Karlstads uiversitet Fakultete för ekoomi, kommuikatio och IT Statistik Tetame i Statistik STG A0 ( hp) 5 mars 00, kl. 08.5 3.5 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt miiräkare. Asvarig lärare: Aders Walfridsso Övrigt: Varje uppgift ka ge max 0p. Lösigar skall uta svårighet kua följas. Iförda beteckigar skall förklaras. För betyget Godkäd krävs mist 30 p och för Väl godkäd krävs 45 p. Uppgift Fyra variabler (umrerade,,3,4 i figure) preseteras i följade histogram. Samma variabler fis också preseterade i boxplots eda. a) Para ihop rätt boxplot med rätt histogram.(uträkigar krävs ej.) b) Det blir e boxplot över, som ite stämmer med ågot av histogramme. Skissa hur histogrammet för dea femte variabel skulle se ut.
Uppgift Kalle har e lite verkstad där ha tillverkar smycke. Ha har gjort måga smycke geom åre och har följade erfarehet för fördelige för fel blad smyckea: 5% av smyckea har ytfel. Av de smycke som har ytfel har 6% äve formfel, meda blad de smycke som ite har ytfel är det bara % som har formfel. a) Age hur 000 smycke skulle fördela sig, i tabelle eda, om atale exakt följde de adelar som är agiva ova. Ytfel Ja Nej Formfel Ja Nej Atag att du tar ett slumpvis utvalt smycke frå Kalles tillverkig. Låt F betecka hädelse att smycket har ett formfel. Låt Y betecka hädelse att smycket har ett ytfel. b) Bestäm P (F). c) Bestäm P ( Y F). d) Bestäm P(F och Y). e) Bestäm saolikhete för att ett smycke har mist ett av de två feltypera. f) Vilke saolikhet är störst; saolikhete att ett smycke med formfel har ytfel, eller saolikhete att ett smycke uta formfel har ytfel? Uppgift 3 I ett lotteri med ett mycket stort atal lotter är 5% av lottera vistlotter. a) Om du tar sex lotter, bestäm saolikhete för att du får mist två vistlotter. b) Om du tar 00 lotter, bestäm (approximativt) saolikhete för att du får mist 67 vistlotter. Uppgift 4 E försäljare som heter Torbjör påstår att medelvikte för försäljare är 70 kg. Du, som sett gaska måga försäljare misstäker att medelvikte är högre. Du väljer slumpmässigt ut 5 försäljare och låter väga dem. Du får följade resultat: 70 kg, 74 kg, 76 kg, 7 kg respektive 73 kg. Ger detta resultat tillräckligt stöd för di misstake? Utred geom att göra ett lämpligt hypotes-test på 5%-ivå.
Uppgift 5 I SIFO:s väljarudersökig i jauari 00 tillfrågades 99 persoer om vilket parti de skulle vilja rösta på. Av dessa sade 495 att de skulle rösta på moderatera. I SIFO:s väljarudersökig i februari 00 tillfrågades 95 persoer om vilket parti de skulle vilja rösta på. Av dessa sade 570 att de skulle rösta på moderatera. a) Bestäm ett 95%-igt kofidesitervall för de verkliga skillade (blad alla röstberättigade) mella adele som skulle rösta på moderatera i februari jämfört med jauari. b) Med ledig av det kofidesitervall du just beräkat; skulle du dra slutsatse att det har skett ågo förädrig för adele moderatsympatisörer blad alla röstberättigade mella jauari och februari? Uppgift 6. Slumpvariabel X är ormalfördelad med käd stadardavvikelse σ = 6, me med okät vätevärde μ. Utifrå ett stickprov omfattade = 30 observatioer beräkade ma puktskattige till x = 0 (stickprovsstadardavvikelse blev 5.8), samt itervallskattige till (8.;.8). a) Vilke kofidesgrad har itervallet ova? b) Ma tycker u att det ova erhålla kofidesitervallet blev för lågt. Ma öskar i stället ett 95 % kofidesitervall av lägd högst eheter. Beräka hur stort stickprov som då skulle behövas.
