M A T E M A T I K som förrdls för LTH-studir Kort förrdnd kurs för tknologr i vrdnd v Rolf Pttrsson och Rolnd Thr smmnställt v Brt Sjögrn i nådns år 06
ALLMÄN RÄKNEFÄRDIGHET En förutsättning för tt kunn lös ugiftrn ndn är n viss skunsk om räknlgrn för d rll tln. Här följr därför n förtckning v viss mr llr mindr självklr och (hos vi välkänd räknlgr. (, (, ( ( ( ( ( c c, ( c c c, c d d c (,(,( ( Osrvr tt räknlgrn lltid fungrr åt åd hålln, t c c d c, ( / c c (konjugtrgln Ekvivlnsiln ( innär tt uttrckn å öms sidor om iln tdr smm sk. Blnd ldrig smmn kvivlnsilr och likhtstckn! Osrvr tt ugiftrn nödvändigtvis int är uställd i svårightsordning, och j hllr lltid i logisk ordning. Ugiftrn är mr llr mindr rtsmm. Dt är rcis dt du hövr; ugiftr v ll slg som hjälr dig tt få igång räknfärdightn! Nu örjr vi! Bräkn (och förnkl så långt som möjligt. ( ( ( c ( d. ( c ( d ( (. ( ( ( ( ( ( 9. 9 8. 6 6. 8 6 8 8 c 8 d 8 8. ( ( c ( q( q c (c d d ( f g
8. Förnkl ( ( ( ( ( q q q 9. Bstäm kofficintn för och kofficintn för då mn multilicrr iho rntsrn ( ( ( ( 0. Är d c n fktor i följnd uttrck? Om ditt svr är j, ng dn ndr fktorn. ( ( d c c d d c ( (. Förnkl 9 c. Förnkl c c L L c L 9 6 9 6 6 9 d L. Förnkl 0 0 6 z z z z c 0. Förkort (om möjligt ( c. Skriv som tt råk (å så nkl form som möjligt L 6 c L d Här kommr ttrligr tt r nvändr räknrglr. Försök förstå hur d är uggd i ställt för tt lär dig utntill! z z z z ( Eml: Vis tt
Lösning: Multilicr iho rntsrn! (ftr förnkling Eml: Lösning: Gör liknämnigt: 8 När vi hr lit mr komlicrd nämnr kn följnd tll vr till hjäl. 08 mgn Nämnr Förläng md 9 8 8 08 6 8 08 9 8 9 8 8 08 6 6 6. Utvckl kvdrtrn ( ( c (. Utvckl c q w 8. Förnkl ( ( ( ( 9. Utvckl ( ( 0. Udl i fktorr 9 d 6. Förnkl (utn räknr! 8 8 6 08 c ( L 8 6 8 f 8 c 8 9 8 d L 0 6
. Utnttj konjugtrgln för tt förnkl följnd uttrck, så tt d får tt hltl i nämnrn. 6 L. Förnkl så långt som möjligt uttrckt Bräkn ovnstånd uttrcks värd om. Förnkl 6 6 c L d L EKVATIONER Tori och ml Förstgrdskvtionn Att lös n förstgrdskvtion ggr å d kunskr om llmän räknfärdight du rtrd i kitl smt å full förståls för hur du nvändr kvivlnsiln ( och likhtstcknt! Eml Lös kvtionn 8 Lösning: 8 8 60 0 8 8 Kvdrtkomlttring Du kn lär dig formln llr tknikn s lösningn å näst ml!
