Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III

Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb)) F g)), eller så här om F = f : Vi gör vribelbytet t = gx) Då x = är t = g) och då x = b är t = gb) Eftersom dt dx = g x) är g x) dx = dt och därför blir f gx))g x) dx = gb) g) f t) dt. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59

Vribelbyte II Mn kn också gä ät motstt håll, dvs. om mn skll räkn integrlen f x) dx gör mn så här: Vi gör vribelbytet x = ht) Då x = är t = h ) och då x = b är t = h b) Eftersom dx dt = h t) är dx = h t) dt och därför blir f x) dx = h b) h ) f ht))h t) dt. Obs! Om mn tex. i integrlen f x) dx gör vriblebytet x = ht) så tt dx = h t) dt och får integrlen f ht))h t) dt som mn sedn räknr ut och får som svr Gt) + C skll mn sedn sätt in t = h x) för tt få f x) dx = Gh x)) + C. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 3 / 59 Prtiell integrering f x)gx) dx = f x)gx) f x)g x) dx f x)gx) dx = / b f x)gx) f x)g x) dx Exempel Om vi skll räkn lnx) dx kn vi skriv lnx) = lnx) och välj f x) = x så tt f x) = och gx) = lnx). Då får vi lnx) dx = x ln x x x dx = x lnx) dx = x lnx) x + C. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 4 / 59

Tylorutveckling med prtiell integrering Om f är k + gånger kontinuerligt deriverbr så är f x) = f ) + f )x ) + f ) x ) + f ) x ) 3 + 3!... + f k) ) x x ) k x t) k + f k+) t) dt. k! k! Hur visr mn dett? Av nlysens huvudsts följer tt f x) = f ) + x f t) dt vilket ger ovnstående formel för k = 0. Nu kn mn integrer prtiellt så tt mn skriver = d dt x t)) och mn får f x) = f ) + x x f t) dt = f ) + / x x t))f t) dt = f ) + f )x ) + x t))f t) x x t)f t) dt, vilket är formeln för k =. Sedn fortsätter mn på smm sätt. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 5 / 59 Integrering v rtionell funktioner En rtionell funktion f x) = px) qx) nämnrens nollställen. Exempel kn integrers förutstt tt mn hittr Räkn 0 x + 8x + 7 dx Först konstterr vi tt nämnrens nollställen är 4 ± 6 7 = 4 ± i och eftersom de är komplex kn mn gå tillväg på lite olik sätt. Ett sätt r tt kompletter kvdrten och skriv x + 8x + 7 = x + 4) + och sedn gör vribelbytet x + 4 = t så tt då x = 0 är t = 4, då x = är t = 6 och dx = dt. Den integrl vi skll räkn ut blir då 6 4 / 6 t + dt = rctnt) = rctn6) rctn4), 4 eftersom d dt rctnt) = +t. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 6 / 59

Hur mn hittr integrlen till en rtionell funktion Skriv funktionen i formen f x) = sx) + rx) där sx) är ett qx) polynom och grdtlet v rx) är mindre än grdtlet v qx); Skriv qx) i formen qx) = x x ) k... x x m ) k m ; Bestäm koefficientern A j,k så tt Integrer! rx) m qx) = k j j= k= A j,k x x j ) k ; Observer tt för de nollställen x j som är komplex måste mn ntingen räkn med komplex logritmer eller så skll mn kombiner uttryck med rötter som är vrndrs konjugt så tt mn får termer med kvdrter i nämnren. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 7 / 59 Exempel Om vi skll bestämm lösningen till differentilekvtionen y t) = yt) yt)), då 0 < y0) < så kn vi divider båd sidorn med yt) yt)) och integrer över 0, s) så tt resulttet blir s y t) s 0 yt) yt)) dt = dt. 0 I integrlen på vänstr sidn kn vi gör vribelbytet yt) = u så tt y t) dt = du och u = y0) då t = 0 och u = ys) då t = s. Då får vi ys) y0) du = s. u u) G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 8 / 59