Tetame i Statistik STG A0 ( hp) 5 mars 00 LÖSNINGAR Uppgift a) D, A, 3B, 4C. E stämmer ite med ågot. b) Jag visar upp de data som boxplot E är kostruerad utifrå. Det i ritar måste ite se ut exakt så, me det behöver framgå att frekvesera blir lägre utåt katera, samt att fördelige är västerskev (egativt skev). Uppgift a) 5% av smyckea har ytfel, dvs 50 st. Alltså sakar 950 st smycke ytfel. Av de 50 smyckea med ytfel är det 6% som har formfel, dvs 3 st. Av de 950 smyckea uta ytfel är det % som har formfel, dvs 9 st. För 000 tillverkade smycke får vi då följade fördelig : Formfel Ja Nej Ytfel Ja 3 47 50 Nej 9 93 950 978 000 b) P ( F) = 000 = 0. 0. c) P ( Y F) = 3 0. 36. d) P(F och Y ) = 3 / 000 = 0.003 e) P(F eller Y ) = ( 3 + 9 + 47) 000 = 0. 069 Alt. P(F eller Y ) = P(F) + P(Y) P(F och Y ) = 0.0 + 0.05 0.003 = 0.069 f) Saolikhete att ett smycke med formfel har ytfel, dvs P( Y F) är ca 3.6% (se uppg.c) C Saolikhete att ett smycke uta formfel har ytfel: ( Y F ) P = 47 / 978 0. 048
Uppgift 3 a) Låt X vara atalet vistlotter som ma får om ma tar sex lotter. Eftersom det hadlar om 6 oberoede upprepigar av ett försök där saolikhete att lyckas i varje försök är kostat 0.5, har vi att X ~ Bi( = 6, p = 0.5). Vi söker P ( X ), vilket är detsamma som P ( ) + P(3) + P(4) + P( 5) + P(6). Eftersom X följer e biomialfördelig, ka vi aväda formelsamliges formel för P(x) för att beräka var och e de fem termera. 4 P() = 0.5 0.75 = 0.96630859375!4! 3 3 P(3) = 0.5 0.75 = 0.3835937500 3!3! 4 P(4) = 0.5 0.75 = 0.03958984375 4!! 5 P(5) = 0.5 0.75 = 0.0043945350 5!! 6 0 P(6) = 0.5 0.75 = 0.000444065 0! Detta ger att P X = P ( ) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) 0. 466 ( ) Alt. Det blir midre jobb att göra såhär: P ( X ) = ( P(0) + P() ) 0 6 där P(0) = 0.5 0.75 = 0.779785565 0! 5 och P() = 0.5 0.75 = 0.3559570350!5! så P ( X ) = ( P(0) + P() ) = (0.779785565 + 0.3559570350) 0. 466 Alt. 3 Äu midre jobb blir det om ma aväder tabelle för Bi ( = 6, π = 0.5) Där ka ma avläsa P ( 0) + P() direkt (avrudat till 4 decimaler) : 0.5339 så då får vi P ( X ) = ( P(0) + P() ) 0. 5339 = 0.466 Svar: Saolikhete att få mist två vistlotter är du tar sex stycke är ca 46.6%. b) Låt X vara atalet vistlotter som ma får om ma tar 00 lotter. Eftersom det hadlar om 00 oberoede upprepigar av ett försök där saolikhete att lyckas i varje försök är kostat 0.5, har vi att X ~ Bi( = 00, p = 0.5). Vi söker P ( X 67), vilket är detsamma som P ( 67) + P(68) +... + P(00). Eftersom X följer e biomialfördelig, ka vi aväda formelsamliges formel för P(x) för att beräka var och e de 34 termera. Me detta kommer att ta låg tid. Det fis e tumregel som säger att om de två parametrara och p i e biomial-fördelig uppfyller p > 5, ka vi approximera biomialfördelige med e ormalfördelig med parametrara μ = p och σ = p( p). (Vi får då ite exakt rätt värde, me vi sparar tid) I det här fallet får vi alltså (approximativt) att X ~ N( μ = 50, σ = 6.37) (Eftersom p = 50 är tumregel p > 5 ämlige uppfylld.) 67 50 Det ger att P( X 67) = P Z P( Z.78) 0. 9973 (eligt N-tabell) 6.37 Svar: Saolikhete att få mist 67 vistlotter är du tar 00 stycke är ca 0.7%.
