Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på smm sätt som föreläsningrn för cmpusstudenter. Till vrje dg finns en kort introduktion om dgens innehåll, följd v en list med de relevnt vsnitten i läroboken. Till dess finns ett förtydlignde om vilk delr som är speciellt viktig, eller vilk som kn hopps över. Att lär sig mtemtik fungerr bäst som lerning by doing. Därför finns en hel del rekommenderde övningsuppgifter. De är indelde i två grupper. Först finns inlärningsuppgifter som sk hjälp dig tt beknt dig med ny begrepp och utgörs v mer eller mindre direkt nvändning v teorin. Någr v dess uppgifter är rätt enkl, ndr lite mer krävnde. Därefter följer problemlösningsuppgifter som oftst kräver lite mer eftertnke och förutsätter tt du redn hr en viss erfrenhet v uppgifter som är mer stndrdbetonde. Dess uppgifter ligger närmre problemlösningstentn i slutet v kursen. Till viss dgr finns även ytterligre kommentrer som ntingen är bserde på vår erfrenheter v vnlig fel, förtydligr viss teori eller visr på lterntiv lösningr till viss uppgifter. Dess sk du berbet extr nog, för de sknr lik tydlig motsvrigheter i boken. Kursens fokus ligger på mtemtisk metoder för problemlösning. För tt med säkerhet kunn nvänd metodern krävs förståelse för den bkomliggnde teorin! Vi rekommenderr därför tt du lltid åtminstone ögnr igenom bevisen, även när läsnvisningrn säger tt beviset kn hopps över. Vi hopps tt läsnvisningrn hjälper dig i din studier. Om du hr kommentrer skick dem gärn till luger@mth.su.se. Lite llmänt om tt rbet med mtemtisk texter: Att jobb med text om mtemtik kn i börjn uppftts som svårre än tt läs text om ett nnt ämne. Anledningen är tt vrje ord kn vr v stor betydelse, och tt mtemtiker oftst tycker om tt uttryck sig så kortfttt, dvs så enkelt, som möljigt. Dett gäller frmför llt definitioner och stser. När mn möter en ny definition eller en ny sts, så är det viktigt tt t sig tid! Läs igenom två, tre gånger. Fråg dig själv vd som mens med det! Oftst följs en ny definition v ett eller fler exempel. Då är det br om du efter tt h studert exemplet stnnr och går tillbk till den llmänn texten för tt koppl exemplet till definitionen. Stser förstår mn bäst genom tt nvänd dem. Du hittr mång exempel i boken som belyser hur teorin kn tillämps. Efter tt h jobbt med boken kommer den viktigste delen: Du måste själv lös uppgifter! Det först steget då är lltid tt förstå vd det är som frågn går ut på och tt koll om du vet vd ll begrepp som nvänds betyder. Om frågn är lite mer omfttnde kn det vr ett br tips tt börj med tt formuler själv frågn med egn ord. Det låter trivilt, men kn hjälp väldigt mycket! 1
OBS1! Läs teorin INNAN du börjr med uppgiftern! OBS! Det räcker ej tt få rätt svr! Hr mn gjort fler försök och fått rätt svr till sist sk mn tänk efter vrför det hr fungert just nu och inte i de tidigre försöken! OBS3! I smbnd med uppgiftern gäller: Men det är vägen, som är mödn värd. Dvs den störst nyttn hr du v själv processen tt jobb med uppgiftern, inte v tt få ett rätt svr på pppret! Dett sk ses som en vrning för tt jobb lltför mycket med färdig lösningr!!! Den följnde grfiken härstmmer egentligen från en nnn kurs, men om du ersätter orden kontkt mentorer med ställ frågn i hndledningsforumet ger den en rätt så br bild v hur mn helst sk jobb med uppgifter!
