Algebra och geometri 5B Matlablaboration

Relevanta dokument
Tentamen TMV210 Inledande Diskret Matematik, D1/DI2

LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV FÖRSTA ORDNINGEN

SEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER

4.1 Förskjutning Töjning

1 (3k 2)(3k + 1) k=1. 3k 2 + B 3k(A + B)+A 2B =1. A = B 3A =1. 3 (3k 2) 1. k=1 = 1. k=1. = (3k + 1) (n 1) 2 1

Räkneövning i Termodynamik och statistisk fysik

Om i en differentialekvation saknas y, dvs om DE har formen F ( x, . Ekvationen z ) 0. Med andra ord får vi en ekvation av ordning (n 1).

4.1 Förskjutning Töjning

Transformkodning. Transformkodning. Transformkodning. Transformkodning Grundläggande idé. Linjära transformer. Linjära transformer ( ) ( ) ( )

Robin Ekman och Axel Torshage. Hjälpmedel: Miniräknare

Tentamen i Matematik 1 HF1901 (6H2901) 8 juni 2009 Tid:

där a och b är koefficienter som är större än noll. Här betecknar i t

TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF1004 TEN

Kontinuerliga fördelningar. b), dvs. b ). Om vi låter a b. 1 av 12

Anmärkning1. L Hospitals regel gäller även för ensidiga gränsvärden och dessutom om

Ekosteg. En simulering om energi och klimat

2. Bestäm en ON-bas i det linjära underrummet [1 + x, 1 x] till P 2 utrustat med skalärprodukten

i) exakt en lösning ii) oändligt många lösningar iii) ingen lösning.

Slumpjusterat nyckeltal för noggrannhet vid timmerklassningen

Kontrollskrivning Introduktionskurs i Matematik HF0009 Datum: 25 aug Uppgift 1. (1p) Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:

Hittills på kursen: E = hf. Relativitetsteori. vx 2. Lorentztransformationen. Relativistiskt dopplerskift (Rödförskjutning då källa avlägsnar sig)

TNA003 Analys I Lösningsskisser, d.v.s. ej nödvändigtvis fullständiga lösningar, till vissa uppgifter kap P4.

Lösningar till ( ) = = sin x = VL. VSV. 1 (2p) Lös fullständigt ekvationen. arcsin( Lösning: x x. . (2p)

DEMONSTRATION TRANSFORMATORN I. Magnetisering med elström Magnetfältet kring en spole Kraftverkan mellan spolar Bränna spik Jacobs stege

Undervisande lärare: Fredrik Bergholm, Elias Said, Jonas Stenholm Examinator: Armin Halilovic

Lektionsuppgifter i regressionsanalys

Umeå Universitet Institutionen för fysik Daniel Eriksson/Leif Hassmyr. Bestämning av e/m e

Knagge. Knaggarna tillverkas av 2,0 ± 0,13 mm galvaniserad stålplåt och har 5 mm hål för montering med ankarspik eller ankarskruv.

HOMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER MED KONSTANTA KOEFFICIENTER

NÅGRA OFTA FÖREKOMMANDE KONTINUERLIGA FÖRDELNINGAR. Fördelningsfunk. t 2

re (potensform eller exponentialform)

spänner upp ett underrum U till R 4. Bestäm alla par av tal (r, s) för vilka vektorn (r 3, 1 r, 3, 22 3r + s) tillhör U. Bestäm även en bas i U.

TENTAMEN I FINIT ELEMENTMETOD MHA APRIL 2016

Föreläsning 1. Metall: joner + gas av klassiska elektroner =1/ ! E = J U = RI = A L R E = J = I/A. 1 2 mv2 th = 3 2 kt. Likafördelningslagen:

ANALYS AV DITT BETEENDE - DIREKTIV

247 Hemsjukvårdsinsats för boende i annan kommun

ICKE-HOMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER MED KONSTANTA KOEFFICIENTER, ENKLA HÖGERLED

Räkneövningar populationsstruktur, inavel, effektiv populationsstorlek, pedigree-analys - med svar

Revisionsrapport 2/2010. Åstorps kommun. Granskning av lönekontorets utbetalningsrutiner

OLYCKSUNDERSÖKNING. Teglad enplans villa med krypvind Startutrymme: Torrdestillation av takkonstruktion Insatsrapport nr:

Tentamen i SG1140 Mekanik II, Hjälpmedel: Papper, penna, linjal. Lycka till! Problem

Lust och risk. ett spel om sexuell hälsa och riskbeteenden

Uppskatta ordersärkostnader för tillverkningsartiklar

KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER ( Allmänt om kontinuerliga s.v.)

