(a) om vi kan välja helt fritt? (b) om vi vill ha minst en fisk av varje art? (c) om vi vill ha precis 3 olika arter?



Relevanta dokument
MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I

DEL I. Matematiska Institutionen KTH

Tentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp,

Kompletterande kurslitteratur om serier

Multiplikationsprincipen

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I

Enkel slumpvandring. Sven Erick Alm. 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) 2 Apan och stupet Passagesannolikheter Passagetider...

Konsoliderad version av. Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkning av färdigförpackade varor

Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp

Funktionsteori Datorlaboration 1

Tentamen i Kunskapsbaserade system, 5p, Data 3

Föreläsning F3 Patrik Eriksson 2000

Applikationen kan endast användas av enskilda användare med förtroenderapportering.

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING VI. Föreläsning VI. Mikael P. Sundqvist

Inklusion och exklusion Dennie G 2003

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I

Webprogrammering och databaser. Begrepps-modellering. Exempel: universitetsstudier Kravspec. ER-modellen. Exempel: kravspec forts:

Databaser - Design och programmering. Programutveckling. Programdesign, databasdesign. Kravspecifikation. ER-modellen. Begrepps-modellering

( ) ( ) Kap Kolligativa egenskaper + fasjämvikter för 2-komponentsystem 5B.2/5.5 Kolligativa egenskaper R T

Allmänna avtalsvillkor för konsument

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08

Kuggremmar SECA SECAflex

Föreläsning 10: Kombinatorik

Databaser - Design och programmering. Databasdesign. Kravspecifikation. Begrepps-modellering. Design processen. ER-modellering

SveTys. Affärskultur i Tyskland. Vad är det? Och vad ska jag tänka på?

a utsöndring b upptagning c matspjälkning d cirkulation

Artificiell intelligens Probabilistisk logik

Tentamen i matematisk statistik

INDUKTION OCH DEDUKTION

RESTARITMETIKER. Avsnitt 4. När man adderar eller multiplicerar två tal som t ex

Inledande matematisk analys. 1. Utred med bevis vilket eller vilka av följande påståenden är sana:

Induktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion.

Introduktion till statistik för statsvetare

Diskret matematik: Övningstentamen 4

Vad är det okända som efterfrågas? Vilka data är givna? Vilka är villkoren?

Leica Lino. Noggranna, självavvägande punkt- och linjelasers

Inledande matematisk analys (TATA79) Höstterminen 2016 Föreläsnings- och lekionsplan

Uppgifter 3: Talföljder och induktionsbevis

ESBILAC. mjölkersättning för hundvalpar BRUKSANVISNING.

Flera kvantifierare Bevis Direkt bevis Motsägelse bevis Kontrapositivt bevis Fall bevis Induktionsprincipen. x y (x > 0) (y > 0) xy > 0 Domän D = R

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp,

Kontrollskrivning 2 till Diskret Matematik SF1610, för CINTE1, vt 2019 Examinator: Armin Halilovic Datum: To Σ p P/F Extra Bonus

KMR. mjölkersättning för kattungar BRUKSANVISNING.

Egna funktioner. Vad är sin? sin är namnet på en av många inbyggda funktioner i Ada (och den återfinns i paketet Ada.Numerics.Elementary_Functions)

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1

2. Konfidensintervall för skillnaden mellan två proportioner.

Föreläsning G04: Surveymetodik

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp,

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen med lösningar

Jag läser kursen på. Halvfart Helfart

101. och sista termen 1

Digital signalbehandling Alternativa sätt att se på faltning

a n = A2 n + B4 n. { 2 = A + B 6 = 2A + 4B, S(5, 2) = S(4, 1) + 2S(4, 2) = 1 + 2(S(3, 1) + 2S(3, 2)) = 3 + 4(S(2, 1) + 2S(2, 2)) = = 15.

a) Beräkna E (W ). (2 p)

b 1 och har för olika värden på den reella konstanten a.

FÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06

7, Diskreta strukturer

1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp,

Lösningsförslag

Bertrands postulat. Kjell Elfström

Markanvisningsavtal för och försäljning av fastigheten Gesällen 25

Träd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Tentamenskrivning, , kl SF1625, Envariabelanalys för CINTE1(IT) och CMIEL1(ME ) (7,5hp)

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 HL Z x x x

Minsta kvadrat-metoden, MK. Maximum likelihood-metoden, ML. Medelfel. E(X i ) = µ i (θ) MK-skattningen av θ fås genom att minimera

MATEMATIKENS SPRÅK. Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt,

Produsert for bevegelses hemmede, og er det mest fleksible og variasjonrike alternativ på markedet. Tilpasnings-mulighetene er nesten ubegrensede.

Utvärdering av tidigarelagd start av prismätningar i nya radio- och TV-butiker

Kombinatorik. Torbjörn Tambour 21 mars 2015

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet?

Hambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar)

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd

Innehåll Grafräknaren och diskret matematik...1 Vad handlar diskret matematik om?...1 Permutationer och kombinationer...3 Något om heltalsräkning...

