 ger oss e metod att successivt räa ut biomialoefficietera det formel säger är ju att om ma äer tale ( för ågot visst och alla 0,,,...,, så a ma lätt räa ut ( ( + just som ( +. Metode bruar illustreras grafist med de s Pascals triagel. Toppe av de ser ut så här: ( 0 ( 0 ( ( 0 ( ( ( 0 3 ( 3 ( 3 ( 3 ( 0 4 ( 4 ( 4 ( 4 3 ( 4 ( 0 3 5 ( 5 ( 5 ( 5 ( 5 4 ( 5 ( 0 3 4 6 ( 6 ( 6 ( 6 ( 6 ( 6 5 ( 6 0 3 4 5 6 Blaise Pascal, fras filosof, teolog och matematier 63-6. Pascals triagel var doc äd lågt tidigare av bl a iesisa matematier. 6
Triagel är alltså oädligt stor edåt. Pricipe för dess uppbyggad torde vara lar: Radera umreras 0,, osv och på rad står tale ( för 0,,,...,. Eftersom ( ( 0 så begräsas triagel av ettor och (4 betyder att varje tal iuti triagel är summa av de två tal som står sett ovaför. Med biomialoefficietera uträade ser alltså toppe av Pascals triagel ut så här: 3 3 4 6 4 5 0 0 5 6 5 0 5 6 Lägg märe till att egesape ( ( iebär att Pascals triagel är symmetris med avseede på lodlije geom ( 0 0. ( ( + När vi aväde biomialsatse för att bevisa lihete ( + utyttjade vi omsrivige (x+y + (x+y (x+y och vi sall avruda det här avsittet med att udersöa vad de allmäare lihete (x+y (x+y m (x + y +m a leda till. Låt oss först välja 7 och m 8. Vi sall titta på oefficiete för x 8 y 7 i (x + y 35 (x + y 7 (x + y 8. I västerledet är de förstås ( 35 7. Högerledet är lia med 7 0 ( 7 x 7 y 8 j0 ( 8 x 8 j y j j,j ( 7 ( 8 j x 35 (+j y +j så oefficiete för x 8 y 7 är 7 0 ( ( 7 8 7 eftersom vi måste ha + j 7, dvs j 7. Alltså är i0 7 0 ( ( 7 8 7 ( 35 7 Käs de här lihete ige seda tidigare? Koefficiete för x +m y i (x + y +m är ju ( +m eligt biomialsatse. Västerledet är lia med ( m ( m x i y i x m j y j i j j0 7
och utför vi multipliatioe så ser vi att e typis term i produte har utseedet ( ( ( ( m m x i y i x m j y j x +m (i+j y i+j. i j i j För att få terme x +m y måste alltså i + j, varför ( ( ( m + m i j eller i0 i+j ( ( m i i ( + m. (5 Här a det förstås mycet väl iträffa att i > eller i > m, me då är motsvarade biomialoefficieter 0 eligt de ovetio som vi iförde i slutet avsitt 4. Ett exempel: Tag 4, m 3, 5. Vi är alltså itresserade av terme x +m y x y 5 i (x + y 7. Å ea sida är de lia med ( 7 5. Om vi å adra sida sriver (x + y 7 (x + y 4 (x + y 3 (( ( ( ( 4 4 4 4 x 4 + x 3 y + x y + xy 3 + 0 3 (( ( ( ( 3 3 3 3 x 3 + x y + xy + y 3 0 3 så ser vi att de äve a srivas ( ( 4 3 + 3 ( 4 3 ( 3 + ( 4 4 ( 3. ( 4 y 4 4 Det är precis vad (5 betyder i det här fallet, om vi aväder ovetioe. Det här var bara e mycet ort iledig till biomialoefficieteras värld. I övigara tas ågra fler av deras egesaper upp. 8 Ett exempel: poerhäder I ett exempel ova räade vi ut atalet poerhäder och här sall vi fortsätta med att beräa atalet häder med de olia poäggivade ombiatioera som å, fyrtal osv. Om du ite spelar poer eller ite gillar ortspel, så hoppa över det här avsittet. Eller läs och lär ågot ytt! Äve om poer är ett hasardspel som ma a förlora stora pegar i, så ger det upphov till sojiga ombiatorisa fuderigar som ma a fördjupa sig i (s teoretis poer. Saolihetslära och ombiatorie står fatist i ett slags tacsamhetssuld 8
till hasardspel. I mitte av 600-talet försöte ämlige de två frasa matematiera Blaise Pascal (63-6 och Pierre de Fermat (60-66 beräa hur ma rättvist sall fördela potte i ett avbrutet ortspel och deras beräigar lade grude till ombiatorie. Poer spelas med e valig ortle om 5 ort och ofta aväder ma äve jorar. För att ite omplicera saer och tig i oöda atar vi i fortsättige att iga jorar är ibladade. E had består av fem ort valda blad de 5 i lee och ma a betrata e had som ett sätt att dra 5 ort blad 5 uta återläggig (ma får ite ha t ex två hjärter äss och uta häsy till ordig (är give delar ut orte till spelara, så får ma aturligtvis orte i e viss ordig, me det eda som är vitigt är ju vila ort ma har på had. Atalet häder är således ( 5 5 5 50 49 49 598 960. 5 5 4 3 Straight flush E straight flush består av 5 ort i följd i samma färg. E såda a börja på äss, två,..., tio (observera att ässet går både som ett och som 4 i poer, dvs med ågo av 0 olia valörer. Atalet färger är ju 4, så atalet straight flush är 4 0 40. Fyrtal Atalet olia fyrtal är ju 3 eftersom det fis 3 valörer. Atalet sätt att välja det femte ortet är lia med atalet ort som återstår då ma har valt sitt fyrtal, dvs 5 4 48. Atalet häder med fyrtal är således 3 48 64. Kå E å (full had består av e triss och ett par. Atalet trissar i e viss valör är ( 4 3 eftersom ma sall välja 3 ort blad 4. Totala atalet trissar är därför 3 (4 3. När ma har valt si triss sall ma välja ut ett par. Totala atalet par blir aalogt 3 (4, me ma a ju ite välja ett par i samma valör som trisse ma reda har. Atalet åar blir alltså ( 4 ( ( ( 4 4 3 3 3744. 