Sesorer, effektorer och fysk Aalys av mätdata
Iehåll Mätfel Noggrahet och precso Några begrepp om saolkhetslära Läges- och sprdgsmått Kofdestervall Ljär regresso Mätosäkerhetsaalys
Mätfel Alla mätgar är behäftade med e vss osäkerhet på grud av mätfel.
Noggrahet och precso God oggrahet ebär att mätvärdea lgger ära det saa värdet. Precso är ett mått på hur stor sprdge mella mätvärdea är. Ju större sprdg, desto sämre precso.
Typer av mätfel Grova fel Systematska fel: påverkar oggrahete Slumpmässga fel: påverkar precsoe frekves systematskt fel sat värde slumpmässga fel mätvärde
Begrepp om saolkhetslära Utfall: resultat av ett slumpmässgt försök Utfallsrum (Ω): mägde av alla utfall Hädelse: e mägd av utfall Saolkhete P(A) för e hädelse A är ett tal som uppfyller: 1. 0 P( A) 1. P( Ω) = 1 3. P ( A B) = P( A) + P( B) om A och B är oförelga
Området om rektagel eda markerar utfallsrummet Ω. Hädelsera A och B är oförelga. A B
Om A och B te är oförelga P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) A A B B
Slumpmässg varabel E slumpmässg (stokastsk) varabel är e fukto deferad på ett utfallsrum. Eempel: E fukto som avbldar utfallet etta på talet 1, tvåa på talet osv. vd tärgskast är e slumpmässg varabel. Dea varabel atar ågot av värdea 1,,3,4,5 eller 6 med saolkhetera 1/6.
Frekvesfukto Saolkhete att e slumpmässg varabel X skall lgga ett tervall mella a och b ges av frekvesfuktoe f (probablty desty fucto) P ( a < X < b) = f ( ) d Frekvesfuktoe är cke egatv samt ormerad f ( ) d = 1 b a
Vätevärde, varas och stadardavvkelse Vätevärdet E(X) av e slumpmässg varabel X ges av Varase ges av Stadardavvkelse ges av E ( X ) = f ( ) d ( ) ) X E( X ) = ( E( X )) V ( X ) = E f ( ) d σ = V (X )
Normalfördelge Frekvesfuktoe för e ormalfördelad slumpmässg varabel med vätevärde µ och stadardavvkelse σ ges av f ( ) 1 ep ( µ ) = σ π σ
Cetrala gräsvärdessatse Medelvärdet av stycke slumpmässga lka fördelade varabler med vätevärde µ och varas σ är appromatvt ormalfördelat med vätevärde µ och varas σ /. Appromatoe blr bättre ju större är.
Lägesmått och sprdgsmått E skattg av vätevärdet är 1 stckprovsmedelvärdet = E skattg av varase (stckprovsvaras) 1 då vätevärdet µ är kät är s = ( µ ) Om vätevärdet te är kät uta v aväder oss av e skattg av vätevärdet så ges stckprovsvarase av 1 s = 1 = 1 ( ) = 1
Kofdestervall Ett tervall som täcker över vätevärdet med saolkhete 1-α kallas ett kofdestervall för vätevärdet på kofdesvå 1-α.
Eempel på kofdestervall Atag att v har gjort mätgar av e ormalfördelad varabel med käd stadardavvkelse σ. Ma ka vsa att z = är e ormalfördelad varabel med vätevärde oll och stadardavvkelse 1. Alltså gäller med saolkhet 1-α att α / < eller aorluda uttryckt gäller med σ σ saolkhet 1-α att zα / < µ < + zα / σ / µ µ z < z σ / α /
Saolkhete att z lgger mella - och α/ är 1-α. Om f(z) är frekvesfuktoe för e ormalfördelad varabel med vätevärde 0 och varas 1 så gäller det att z z α/ z α / f ( z) dz = α
Kofdestervall (forts) Om ma te käer stadardavvkelse aväder ma skattge s samt att t = är t-fördelad med -1 frhetsgrader. Ett kofdestervall för vätevärdet på kofdesvå 1-α är då s / µ s tα / < µ < + tα/ s
Ljär regresso Atag att v har stycke par av datapukter (, y ) och att v vll apassa e rät lje y = a+ b tll dessa pukter. Atag att avvkelsera frå de räta lje är slumpmässga och ormalfördelade. Mmera summa av de kvadratska avvkelsera frå de räta lje Q = ( a + b y ) = 1
+ + + + + + + + y y=a+b ( )( ) ( ) = y y a ( )( ) ( ) = y y b
Korrelatoskoeffcet Ett värde på 1 svarar mot att alla pukter lgger på e rät lje med postv lutg och ett värde på 1 svarar mot att alla pukter lgger på e rät lje med egatv lutg. ( )( ) ( ) ( ) / 1 1 1 1 = = = = y y y y y r
Apassg av cke-ljära fuktoer b Om v vll apassa e fukto y = ae tll mätdata är det eklast att logartmera bägge sdor ly=la b och seda aväda ljär regresso. Om v vll apassa e fukto y = a+ b/ tll mätpuktera (, y ) är det eklast att sätta och seda apassa lje y = a+ b tll puktera (, ) y =1/
Komberad mätosäkerhet Atag att v gör e mätg där resultatet R beror av resultate av mätgar av st varabler, dvs. R = f ( 1,,..., ) Varje varabel är behäftad med e mätosäkerhet w. Mätosäkerhete för hela mätges resultat ges av Gauss formel w R R 1 R R ( w ) + ( w ) +... + ( w ) 1 = 1/
Osäkerhet pga. slumpmässga fel Ett mått på osäkerhete hos e estaka mätg pga. slumpmässga fel (precso lmt) är halva bredde av ett kofdestervall, som ges av t- fördelge P = ts, där t beror på kofdesvå och atalet frhetsgrader (- 1).
Osäkerhet pga. systematska fel Systematska fel ädras te om mätförhålladea är desamma. Mätosäkerhete pga systematska fel (bas lmt) beskrvs av halva bredde B av ett tervall som täcker det saa värdet med e vss saolkhet (coverage).
Kombato av slumpmässga och systematska mätosäkerheter De totala mätosäkerhete pga. systematska och slumpmässga fel ges av ( B P ) 1/ w = +
Felkategorer I ett mätsystem fs det ofta måga felkällor. De olka fele brukar delas upp tre kategorer: Kalbrergsfel: osäkerhet stadarder, osäkerhet och slumpmässghet kalbrerge Datasamlgsfel: slumpmässg varato av de uppmätta varabel, belastgsfel, fel A/D omvadlare, slumpmässga fel vsareheter. Datareduktosfel: fel apassgar och ljärsergar, dervergar av mätdata.
Mätosäkerhetsaalys 1. Idetfera de oberoede varablera och defera sambadet mella testresultatet och dessa oberoede varabler.. Gör e lsta över alla felkällor för varje uppmätt varabel. Dela de esklda fele kategorera kalbrergsfel, datasamlgsfel samt datareduktosfel. 3. Uppskatta de esklda fele var för sg. I detta steg uppskattas osäkerhetera pga slumpmässga och systematska fel (precso lmt och bas lmt)
Mätosäkerhetsaalys (forts.) 4. Beräka mätosäkerhetera pga slumpmässga och systematska fel för varje varabel steg 1 mha RSS-formel. 5. Beräka osäkerhete pga slumpmässga och systematska fel resultatet mha Gauss formel. 6. Beräka de totala mätosäkerhete. ( B P ) 1/ w = +