TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF004 TEN 0-0-7 Hjälpmedel: Fomelsamlig med tabelle i statistik oc äkedosa Fullstädiga lösiga efodas till samtliga uppgifte. Lösigaa skall vaa väl motiveade oc så utföliga att äkigaa oc de bakomliggade takaa ä lätta att följa. Lösigaa skall eskivas oc avslutas med ett tydligt sva som skall vaa så föeklat som möjligt. Betygsgäse: Betyget Fx: 8p betyget E: 9 poäg betyget D: poäg betyget C: p betyget B: 7 poäg betyget A: 9poäg Två symmetiska -sidiga täiga kastas obeoede av vaada. a) Hu sto ä saolikete att täigaa visa olika esultat? b) De två täigaa kastas 0 gåge. Hu sto ä saolikete att de visa olika esultat exakt fem gåge? (p) c) I e fabik tillvekas detalje som sätts samma två oc två till fösäljigseete. Vaje tillvekad detalj ä felaktig med saolikete 0. obeoede av de ada. E fösäljigseet ge fabikate viste k om båda detaljea ä koekta viste 0 k om pecis e av de båda detaljea ä felaktig oc föluste 0 k (dvs viste 0 k) om båda detaljea ä felaktiga. Beäka de fövätade viste fö e fösäljigseet. (p) I ketse eda ä e späigskälla U kopplad till e lampa L med fya bytae a b c oc d. Bytaa ä öppa elle sluta med saoliketea: a slute) = 0. b slute) = 0.4 c slute) = 0. oc d slute) = 0.8. Dessa ädelse ä obeoede. Vad ä saolikete att lampa lyse? (p) 4 Atalet fägbuka som eftefågas ude e måad få ett lage ä e stokastisk vaiabel som ä Poissofödelad med vätevädet 400. Hu måga buka beöve ma a i laget i böja av e måad om ma vill att saolikete att det skall ta slut ska vaa ögst 00? (p)
Fö att jämföa två istumet A oc B gjode ma mätiga samtidigt med båda istumet vavid ma fått följade obsevatioe. A 40 4 44 449 447 B 4 47 440 448 44 Mätigaa atas vaa omalfödelade s.v. med okäd stadadavvikelse. Ka ma med 9% saoliket påstå att istumet A oc B skilje sig åt? (p) Aea av e cylide fås geom fomel A = π + π Nä adie mäts få ma vätevädet 0 m oc stadadavvikelse 0m. Vidae få öjde vätevädet 0 m oc stadadavvikelse 0 m. Bestäm appoximativt vaiase oc stadadavvikelse fö cylides aea om du vet att oc ä omalfödelade s.v. (p) 7 Ett föetag som tillveka glödlampo a tillvekige fölagt till te olika fabike. Fabik A stå fö 0% fabik B fö % oc fabik C fö 4% av tillvekige. Ma vet att e glödlampa få fabike A ä defekt med 8% saoliket. Motsvaade felsaoliket fö fabik B ä % oc %. fö fabik C. Ma a bladat glödlampo få de te fabikea i ett stot cetalt lage. a) Vad ä saolikete att e glödlampa ä defekt. b) Aa ta på måfå e glödlampa u laget oc fie att de ä defekt. Vad ä saolikete att de tillvekats i fabik B? c) Igid ta på måfå e glödlampa u laget oc fie att de ä koekt. Vad ä saolikete att de tillvekats i fabik A? (p) 8 Till e betogbladig beövs 000 kg tot buk som leveeas i säcka som väge c:a 0 kg. Vaje säcks massa ä N(0 40)-födelade i eete kg. a) Hu sto ä saolikete att 4 säcka äcke? (p) b) Hu måga säcka beöve ma beställa om ma vill att saolikete fö att buket skall äcka skall va mist 90 %? (p)
Lösiga: a) De fösta täige gysamma alteativ : olika) = b) ξ = atal gåge p = 0 ξ = ) = ka visa vilket ξ Bi(0 ) = 00 esultat som elst me de ada a baa 0 ξ = x) = x x 0 x fem Vi a följade födelig fö viste: Vist x / k Atal fel Saoliket 0 09 09 = 08 0 0 09 + 09 0= 08-0 0 0 = 00 Det ge de fövätade viste = 0.8 + 0 0.8 + ( 0) 0.0 = 0.7 k. Sva: 07k = Bytae a ä slute) = Bytae b ä slute) C) = Bytae c ä slute) = Bytae c ä slute) Sökt : ( A C = P ( A C) P ( A = + A = 0 + 04 0 04 = 0 P ( A C) = 0 0 08 = 049 Sva : % 4 ξ = atal buka ξ Po( l) sökt : dä ξ > ) < 00 ξ < ) > 099 l = 400 Vi ska appoximea Poissofödelige med omalfödelige N ( µ σ ). ( Det ä OK att appoximea eftesom λ = 400 > ) x Po( 400( ) x ä appoximativt N( m; s ) med samma m oc s. Vätevädet fö e Poisso s.v. ä eligt fomelsamlig E ( ξ ) = λ = 400. Vaiase ä fö e Poisso s.v. ä eligt fomelsamlig V ( ξ ) = λ = 400. Däfö ä stadadavvikelse σ = 400 = 0. Dämed appoximea vi Poisso s.v.ξ med omalfödelad s.v. N(4000) Få ξ < ) > 0 99 a vi appoximativt 400 F X ( ) > 099 elle φ > 0 99 0 X.
