Första lektioe. Repetitio.. Eergi, effekt och effektivvärde Atag att vi har aslutit ett motståd R Ω till vägguttaget skulle det vara smart i praktike?. Beräka eergi och effekte över R, samt amplitude för vår valiga ätspäig. Är de e eergi- eller e effektsigal? Vi har e späig som varierar eligt vt A si πft + φ där f 5 Hz och φ [, π]. De eergi vi tar ut via motstådet ges av E T vtitdt t T t v t R dt A R T t T A R A R t si πft + φ dt cos 4πft + φ dt [ T t + 4πf ] si 4πft + φ si 4πfT + φ De adra terme i hakparetese är försumbar då T t 4πf f 5 Hz. I ästa alla praktiska situatioer har vi alltså,6 µs E A R T t Nätspäige är ige eergisigal, eftersom de uttaga eergi ökar lijärt med avädigstide: lim E T t förutsatt att elverke håller ett tag till De effekt som tas ut fås med hjälp av ätspäiges effektivvärde V e, d.v.s. 3 V. Effektivvärdet ager ju hur stor likspäig som skulle utveckla samma effekt.
P V e R 5,9 kw Det krävs ett gaska speciellt motståd för att klara de effekte alla hemmatester sker på ege risk... Nätspäige är e effektsigal. Amplitude ka vi få frå uttrycket för effektivvärdet: V e T T/ T/ {se ova} A T v tdt [ T T + ] si π + φ si π + φ 4πf A Växelspäige i vägguttage har således e amplitud på 3 35 V. Vi har u behadlat växelspäige som vilke sigal som helst, me överför de ågo iformatio? Med kostat amplitud, frekves och fas är svaret ej. Det är föga givade att titta på e statisk siusvåg. Däremot ka vi överföra iformatio geom att ädra amplitud, frekves och fas, d.v.s. modulera e siusvåg. Se t.ex. på vår valiga FM-radio där allt tal och musik överförs geom att ädra frekvese på bärvåge... Sigal-till-brus-förhållade I e iformatiosöverförig vill vi ha ett sigal-till-brus-förhållade på mist db och e badbredd på MHz. Vilke är de mista sigaleffekt vi ka aväda om bruset är termiskt och det är C varmt? Sigal-till-brus-förhålladet fås frå sigales respektive brusets effekter: SNR db log Ps P b log P s log P b
Det är sigaleffekte vi är itresserade av: P s SNR db +logp b Det som sakas är de termiska bruseffekte. De ka beräkas eligt se Svärdström, sida 49 P b 4kT B där k,3 3 J/K, T 93 K och B är badbreddde. Vi får P s 44 µw. Detta ka verka väldigt lite, me täk på att om det gäller mottagarsida i ett trådlöst system så måste sädareffekte vara betydligt större.. System Ett system ka vara i pricip vad som helst: e radio, ett lågtryck, fjärrvärmeätet, e grå pudel, etc. Beroede på vad vi vill göra/studera aväder vi olika modeller av verklighete. Särskilt aalyserar vi lijära och tidsivariata system, eller sarare våra lijära och tidsivariata modeller av de olijära och tidsvarierade verklighete. Vissa egeskaper och begrepp är speciellt itressata... Lijäritet och tidsivarias Är följade system lijära? Är de tidsivariata? a Multiplikatio med e tidsfuktio. yt gtxt b Faltig c E villkorssats, if -sats. yt hτxt τdτ if xt > yt elseif xt yt 3
För att ett system ska vara lijärt måste superpositiospricipe gälla, d.v.s. homogeitet och additivitet. Tidsivarias iebär att det ite spelar ågo roll om ett tidsskift utförs på isigale eller på utsigale. Resultatet blir detsamma. a Additivitet: Skalig homogeitet: y t + y t gtx t + gtx t gtx t + x t ayt agtxt gt axt Systemet är lijärt eftersom det uppfyller superpositioskravet. Däremot är det tidsvarierade eftersom yt τ gt τxt τ gtxt τ b Först testar vi systemets skaligsegeskaper: ayt a hτxt τdτ hτaxt τdτ och seda dess additivitetsegeskaper: y t + y t hτx t τdτ + hτx t τdτ hτ x t τ + x t τ dτ Operatioe uppfyller både homogeitets- och additivitetskravet. Att systemet är tidsivariat ses frå yt τ hτxt τ τdτ Itegratiosgräsera påverkas ite och det är ite itegratiosvariabel vi skiftar. 4