q q q Eml Kvdrtkomlttr 6 Lösning: 6 ( 9 ( Eml Kvdrtkomlttr 6 Lösning: 6 ( 8 ( = ( 6 ((. Andrgrdskvtionr Formln för tt lös ndrgrdskvtionr får du frm md hjäl v kvdrtkomlttring. Mn dt är smrtst tt lär sig lösningsformln utntill! 0 0 q q q q dvs q q 0 Eml: Lös kvtionn 0 Lösning: 0 0 8 9
Eftrsom vi int nvändr räknr i dn grundläggnd mtmtikn å Lunds Tknisk Högskol är dtt svr OK. Vi hövr sälln närmvärdn. Övningr En litn åminnls är å sin lts. Vi sökr nrt kvtionrns rll lösningr! Kom ihåg tt int nvänd räknr. Du hövr ävn träning å huvudräkning (llr räkning md r och nn vid hov. Förstgrdskvtionr. Lös ut h ur följnd formlr (En forml innhållr tt likhtstckn och är lltså n kvtion En tr guldstjärn till dig om du listr ut vilk gomtrisk smnd formlrn skrivr! 6. A h M rh c h A d V r Lös följnd kvtionr v först grdn c h d 6 f 8 Kvdrtkomlttr. c ( q L Andrgrdskvtionr 8. Lös följnd kvtionr 6 0 c 80
Andr kvtionstr Först någr kvtionr md i nämnrn. Dt är ju int konstigr än tt dt står tt tl i nämnrn. Du ildr minst gmnsmm nämnrn och förlängr kvtionns åd ld md dn! Du måst ilnd fundr övr vd som händr om nämnrn lir noll Eml: Lös kvtionn Lösning: Multilicr md mgn: mgn Notr tt dtt int kn görs md "full kvivlns". Dt är i dtt fll int tillått tt multilicr md mgn om ntr något v värdn 0, llr -. Skull någon v dss -värdn dk u i lösningn till kvtionn måst du röv röttrn, då du snnolikt fått n flsk rot. 0 0 6 6 6 Sn tr vi någr kvtionr som kn löss md hjäl v fktorisring. En llmän mtod tt lös kvtionr är tt sml smtlig trmr å n sidn likhtstcknt, förslgsvis till vänstr. Sdn studrr du uttrckt till vänstr. Ilnd kn dt dls u i fktorr å tt mr llr mindr nklt sätt (glöm int konjugtrgln, dn är r tt h! och då hr du lösningrn till kvtionn som i n litn sk. Följnd gällr llmänt: (( och q( är olnom: Om q 0 är n lösning (rot till kvtionn 0 Eml: Lös kvtionn Lösning: Sml trmrn t v 0 Nu kn fktorn rts ut. Därftr gr konjugtrgln följnd: 0 Svrt kn nu skrivs dirkt ; ; 0
För tt lös n rotkvtion måst du "fi ort" rotn. Gnom tt kvdrr åd ldn försvinnr rottcknt. Mn när du kvdrrr d åd ldn i n kvtion gällr int utn tcknt vilkt innär tt röttrn lltid måst rövs! Eml: Lös kvtionn Lösning: 0 ; Nu måst vi röv d rhålln röttrn! = gr VL = 9 och HL = = - gr VL = ( och HL = - Vi sr tt ndst = är lösning till kvtionn. Svr: = Flr övningr å kvtionr Andrgrdskvtionr 9. Lös följnd kvtionr 9 0 c d 0 8 0 f Ekvtionr md i nämnrn 0. Lös följnd kvtionr 8 8 c 0 L d Ekvtionr som kn löss md hjäl v fktorisring. Lös följnd kvtionr md hjäl v fktorisring. 6 0 c 9 d 9 0 6 0 f
Rotkvtionr. Lös följnd kvtionr L LOGARITMER Dfinitionr och formlr Dfinition är tt ositivt rllt tl skilt från. För vrj ositivt rllt tl finns tt rllt tl sådnt tt = Tlt klls -logritmn för och tckns log Notr tt ingnting är sgt om tlt. Dt kn sålds vr tt ositivt llr ngtivt rllt tl llr vntullt 0. Dt står också tt dt r finns tt rllt tl. Dtt tdr tt dfinitionn är ntdig. Dt står int tt >. Du kommr knsk ihåg tt onntilfunktionn är strängt vänd om >. Då är ävn motsvrnd logritmfunktion strängt vänd. Om 0 < < vr onntilfunktionn strängt vtgnd. Då är ävn motsvrnd logritmfunktion strängt vtgnd. Vi kn skriv dfinitionn md hjäl v kvivlnsil å följnd sätt: log Om liminrs i dnn dfinition får vi tt smnd, som ilnd klls tt skriv om å -s. Dtt är n ltrntiv formulring v dfinitionn. På motsvrnd sätt kn liminrs. log log Två gnrll viktig scilfll som följr dirkt v dfinitionn. Jämför motsvrnd formlr för otnsr! log 0 log Logritmr md sn 0 och md sn Vi kommr nästn utslutnd i dtt kitl tt ägn oss åt logritmr md sn 0 llr sn. Dss två sortrs logritmr är d vnligst. Logritmr md sn 0 klls 0-logritmr och tckns lg. Logritmr md sn klls nturlig logritmr och tckns ln. 0 lg ln
lg 0 lg 0 ln ln lg = 0 lg 0 = ln = 0 ln = Av dfinitionrn får vi dirkt möjlight tt räkn: 6 Eml lg 000000 lg0 6 Em lg 0 lg 0 l Eml ln ln Em lg 0,0 lg0 l Räknlgrn Gnom tt utnttj otnslgrn kn vi vis följnd räknlgr för logritmr: ( och är ositiv rll tl. lg lg lg ln ln ln lg lg lg ln ln ln lg s s lg ln s s ln Någr ml: Eml lg lg lg 0 Eml 6 lg 0,9 lg,09 000 Eml ln ln ln lg,09 lg 000 lg,09 6 6lg Eml 8 6 lg lg lg 6 lg Formln för st log log scillt: log lg ln smt ln 0 ln lg lg Någr övningr och ml: Eml 9 Vis tt ln 0 lg = Lösn Kominr d sist kvtionrn ovn llr skriv dirkt om ln 0.
