Föreläsning 6 System v differentilekvtioner 6.1 Aktuell vsnitt i läroboken (4.1) First-Order Systems nd Applictions. (4.2) The Method of Elimintion. 41
42 FÖRELÄSNING 6. SYSTEM AV DIFFERENTIALEKVATIONER 6.2 System v först ordningen I mång smmnhng uppträder differenetilekvtioner nturligt som system där två eller fler funktioner skll bestämms. Exempel 29 I resonnskretsen i figur 5.1, föreläsning 5, beskrivs strömmen i(t) och spänningen u(t) v systemet där e(t) = Asin!t. { di/dt = Ri/L u/l + e(t)/l du/dt = i/c Ett system v först ordningen med två ekvtioner ser llmänt ut på följnde sätt { dy1 /dx = f (x,y 1,y 2 ) dy 2 /dx = g(x,y 1,y 2 ) (6.1) där funktionern y 1 (x) och y 2 (x) skll bestämms för ll x i något öppet intervll I. Ett ännu llmännre system med n ekvtioner ser då ut så här dy 1 /dx = f 1 (x,y 1,y 2,...y n ) dy 2 /dx = f 2 (x,y 1,y 2,...y n ). dy n /dx = f n (x,y 1,y 2,...y n ) (6.2) Både (6.1) och (6.2) kn emellertid skrivs mycket kompktre som dy = f (x,y) (6.3) dx om vi betrktr y och f som en vektorvärd funktioner: y : I R n och f : I R n R n så tt y = (y 1,y 2,...y n ) och f = ( f 1, f 2,... f n ) i det n-dimensionell fllet. Med derivtn dy/dx = y förstår vi då vektorn (y 1,y 2,...y n ) där ll komponentern deriverts med vseende på x. 6.3 Ekvtioner v högre ordning som system System v formen (6.2) eller (6.3) är i sälv verket mycket llmänn och innehåller som specilfll ll differentilekvtioner v ordning n som kn skrivs på formen y (n) = f (x,y,y,...,y (n 1))
6.4. BEGYNNELSEVÄRDEN OCH ENTYDIGHET 43 Dett inses genom tt betrkt derivtorn upp till ordning n 1 som komponenter i en n-dimensionell vektor Y = ( y,y,...,y (n 1)). Vi får då dy /dx = ( y,y,...,y (n)) och därmed y Y 2 dy y Y 3 dx =. y (n) =. f (x,y ) = F (x,y ) Exempel 30 Stötdämpren i figur 4.1, föreläsning 5, beskrivs v ekvtionen y + py + qy = f (t), vilken som system med y 1 = y och y 2 = y kn skrivs [ d y1 dt d dt y 2 [ y1 y 2 ] [ y = 2 f (t) qy 1 py 2 ] [ ][ 0 1 y1 = q p y 2 ] ] [ 0 + 1 ] f (t) där den sist omskrivningen v ekvtionen med konstnt mtriser A och B som y = Ay+B f är en följd v tt ekvtionen är lineär och hr konstnt koefficienter. Övning 31 Hur ser mtrisern A och B ut i exemplet med resonnskretsen? 6.4 Begynnelsevärden och entydighet Precis som i det sklär fllet krävs ytterligre villkor på den vektorvärd lösningen y(x) till systemet (6.3) om funktionen skll vr entydigt bestämd. Normlt ger mn då begynnelevillkor v formen y( ) = b, där b R n är en given vektor och I. Vi skll i näst föreläsning preciser villkor som grnterr tt begynnelsevärdesproblemet dy dx = f (x,y), y() = b (6.4) hr entydigt bestämd lösning. 6.5 Räkning med vektorvärd funktioner Som vi redn sett definiers derivtn u v den vektorvärd funktionen u : I R n genom tt mn deriverr komponentfunktionern. Helt nlogt definiers integrlen ( ) u(x)dx = u 1 (x)dx, u 2 (x)dx,..., u n (x)dx som den vektor mn får genom tt integrer komponentern.