Dg 1 och Dess dgr ägns åt repetition och i viss mån fördjupning v trigonometri. Repeter kongruens- och likformighetsfllen (t.ex. från skolböckern). Avsnitt 1.9.1 Definition v rdiner. Viktigt tt kunn uttryck vinklr i rdiner. Avsnitt 1.9. Definition v sinus och cosinus. Härledning v sinus och cosinus för vinklrn 0, π/6, π/4, π/3, π/. Grfen för sinus och cosinus. Periodicitet, jämn och udd (det sistnämnd kn eventuellt läss i smbnd med genomgång v vsnitt 1.8, dg 4). Trigonometrisk formler, trigonometrisk ekvtioner. Hjälpvinkel. Sinusstsen och cosinusstsen (utn bevis). Avsnitt 1.9.3 Definition v tngens och cotngens. Grfen för tngens och cotngens. Trigonometrisk formler, smbndet melln sinus, cosinus, tngens och cotngens (se exempel 56 och 57). Appendix B1 Lite om mängder, läses vid behov. Kommentrer Bevis v formel (55) kn hopps över. Det nvänder sig v sklärprodukten som gås igenom senre i lgebrkursen. Mn måste kunn viss trigonometrisk formler (formelsmlingr får inte nvänds på tentorn). T.ex. behöver mn kunn formlern (55)-(58) (men det räcker tt kunn en v dem, de övrig kn härleds ur den). Observer också tt formlern (59)-(6) följer enkelt ur (55)-(58), t.ex. är sin(x) = sin(x + x) = sin x cos x + cos x sin x = sin x cos x. Formlern (63)-(65) kn hopps över (i vrje fll behöver de inte memorers). Även formlern (49)-(54) kn fås ur (55)-(58). T.ex. är sin(π/ x) = sin(π/) cos x cos(π/) sin x = cos x eftersom sin(π/) = 1, cos(π/) = 0. Mn bör också lägg på minnet tt sin x är positiv i 1: kvdrnten, dvs. för x melln 0 och π/ och i : kvdrnten, dvs. för x melln π/ och π, medn cos x är positiv i 1: kvdrnten (för x melln 0 och π/) och i 4:e kvdrnten, dvs. för x melln 3π/ och π. Eftersom tn x = sin x/ cos x och cot x = cos x/ sin x, följer det ur dett tt tn x och cot x är positiv i 1: och 3:e kvdrnten. Observer tt trigonometrisk ekvtioner med fördel kn övs med hjälp v WebWork. Både den först problemsmlingen och övningstentorn till etentn Elementär funktioner innehåller sådn ekvtioner. Dett stycke bör läss efter genomgången v komplex tl i lgebrkursen. Mn kn få frm formlern (56) och (57) med hjälp v komplex exponentilfunktioner. Det gäller tt e i(x+y) = e ix e iy. Definitionern och enkl beräkningr ger VL = cos(x + y) + i sin(x + y) och HL = (cos x+i sin x)(cos y +i sin y) = (cos x cos y sin x sin y)+i(sin x cos y +cos x sin y). Eftersom VL = HL, måste reldelrn och imginärdelrn vr lik. Så cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y och sin(x+y) = sin x cos y+cos x sin y. Observer dock tt det här inte är något bevis för formlern eftersom dess formler hr nvänts (i lgebrkursen) just för tt vis tt e i(x+y) = e ix e iy. Däremot är det ett br sätt tt få frm dem om mn är osäker. Övningr: Inlärningsuppgifter: WW PS1: 1-9, 13-15; ÖPB: 1.93-1.95, 1.107 (vid behov även 1.99, 1.100, 1.10, 1.106bef, 1.109) Problemlösningsuppgifter: WW PS1: 1, 16; ÖPB: 1.104, 1.111 3