400 > 0 447 buka Häav Sva : = 0 + 400 = 44 oc a) Vi bestämme ett 9% kofidesitevall fö Z = A B. Z = A B ata följade väde: 4 - Häav få vi Z =. oc σ =.89 Z Kofidesitevall fö Z : Eftesom = a vi - = 4 fietsgade. α = % = 0.0 α / = 0.0 dvs F(x)= 0.97 Få tabelle fö t-födelig med =4 fietsgade få vi t ( α / ) =. 77 Kofidesitevall ä ( z t * σ ( ) * σ.89.89 ( ) ) = (..77. +.77 ) α / z + tα / = ( 0.;.8) Itevallet ieålle 0. Däfö ka vi INTE med 9% säkeet påstå att det fis skillad mella A oc B. Sva: Nej. A = π + π µ = σ = 0. µ = 0 σ = 0. Patiella deivato: A = 4 π + π = ( fö = oc = 0) = 4 π + π 0 = 40π =.7 A = π = ( fö = oc = 0) = 0π =.49 Vaiase (eligt fomelsamlig): A A σ + σ s = Vaias = Vaias(= ( ) ( ) 0. 97.9 =.7 Stadadavvikelse A 97.9 = 4.0 (Amäkig: Exakta väde : Vaiase= 0. +.49 0π Stadadavvikelse = π ) = 7 Beteckig: D = E lampa ä defekt K = E lampa ä koekt A = E lampa a tillvekats i fabik A B =E lampa a tillvekats i fabik B C= E lampa a tillvekats i fabik C a) De totala saolikete att lampa ä defekt ä = D + D + C) D C) = 0.0 0.08 + 0. 0.0 + 0.4 0. 0 = 0.07 b) Saolikete att e defekt lampa tillvekats i fabike B ä B D 0. 0.0 P ( B = = = =0.4=.4% 0.07 c) Föst: i) De totala saolikete att lampa ä koekt ä defekt) = 0.07=0.97
ii) koekt lampa om de komme få å P ( K = D = 0. 9 Saolikete att e koekt lampa tillvekats i fabike A ä A K ) K 0.0 0.9 C K ) = = = = 0.89=8.9 % K ) K ) 0.97 Sva: a) 0.07 b) 0.4 c) 0.89 8 ξ = vaje s äcks massa i eete kg ξ N(040) = ξ + ξ + ξ +... + ξ sökt : 000) E( ξ + ξ + ξ +... + ξ ) = 4 0 kg = 80 kg V ( ξ + ξ + ξ +... + ξ ) = s = 40 4 kg CGS : N(8040 4) 000) = 4 4 4 4 40 total massa 000 80 000) = φ( ) = φ(4) = 0988 = 00 40 4 b) E( ) = 0 V ( ) = 40 s = 40 : CGS : N( 040 ) 000) = 090 000) = 00 000 0 φ( ) = 00 40 000 0 = l u tabell l = 8 40 0 = l substitutio : t = 0 t = l t = 0. ± 408 t > 0 t = 4 t = 4 = 8 Sva : 9