Exempel, forts. För tt kunn räkn integrlfunktionen prtilbråksuppdelning u u) du gör vi en u u) = A u + B u, och koefficientern A och B kn vi räkn ut så tt A = lim u A u 0 u + u B ) u = lim u u 0 u u) =, B = lim u) A ) u u + u) B u = lim u u u u) =. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 9 / 59 Exempel, forts. Dett innebär tt s = ys) y0) u + ) u du = / ys) y0) lnu) ln u)) = lnys)) ln ys)) lny0))+ln y0)) = ln Av dett följer i sin tur tt ys) y0)) y0) ys)) = es, och sedn, efter diverse räkningr, tt ) ys) y0)). y0) ys)) ys) = e s y0) + e s )y0). G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 0 / 59

Trpetsregeln Antg tt mn känner till funkionens f värden i punktern = x 0 < x <..., < x n = b och mn vill räkn f x) dx. Vd kn mn gör? Till exempel så här: Vi bildr någon enkel funktion f så tt f x j ) = f x j ) och räknr f x) dx. Hur skll vi välj f? Tex. med linjär interpolering så tt f x) = x j x x j x j f x j ) + x x j x j x j f x j ), x j x x j.. x 0 x x x 3 x 4 x 5 x 6 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Trpetsregeln, forts. Vd är f x) dx? f x) dx = n j= / xj x j xj n f x) dx = f x) dx j= x j x j x) x j x j ) f x j ) + x x j ) ) x j x j ) f x j) = n j= x j x j f xj ) + f x j ) ). G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59

Trpetsregeln: Formel Dett är också en god ide om mn känner f x) i ll punkter x och i synnerhet om delintervllen är lik lång, dvs. x j x j = n b ) och då får mn f x) T n f,, b) = b f x0 ) + f x ) +... f x n ) + f x n ) ) n = b n f x 0) + f x ) +... f x n ) + f x n) ). Observer tt mn räknr värden v funktionen f i n + punkter och den först och den sist delr på koefficienten. När ger trpetsregeln rätt svr? Åtminstone i de fll då f är kontinuerlig och f är i vrje intervll x j, x j ) där j =,..., n ett polynom med högst grdtlet, dvs. f x) = α j x + β j kun x x j, x j ). G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 3 / 59 Trpetsreglen: Feluppskttning Antg tt n = och intervllet är [ h, h ]. Om nu f är tex. två gånger kontinuerligt deriverbr och om f 0 x) = f 0) + f 0)x så är f x) = f 0 x) + f x) där f x) är sådn tt för någon konstnt C gäller f x) C x. Nu är h h På smm sätt ser mn tt T f x) dx C h h x dx = C h 3. f, h, h ) C h 3 4. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 4 / 59

Trpetsreglen: Feluppskttning, forts. Eftersom h f h 0 x) dx = T f0, h, h ) så får mn med h f x) dx T f, h, h ) h h = h f 0 x) dx + h h f x) dx T f 0, h, h h h f x) dx + T ) T f, h, h ) f, h, h ) Ch 3. Om mn nvänder n delintervll skll mn dder feluppskttningrn så tt f x) dx T n f,, b) Cb b )h )3 = C n, h = b n. Med en noggrnnre nlys kn mn vis tt konstnten C kn vr mx x [,b] f x). G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 5 / 59 Trpetsregeln och extrpolering Antg tt funktionen f är sådn tt T m f,, b) f x) dx + C m. Då är T m f,, b) f x) dx + 4 C m. Dett är ett ekvtionssystem där de obeknt är f x) dx och C och m som lösning får mn då mn multiplicerr den senre med fyr och subtrherr den först från resulttet) f x) dx 4 3 T mf,, b) 3 T mf,, b). Om n är ett jämnt tl så är S n f,, b) = 4 3 T nf,, b) 3 T n f,, b) och mn får Simpsons regel! G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 6 / 59

Simpsons regel Om mn delr intervllet [, b] i två delr [x 0, x ] och [x, x ] där x j = + j b så skll mn enligt Simpsons regel räkn f x) dx S f,, b) = 4 3 T f,, b) 3 T f,, b) = 4 3 b 4 f x 0 + f x ) + f x ) b 3 f x 0) + f x )) = b f x0 ) + 4f x ) + f x ) ). 6 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 7 / 59 Simpsons regel, forts. Om ntlet delintervll är n där n är ett jämnt tl så får mn genom tt dder då mn skriver x j = + j b n ) f x) dx S n f,, b) = b f x0 ) + 4f x ) + f x ) 3n + 4f x 3 ) + f x 4 ) +... + f x n ) + 4f x n ) + f x n ) ). Observer tt termern f x j ) där j är udd ges en större vikt 4 än de termer där j är jämn, vilk hr vikten bortsett från den först och den sist termen som delr på vikten. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 8 / 59