3 Flush I e flush är alla orte i samma färg. Det fis ( 3 5 sätt att välja 5 ort blad 3, så atalet häder med alla ort i samma färg är 4 (3 5. Nu ommer e lite lurighet: e del av dessa häder är emellertid straight flush, ärmare bestämt är 40 av dem sådaa. Atalet flushar är ( 3 4 40 508. 5 9
Straight E straight a börja på äss, två,..., tio, vilet ger atalet 0 4 5. Me 40 styce av dessa häder är straight flush, så vi får häder med straight. Triss 0 4 5 40 000 Vi räade ut atalet trissar ova till 3 (4 3. När ma sall välja det fjärde ortet fis det 5 4 48 att välja blad, eftersom ma ite får välja det fjärde av samma valör som trisse (då sulle ma ju få ett fyrtal. Det femte ortet a väljas på 48 4 44 olia sätt eftersom ma ma måste välja det av e aa valör ä de ma har tidigare (aars sulle ma få atige fyrtal eller å. De två sista orte a permuteras på! sätt, så atalet trisshäder är Tvåpar 3 ( 4 3 48 44 549. Totala atalet par är 3 (4 78. När ma har valt ett par a ma välja det adra på 78 6 7 olia sätt eftersom de par som har samma valör som det första måste uteslutas. De två pare a permuteras på! sätt. Det femte ortet får ite vara av samma valör som ågot av de valda pare, och det fis då 5 8 44 ort att välja blad. Ataler häder med tvåpar är Ett par 78 7 44 355. Atalet val för paret är som vi såg yss 78. Det tredje ortet a väljas på 5 4 48 sätt, det fjärde på 48 4 44 sätt och det femte på 44 4 40 sätt, eftersom ma ite vill ha fler av samma valör som dem ma reda valt. De tre sista orte a permuteras på 3! 6 sätt, så atalet häder med ett par är Iget alls 78 48 44 40 09840. 6 Atalet häder uta ågot alls fier ma geom att subtrahera atalet poäggivade häder frå totala atalet och det blir 30 540. Atalet sätt att få ett par är alltså bara ågot midre ä de att få iget alls. 0
9 De fjärde ruta Vi har fyllt i tre av rutora i schemat (avsitt över atalet sätt att dra och ma a og säga att dessa tre är de vitigaste. För fullstädighetes sull (och för att stilla läsares yfiehet så sall vi fylla i äve de fjärde. Talet B(, som står där är atalet sätt att dra föremål blad styce, uta häsy till ordig, me med återläggig. Det är ite så eelt att räa ut tale B(, diret, uta istället sall vi börja med att visa att de ocså a tolas som atalet ord av e speciell typ. Detta atal går att beräa med våra tidigare metoder och på så sätt ommer vi åt äve B(,. Låt oss beteca de föremåle med F,..., F och låt oss först se på ett specialfall, säg 3 och 5. E dragig a då se ut så här: eller så här: F 3 F F F 3 F F F 3 F F 3 F Eftersom ordige mella de draga föremåle ite spelar ågo roll, så är de här två dragigara samma som F F F F 3 F 3 respetive F F F 3 F 3 F 3. Det eda som spelar ågo roll är med adra ord hur måga av de olia föremåle vi får upp i e dragig. Låt oss beteca atalet föremål F i vi får upp i e dragig med x i. För dragige F F F F 3 F 3 är t ex x, x, x 3 och för F F F 3 F 3 F 3 är x, x 0, x 3 3. Notera att x + x +... + x. Till dragige i fråga sall vi associera ett visst ord med + bostäver, varav styce är A och styce är B, ämlige ordet AA }{{... A } B } AA {{... A } B... AA }{{... A } B AA }{{... A }. x styce x styce x styce x styce För dragige F F F F 3 F 3 med x, x, x 3 får vi ordet ABAABAA (lägg märe till att + 3+++ 7, så ordet sall ha 7 bostäver. För F F F 3 F 3 F 3 med x, x 0, x 3 3 får vi AABBAAA. Varje dragig ger på det här sättet upphov till precis ett sådat ord och omvät a vi givet ett ord av de här type reostruera dragige. Låt oss som ett exempel betrata ordet AAABBABBBAAB. Vi a diret avläsa att 6, 7; talet är totala atalet A: och är atalet grupper av A: - lägg märe till att vissa A-grupper är tomma, vilet är detsamma som att två eller fler B: står bredvid varadra. Vi avläser att x 3, x 0, x 3, x 4 x 5 0, x 6, x 7 0. Varje dragig motsvaras alltså av precis ett ord och tvärtom, så atalet dragigar är lia med atalet sådaa ord. Sammafattig: B(, är lia med atalet ord på + bostäver, varav styce är A och styce är B; alltså ( ( + + B(,.