c Villkorssatse ka skrivas som e matematisk fuktio eller illustreras grafiskt som i figur { om xt > yt f xt sg xt om xt yt xt - Figur : Villkorssatse som e fuktio. Det framgår att ett tidsskift av isigale motsvarar samma tidsskift av utsigale. Systemet är alltså tidsivariat. Om vi däremot testar homogeitete skalige får vi ayt afxt { a, a} faxt {, } och ka kostatera att systemet ej är lijärt. Villkorssatse bryter också mot additivitetskravet: y t + y t f x t + f x t {,, } f x t + x t {, } Det är faktiskt gaska lätt att frå figur kostatera olijäritete... Dyamik a För kretsara i figur, ta reda på hur v ut beror av v i. Är kretsara dyamiska? Hur ka vi avgöra det? 5
R C v i R v ut v i R v ut i ii Figur : Dyamiska system? Ett dyamiskt system har mie, d.v.s. utsigale vid tide t beror av isigaler xt, t t. I kretsara i figur är det v i och v ut som är i- respektive utsigal. Vi ka se direkt på kretsara att i ite har mie ige eergi ka lagras i motståde me att ii har mie laddig lagras i kodesator. Matematiskt: i E valig späigsdelare som följer v ut t R R + R v i t Vi ka se att iformatioe överförs mometat frå igåge till utgåge. Hur stor isigale var tidigare spelar ige roll. ii Ett högpassfilter vi kommer att gå i mer på filter seare i kurse. Kretse är eklast att aalysera med hjälp av laplacetrasforme jämför jω-metode: V ut s R R + V i s sc s s + V i s RC RC s + RC V i s Ur trasformtabell får vi se βeta 3.5, L fuktioe i tidsdomäe: v ut t v i t RC e RC t v i t v i t RC e RC τ v i t τdτ Här sys tydligt att alla isigaler seda t spelar roll för hur utsigale blir. Påverka är dock expoetiellt avtagade. 6
..3 Kausalitet Är detta system kausalt? t+t yt xτdτ Att ett system är kausalt iebär att utsigale yt y edast beror av gamla isigaler xt x, t x t y. Systemet ka ite se i i framtide. I de här uppgifte häger kausalitete på om t > eller ite. Om t > så kommer utsigale bero av framtida isigaler och vara icke-kausalt. Om t är systemet kausalt...4 Stabilitet Vilka av följade system är isigal-utsigalstabila begräsad isigal ger begräsad utsigal? a b yt B y, B y < om xt B x, B x < yt x t + 8 yt c Ett system som itegrerar isigale: yt xt xτdτ Isigal-utsigal-villkoret BIBO säger igetig om forme på i- respektive utsigal, uta beaktar bara deras maximala belopp. Ett stabilt system ska alltså ha e begräsad utsigal för alla begräsade isigaler. Det är viktigt att täka på att istabila system ka fugera stabilt för vissa isigaler. a Utsigale beror edast av isigales mometaa belopp. De största möjliga utsigale är alltså yt max B x + 8 B y och systemet är isigal-utsigalstabilt. 7