När ger Simpsons regel rätt svr? Antg tt n = och tt intervllet är [ h, h]. En räkning visr tt f x) = f x) = x f x) = x f x) = x 3 h h h h h h f x) dx = h och S f, h, h) = h 6 f x) dx = 0 och S f, h, h) = h 6 f x) dx = / h h 3 x 3 = h3 3 och S f, h, h) = h 6 h + 4 0 + h ) = h3 3, h h + 4 + ) = h, h + 4 0 + h) = 0, f x) dx = 0 och S f, h, h) = h 6 h3 + 4 0 + h 3 ) = 0, men om f x) = x 4 så är h h x 4 dx = h5 5 S f, h, h) = h5 3 ). G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 9 / 59 När ger Simpsons regel rätt svr? forts Av dett ser mn tt Simpsons regel ger rätt svr åtminstone om f är kontinuerlig och f är ett polynoim med grdtlet högst 3 på vrje intervll x j ), x j ) där j =,..., n. Simpsons regel: Feluppskttning Antg tt n = och intervllet är [ h, h]. Om nu f är tex. fyr gånger kontinuerligt deriverbr och om f 0 x) = f 0) + f 0)x + f 0)x + 6 f 0)x 3 så är f x) = f 0 x) + f x) där f x) = Ox 4 ) dvs. det finns någon konstnt C så tt f x) C x 4.Nu är h h På smm sätt ser mn tt f x) dx C h h x 4 dx = C h 5. 5 S f, h, h) C h 5 3. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 0 / 59

Simpsons regel: Feluppskttning, forts. Eftersom h h f 0x) dx = S f 0, h, h) får mn v föregående olikheter h f x) dx S f, h, h) h h = f 0 x) dx + f x) dx S f 0, h, h) S f, h, h) h h h f x) dx + S f, h, h) C h 5. h h Om mn nvänder n intervll skll mn räkn ihop n feluppskttningr där h = b n så tt f x) dx S n f,, b) Cb b )h4 )5 = C n 4. Med en noggrnnre nlys kn mn vis tt mn som konstnt C kn välj 80 mx x [,b] f 4) x). G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Mittpunktsregeln En nnn, mycket enkel och nturlig, metod är tt del upp integrtionsintervllet i n delr som oft men inte lltid är lik lång), räkn ut funkionens värde i delintervllens mittpunkter och multiplicer dess med intervllens längd och sedn dder. Om intervllen är lik lång får mn M n f,, b) = n j=0 b n f + b ) n j + ). Mittpunktsregeln ger rätt svr om funktionen som skll integrers är ett polynom med högst grdtlet i vrje delintervll. Som feluppskttning får mn M nf,, b) f x) dx Kb )3 4n, ifll f x) K då x, b). G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59

Obs! Det som här sägs om numerisk integrering berör inte br frågn hur mn skll räkn ut någon integrl utn också hur mn kn resoner llmänt beträffnde numerisk räkningr och pproximtioner. Feluppskttning: Grundide Mn räknr på åtminstone två tillräckligt olik) sätt och jämför resultten. I de flest fll kn bsolutbeloppet v skillnden nvänds som en övre gräns för bsolutbeloppet v felet i den bättre metoden! G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 3 / 59 Ett numeriskt exempel Mn skll räkn integrlen I = x dx vrs exkt värde nturligtvis är I = 4 3.333333333. Derivtn v funktionen x är inte begränsd i närheten v origo så mn kn inte vänt sig tt mn med de metoder som här presenterts kn få speciellt exkt resultt.med trpetsmetoden får mn följnde värden n 8 6 3 64 T n.86566.3660.376.338 T n I 0.046767 0.07073 0.00670 0.005 T n T n 0.09694 0.0090 0.003955 n 8 56 5 04 T n.3354.33305.33333.33398 T n I 0.00079 0.0008 0.00000 0.000036 T n T n 0.0044 0.00050 0.0008 0.000065 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 4 / 59