44 FÖRELÄSNING 6. SYSTEM AV DIFFERENTIALEKVATIONER 6.5.1 Räkneregler Följnde räkneregler gäller och är heller inte svår tt vis. 1. (Au) = Au och ( b ) Au(x)dx = A b u(x)dx om A är en konstnt n n- mtris. 2. (u v) = u v+u v och c ( b ) c u(x)dx = b u(x)dx om c är en konstnt vektor och u v betecknr den vnlig sklärprodukten i R n. 3. Integrlklkylens huvudstser: d dx u(t)dt = u(x) och u (x)dx = u(b) u(). 4. b u(x)dx b u(x) dx, där längden v u definiers v u = u u. 5. Vi hr även olikheten Au A u där mtrisnormen definiers som A = mx u 0 Au / u. Bevis. Reglern 1, 2 och 6.3 följer direkt ur definitionen och lämns som övning. För tt vis 4 utnyttjr vi Cuchys olikhet, u v u v, på följnde sätt: Låt c = u(x)dx. Påståendet är trivilt om c = 0 och om inte, så gäller enligt 6.4 och Cuchy tt c 2 = c c = c u(x)dx Enligt = 2 b c u(x)dx c u(x) dx Cuchy c u(x) dx = c vilket efter division med c > 0 ger den sökt olikheten. u(x) dx 6.6 Differentilekvtionen som integrlekvtion I mång komplicerde situtioner, såväl teoretisk som prktisk, är det enklre tt rbet med integrler än med derivtor. Dett beror på tt mn oft måste gör uppskttningr v de ingående storhetern och då är räkneregeln 4 ovn, som sknr motsvrighet för derivtor, mycket nvändbr. Sts 32 Om f : I R n R n är en kontinuerlig funktion gäller tt y(x) är en kontinuerligt deriverbr lösning till (6.4) om och endst om y(x) är en kontinuerlig lösning till integrlekvtionen y(x) = b + f (t,y(t))dt, x, I (6.5) Bevis. Om y C 1 (I) stisfierr (6.4) får vi efter integrtion v båd leden y(x) y( ) = y(x) b = f (t,y(t))dt
6.7. LIPSCHITZKONTINUITET 45 och om y C (I) löser (6.5) är t f (t,y(t)) en kontinuerlig funktion och integrlen x f (t,y(t))dt, och därmed y(x), kontinuerligt deriverbr med y (x) = f (x,y(x)) för x I. Vidre är y( ) = b. 6.6.1 Grönwlls lemm Som en illustrtion till integrlens företräden frmför derivtn visr vi en olikhet som oft kommer till nvändning i fortsättningen. Sts 33 Om u är en kontinuerligt deriverbr reellvärd funktion för x I och där stisfierr olikheten u (x) + u(x) f (x) (6.6) med någon konstnt, så gäller också tt för x. u(x) e (x ) u( ) + Bevis. Multipliktion med e x > 0 ger olikheten e (x t) f (t)dt (6.7) d dx (ex u(x)) = e x ( u (x) + u(x) ) e x f (x) och efter integrtion får vi, om x >, tt e x u(x) e u( ) e t f (t)dt u(x) e (x ) u( ) + e (x t) f (t)dt 6.7 Lipschitzkontinuitet Om f : I R är en deriverbr funktion på intervllet I R med begränsd derivt så följer v medelvärdesstsen tt f (y) f (x) = f (! )(y x) för något tl! melln x och y vilket ger olkheten f (y) f (x) L y x (6.8) för x,y I om L = sup x I f (x). Funktioner som uppfyller (6.8) klls lipschitzkontinuerlig. För vektorvärd funktioner v fler vribler generlisers medelvärdesstsen till en olikhet.
46 FÖRELÄSNING 6. SYSTEM AV DIFFERENTIALEKVATIONER Sts 34 Om f : D R n R n är kontinuerligt deriverbr i en öppen konvex mängd D gäller olikheten f (y) f (x) f ((1!)x +!y) y x för något! ]0,1[ och x,y D. Uttrycket f (x) betecknr mtrisnormen enligt (5). Bevis. Låt c R n och sätt " (t) = c f ((1 t)x +ty). Då är " (t) = c f ((1 t)x +ty)(y x) och (6.8) medför tt " (1) " (0) = " (!) för något! ]0,1[. Cuchys olikhet och (5) ger sedn med c = f (y) f (x) tt f (y) f (x) 2 = c ( f (y) f (x)) = " (1) " (0) = " (!) = c f ((1!)x +!y)(y x) c f ((1!)x +!y)(y x) c f ((1!)x +!y) y x vilket om c 0 ger den sökt olikheten efter division med c = f (y) f (x). I fllet c = 0 är stsen trivil. Som en omedelbr följd v sts 34 får vi följnde resultt. Följdsts 35 En funktion f : D R n R n som är kontinuerligt deriverbr i en öppen konvex mängd D med begränsd derivt är lipschitzkontinuerlig så tt f (y) f (x) L y x med lipschitzkontstnt: L = sup x D f (x).