b Det här systemet är tydligt istabilt eftersom alla isigaler som ågo gåg har värdet kommer att få utsigale att explodera. lim yt xt Däremot fis det måga sigaler som skulle fugera bra, t.ex. xt,5 siπf t. c Vid första ablicke ka e itegrator verka lite matematisk och ite så verklighetsära. Det fis dock flera verkliga system som modelleras bra som itegratorer: vatteivå yt:s beroede av iflödet xt; trippmätare i e bil; laddige yt i e kodesator, där strömme xt är isigale; m.m. Om vi studerar stabilitetsvillkoret: yt yt max B x t xτdτ xτ dτ xτ max dτ B x dτ Itegrator är ite stabil eligt isigal-utsigal-villkoret eftersom yt då xt. Så läge vi håller oss till ädliga tidshorisoter är dock utsigale begräsad. Itegrator ligger precis på gräse mella stabila och istabila system. Täk på att verkliga itegratorer har begräsigar i utsigale; t.ex. kommer kodesator till slut att gå söder om vi fortsätter att fylla på med laddig. Vi ka kostatera att de två första systeme är olijära meda itegrator är lijär. Stabilitete har alltså ige kopplig till lijäritete. Däremot kommer vi lägre fram att ta upp stabilitetsvillkor som edast gäller lijära system: absolut itegrerbarhet av impulssvaret och överförigsfuktioes polplacerig..3 Impulssvar Ett systems impulssvar är helt ekelt systemets utsigal då isigale är e impuls δt. Förutsatt att systemet är lijärt och tidsivariat är impulssvaret e fullstädig systembeskrivig. Isigale ka delas upp i e serie skalade impulser; alla med käd resulterade utsigal geom homogeitetsegeskape. Varje impuls bidrag till utsigale ka seda adderas eligt additiospricipe. 8
.3. Faltad och klar Atag att ett lijärt och tidsivariat tidsdiskret system har följade impulssvar: h 3δ + δ δ Ta fram utsigale grafiskt, givet att isigale är x δ δ Visa hur utsigale ka tolkas som e faltigssumma. Impulssvaret och isigale visas i figur 3. Eligt superpositiospricipe ka vi hatera varje puls för sig. Vi tittar först på hur systemet reagerar på x. Resultatet visas i figur 4a med grö streckad lije, och är helt ekelt ett impulssvar. Impuls ummer två ger upphov till det cerisa heldraga pulståget i figur 4a. Dessa två utsigaler ka slutlige adderas för att få de slutliga utsigale yt, visad i figur 4b. h x 3-3 - - a b Frå figur 4 ka vi se att vi har Figur 3: a Impulssvar. b Isigal. y xh y xh + xh y xh + xh y3 xh Geom att ta med termer som är oll ka vi se ett möster: y... + x h + xh + xh... y... + x h + xh + xh... y... + x h3 + xh + xh... y3... + x h4 + xh3 + xh...... 9
y och y y 3 - - -3-4 -5-6 3 - - -3-4 -5-6 a b Figur 4: a Bidrage frå pulsera i xt separat. b Utsigale eligt superpositiospricipe. E faltig mella x och h ger samma resultat otera summerigsgräsera: y hmx m m m hmx m För alla m > så är x m och för alla m < så är hm. Dea faltigssumma gäller allmät för alla lijära, tidsivariata och tidsdiskreta system. I de fall systemet är kotiuerligt övergår summa till e itegral: yt hτxt τdτ hτxt τdτ τ τ.3. Kausal Vad gäller allmät för ett kausalt systems impulssvar? Visa dea egeskap för ett kotiuerligt, lijärt och tidsivariat system. Alla kausala systems impulssvar ht måste uppfylla villkoret hτ för alla τ <. Detta garaterar att systemet ite reagerar på framtida sigaler. För ett kotiuerligt, lijärt och tidsivariat system får vi utsigale geom faltig av impulssvar och isigal: yt hτxt τdτ