Ett numeriskt exempel, forts. Om mn nvänder Simpsons metod för tt räkn integrlen x dx så är resultten följnde: n 8 6 3 64 S n.33055.36586.3307964.334364 S n I 0.00808 0.007748 0.00537 0.000897 S n S n 0.03060 0.0046378 0.00640 n 8 56 5 04 S n.33306.333.333937.333393 S n I 0.00037 0.000 0.0000396 0.000040 S n S n 0.0005798 0.000050 0.000075 0.000056 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 5 / 59 Ett numeriskt exempel, forts. Vi skll ännu närmre undersök hur snbbt de pproximtioner mn får med trpetsregeln och Simpsons regel konvergerr mot integrlens värde, utn tt utnyttj det fktum tt mn kn räkn ut integrlen. Låt T n = T n x,, ) och ntg tt T n I + C T n τ, Där lltså I = t x dx. Då är så tt och T n I + C T τ n τ, T n T n τ ) C T n τ, T n T n τ ) CT n τ T n T 4n τ ) C = τ T τ n τ G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 6 / 59

Ett numeriskt exempel, forts. Som en pproximtion v prmetern τ får mn lltså ) Tn T n τ log. T n T 4n De numerisk värden ger följnde pproximtioner för τ: n ) 8 6 3 64 8 Tn T n log.4456.467.474.480.4874 T n T 4n n ) 56 5 04 048 4096 Tn T n log.49.4938.4956.4969.4978 T n T 4n G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 7 / 59 Ett numeriskt exempel, forts. Skriv S n = S n x,, ) och ntg tt S n I + C S n σ. Då får mn med smm slgs resonemng och följnde numerisk värden: σ log Sn S n S n S 4n ). n ) 8 6 3 64 8 Sn S n log.4987.4998.5000.5000.5000 S n S 4n G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 8 / 59

Feluppskttning, forts. Med hjälp v ovnstående räkningr och ntgnden T n I + C T n τ S n I + C S n får mn också σ T n I τ T n T n, och och S n I σ S n S n. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 9 / 59 Vribelbyte Om integrtionsintervllet är oändligt långt eller om funktionen inte är begränsd i närheten v någon eller någr punkter så kn det vr omöjligt tt nvänd trpets+ eller Simpsons regel direkt. I somlig fll kn mittpunktsregeln funger bättre.) Dessutom kn det vr så tt fst funktionen är kontinuerlig och intervllet är ändligt långt så kn dess metoder funger onödigt långsmt om f inte är tillräckligt mång gånger deriverbr. Då kn ett vribelbyte vr till hjälp men det finns mång fll då mn inte hr nytt v det. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 30 / 59

Vribelbyte: Exempel 3 0 9 x dx =? Här är problemet tt funktionen som skll integrers inte är begränsd då x 3. Nu är 9 x = 3 + x 3 x och endst den senre fktorn skpr problem. Vi gör vribelbytet 3 x = t så tt dx = t dt, t = 3 då x = 0 och t = 0 då x = 3 och dessutom gäller x = 3 t så tt 3 0 0 dx = 9 x t) dt 3 3 + 3 t t = 3 0 6 t dt. Nu är funktionen som skll integrers oändligt mång gånger deriverbr i integrtionsintervllet [0, 3]. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 3 / 59 Vribelbyte: Exempel 0 dx =? + x 5 Här är problemet det tt integrtionsintervllet är oändligt långt och vi börjr med tt del upp integrlen i två integrler 0 + x 5 dx = 0 I den senre gör vi vribelbytet x = t x = och t = 0 då x = så tt 0 + x 5 dx = 0 + x 5 dx + 0 + x 5 dx + + x 5 dx.. Då är dx = t dt, t = då 0 + x 5 dx + + t )5 t dt 0 t 3 t 5 + dt = Det är ing problem tt numeriskt räkn denhär integrlen. 0 + x 3 + x 5 dx. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 3 / 59