Revisionsrapport 7/2010. Åstorps kommun. Granskning av intern kontroll

TEORETISKT PROBLEM 3 VARFÖR ÄR STJÄRNOR SÅ STORA?

Tryckkärl (ej eldberörda) Unfired pressure vessels

GRAFISK PROFILMANUAL SUNDSVALL NORRLANDS HUVUDSTAD

ICKE-HOMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER MED KONSTANTA KOEFFICIENTER, ENKLA HÖGERLED

TENTAMEN I FINIT ELEMENTMETOD MHA AUGUSTI 2018

INTRODUKTION. Akut? RING:

Uppskatta ordersärkostnader för inköpsartiklar

EKOTRANSPORT Vägen till en fossiloberoende fordonsflotta. #eko2030

Tentamen i SG1140 Mekanik II, Inga hjälpmedel förutom: papper, penna, linjal, passare. Lycka till!

Bilaga 1 Kravspecifikation

Lösningar till tentamen i Kärnkemi ak den 18 december 2000

Yrkes-SM. tur och retur. E n l ä r a r h a n d l e d n i n g k r i n g Y r k e s - S M

Kurs: HF1903 Matematik 1, Moment TEN2 (Analys) Datum: 21 augusti 2015 Skrivtid 8:15 12:15. Examinator: Armin Halilovic Undervisande lärare: Elias Said

Åstorps kommun. Revisionsrapport nr 4/2010. Granskning av kommunens kommunikation med medborgarna

24 poäng. betyget Fx. framgår av. av papperet. varje blad.

Föreläsning 7. Signalbehandling i multimedia - ETI265. Kapitel 5. LTI system Signaler genom linjära system

Bengt Sebring September 2000 Sida: 1 Ordförande GRANSKNINGSRAPPORT 2/2000

ICEBREAKERS. Version 1.0 Layout: Kristin Rådesjö Per Wetterstrand

TENTAMEN I FINIT ELEMENTMETOD MHA AUGUSTI 2017

Del 1 Teoridel utan hjälpmedel

Epipolärgeometri och den fundamentala matrisen. Epipolarlinje. Epipoler. Exempel. vara dess avbildning i två bilder genom

Referensexemplar. Vi önskar er Lycka till! 1. Välkommen till Frö-Retaget

Enkätsvar Sommarpraktik Gymnasiet 2016

Bengt Sebring September 2002 Sida: 1 Ordförande GRANSKNINGSRAPPORT 2/2002

Delårsrapport

Krav på en projektledare.

KOMPATIBILITET! Den här mottagaren fungerar med alla självlärande Nexa-sändare inklusive Nexa Gateway.!

Enkätsvar Sommarpraktik - Grundskola 2016

Uppskatta lagerhållningssärkostnader

Tentamen i Linjär algebra , 8 13.

1. Låt M, +,,, 0, 1 vara en Boolesk algebra och x,

Investering = uppoffring av konsumtion i dag för högre konsumtion i framtiden

Kurskatalog 2008 Liber Hermods för en lysande framtid

REDOVISNING AV UPPDRAG SOM GOD MAN FÖR ENSAMKOMMANDE BARN OCH BEGÄRAN OM ARVODE (ASYLPERIOD)

6.14 Triangelelement (CST Constant Strain Triangle)

TENTAMEN I FINIT ELEMENTMETOD MHA JANUARI 2017

BRa mat. helt enkelt INSPIRERANDE OCH HÄLSOSAMMA RÄTTER MED PANERAD FISK.

