Ett förspel till Z -trnsformen Fibonccitlen Leonrdo Pisno vnligen klld Leonrdo Fiboncci, den knske störste mtemtiker som Europ frmburit före renässnsen skrev år 10 en bok (Liber bci) i räknelär. J, fktiskt. I boken presenterdes följnde räkneproblem: Antg tt en nyfödd knin blir fertil efter en månd, och tt ett kninpr (hne och hon) en månd senre och fortlöpnde vrje månd därefter producerr två ny kniner (hne och hon), som i sin tur blir fertil efter en månd och därefter producerr två ny kniner, osv. Hur mång kninpr hr mn efter 1 månder, om mn strtr med ett nyfött kninpr? Kninfrmens tillväxt beskrivs bäst med ett binärt träd som nednför, där 6 genertioner viss. De blå nodern i trädet representerr nyfödd kninpr och de grå representerr kninpr som är minst en månd gml.
Ett förspel till Z-trnsformen.nb Rekursionsformel Antlet kninpr månd för månd kn beskrivs med en enkel s.k. rekursionsformel: f Hn + L = f Hn + 1L + f HnL, där n œ 80, 1, < och f H0L = 0, f H1L = 1. Här är en härledning v rekursionsformeln: Kninfrmen hr två typer v kninpr: De nyfödd () och de äldre () vilk är minst en månd gml. Beträffnde dess två typer, så kn mn konstter tt (i) tt de äldre pren på nivå n är lik mång som smtlig pr på nivå n - 1. (ii) tt ntlet nyfödd pr på nivå n är lik mång som smtlig pr på nivå n -. Förklringen v (i) är tt vrje äldre pr vr en månd innn v typ eller. (Vd nnrs?) Och omvänt, tt vrje kninpr månden innn är nu (en månd senre) grntert v typ äldre. Hur förklrs (ii) då? Få se Vrje nyfött kninpr på den n:te nivån kom till världen just den n:te månden. Och inget kninpr kommer från storken, utn från ett nnt kninpr. Närmre bestämt från ett kninpr som är minst två månder gmmlt. Det betyder tt vrje nyfött kninpr på nivå n kommer från ett kninpr på nivå n -. Omvänt, vrje kninpr på nivå n - är minst två månder gmmlt två månder senre, dvs. på nivån n, och ger då upphov till ett nytt kninpr. Således finns det en 1-1 vbildning melln de nyfödd kninpren på nivå n, och smtlig kninpr på nivå n -. Av (i) och (ii) följer - om f HnL betecknr ntlet kninpr den n:te månden - tt f HnL = f Hn - 1L + f Hn - L, n œ 8, 3, 4, < f H0L = 0 och f H1L = 1. HbsfllL Rekursionsformeln ovnför uttrycker smm sk som f Hn + L = f Hn + 1L + f HnL, n œ 80, 1,, < Med hjälp v den nmärkningsvärt enkl rekursionsformeln och bsfllen är det lätt tt beräkn det en tlet efter det ndr. Tlen ifråg klls
3 Ett förspel till Z-trnsformen.nb Med hjälp v den nmärkningsvärt enkl rekursionsformeln och bsfllen är det lätt tt beräkn det en tlet efter det ndr. Tlen ifråg klls för Fibonccitl. f HL = f H1L + f H0L = 1 + 0 = 1 f H3L = f HL + f H1L = 1 + 1 = f H4L = f H3L + f HL = + 1 = 3 f HL = f H4L = 3 + = f H6L = f HL + f H4L = + 3 = 8 f H7L = f H6L + f HL = 8 + = 13 Enkelheten hos rekursionsformeln hr en bksid. Om mn vill beräkn t.ex. f H1000L måste mn först beräkn f H999L och f H998L. Och för tt beräkn de senre måste mn först beräkn. J, du förstår säkert. Det är det som är rekursion. Att mn måste "gå tillbk" och räkn ut en enklre sk först. All dess beräkningr utmynnr i ett omfttnde rbete, även om det är ändligt. Ju större Fibonccitl mn vill beräkn, ju fler beräkningssteg blir det. Annorlund skulle det vr om mn hde en sluten formel. Sluten formel Med en sluten formel mens tt ntlet beräkningssteg som formeln ger upphov till är oberoende v storleken på input. Det finns en märklig sluten formel för just Fibonccitlen. f HnL = 1+ 1+ n + 1+ n - 1+ -n -n, n udd, n jämn Nednför nvänds formeln för tt generer någr inlednde Fibonccitl. Som du ser är ntlet räkneopertioner oberoende v vilket Fibonccitl som beräkns.