Dg 3 Här repeters och i viss mån fördjups kunskper om exponentilfunktioner och logritmer. Avsnitt 1.6.3 Definition v exponentilfunktion. Formlern (9), (31) är viktig (hopp dock över härledningen v (9)). Grfen v exponentilfunktionen. Avsnitt 1.7.1 Definition v logritmen. Räknelgrn, inklusive formel (39) (formeln för bsbyte). Bevisen kn eventuellt hopps över. Exemplen är viktig. Avsnitt 1.7. Definition v logritmfunktionen. Grfen. Formlern (40), (41) är viktig. Övningr: Inlärningsuppgifter: WW PS1: 18-0; ÖPB: 1.61, 1.66, 1.67, 1.69 (vid behov även 1,64, 1.65, 1.70-1.7) Problemlösningsuppgifter: WW PS1: 1, ; ÖPB: 1.68 Dg 4 Här införs en del ny begrepp. Det som är svårst (och mycket viktigt) är begreppet invers funktion. Därefter introducers de mycket viktig invers trigonometrisk funktionern. Avsnitt 1.8 Hel vsnittet läses. Invers funktion är ett nytt och mycket viktigt begrepp. Det är viktigt tt tillgodogör sig begreppet och tt studer exemplen i delvsintt 1.8.1. Begreppen i delvsnitten 1.8. och 1.8.3 (smmnsättning v funktioner, växnde, strängt växnde, vtgnde, strängt vtgnde funktion, jämn funktion, udd funktion) är också viktig men borde vr enklre tt tillgodogör sig. Observer skillnden melln växnde och strängt växnde smt vtgnde och strängt vtgnde funktion. Avsnitt 1.10 Hel vsnittet läses. Arcusfunktionern (dvs. de invers trigonometrisk funktionern) är mycket viktig i mtemtiken och kommer tt spel en frmträdnde roll i kursen. Arcusfunktionern klls även iblnd för de cyklometrisk funktionern. Övningr: Inlärningsuppgifter: WW PS1: 10, 11, 4, 5; ÖPB: 1.84, 1.85, 1.87bde, 1.89bc, 1.90b, 1.9 (vid behov även 1.1-1.14). OBS: Övn. 1.85 kräver ing beräkningr och i övn. 1.90b räcker det tt skiss funktionen. Problemlösningsuppgifter: WW PS1: 3; ÖPB: 1.16, 1.18, (eventuellt även 1.91, 1.151b) 4
Dg 5 Som introduktion till gränsvärdesbegrepp hndlr dg 5 om gränsvärden för tlföljder: definition, räkneregler, tlet e, stndrdgränsvärden, och serier. I dett vsnitt läses utvld delr v PB, v pedgogisk skäl delvis i omvänd ordning! 1. Vd är en följd? Börj med tt beknt dig med begreppet följd, eller egentligen tlföljd. Studer exempel 8 i kpitel 1. smt exempel 64 i kpitel 1.1. Där kn du se hur en tlföljd beskrivs.. Definition v gränsvärde v en tlföljd. Även om mn knske hr en intuitiv förståelse för vd som rimligtvis mens med gränsvärde v en tlföljd, så behövs en riktig definition. Se videoföreläsningen för dg 5 för definitionen smt en motivering. 3. Hur beräknr mn gränsvärden? Oftst nvänder mn inte definitionen direkt, utn nvänder räkneregler smt redn känd gränsvärden. Exempel på räkneregler är: Om n A och b n B så gäller: n + b n A + B n b n A B n b n A B, om B 0. Fler regler kommer dg 6. Med hjälp v definitionen kn mn lätt övertyg sig om tt till exempel föjlden n = 1 n går mot 0. Tillsmmns med räknereglern kn mn redn nu räkn ut någr mer komplicerde gränsvärden. Oft förekommnde knep är tt förkort med den dominernde termen eller tt förläng med konjugtuttrycket: Exempel: Bestäm gränsvärdet v följden n = n4 +3n 3n 4 1. lltså är lim n n = 3. n = n4 + 3n 3n 4 1 = + 3 n 3 1 n 4 + 0 3 0 = 3, Exempel: Bestäm gränsvärdet v följden b n = n + 5n n b n = n + 5n n = ( n + 5n n)( n + 5n + n) n + 5n + n = n + 5n n n + 5n + n = 5 1 + 5n + 1 5. lltså är lim n b n = 5. För tt kunn beräkn gränsvärden v ännu fler föjlder behövs ett större ntl känd gränsvärden. Avsnitt.3 (till och med exempel 15). Ett viktigt gränsvärde: tlet e introducers. Bevis för sts 6 och 7 hopps över (binomilstsen kommer senre i lgebrdelen v mtemtik I). 5