Eml 0 Ang ln 8 i 0-logrimr Lösn ln 8 Vi utnttjr oft ntdightn hos logritmrn md: lg 8 lg log log Notr tt och måst vr ositiv tl. Flr ml Eml Lösn Skriv ln ln ( + som n logritm. Räknlgrn och ovn gr: ln ln ln ln ln Eml Lös kvtionn ln = lg Lösn Använd stslgn ln lg ln lg 0 lg lg lg 0 lg lg 0 lg 0 Eml Lös kvtionn Lösn 0-logritmr: och nvänd logritmlgrn lg lg lg lg lg lg lg lg Förnkl svrt md hjäl v log.lgrn. lg lg lg lg lg lg lg lg lg Alt Bt till 0-s! lg lg 0 0 Utnttj tt tc som ovn. Eml Lös kvtionn lg lg Lösn Log-lgr + dn sist formln i vsn.. gr lg lg lg lg
Övningr Logritmlgrn. Bstäm lg 000 lg 0,000 c lg 0 lg d lg 000 L 0 f lg 0. Du vt tt lg 0,00. Bräkn md hjäl härv (utn räknr!: (svr md värdsiffror lg 0 lg c lg L d lg 800 lg 0, f lg 000. Förnkl följnd uttrck så långt som möjligt (skriv som n logritm lg 8 lg lg 6 lg 6 lg 6 c ln 6 ln 6 d ln 6 ln 6 6. Förnkl följnd uttrck så långt som möjligt (skriv som n logritm lg lg c lg 6 lg 6 lg d ln ln L 0,8lg 0 lg 0 f lg 6 0, g log h log 0 Logritmkvtionr. Lös följnd kvtionr lg lg L lg d lg c lg 8. Lös följnd kvtionr lg lg lg ln 6 ln 9 lg 0 c ln ln d lg lg 9. Lös följnd kvtionr. Svr kt smt ng vid hov md hjäl v räknr tt närmvärd md gällnd siffror.
6 lg lg L d ln ln c ln ln Eonntilkvtionr 0. Lös följnd kvtionr. Svr kt smt ng vid hov md hjäl v räknr tt närmvärd md gällnd siffror., c d L.. Lös följnd kvtionr. Svr kt och förnkl så långt som möjligt L 0 L c L d L
SVAR Om dt finns lösning till n ugift mrkrs dtt md L i svrn ndn! Lösningrn till dss ugiftr hittr du längr k i häftt.. 0 c d. c d. 8. (, undvik tt skriv så, kn missförstå s! 0. 6. 0 c d. c c 6 q c c d 0cd d 9 f 9g fg 8. q q q( q 9. 9 rs. rs. ( hl olnomt lir 6 8 9 0. J, J,. 6 6 c 6. c c ( d L (,,c,d. c z z. c. c L (,c d (
6. 6 69 0 c 8 6. c c c q w q wqw 8. 9. 9 6 6 8 0. ( ( ( c ( d ( ( ( 9( ( f. 8 9 c d L (d, 6 6. 8 L ( 8 6.. c ( d L (c, d. A h Rktnglns Ar M h r Mntlrn hos n rät cirkulär clindr c A h Ar rlllltrts V d h r Volmn hos n cirkulär kon 6. c 9 d 0 0, 8 f 60. c q L
8. 9 c 9. 0 c d 0 Ekvtionn är orimlig f 0 0. 6 Lösning skns c (= flsk! d L (c. 0 0 c 0 Konjugtrgln! d 0 Kommntr: Mrkr n dul- llr trilrot i svrt! 6 f 0 0. 0 L Kommntr: Du kom väl ihåg tt röv röttrn?. - c Eistrr j d, L f. + lg,0 lg 0,60 c lg 0,699 L d + lg,90 lg 0,60 f + 0lg,0. lg 6 lg 6 c ln 6 d 6. lg 0 lg c d, L f lg g h 0
. L 000 0 c 0 9 999999 d 0 0 Notr tt du lltid ör (och oft måst kontrollr tt lösningrn fungrr i dn ursrunglig kvtionn. Dn gr gränsningr för dn oknt storhtn, som dssutom kn ändrs vid tillämning v logritmlgrn. 8. c d = (0 j lösning 9. = 00 0,, L c = d,6 0 0. lg lg ln lg, lg, lg lg c lg lg d = L. ln ln 0 0 L ln ln ln c L d lg lg 0 L lg lg 0 lg 0 log L lg