Smmndrg Mittpunktsregeln: f x) dx M n f,, b) = b n n j=0 f + b ) n j + ). Trpetsregeln: x 0 =, x = + b n, x j = + b n j) f x) dx T n f,, b) = b f x0 )+f x )+... f x n )+f x n ) ). n Simpsons regel: f x) dx S n f,, b) = b f x0 ) + 4f x ) + f x ) 3n + 4f x 3 ) + f x 4 ) +... + f x n ) + 4f x n ) + f x n ) ). G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 33 / 59 Lplce-trnsformer Lf )s) = 0 e st f t) dt Exempel L)s) = s Le t )s) = s Lcosωt))s) = Lsinωt))s) = Obs! s s +ω ω s +ω L är en funktion vrs rgument inte är ett tl utn en funktion definerd i 0, ) och som uppfyller viss villkor) och värdet v Lf ) är en nnn funktion definierd åtminstone för ll komplex tl s med Re s) > α för något tl α). G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 34 / 59

Lplce-trnsformen är linjär! Teorem Ifll Lαf + βg) = αlf ) + βlg) För vrje T > 0 är funktionen f är integrerbr i intervllet 0, T ). T lim T 0 e s0t f t) dt existerr för något tl s 0 C så gäller tt T F s) = lim T 0 e st f t) dt existerr då Re s) > Re s 0 ), F s) är nlytisk i mängden { s C : Re s) > Re s 0 ) } dvs. F s) = n=0 n! F n) s )s s ) n åtminstone då s s < Re s s 0 ). Lplce-trnsformen är entydig Om Lf )s) = Lg)s) då Re s) > α så är f t) = gt) för nästn ll t 0. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 35 / 59 Räkneregler, derivtor mm. då F s) = Lf )s) Lf )s) = sf s) f 0) F s) = L tf t))s) ) t L 0 f τ) dτ s) = s F s) Räkneregler, förskjutningsregler mm. då F s) = Lf )s) Le t f t))s) = F s ) Lf t )ut ))s) = e s F s) där ut) = då t > 0, ut) = 0 då t < 0 och 0. L f t) ) s) = F s ), > 0 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 36 / 59

Exempel Antg tt yt) är lösningen till ekvtionen y t) + yt) = 3, y0) = 4. Om Y s) = Ly)s) så är Ly )s) = sy s) y0) = sy s) 4. Eftersom Lplce-trnsformen är linjär och L3)s) = 3 s så får mn när mn tr Lplce-trnsformen v båd sidorn i ekvtionen sy s) 4 + Y s) = 3 s, vilket betyder tt Y s) = 4 s + + 3 ss + ). G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 37 / 59 Exempel, forts. Om mn nu vill bestämm yt) så kn mn gör en prtilbråksuppdelning 4 s + + 3 ss + ) = A s + B s +, och mn får A = lim s 0 B = lim s s A ) s + s B = lim s s + s 0 s + ) A s + s + ) B = lim s ) 4 s + + s 3 ss + ) ) s + ) 4 s + ) s + + s + ) 3 = 5 ss + ). = 3, Dett innebär tt yt) = L 3 s ) 5 + L ) = 3 s + + 5 e t. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 38 / 59

Konvolution fltning) f g)t) = t 0 f t τ)gτ) dτ Lf g) = Lf )Lg) Delt-funktionlen δ T = d dt ut T ) men ut T ) är inte deriverbr så δ T är en generliserd funktion, så tt f t)δ T dt) = f T ). Lδ T )s) = e st, T 0 δ T f )t) = ut T )f t T ), T 0 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 39 / 59 Delbrhet Ett tl delr ett tl b, dvs. b eller b är delbrt med ) om det finns ett heltl k så tt b = k. Kongruens modulo Två tl och b är kongruent modulo n vilket skrivs b mod n) eller n b om de hr smm rest då de dividers med n, dvs. om n delr b: b mod n) n b n b) = b + kn, k Z. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 40 / 59