Avsnitt.4 En list med ytterligre viktig gränsvärden finns i kpitel.4. Just nu är det br formel (30)-(34) som är relevnt. Bevisen kn hopps över. Avsnitt.5.4. Det hndlr om serier, dvs oändlig summor. Observer tt det mtemtisk begreppet serie inte betyder precis smm sk som i vrdgsspråket. Serier kommer tt nvänds senre i kursen. Övningr: Inlärningsuppgifter:.30,.31c,.11,.3 34 (OBS: I.31 beräkns inget gränsvärde, utn det hndlr om tt beknt sig med följder) Problemlösningsuppgift:.48 Dg 6 Nu hndlr det mer llmänt om gränsvärden för funktioner, definitioner, räkneregler och stndrdgränsvärden. Det finns fler olik fll, beroende på vd x går mot. Avsnitt.1 Definitioner och räkneregler smt mång exempel. Bevisen v räknereglern kn hopps över, de ingår inte i kursen. Avsnitt.3 (från och med stycket efter exempel 15) och.4 Mer om tlet e och stndrdgränsvärden. Övningr: Inlärningsuppgifter:.3-5,.8bdfgil,.9,.14e,.16bc,.cd Problemlösningsuppgifter:.6,.37,.38 Anmärkning: När mn beräknr gränsvärden kn mn nvänd sig v två olik sätt tt skriv. Lå oss titt på ett enkelt exempel: eller x + x lim x x 3 = lim + 1 x x 1 3 = + 0 1 0 = x x + x x 3 = + 1 x 1 3 + 0 = då x. 1 0 x Du kn välj fritt hur du vill gör, men blnd inte ihop de två skrivsätten! OBS: x + x lim x x 3 + 1 x + 1 x 1 3 och x 1 3 + 0 1 0, x eftersom funktionen (i llmänhet) INTE är lik med gränsvärdet. x + x Mn sk inte heller skriv lim x x 3 + 0 1 0. 6
Dg 7 Med hjälp v begreppet gränsvärde definiers en väldigt viktig egenskp hos funktioner: kontinuitet. Dg 7 hndlr huvudskligen om kontinuerlig funktioner och ders egenskper. Avsnitt. Först definiers vd som mens med tt en funktion är kontinuerlig och fler exempel ts upp. Sedn nges (utn bevis) två viktig egenskper hos kontinuerlig funktioner som kommer tt nvänds fler gånger frmöver. Avsnitt.5.1 Som en tillämpning v gränsvärden diskuters symptoter. Dess behövs senre när funktionsgrfer sk rits. Avsnitt.5. och.5.3 Dess två tillämpningr v gränsvärden rekommenders tt läs, men de ingår egentligen inte i kursen. Övningr: Inlärningsuppgifter:.17b,.19-1,.6,.8 Problemlösningsuppgifter:.18,.9 Dg 8 Begreppet derivt introducers och motivers smt räkneregler för derivtor diskuters. Avsnitt 3.1 och 3.. Här motivers det från gymnsiet välkänd begreppet derivt och sedn följer den riktig definitionen. Behndling v exempel 4 kräver kunskp v binomilstsen, men ett lterntivt sätt för härledningen kn vr tt nvänd formeln n b n = ( b)( n 1 + n b +... + b n + b n 1 ) OBS: Härledningen v derivtn för t.ex. polynom bygger endst på derivtns definition, dvs du får nu bevis för redn beknt formler. Avsnitt 3.3 frm till exempel 13. Nu kommer mer teori kring derivt och deriverbr funktioner. Sts 1 smt efterföljnde exempel är grundläggnde! Det är mycket viktigt tt kunn nvänd kedjeregeln (sts 3), beviset kn hopps över. Övningr: Inlärningsuppgifter: WW PS: 1-5, ÖPB: 3.1be, 3.6 Problemlösningsuppgifter: ÖPB: 3.8, 3.9, 3.40, 3.43. 7
Dg 9 Nu kommer fler räkneregler för derivtn smt en först diskussion om smbndet melln derivt och lokl egenskper hos själv funktionen. Avsnitt 3.3 från och med exempel 14. Kedjeregeln nänds här för implicit derivering och sedn följer en formel för derivtn v invers funktion. Beviset kn hopps över, men nmärkningen efter beviset kn med fördel nvänds för tt komm ihåg själv regeln. Avsnitt 3.4. Derivtor till de elementär funktionern härleds. Härledningrn är så klrt viktig som byggstenr för teorin, men för tt kunn lös problem måste du kunn ll dess derivtor utntill! Sts 7 kommer vr viktig senre i smbnd med