Återanvändning. Två mekanismer. Nedärvning av egenskaper (inheritance) Objekt komposition

, S(6, 2). = = = =

Resultatet av kryssprodukten i exempel 2.9 ska vara följande: Det vill säga att lika med tecknet ska bytas mot ett plustecken.

b) Bestäm det genomsnittliga antalet testade enheter, E (X), samt även D (X). (5 p)

SKÄRDATAREKOMMENDATIONER RAMAX HH

Svar och arbeta vidare med Student 2008

1. 20 identiska bollar skall delas ut till fem flickor och fem pojkar. På hur många olika sätt kan detta ske om

Tentamen i matematisk statistik

MA2047 Algebra och diskret matematik

Tentamen i Envariabelanalys 1

Tentamen i Elektronik, ESS010, del 2 den 14 dec 2009 klockan 14:00 19:00.

SANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}.

Borel-Cantellis sats och stora talens lag

MARKNADSPLAN Kungälvs kommun

Månadens värdighetsfråga. Vård- och omsorgsförvaltningen

Avd. Matematisk statistik

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp,

SKÄRDATAREKOMMENDATIONER UDDEHOLM NIMAX

Duo HOME Duo OFFICE. Programmerings manual SE

Digitalteknik F6. Några sammansatta digitala komponenter och lite designmetodik. Digitalteknik F6 bild 1

Transkript:

Lösigar Grudläggade Diskret matematik 11054 Tid: 1.00-17.00 Telefo: 036-10160, Examiator: F Abrahamsso 1. I de lokala zoo-affäre fis 15 olika fiskarter med mist 0 fiskar utav varje art). På hur måga sätt ka vi utrusta ett akvarium med 0 st fiskar a) om vi ka välja helt fritt? b) om vi vill ha mist e fisk av varje art? c) om vi vill ha precis 3 olika arter? 1p) 1p) p) Två fiskar av samma art betraktas som idetiska). 15+0 1 34 Lösig: a) = som också är atalet ickeegativa heltalslösigar 0 0 till ekvatioe x 1 + +x 15 = 0. b) Vi väljer e fisk av) varje art och ) då återstår att välja 5 fiskar blad 15 arter vilket ka 15+5 1 19 göras på = olika sätt. 5 5 ) 15 c) Om vi har 3 arter så skall vi välja först vilka 3 arter blad de 15 och det ger 3 olika val. För varje sådat val måste vi seda bestämma hur måga fiskar av varje art som skall väljas, dvs. vi söker då atalet heltalslösigar till ekvatioe x 1 +x +x 3 = 0, x 1,x,x 3 1 som är samma som atalet lösigar till ekvatioe x 1 +x +x 3 = 17, x 1,x,x 3 0. 3+17 1 19 Detta atal är =. Multiplikatiospriicipe ger slutlige svaret 17 17 15 19 = 77805. 3 17. Låt vårt uiversum U vara alla studeter i årskurs 1 vid JTH och betrakta de öppa utsa- p) gora px) : x bor ite hos sia föräldrar qx) : x äger e mikrovågsug Formulera med ormalt talspråk egatioe till utsaga Lösig: x[px) qx)] x[px) qx)] x [px) qx)] x [ px) qx)] x[px) qx)] dvs. e formulerig med talspråk skulle vara: Det fis mist e studet i årskurs 1 vid JTH som ite bor hos si föräldrar och som ite äger e mikrovågsug. 3. Är det möjligt i e grupp av 37 persoer att varje perso käer precis 5 adra persoer? p) Motivera ditt svar. Lösig: Represetera gruppe med e graf G = V, E) där höre är persoera och det går e kat mella de persoer som käer varadra. Om varje perso käer 5 adra persoer så är grafe 5-reguljär och eligt hadskakssatse är då E = v V degv) = V 5 = 37 5. Eftersom högerledet är ett udda tal så är det omöjligt att varje perso käer precis 5 adra persoer. 4. Betrakta argumetet 3p)

Grudläggade diskret matematik sida av 5 Om spise fugerar så ka vi laga mat själva. Om spise är söder får vi äta ute. Om vi äter ute så måste vi beställa bord. Alltså, om vi ite lagar mat själva så måste vi beställa bord. Formalisera argumetet eligt regler för symbolisk logik, och visa med hjälp av iferesregler att argumetet är giltigt. Lösig:Låt s: spise fugerar m: vi lagar mat själva u : vi äter ute b : vi beställer bord Argumetet ka då formuleras [ s m) s u) u b) ] m b) Argumet för giltighete: 1) s m premiss ) s u premiss 3) u b premiss 4) m s 1)+E 11 5) m u )+4)+L 3 6) m b 3)+5)+L 3 5. Rita alla ickeisomorfa grafer som är oriktade, öglefria, har 5 hör, kompoeter samt p) sakar cykler. Lösig: Om de ea kompoete har 1 hör och de adra 4 hör så fis det två variater; Om de ea kompoete har hör och de adra 3 hör så fis det bara e variat; 6. För ett RSA-krypterigssystem väljs primtale p = 17, q = 3. Kostruera e krypterigs- p) yckel och e dekrypterigsyckel baserat på dessa primtal. Lösig: Vi beräkar = pq = 391 samt r = p 1)q 1) = 16 = 35. Vi väljer e ehet e Z 35 t.ex. e = 7. Krypterigsyckel ges då av Ex) = x e mod 391. Dekrypterigsyckel är Dy) = y d mod 391 där d = e 1 Z 35. För att beräka d så aväder vi Euklides algoritm;