Z n, kongruensklsser Reltionen b mod n) är en ekvivlensreltion i Z x x, x y y x, x y, y z x z) och delr upp Z i ekvivlensklsser, som klls kongruensklsser eller restklsser), dvs. delmängder {..., n, n, 0, n, n...}, {..., n +, n +,, n +, n +...},..., {..., n,, n, n,...} där ll element i smm ekvivlensklss är kongruent modulo n med vrndr. Mn kn nvänd följnde beteckningr: [k] n def = { m Z : m k mod n) } Z n def = { [k] n : k = 0,,,..., n }, om n > 0 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 4 / 59 Addition, subtrktion och multipliktion i Z n Mn kn vis tt om så är mod n) och b b mod n) + b ) + b ) mod n) b ) b ) mod n) b ) b ) mod n) Därför kn mn definier räkneopertioner i Z n med [] n + [b] n = [ + b] n, [] n [b] n = [ b] n, [] n [b] n = [ b] n, och ll norml räkneregler gäller bortsett från de som gäller olikheter). G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 4 / 59

Modulofunktionen mod Om n > 0 så är mod m, n) det minst icke-negtiv heltlet i kongurensklssen [m] n, dvs. mod m, n) = k om 0 k < n och m k mod n), men mod m, 0) = m och mod m, n) = mod m, n) om n < 0). Obs! mod m, n) = mod m, n) [m ] n = [m ] n Om m och n är positiv tl så är mod m, n) den rest som erhålls då mn dividerr m med n men om m < 0 är denn rest inte positiv. Obs! Oft väljer mn elementet mod m, n) för tt representer kongruensklssen [m] n så tt mn tex. kn tl om tlen 0,,,..., 5 som elementen i Z 6 istället för mängdern [0] 6, [] 6,..., [5] 6 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 43 / 59 Exempel Om en björn går i ide en dg kl 7 och sover i 557 timmr och mn vill vet vid vilket klockslg den vknr dividerr mn först 557 med 4 och får 557 = 06 4 + 3, dvs. 557 3 mod 4). Därför är 7 + 557) 7 + 3) mod 4) = 6 mod 4) vilket betyder tt björnen vknr kl 6. Exempel Teknolog T uppgv tt börjn på hns personnummer är 4089-5. Om mn skll räkn ut kontrolltecknet skll mn räknr resten då det tl som bilds v de nio först numrorn dividers med 3 så tt tlen 0,,...,30 ersätts med respektive A, B, C, D, E, F, H, J, K, L, M, N, P, R, S, T, U, V, W, X, Y. Nu blir mod 49895, 3) = 9, så det fullständig personnumret blir 4089-5X. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 44 / 59

Exempel Om j 0 så är [0 j ] 9 = [0] j 9 = []j 9 = [j ] 9 = [] 9. Om nu x är ett tl som i decimlform är x n x n... x x 0 så är x = x 0 0 0 + x 0 +... x n 0 n och [x] 9 = [x 0 0 0 ] 9 +... + [x n 0 n ] 9 = [x 0 ] 9 [0 0 ] 9 + [x ] 9 [0 ] 9 +... + [x n ] 9 [0 n ] 9 = [x 0 ] 9 [] 9 + [x ] 9 [] 9 +... + [x n ] 9 [] 9 = [x 0 + x + x +... + x n ] 9. Av dett följer den välkänd) regeln tt 9 delr x om och endst om 9 delr summn v siffrorn i decimlformen v x. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 45 / 59 Störst gemensmm delre Om m och n är heltl som inte båd är noll så är ders störst gemensmm delre sgd m, n) = mx{ d Z : d m och d n }. sgd=störst gemensmm delre, gcd= gretest common divisor, och vnligen definierr mn sgd 0, 0) = 0) Om sgd m, n) = sägs tlen m och n vr reltivt prim. Observer tt v defintionen följer tt sgd m, n) = sgd n, m). G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 46 / 59