integrtion! Avsnitt 3.5 frm till sts 14. Frmöver kommer du tt se hur mn kn dr mång slutstser om själv funktionens beteende med hjälp v dess derivt. Här finns ett först exempel på det. Övningr: Inlärningsuppgifter: WW PS: 6-15, ÖPB: 3.16, 3.17, 3.19, 3.1 (vid behov även 3.10def, 3.11hi, 3.13 b) Problemlösningsuppgifter: 3.3, 3.38, 3.44, 3.45. Dg 10 Fortsättning på diskussionen v egenskper hos deriverbr funktioner. Avsnitt 3.5 från och med sts 14. Medelvärdesstsen (sts 14) är en v de viktigste stsern i hel kursen, eftersom mycket som kommer tt gås igenom bygger på just medelvärdesstsen. Försök förstå beviset för stsen (lägg särskilt märke till figurern på sidn 11 och 1), men du behöver inte kunn det utntill. Studer noggrnt exempel 0 och 1. Sts 15 kommer tt vr viktig senre i smbnd med integrtion, sts 16 kommer tt vr viktig och mycket nvändbr när mn ritr grfer till funktioner. Sts 17 kn hopps över om du inte är så intresserd v teorin. Avsnitt 3.6 Här behndls kortfttt högre derivtor. Sts 18 smt beviset kn läses efter binomilstsens genomgång i lgebrdelen. Avsnitt 3.7 Det förklrs hur mn deriverr funktioner som är komplexvärd. Exempel 7 kommer tt vr viktigt i smbnd med lösning v differentilekvtioner senre i kursen. Övningr: Inlärningsuppgifter: WW PS: 16-0, ÖPB: 3.7, 3.8, 3.31, 3.3 (vid behov 3.37) Problemlösningsuppgifter: 3.6, 3.43 8
Dg 11 Dgen hndlr om två grundläggnde integrtionstekniker: prtiell integrtion och vribelsubstitution. Avsnitt 5.1 Mn behöver känn till de elementär primitiv funktionern, dock behöver inte formel (1) memorers. Formlern för prtiell integrtion och vribelsubstitution (formel (17) respektive (19)) är mycket viktig. Enkl exempel på prtilintegrtion är ex. 3-5 och på vribelsubstitution ex. 7, 8. Ex. 6 är viktigt - där nvänds ett speciellt knep som är svårt tt komm på själv. Ex. 9 är förberedelse till näst vsnitt. Kommentrer Eftersom 1 cos x = sin x+cos x cos x = 1 + tn x, får vi följnde vrint v formel (8) som iblnd kn vr nvändbr: (1 + tn x) dx = tn x + C. På liknnde sätt får vi en vrint v formel (9): (1 + cot x) dx = cot x + C. Formlern (13) och (14) är egentligen överflödig, de följer omedelbrt genom vribelsubstitution f(x) = t. Vid vribelsubstitution nvänder mn oftst skrivsättet f(g(t))g (t) dt = [x = g(t), dx = g (t) dt] = f(x) dx = F (x) + C = F (g(t)) + C, där F är en primitiv funktion till f. T.ex. är (med omvänd roller melln x och t) x x + 1 dx = [x + 1 = t, x dx = dt, x dx = 1 dt] = 1 t dt = 1 t 1/ dt = 1 3 t3/ + C = 1 3 (x + 1) 3/ + C. Skrivsättet dx = g (t) dt betyder egentligen tt uttrycket g (t) dt under integrltecknet ersätts med dx. Om mn så föredrr, kn mn nvänd det mer formell skrivsättet dx/dt = g (t). Iblnd behöver mn nvänd både prtilintegrtion och vribelsubstitution. Ett enkelt exempel på dett: x 3 e x dx = [x = t, x dx = dt] = 1 x e x x dx = 1 te t dt. 1 Nu kn mn prtilintegrer som i ex. 3 i boken. (Svr: (x e x e x ) + C.) OBS1! Mn kn lltid verifier om mn hr integrert rätt genom tt deriver och se om mn får tillbk integrnden. T.ex. är derivtn v 1 (x e x e x ) + C lik med x 3 e x (koll dett). OBS! Begrund övning 5.6 och svret till den i ÖPB. Övningen hndlr om ett vnligt (och mycket grovt!) integrtionsfel. Övningr: Inlärningsuppgifter: ÖPB: 5.f, 5.6, 5.9bd, 5.10g, 5.16bc, 5.17-c Problemlösningsuppgifter: ÖPB: 5.16d, 5.17d, 5.0 9
