Föreläsning 2. 1 Materiell erivata ätskor och gaser kallas me ett sammanfattane or för fluier. I verkligheten består fluier av partiklar, v s atomer eller molekyler. I strömningsmekaniken bortser vi från fluiens partikelstruktur och antar istället att fluiens minsta bestånsel är betyligt större än en molekyl samtiigt som en är mycket liten i förhållane till alla makroskopiska längskalor. i kallar ett såant element för ett fluielement och antar att vi kan bortse från att et har en inre struktur. Detta antagane kallas för kontinuumhypotesen. Hastighetsfältet för en flui anger vi som funktion av läget och tien, u = u(x, y, z, t). Ett fluielements läge föränras hela tien i en strömmane flui. Antag att vi vill bestämma hur en viss storhet, φ = φ(x, y, z, t), föränras me tien å vi mäter φ på ett fluielement. i kan t e x tänka på φ som temperaturen av ett visst element. Föränringen av φ uner en litet tisintervall δt kan vi beteckna me δφ. Uner tisintervallet δt har fluielementet gjort en liten förflyttning (δx, δy, δz). För att bestämma δφ måste vi ta me enna förflyttning Figure 1: Den materiella erivatan av φ är ett mått på föränringen av φ mätt på ett fluielement. Termen u φ härrör från en förflyttning som en fluielement genomgår å vi mäter föränringen av φ. i beräkningen och så att säga följa me elementet: δφ = δt + x δx + y Den materiella erivatan av φ efinierar vi som δy + δz. (1) z Dφ = lim δφ δt 0 δt = + u x + v y + w z, (2) 1
är (u, v, w) är hastighetekomponenterna. Här har vi utnyttjat att att δx lim δt 0 δt = u, lim δy δt 0 δt = v, lim δz δt 0 δt = w. (3) Den materiella erivatan kan vi betrakta som en operator. Me olika beteckningssystem kan vi skriva enna operator som D D D = + u x + v y + w z, (4) = + u i, (5) x i = + u. (6) i kan också operera me en materiella erivatan på ett vektorfält. Om vi exempelvis opererar på hastighetsfältet så får vi accelerationsfältet 2 Kontrollvolymer a(x, y, z, t) = Du = u + u u. (7) En fix kontrollvolym,, är en volym vars begränsningsyta inte föränras me tien. En materiell kontrollvolym,, är en volym vars begränsningsyta har samma hastighet som fluien. Man kan säga att ess begränsningsyta rör sig me fluien. Om vi integrerar en storhet φ över en volym måste vi skilja på om vi integrerar över en fix eller en materiell kontrollvolym φ Integralen är över en fix volym. (8) φ Integralen är över en materiell volym. (9) Figure 2: En materiell kontrollvolym förflyttas och eformeras me fluien. För tiserivatan av essa integraler gäller t t φ = φ = (10) S + φu n S (11) 2
är n är kontrollvolymens utåtriktae enhetsnormalvektor och S är ess begränsningsyta. Den sista termen i en anra ekvationen beskriver tisföränringen som uppkommer på grun av att en materiella kontrollvolymens begränsningsyta rör sig me fluiens hastighet u. Enligt Gauss sats så kan vi skriva om en anra ekvationen som ( ) φ = t + (φu) (12) Ekvation (12) kallas iblan för Reynols transportteorem. 2.1 Inkompressibel flui En inkompressibel flui är en flui för vilken volymsmåttet (eller volymen) av en gotycklig materiell kontrollvolym inte föränras me tien: t = t = S u n S = u = 0. (13) Betrakta en liten kontrollvolym kring en punkt P. Om volymen är tillräckligt liten så kan inte integranen u änra tecken över volymen. Om integranen inte änrar tecken och integralen är noll så måste också integranen vara ientiskt noll. Alltså har vi att u = 0, (14) för en inkompressibel flui. anliga vätskor kan normalt behanlas som inkompressibla fluier och etta gäller, kanske något förvånane, också för e flesta gaser så som luft, förutsatt att hastigheten i strömningsfältet är liten i förhållane till ljuhastigheten. Om u är en typisk hastighet i strömningsfältet och a ljuhastigheten så efinieras Machtalet som M = u/a. Så länge M 1 kan vi anta att (14) gäller me go noggrannhet. 3 Strömlinjer och strömfunktionen En strömlinje är en linje vars tangent är parallell me hastighetsfältet. Om r = (x, y) är en liten förflyttning längs en strömlinje i ett tvåimensionellt hastighetsfält, u = (u, v), är u och v är fältets x- och y-komponent, så gäller alltså (se figur 3) x u = y v. (15) De banor utefter vilka fluielementen förflyttar sig kallas partikelbanor. För ett stationärt hastighetsfält är strömlinjerna också partikelbanor, men för ett fält som inte är stationärt så gäller inte etta. I et tvåimensionella fallet kan vi skriva (14) u x + v y = 0. (16) Detta samban ger oss möjligheten att uttrycka hastighetskomponenterna i termer av en funktion, Ψ, som kallas för strömfunktionen. Den efinieras av följane 3