Inverser i Z n Om [m] n Z n och det finns en kongruensklss [j] n Z n så tt [m] n [j] n = [] n, dvs m j mod n) så säger mn tt [m] n eller br m) är inverterbr i Z n och inversen är [j] n = [m] n. Dett innebär tt mn kn divider med [m] n för det är det smm som tt multiplicer med [j] n. Eftersom m j mod n) så finns det ett heltl k så tt m j = + k n. Om nu d m och d n så gäller d m j k n) dvs. d och då är d =. Därför måste sgd m, n) =. Mn kn också vis tt det omvänd gäller så mn får tt Obs [m] n är inverterbr i Z n sgd m, n) =. Om p är ett primtl så är ll element i Z p som inte är [0] p inverterbr. Exempel Kongruensklssern [] 6 och [5] 6 är de end som är inverterbr i Z 6. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 47 / 59 Euklides lgoritm för tt räkn sgd m, n) Antg tt m > n sgd m, m) = m). Låt r 0 = m och r = n. Räkn ut q i och r i så tt 0 r i < r i och då i så länge r i 0. sgd m, n) = r k om r k = 0. Vrför fungerr Euklides lgoritm? r i = q i r i + r i Det följer v ett llmänt resultt tt om r i = q i r i + r i så är sgd r i, r i ) = sgd r i, r i ) för ll i för vilk r i 0. Eftersom d 0 för ll d gäller sgd r k, 0) = r k vilket innebär tt sgd m, n) = sgd r 0, r ) =... = sgd r k, r k ) = sgd r k, 0) = r k om r k = 0. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 48 / 59

Exempel Om vi vill räkn ut sgd 634, 36) så får vi följnde resultt: 634 = 7 36 + 36 = + 4 = 4 + 8 4 = 8 + 6 8 = 6 + 6 = 3 + 0 så tt sgd 634, 36) =. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 49 / 59 Euklides lgoritm och invers element i Z n Om mn i Euklides lgoritm vlt r 0 = m, r = n och sedn räknt q i och r i för i =,..., k med formeln r i = q i r i + r i tills r k = 0, så tt r k = sgd m, n) så kn mn räkn bklänges så tt mn strtr med ekvtionen r k 3 = q k r k + r k så får mn sgd m, n) = r k = r k 3 q k r k. Sedn sätter mn in r k ur ekvtionen r k = r k 4 q k r k 3 och uttrycker sgd m, n) med hjälp v r k 4 och r k 3 och fortsätter tills mn får sgd m, n) = m + bn. Om nu sgd m, n) = betyder dett tt [] n [m] n = [] n dvs. [] n = [m] n, och [b] m [n] m = [] m dvs. [b] m = [n] m. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 50 / 59

Exempel Om mn vill räkn [3] 67 räknr mn först ut sgd 67, 3) och får 67 = 3 + 3 = + = 0 + = + 0 För tt uttryck sgd 67, 3) med hjälp v 67 och 3 räknr vi bklänges: sgd 67, 3) = = 0 = 0 3 ) = 0 3 + = 0 3 + 67 3) = 67 3 3 Dett innebär tt 3) 3 = 67 så tt 3) 3 mod 67) vilket är det smm som tt [3] 67 = [ 3] 67 = [ 3 + 67] 67 = [35] 67. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 5 / 59 Eulers ϕ-funktion ϕn) = ntlet tl i mängden { m Z : 0 m n, sgd m, n) = }, = ntlet element i Z n som hr en en invers. Eulers teorem Om sgd, n) = och n > så är ϕn) mod n). G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 5 / 59

Fermts lill teorem Om p är ett primtl och sgd, p) = så är p mod p). Potenser i Z p då p är ett primtl Om mn skll räkn ut mod m, p) då p är ett primtl får mn nturligtvis 0 om sgd, p) för då är sgd, p) = p och p eftersom p är ett primtl) och nnrs kn mn utnyttj det fktum tt p mod p) för det innebär tt m mod m,p ) mod p) vilket kn vr mycket enklre tt räkn ut. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 53 / 59 Eulers teorem, bevis Antg tt α,..., α φn) är de invertibl elementen i Z n. Eftersom sgd, n) = hr också [] n en invers och eftersom α β är invertibelt on α och β är det, är också [] n α j invertibelt för ll j. Om nu [] n α j = [] n α k så är α j = [] n [] n α j = [] n [] n α k = α k vilket innebär tt elementen [] n α,... [] n α ϕn) är elementen α,..., α φn) eventuellt i en nnn ordning. Men produktern är de smm, dvs. [] ϕn) n Π ϕn) i= α i = Π ϕn) i= [] n α i ) = Π ϕn) i= α i. Eftersom vrje element α i är inverterbrt, kn vi divider bort ll α i och slutresulttet är tt [] ϕn) n är ett, dvs. ϕn) mod n). G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 54 / 59