Dg 1 Dgen ägns åt integrtion v rtionell och trigonometrisk funktioner. Avsnitt 5. Först delen v vsnittet (frm till 1: stycket på sid. 74) hndlr om prtilbråksuppdelning. Dett skll vr beknt från lgebrkursen men bör repeters vid behov. Efter tt h prtilbråksuppdelt en rtionell funktion behöver mn kunn integrer funktioner v typ 1 4 på sid. 74. De först två fllen är enkl. Fll 3 är svårre och löses som i ex. 9 (dg 11) och ex. 15. Fll 4 (inklusive ex. 16) kn hopps över. Ex. 17 läses. Avsnitt 5.4 Hel vsnittet läses. Kommentrer Substitutionen t = tn x nvänds br i undntgsfll om inget nnt fungerr. Oft (men inte lltid) kn mn undvik den. I ex. 3 nvänds den för tt integrer 1/ sin x. Här är en lterntiv lösning: 1 sin x dx = sin x sin x dx = sin x 1 cos dx = [cos x = t, sin x dx = dt] = x dt t 1. Nu kn mn prtilbråksutveckl. Svret blir 1 (ln(1 cos x) ln(1 + cos x)) + C. Vis gärn med trigonometrisk formler tt dett är lik med ln tn x + C (som är bokens svr). Ex. 6 kn löss på ett lterntivt sätt med hjälp v en omskrivning. Mn vet från lgebrkursen tt cos θ = (e iθ + e iθ )/ och sin θ = (e iθ e iθ )/i (Eulers formler för komplex exponentilfunktioner). Så cos x sin bx = eix + e ix e ibx e ibx } {{ } } {{ i } cos x sin bx = ei(+b)x e i( b)x + e i( b)x e i(+b)x 4i Så = 1 e i(+b)x e i(+b)x 1 e i( b)x e i( b)x = 1 i i sin( + b)x 1 sin( b)x. cos x sin bx dx = 1 (sin( + b)x sin( b)x) dx, och högerledet är enkelt tt integrer. Svret kommer tt till synes skilj sig från bokens men även här kn mn med trigonometrisk formler vis tt båd svren är lik. En lterntiv lösning till ex. 8: Vi integrerr prtiellt två gånger så tt e x integrers båd gångern. F (x) = e x cos x dx = e x cos x = e x cos x + e x sin x ( e x sin x) dx = e x cos x + e x sin x dx e x cos x dx = e x (cos x + sin x) F (x) + C (på slutet behöver vi lägg till en integrtionskonstnt). Vi får F (x) = e x (cos x + sin x) + C och slutligen F (x) = 1 ex (cos x + sin x) + C, där vi erstte C / med en ny konstnt C. Övningr: Inlärningsuppgifter: WW PS3: 1-11; ÖPB: 5.3b, 5.7b, 5.40b, 5.51 Problemlösningsuppgifter: WW PS3: 1; ÖPB: 5.3c, 5.38 (eventuellt även 5.39)
Dg 13 Dgen hndlr om introduktion till begreppet integrl över ett slutet och begränst intervll. Avsnitt 6.1 Här definiers Riemnnintegrlen (som är den vnlig integrlen b f(x) dx och som iblnd även klls den bestämd integrlen). Mn inför först begreppen trppfunktion och dess integrl och därefter begreppet Riemnnintegrlen för en begränsd funktion (definition 3). I slutet v vsnittet klrgörs skillnden melln en primitiv funktion (som iblnd även klls obestämd integrl) och en Riemnnintegrl. Avsnitt 6. Sts 3 är mycket viktig, bevis hopps dock över. Begreppet Riemnnsumm och sts 4 (utom bevis) bör mn känn till. Exempel 1 kn eventuellt hopps över. Avsnitt 6.3 Hel vsnittet frm till (och inklusive) sts 6 läses. Bevisen utgår. Kommentrer Intuitivt betyder integrerbrhet v en funktion f tt mn kn hitt trppfunktioner Φ och Ψ sådn tt Φ f Ψ i [, b] och den re som stängs in melln Φ och Ψ blir så liten som mn vill. Mer exkt: för vrje givet (litet) tl kn mn finn Φ och Ψ som ovn så tt ren melln dem blir mindre än det givn tlet. Observer tt Riemnnintegrlen hr definierts för begränsde funktioner på begränsde intervll. En utvidgning v begreppet integrl, som omfttr både obegränsde intervll och obegränsde funktioner, kommer