För att systemet ska vara kausalt måste Aars skulle yt bero av framtide..3.3 Dyamisk med mie hτ för t τ > t hτ för τ < Vilka av impulssvare i figur 5 beskriver dyamiska system? h h a b h h c d Figur 5: Fyra impulssvar vilka represeterar dyamiska system? Det som karakteriserar ett dyamiskt system är att det har mie. Vi ka först kostatera att figurera 5a och 5b visar dyamiska system. System 5a är e re tidsfördröjig och måste spara isigale, om ä bara ett värde. Hur ska vi hatera impulssvaret i figur 5c? Här blir det ju kepigt att prata om mie eftersom systemet är icke-kausalt och reagerar på framtida isigaler. Vi aväder defiitioe att mieslösa system beror edast på isigale vid de aktuella tidpukte: y Kx. Impulssvar 5c har eligt dea defiitio mie och är dyamiskt. Det eda icke-dyamiska systemet visas i figur 5d..3.4 Lijär och stabil Göra är ute och cyklar. Ha försöker avvika så lite som möjligt frå de målade lije på väge. Bosse vill däremot att Göra ska vigla bort frå de islaga
väge och kuffar sabbt till hoom. Detta leder till avvikelse i figur 6. ht t Figur 6: Göra cyklar. Bosse kuffar. Är Göra på cykel ett stabilt system? Atag att Bosses kuff var impulslik. För att ett lijärt tidsivariat system ska vara stabilt måste impulssvaret vara absolut itegrerbart: hτ dτ G < Vi ka ju tydligt se i figur 6 att detta gäller. Yta uder kurva är ädlig och de lijäre Göra är stabil. Me är Göra på cykel verklige lijär? I så fall skulle e kraftigare impuls leda till samma vigelmöster fast med större amplitud vi låter Kareli ge Göra e kuff. Se figur 7 för resultatet. ht t Figur 7: Kareli kuffar. Ma ka se hur Göra gaska sabbt åker av väge och seda glider er i diket. De lijära modelle av verklighete är alltid e föreklig. Det är viktigt att käa till i vilket arbetsområde modelle är giltig. Ett impulssvar ka ge iformatio om stabilitete edast om systemet är lijärt. Det första impulssvaret
säger iget om systemets lijäritet, me geom att studera flera utsigaler frå skalade impulser ka vi dra slutsatser om systemets lijäritet som i Göras fall..3.5 Serie- och parallellkopplad Atag att vi har två lijära och tidsivariata system h och h. Vi sätter ihop dem till ett system och vill ha impulssvaret h för hela systemet. Beräka detta om a vi seriekopplar systeme med h först. b vi parallellkopplar systeme. a Geom att aväda faltiges associativa egeskap går det sabbt att hitta h: yt x h h x h h Vi ka defiiera h h h Käer ma ite till dea egeskap får ma utgå frå faltigssummora. Kalla utsigale frå h för y. y y m p xmh m y ph p p m m xm xmh p mh p p [ ] q p m p q + m m x xm q h h h p mh p h qh m q Ma ka också om ma tycker det är kul visa att detsamma gäller i det kotiuerliga fallet: ht h t h t. Dessutom spelar det ige roll om h t eller h t sätts först eftersom h t h t h t h t. 3
b Om vi kallar delsystemes utsigaler för y respektive y så ka vi eligt superpositiospricipe för lijära system skriva y y + y x h + x h x h + h Det totala impulssvaret är alltså summa av de parallellkopplade systemes impulssvar..3.6 Exemplifierad Utgå frå lijära och tidsivariata system. a Hur ser impulssvaret för e kotiuerlig itegrator ut? b Hur ka impulssvaret för e diskret deriverare se ut? a E itegrator ges av yt xτdτ Eftersom det är ett LTI-system måste vi också kua skriva yt ht τxτdτ Om dessa två uttryck ska stämma överes för godtyckliga isigaler måste ht vara e stegfuktio: { för t < ht för t 4
b Det fis ite bara ett sätt att realisera e deriverare i diskret tid, me följade approximatio av e derivata ka avädas: yt dxt dt xt s x t s t s där t s är sampligstide. Vi ka se att deriverare edast aväder de två seaste värdea av isigale. Impulssvaret måste bestå av två impulser: e vid och e vid se figur 8. t s h t s - t s Figur 8: Impulssvaret för e diskret deriverare. 5