Uppgift 4 Vi defiierar e slumpvariabel X som beteckar vikte i kg för e slumpvis utvald försäljare.. Atagade: * Kvatitativ variabel. * Urvalet har skett slumpmässigt. * Populatiosfördelige är (approximativt) e ormalfördelig. (uppfyllt eftersom vikt är e ormalfördelad variabel). Hypoteser: H 0 : μ = 70 H : μ > 70 a 3. Teststatistika: x μ t = 0 se där se = s Teststatistika följer t-fördelige (df=4) om H 0 är sa Data ger x x x ( x x) 70-3 9 74 76 3 9 7-73 0 0 365 0 0 365 x = = 5 73 ( x x) s = = 0 4 = 5 (.36) så observerat värde värde på teststatistika blir: 73 70 3 t = = = 3 5 5 4. P-värde = P( t 3) Eligt t-tabelle bli r P ( t 3) ågostas mella 0.05 och 0.0. Så vårt P-värde blir alltså mella 0.0 och 0.05 5. Slutsats: Eftersom P-värdet < α (0.05) ka H 0 förkastas på 5 % sigifikasivå. I ord: Med e sigifikasivå på 5 % vågar vi påstå att medelvikte för försäljare är högre ä 70 kg.
Uppgift 5 a) Lå t p betecka (populatios)adele i jauari som skulle rösta på moderatera, och p betecka (populatios)adele i februari som skulle rösta på moderatera. Atagade för att kua göra ett kofidesitervall för skillade mella populatiosadelara, dvs ett kofidesitervall för p p : * Kategorisk resposvariabel i två grupper (resposvariabel: moderat / ite moderat) * Två oberoede slumpmässiga urval. * Tillräckligt stort urval / tillräckligt måga delförsök för att ormalapproximatio ska gälla. (Kollar pˆ > 5*, ˆ ( p) > 5*, pˆ > 5*, ˆ ( p ) > 5* : pˆ = 495, ( ˆ ) 44, ˆ p = p = 570, ( ˆ p) = 355 Vi har god margial. *Boke säger t.o.m. att så lite som 0 räcker istället för 5) Kofidesitervallet beräkas eligt formel: där pˆ ( pˆ ) pˆ ( pˆ ) se = + ( pˆ p ) ± z se ˆ Eftersom kofidesitervallet ska ha e kofidesgrad på 95% ska z =.96 avädas. 495 570 ˆ 0.579, 95, ˆ = 99, p = = p = 0.96 ger 99 95 0.579 0.74 0.96 0.7039 se + 0.044 99 95 Vi får edre gräs: 0.03857.96 0. 044 och övre gräs: 0.03857 +.96 0.044 ( 0.009889) ( 0.06645) Detta ger kofidesitervallet [ 0.0098, 0.0665] Tolkig: Med 95% säkerhet fis skillade mella adele moderatsympatisörer blad 0.98%, 6.65%. alla röstberättigade i februari jämfört med jauari i itervallet [ ] b) Eftersom edast positiva tal fis med i kofidesitervallet, ka vi våga påstå (med mist 95% säkerhet) att adele moderatsympatisörer blad alla röstberättigade har ökat mella jauari och februari. Uppgift 6 a) Om σ är kät, beräkas kofidesitervallet eligt formel: x ± z se där se = σ Vi har givet: x = 0, σ = 6, = 30, meda värdet på z är det som avgör kofidesgrade. Värdet på z ka vi lista ut ur ågo av följade ekvatioer.
6 6 0 z = 8. respektive 0 + z =. 8 (De ger z =.64) 30 30 Med hjälp av bilde eda ka vi se vilke kofidesgrad det motsvarar: z.64.64 Eftersom P( Z <.64) = 0.05 och P ( Z <.64) = 0. 95 fis 90% mella.64 och.64 Svar: Kofidesgrade är 90%. Ma ka också lösa uppgifte eligt följade: Om σ är okät, beräkas kofidesitervallet eligt formel: x ± t se där se = s Atalet frihetsgrader är 30 = 9, så de rade i t-tabelle ska avädas. Vi har givet: x = 0, s = 5.8, = 30, meda värdet på t är det som avgör kofidesgrade. Värdet på t ka vi lista ut ur ågo av följade ekvatioer. 5.8 5.8 0 t = 8. respektive 0 + t =. 8 (De ger t =.70) 30 30 På rade för 9 frihetsgrader hittar vi.70 mittför Kofidesitervall, 90% Svar: Kofidesgrade är 90%. σ z b) Vi ka aväda formel = m där m står för felmargial, dvs detsamma som lägde av halva kofidesitervallet: Eftersom det står att kofidesitervallet har lägd, x m x x + m iebär det att m = Kofidesgrad 95% iebär att z =.96. Det var givet att σ = 6. 6.96 Vi får då att = = 38. 976 Dvs för att få ett kofidesitervall av högst lägd, krävs att 39.