LÖSNINGAR TILL VISSA UPPGIFTER. c c c c c Bråkdivision!. mgn = i åd nämnr och täljr Konjugt- och kvdrringsrglrn!. c Brt ut och fktorsudl!. d 9 6 9 6 6 9 Som c mn lit klurigr. mgn = Jämför lktion!. c 6 6 6 mgn =
6. d 080 0 0 8 6 8 0 6 080 080 6 9 080 0 0 6 89 mgn = 080 Misströst int om du räknt fl å dnn ugift. Du är i gott (och stort sällsk! Mn jo å tills dt lir rätt, dt är oft viktig md ktht!. 66 8 8 6 9 66 9 66 0 8 66 8 8 mgn = 6 Hur finnr mn dn sist förkortningn? Du måst lt ftr dn! Du vt tt nämnrn innhållr fktorrn, och. Tst dom i tur och ordning.. Förkort md.. 8 6 6 6 6 6. c. d 9. c q q q 9
0. c q 0 0 Mult. md tillåtn om 0 0. Dvs kvtionn tcks h två röttr: och Dn först rotn är nligt tidigr j tillåtn, vrför ndst åtrstår.. d 000 lg 0 lg 000 lg lg 0. c lg 0 lg lg 0 lg lg 0,00 0,699 6. d Pröv gärn flr vägr tt lös dnn ugift. Ndn finns ltrntiv, dn först ggr å tt du nvändr följdrn v dfinitionn v ln, i dn ndr örjr du md tt gör om uttrckt till n logritm. ln ln ln ln. ln ln ln ln ln ln ln ln ln,, Logritmlgrn ställr till dt för dig lit grnd ilnd, när du multilicrr, dividrr llr kvdrrr uttrck innhållnd oknt storhtr. Dsss dfinitionsområd kn ändrs, vilkt gör tt du vid kvtionslösning får flsk röttr. Enklst är tt lltid röv röttrn när du lösr logritmkvtionr! 9. Gnom tt dividr md undvikr du flsk röttr (som i lt. Du måst lltid utnttj ntdightn hos logritmr.. lg lg lg lg lg lg
. lg lg lg lg Prövning v röttrn gr tt dn ngtiv rotn är flsk. Då du nvändr : logritmlgn kn du int utnttj kvivlnsiln, utn du får iställt nvänd mdför - 9. lg lg 0 0 HL i dn ursrunglig kvtionn är dfinird för > om, (då nämnrn lir 0. Multiliktionn md lg( + tillför tlt till dfinitionsmängdn (därför mdföril. Ett närmvärd till svrt är,, så vi hövr int röv mr. 0. d Om finns i onntn å två trmr är dt nödvändigt tt undrsök om dss trmr kn skrivs om å smm s. lt:. 6. Oft är dt nklst tt logritmr åd ldn i kvtionn och sdn utnttj logritmlgrn.. ln ln llr tio-logritmr! ln ln ln ln logritmlgrn ln ln ln : lgn ln ln ln ln lös ut ln ln ln ln ln ln 0 ln ln 0 ln ln Minustcknt är vlt för tt mrkr svrts tckn. 0 lg ln 0 ln ln är två ltrntiv svr. lg
. Om du väljr tiologritmr llr nturlig logritmr slr i rinci ingn roll; ilnd är dt n något nklr. I dnn ugift kvittr dt. Svrt kn dock h mång olik utformningr. lg lg 0 0 lg lg 0 lg lg ln 0 ln 0 ln ln 0 ln 0 ln 0 ln 0. c Ilnd är dt smrt om du gör n vrilsustitution. I dnn övning sättr du = och får n ndrgrdskvtion. 0 Dn ngtiv rotn förksts, då måst vr ositivt. ln ln Glöm int tt åtrgå till vriln!. d Här siktr du å sustitutionn =. 0 0 log lg lg