Grudläggade diskret matematik sida 3 av 5 35 = 50 7+ 7 = 3 +1 så att 1 = 7 3 = 7 3 35 50 7) = 151 7 3 35 151 7 mod 35. Alltså är d = e 1 = 151 och Dy) = y 151 mod 391. 7. Kostader för att koppla samma 6 fastigheter A,B,C,D,E,F) med e fiberkabel ages i p) tabelle eda. Aväd Prims algoritm för att bestämma ett miimalt uppspäade träd för detta ätverk. Beskriv oga di kostruktio av trädet. B C D E F A 5 4 51 B - 44 35 37 48 C - 56 D - 64 75 E - 4 Lösig: E graf som represeterar tabelle ges eda; A 5 B 44 4 35 C 37 51 D 56 48 64 75 E 4 F Vi aväder Prims algoritm och startar i höret A. Vi lägger seda till kater i ordige A-B 5 A-D D-C B-E 37 F-C A 5 B 44 4 35 C 37 51 D 56 48 64 75 E 4 F

Grudläggade diskret matematik sida 4 av 5 8. Hur måga permutatioer av 1,...,6 fis det där iget av möstre 1, 34 eller 56 fis p) med? Lösig: Låt A, B och C vara mägdera av alla permutatioer där 1A), 34B) resp 56 C) fis med. Totalt är det 6! permutatioer så svaret vi söker är då 6! A B C = 6! A + B + C A B A C B C + A B C ) = 6! 5!+5!+5! 4! 4! 4!+3!) = 6! 3 5!+3 4! 3! = 46. 9. Visa att 7 1 är delbart med 6 för alla 1. 3p) Lösig: Låt S) vara påståedet att 7 1 är delbart med 6. Startsteg: S1) sa eftersom då är 7 1 1 = 6 som är delbart med 6. Iduktiossteg: Atag u att utsaga är sa för ågot heltal k 1, dvs. atag att 7 k 1 är delbart med 6. Då är 7 k 1 = 6m för ågot heltal m och 7 k = 6m+1. Me då följer att 7 k+1 1 = 7 7 k 1 = 76m+1) 1 = 4m+7 1 = 4m+6 = 67m+1) dvs. då följer att 7 k+1 1 också är delbart med 6. Vi har visat att Sk) Sk + 1) och eligt iduktiospricipe följer då att S) är sa för alla 1,. ) 1 10. Om G = V,E) är e oriktad öglefri graf med V = 3 och E > visa att G 3p) måste vara sammahägade. Lösig: Låt v 0 V vara det hör eller ett av dem) som har störst grad i grafe G och låt k vara atalet hör i G som ligger i samma kompoet som v 0. Hadskakssatse ger då att E = v V degv) degv 0 ). Me E > 1 så att degv 0 ) E > 1) ) vilket ger ) = 1) ) degv 0 ) > 1) ) Alltså är k 1+degv 0 ) > 1+ 1) ) = +. De kompoet som v 0 tillhör måste därmed iehålla) åtmistoe 1 hör. Me om de 1 iehåller precis 1 hör så måste E vilket är omöjligt. Alltså iehåller dea kompoet grafes samtliga hör vilket betyder att G är sammahägade. Alterativ lösig 1: Atag att G ite är sammahägade så att κg). Vi ka uta iskräkig ataga att κg) = med k resp. k hör i de bägge kompoetera med 1 k om κg) > så lägger ) vi bara till ett atal bågar så att vi får två m kompoeter). Eftersom K m har bågar så får vi att k k kk 1) k) k 1) E + = + = k k + 1 ) = k ) ) 1 + ) [ kvadrate k blir som störst då k = 1] ) 1 ) ) 1 + ) = 1 + 1 ) = 1) ) ) 1 =.

Grudläggade diskret matematik sida 5 av 5 ) Alterativ lösig : Iduktio över atalet hör. Om = 3 så är E > = 1 dvs. E och då är det klart att G måste vara sammahägade ty G fick ite ha öglor. Atag u att påståedet är sat för alla grafer som uppfyller villkore och som har ) högst hör. Låt G = V,E) vara e graf med V = + 1 och atag att E >. Om G = K +1 så är påståedet trivialt sat. Om G K +1 så fis mist ett hör v 0 V med degv 0 ) 1. Tag bort v 0 frå G. Då fås e graf G = V,E ) med V = och ) 1 E = E degv 0 ) > degv 0 ) 1) =. Av iduktiosatagadet följer att G är sammahägade och då blir äve G sammahägade om vi ka visa att degv 0 ) > 0. Me om degv 0 ) = 0 så följer av hadskakssatse att E 1) så att E 1 ) 1) = vilket är e motsägelse.