i vsnitt 6.5. Som frmgår v sts 3 är kontinuerlig funktioner integrerbr över [, b]. Mång, dock inte ll, diskontinuerlig (och begränsde) funktioner är integrerbr. En (icke-obligtorisk) uppgift för den som är teoriintresserd: Vis tt funktionen { 0 om x är rtionellt, x [0, 1], f(x) = 1 om x är irrtionellt, x [0, 1] inte är integrerbr över [0, 1]. Det är viktigt tt förstå tt om f 0 och f är integrerbr, så är b f(x) dx den re som begränss v x-xeln, grfen för y = f(x) och linjern x =, x = b. Om f 0, så är b f(x) dx 0 och integrlens värde svrr mot minus ren. Om f byter tecken, så är b f(x) dx re med tecken - den re som finns ovn x-xeln kommer med plustecken och den som finns under kommer med minustecken. Riemnnsumm är ett sätt tt pproximer integrlen med summn v reor för ett ntl rektnglr, se figuren på sid. 300. För tt pproximtionen skll bli br måste rektnglrn vr tillräckligt sml. Lägg märke till formel (13) som definierr b f(x) dx för b. Med den definitionen gäller formel (1) ovsett hur, b, c är plcerde i förhållnde till vrndr. Övningr: Inlärningsuppgifter: WW PS3: 13-18; ÖPB: 6.1be (uppgiften kn eventuellt hopps över) Problemlösningsuppgifter: WW PS3: 19, 0; ÖPB: 6., 6.3 11
Dg 14 Dgen hndlr om beräkning v integrler och om generliserde integrler Avsnitt 6.3 Resten v vsnittet med undntg för sts 8 läses. Bevis för sts 7 utgår. Avsnitt 6.4 Hel vsnittet läses. Det är även lämpligt tt läs bevis för sts 9 och 10. Observer hur integrlklkylens medelvärdessts nvänds i beviset för sts 9. Avsnitt 6.5 Förutom definitioner och en sts innehåller vsnittet ett flertl exempel. Det är viktigt tt tillgodogör sig exemplen (exempel 1 kn dock hopps över). Resultt v exempel 1 och 14 är värd tt lägg på minnet eller snbbt kunn härled: 1/x α dx konvergerr om och endst om α > 1, 1 1 0 1/xα dx konvergerr om och endst om α < 1. Kommentrer En mycket viktig följd v sts 9 är tt för vrje kontinuerlig funktion existerr en primitiv funktion. T.ex. är x 0 et dt en primitiv funktion till e x. Mn kn dock vis (med betydligt mer vncerde metoder än de som ingår i kursen) tt det inte går tt uttryck e x dx med hjälp v ändligt mång summor, produkter, smmnsättningr osv. v elementär funktioner (dvs. det går inte tt uttryck e x dx så som vi helst skulle vilj). Följnde exempel kompletterr exemplen 4 och 5 i boken: Vi vill deriver Vi får D x x x x e t dt = D e t dt. Sätt S(x) = x e t dt + D x x e t dt (här kn mn välj vilket som helst, t.ex. = 0). e t dt = D x e t dt + D x e t dt = D(S(x)) + D(S(x )) = S (x) + S (x ) D(x ) = e x + xe (x ) = e x + xe x4. Sts 10 (insättningsformeln) utgör grunden för integrtion. Det är mycket viktigt tt noter tt integrtionsgränsern ändrs när mn gör vribelsubstitution. Tänk igenom dett i smbnd med genomgången v exempel 8. Först delen v sts 11 säger tt om g(x) dx konvergerr, så konvergerr f(x) dx. Mn kn dock inte dr någon slutsts om konvergens v g(x) dx om f(x) dx konvergerr. Om f(x) dx divergerr, så divergerr även g(x) dx enligt ndr delen v stsen (men igen, ingen slutsts om konvergens v f(x) dx kn drs om g(x) dx divergerr). Smm slutstser gäller för generliserde integrler över ett ändligt intervll och även för integrler generliserde på fler sätt. Övningr: Inlärningsuppgifter: ÖPB: 6.17, 6.6bd Problemlösningsuppgifter: ÖPB: 6.9, 6.1d (kn eventuellt hopps över), 6.15, 6.18b, 6.33de, 6.45 1