RSA-lgoritmen I RSA-lgoritmen nvänds en publik nyckel n, k) för kryptering och en privt nyckel n, d) för dekryptering: Kryptering: Meddelndet, som är ett tl melln 0 och n krypters till b = mod k, n). Det mottgn meddelndet b dekrypters till = mod b d, n). Ideen är den tt vem som helst kn skick meddelnden krypterde med den publik nyckeln men br den som känner till den privt nyckeln, som är svår t räkn ut br med hjälp v n och k, kn dekrypter meddelndet. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 55 / 59 Hur skll nycklrn i RSA-lgoritmen väljs? n = pq där p och q är två olik mycket stor primtl. k är ett inte lltför litet tl så tt sgdk, m) = där m = p ) q ) och det svår med tt räkn ut d är tt bestämm p och q och därmed m om mn br känner till n). Med hjälp v Euklides lgoritm kn d bestämms så tt [d] m = [k] m. Vrför fungerr RSA-lgoritmen? Antg för enkelhets skull tt sgd, n) =. Mn kn vis tt ϕn) = m. Enligt Eulers teorem gäller m mod n) Eftersom k d = + r m är [b d] n = [ k d] n = [ +r m] n = [] n [ m ] r n = [] n [] r n = [] n, vilket betyder tt mod b d, n) = mod, n) =. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 56 / 59

Vd händer om sgd, n)? Eftersom mn ntr tt 0 < < n så är sgd, n) endst då p eller q. Ant tt p så tt = p j c där sgd c, n) = Nu är [b d ] n = [p j c) k ) d ] n = [p k ) d ] j n [c k ) d ] n och eftersom sgd c, n) = så är [c k ) d ] n = [c] n och det återstår tt vis tt [[p k ) d ] n = [p] n för då är [b d ] n = [p] j n [c] n = [p j c] n = [] n. Eftersom q är ett primtl och p q så är sgd p, q) = och därför följer det v enligt Fermts teorem tt p q mod q). Då är också p q )p )r mod q) dvs. p q )p )r = + sq och därför också p +q )p )r = p + spq dvs. [p +m r ] n = [p] n vilket visr tt [p k ) d ] n = [p] n = [] n. Algoritmen fungerr lltså också i dett fll! G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 57 / 59 Exempel Om mn med RSA-lgoritmen skll krypter meddelndet 9 och nvänd den publik nyckeln 55, 3) så skll mn räkn ut mod 9 3, 55). För tt gör räkningen enklre observerr mn först tt 3 = 4 + + + 0 så tt 9 3 = 9 ) ) ) 9 ) 9 9 och mn får mod 9, 55) = mod 8, 55) = 6, mod 9 ), 55) = mod 6, 55) = mod 676, 55) = 6, mod 9 ) ), 55) = mod 6, 55) = mod 56, 55) = 36, mod 9 ) ) ), 55) = mod 36, 55) = mod 9), 55) = mod 36, 55) = 3, mod 9 9, 55) = mod 6 9, 55) = mod 34, 55) = 4, mod 9 ) 9 9, 55) = mod 6 4, 55) = mod 4, 55) = 4, mod 9 ) ) ) 9 ) 9 9, 55) = mod 3 4, 55) = mod 4, 55) = 4, så tt mod 9 3, 55) = 4. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 58 / 59

Exempel, forts. Om mn vill dekrypter meddelndet 4 måste mn känn till den privt nyckeln och den är 55, 7) därför tt 55 = 5, 5 ) ) = 40 och mod 3 7, 40) = mod 6, 40) =. För dekryptering observerr mn tt 7 = + + 0 så tt 4 7 = 4 ) 4 4 och mn får mod 4, 55) = mod 96, 55) = 3, mod 4 ), 55) = mod 3, 55) = mod 96, 55) = 6, mod 4 4, 55) = mod 3 4, 55) = mod 434, 55) = 49, mod 4 ) 4 4, 55) = mod 6 49, 55) = mod 6 6), 55) = mod 56, 55) = 9, så tt mod 4 7, 55) = 9. G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 59 / 59