Figure 3: Ekvationen (15) för strömlinjerna kan härleas genom att betrakta likformiga trianglar. samban u = Ψ y, v = Ψ x. (17) i betraktar nu föränringen, Ψ, av Ψ längs en strömlinje. Som förut är förflyttningen längs strömlinjen (x, y). Enligt (15) och (17) får vi Ψ = Ψ x Ψ x + y = vx + uy = uy + uy = 0. (18) y Strömfunktionen är sålees konstant längs en strömlinje. Alltså är strömlinjerna strömfunktionens isolinjer Ψ = Konstant, (19) me olika konstanter för olika strömlinjer. Figure 4: Strömlinjerna är isolinjer till strömfunktionen. Exempel 2.1 Beräkna strömlinjerna för hastighetsfältet (u, v, w) = (αx, αy, 0). Lösning Strömningen är tvåimensionell och essutom inkompressibel, eftersom u x + v y = α α = 0. (20) 4
Strömfunktionen kan skrivas För x 0 så är alltså ekvationen för strömlinjerna Ψ = αxy. (21) y = C x, (22) är konstanten C är olika för olika strömlinjer. Det är också lätt att se att y-axeln är en strömlinje. I figur 5 ser vi strömlinjerna. I origo är hastigheten noll (båa komponenterna är noll). En såan punkt kallas en stagnationspunkt. Figure 5: Strömlinjer för hastighetsfältet i exempel 2.1. 4 Kontinuitetsekvationen Densiteten av en flui är en funktion av rumskoorinaterna och tien, ρ = ρ(x, y, z, t). Densiteten är alltså ett skalärt fält. Massan av en materiell kontrollvolym ρ, (23) måste vara konstant i tien, eftersom ingen flui strömmar ut eller in genom kontrollvolymens begränsningsyta. Enligt ekvation (12) har vi alltså ( ) ρ ρ = t + (ρu) = 0. (24) Eftersom etta samban gäller för en gotyckligt liten kontrollvolym som vi kan placera var som helst i fluien så måste integranen vara ientiskt noll överallt. Alltså har vi att ρ + (ρu) = 0. (25) 5
Denna ekvation kallas kontinuitetsekvationen och kan också skrivas Dρ + ρ u = 0. (26) För en inkompressibel flui gäller sålees Dρ = 0. (27) I praktiken så kan vi anta att ρ är konstant i båe ti och rum för en inkompressibel flui. Kontinuitetsekvationen kan också härleas genom att vi betraktar en fix kontrollvolym me massan ρ (28) Massökningen måste vara lika me et totala massflöet in genom volymens begränsningsyta. Detta ger ρ = ρu n S, (29) t S är minustecknet kan förstås mot bakgrun av att n är enhetsnormalvektorn som pekar ut från begränsningsytan S (se figur 6) Om vi samlar båa termerna till Figure 6: Massflöet in i en fix kontrollvolym är lika me S ρu n S. vänsterleet och använer oss av ekvation (10) samt Gauss sats så får vi ( ) ρ + (ρu) = 0. (30) Eftersom etta gäller för en gotyckligt liten kontrollvolym som vi kan placera var som helst i fluien så måste integranen vara inentiskt noll, vilket återigen ger oss kontinuitetsekvationen (25). 6
Exempel 2.2 En inkompressibel flui strömmar genom ett avsmalnane rör, enligt figur 7. Hastigheten vi inloppet är u 1. Rörets tvärsnittsarea är A 1 vi inloppet och A 2 vi utloppet. Bestäm hastigheten vi utloppet. Figure 7: olymsflöet vi utloppet måste vara lika me volymsflöet vi inloppet. Lösning: Massflöet in i röret måste vara lika me massflöet ut ur röret och eftersom fluien är inkompressibel så gäller etta också för volymsflöet. Alltså har vi att in u 1 S = 5 En använbar integralsats ut u 2 S u 1 A 1 = u 2 A 2 u 2 = A 1 A 2 u 1. (31) Me hjälp av Reynols transportteorem (12) och kontinuitetsekvationen får vi ( ) (ρφ) ρφ = + (ρφu) = t ( (ρφ) + x (ρφu) + y (ρφv) + ) z (ρφw) ( ρ = φ + x (ρu) + y (ρv) + ) z (ρw) ( ) + ρ + u x + v y + w = ρ Dφ. (32) z Sambanet (32) gäller för ett gotyckligt skalärt fält φ och essutom för ett gotyckligt vektorfält A. Om vi tar bort alla mellanle får vi alltså ρφ = t ρa = t ρ Dφ ρ DA, (33). (34) 7