E formel som de vi har härlett för B är ju pratist taget omöjlig att gissa och det är svårt att ha e ryggmärgsäsla för huruvida de är orret eller ej. Låt oss testa de för och och se vad vi får då. Formel ger B(, (, vilet ser bra ut: har ma bara ett eda föremål att dra blad, så fis det bara ett eda sätt att dra oavsett hur måga gåger ma gör det. Formel ger vidare B(, ( + +. Beteca de två föremåle ma drar blad med F och G. E viss dragig är ju då bestämd t ex av hur måga gåger ma får F. Det fis + möjligheter för detta atal, ämlige 0,,,...,. Formel stämmer således äve för. 0 Övigar. På hur måga olia sätt a 8 persoer bilda e ö?. På hur måga sätt a 8 persoer sätta sig i e rig? Det är bara deras ibördes positioer som spelar roll. 3. Hur måga ord a ma bilda av bostävera i MISSISSIPPI? 4. I e sål ligger 3 äpple, 4 apelsier och 35 vidruvor. På hur måga sätt a ma välja ut äpple, 3 apelsier och 0 vidruvor? 5. I hur måga permutatioer av alfabetets 8 bostäver står A och B ite bredvid varadra? Permutatioera får alltså ite iehålla vare sig AB eller BA. 6. Tio umrerade ulor ligger i e sål. Kula 3 är blå, ula 4 6 är röda och ula 7 0 är gröa. På hur måga sätt a ma a välja ut ulor som ite är av samma färg? b välja ut 3 ulor som ite alla tre är av samma färg? 7. Hur måga ord om fyra bostäver a ma bilda av de fem bostävera i ordet TAVLA? 8. Hur måga ord a ma bilda av bostävera AAABBBBCCCCC? Alla tolv bostävera sall igå. I hur måga av dessa står de tre A:a ite bredvid varadra? 9. Sex persoer, A, B, C, D, E och F, har bildat e lite föreig och sall utse e styrelse beståede av tre persoer. På hur måga sätt a de välja ut e såda styrelse, om A och C ite samtidigt a igå eftersom de är svårt osams? 0. Sju stolar står i rad. På hur måga sätt a fem persoer placera sig på dessa stolar om två tomma stolar ite får stå bredvid varadra?. Tre pojar och fyra flicor är på fest. På dasgolvet befier sig just u två par (flica-poje. Hur måga möjligheter fis det för detta?
. Hur måga Lottorader fis det med exat fem rätt? (Vi förutsätter alltså att dragige är gjord. 3. Beräa biomialoefficietera ( 0 4 och (. 6 4. Kostruera Pascals triagel till och med rad 0. 5. Utvecla (x 5. 6. När ma utveclar ( t t 9 får ma e term som ite iehåller ågot t. Bestäm de. 7. Ge mist två bevis för formel ( ( ( + + 0 ( +... + + (. Ledig: Ett får du geom att välja x och y listigt i biomialsatse. Ett aat, mer ombiatorist, a du få geom att räa ut atalet ord i A och B med sammalagt bostäver. Hur måga fis det med 0,,,..., styce B? 8. Beräa summa ( ( ( ( ( + + +... + +... +. 0 9. Bevisa med ett ombiatorist resoemag att ( ( + 0. Lös evatioe x 00 ( 50 + 8 0 ( 50 + 8 ( 50 ( + +. ( 50 +... + 8 50. 50. Bevisa att. Bevisa att ( + 0 ( 0 ( + ( + ( ( +... + ( (. ( ( +... + ( 0 3 för. Ledig: Välj x och y på ett listigt sätt i biomialsatse. 3
3. Bevisa att (3!/(! 3 är ett heltal för alla positiva heltal. Bevisa ocså att (3! är delbart med 6. 4. Bevisa att produte av m styce på varadra följade heltal alltid är delbar med m!. (Om m 00 så sall du visa att t ex produte 47 47 473... 480 är delbar med 00!. 5. På hur måga olia sätt a ma fördela 00 000 ulor på 500 000 lådor? Ma får lägga flera ulor i samma låda och å adra sida behöver ma ite lägga ulor i alla lådor. Vile slags dragig är det fråga om? 4