Ett förspel till Z-trnsformen.nb 4 f H1L = 1 I1+ M+ 1+ = + I1+ M = 1 f HL = J 1 I1+ MN -K 1+ O = I+3 M I1+ M = 1 f H3L = J 1 I1+ MN3 +K 1+ O3 = 16 I+ M I1+ M 3 = f H4L = J 1 I1+ MN4 -K 1+ O4 = 4 I1+7 M I1+ M 4 = 3 Det märklig med denn formel är tt den nvänder ett irrtionellt tl, f = 1+, för tt generer hel tl. "Att gå över ån för tt hämt vtten" är emellertid en inte helt ovnligt teknik vid problemlösning. Vi sk strx härled nämnd formel. Medn en härledning v rekursionsformeln är "rkt på" och befrid från teknikliteter, kommer den slutn formelns härledning (som förresten bsers på rekursionsformeln) tt vr reltivt teknisk. Men vr inte rädd! Vi sk t det vrsmt. Den teknisk pprten är i själv verket huvudintresset för oss just nu. Om båd sidor v rekursionsformeln multiplicers med -n erhålls Dvs. f Hn + L -n Hf Hn + 1L + f HnLL -n, n œ 80, 1,, < f HL f H0L + f H1L f H3L f H1L+f HL f H4L f HL+f H3L f HL f H3L+f H4L 3 3 ª Efter summtion v smtlig dess likheter uppstår en likhet med mång termer på vrder sidn om likhetstecknet
Ett förspel till Z-trnsformen.nb Efter summtion v smtlig dess likheter uppstår en likhet med mång termer på vrder sidn om likhetstecknet n f Hn + L -n = Hf Hn + 1L + f HnLL -n n Här är en utskriven version v smm sk f HL + f H4L f HL + f H1L + f H1L + f H0L + + f H3L + f HL Efter omgruppering v termern i högerledet förändrs likheten till f HL f H1L + f HL + f H4L + f H1L + + f H0L + Om bsfllen pluggs in (i högerledet) får vi f HL + f H4L f HL + 1 + + f HL + + + + 0 + 1 + f HL + De tre seriern (den i vänsterledet och de två i högerledet) blir mer jämförbr efter en tvångsutbrytning v respektive ur de två först seriern: f HL 3 + 1 + f HL 3 + + 1 + f HL 3 + Efter en smärre omskrivning v vänsterledet blir resulttet Voil! 1 + f HL 1 + f HL 3 + - 1 3 + + 1 + f HL 3 + FHL - FHL + FHL (1) om vi sätter
Ett förspel till Z-trnsformen.nb 6 om vi sätter FHL 1 + f HL f HnL 3 + n. n=1 Det är lätt tt lös ut FHL ur (1). Resulttet blir FHL --1. Mn kn säg tt vi så här långt, med hjälp v n f HnL -n, hr vbildt den rekursivt definierde Fiboncciföljden på funktionen f H0L, f H1L, f HL, FHL - - 1 Snrt skll vi kör vbildningen bklänges, dvs. vbild F tillbk på f. Resulttet kommer grntert tt överrsk läsren. Prtilbråksuppdelning v ë I - - 1M leder oss i rätt riktning. Antg tt nämnrens nollställen är och b. Då är - - 1 H - L H - bl 1 1 1 - - 1 - - 1 - - b - b b 1 - b b - b 1 + 3 b + + - + b b 3 + + 1 IHL -1 + I - b M - + I 3 - b 3 M -3 + M n - b n n 1 Vribelbytet # -n förvndlr likheten
7 Ett förspel till Z-trnsformen.nb Vribelbytet # förvndlr likheten 1 + + + = 1 1- till 1 + + J N + = 1 1-. Den senre förvndls i sin tur till + J N + J N3 + = 1- efter multipliktion på bägge sidor med. Vi hr således vist tt FHL = n - b n -n. n 1 -b Å ndr sidn är FHL = n 1 f HnL -n. Om koefficientern i de två seriern identifiers, följer formeln f HnL n - b n Men vd är och b? Dvs. vilk nollställen hr - - 1? Läsren uppmns tt själv vis tt de är 1+ och - 1+. Det störst v nollställen är det berömd gyllene snittet f och är ungefär 1.618. Differensen melln det störst och det minst är lik med. Noter också tt det en är lik med minus det ndr invertert. Det följer tt f HnL = fn - I-f -1 M n = fn + H-1L n+1 f -n = f n + f -n, n udd f n - f -n., n jämn ()
Ett förspel till Z-trnsformen.nb 8 Smmnfttning Vi härledde den slutn formeln () genom tt först vbild Fiboncciföljden (given rekursivt) på den kontinuerligt definierde FHL vi serien n=0 f HnL -n, därefter gör en klkyl på -sidn, och slutligen kör vbildningen bklänges (dvs. "plock ut" seriens koefficienter).