SAMMANFATTNING INLEDNING Bakgrund Inledning och syfte Tillvägagångssätt Avgränsningar Metod...

Bra mat Helt enkelt INSPIRERANDE OCH HÄLSOSAMMA RÄTTER MED PANERAD FISK.

Gefle IF Friidrott. Rehab

TENTAMEN Kurs: HF1903 Matematik 1, moment TEN2 (analys) Datum: 22 dec 2016 Skrivtid 8:00-12:00

Lösningar till linjära problem med MATLAB

Margarin ur miljö- och klimatsynpunkt.

TRAFIKUTREDNING SILBODALSKOLAN. Tillhör detaljplan för Silbodalskolan Årjängs kommun. Upprättad av WSP Samhällsbyggnad,

Tentamen i SG1140 Mekanik II, Inga hjälpmedel förutom: papper, penna, linjal, passare. Lycka till! Problem

Elementær diskret matematikk, MA0301, våren 2011

om de är minst 8 år gamla

Föreläsning 10 Kärnfysiken: del 2

Uppgift 1. (4p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.) b) Bestäm volymen av parallellepipeden som spänns upp av vektorerna

Arkitekturell systemförvaltning

Malmö stad, Gatukontoret, maj 2003 Trafiksäkra skolan är framtaget av Upab i Malmö på uppdrag av och i samarbete med Malmö stad, Gatukontoret.

Våra värderingar visar vilka vi är resultat från omröstningen

Tanken och handlingen. ett spel om sexuell hälsa och ordassociationer

6.14 Triangelelement (CST Constant Strain Triangle)

Revisionsrapport Hylte kommun. Granskning av upphandlingar

Transkript:

Mariana Dalarsson, ME & Johan Svnonius, IT Algra och gomtri 5B46 - Matlalaoration 6-- Kurs: 5B46 Handldar: Karim Daho

Uppgift Enligt uppgiftn gällr följand vationr: p ( x) + x a + ax + a x a (.) 7 f ( x) x (.) p '( x) + a + ax ax (.) 6 f '( x) 7x (.4) Målt är att stämma a, a, a och a så att följand villor är uppfyllda: p ( ) f (), (.5) p ( ) f ( ), (.6) p '() f '() (.7) p '( ) f '( ). (.8) Dssa villor gr ftr insättning följand linjära vationr: p ) f () a + a + a + a (.9) ( p ) f ( ) a a + a a (.) ( p () f '() a + a + a 7 (.) ' p ( ) f '( ) a a + a 7 (.) ' llr a + a + a + a a a + a a a + a + a 7 a a + a 7 (.) Dtta vationssystm an srivas på följand matrisform: A x (.4) där

A, x a a a a och 7 7 (.5) Dt är sålds värdna i vtorn x vi sa stämma. Vi matar därför in data för A och nligt följand i Matla: A [ ; - -; ; - ] (.6) [ - 7 7]' (.7) Tilldlningn görs md hjälp av lihtstcn och värdna inom lamrar. Värdna är sparrad md lantcn horisontllt och smiolon vrtialt. Vid tilldlningn av används apostrof för att transponra. På så vis sparads några napptrycningar rlativt att mata in värdna sparrad md smiolon. Vi an nu myct nlt stämma värdna i vtor x, md hjälp av vänstrdivision. Dtta ftrsom: Ax A A x A (.8) Eftrsom A A I, nhtsmatrisn, lir dt var: x A (.9) där A är multiplicrad från vänstr. Sull man göra högrdivision iställt, sull följand hända: Ax A x A A (.) A x A ldr int till någonting, ftrsom dt int an förortas till nhtsmatrisn. Rnt allmänt är matrismultipliationn int n ommutativ opration. Md andra ord AB BA, och därmd A A. Matlas funtion för vänstrdivision (lösning av prolmt Ax, där x sös) lydr nligt följand : x A\ (.) För dtta rturnrar Matla: x - (.) http://www.cs.uc.ca/spidr/cavrs/matlaguid/nod7.html

Vilt innär att matris x är som följr: (.) Och d officintr vi söt lir: a a a a SVAR: Polynomt vi söt är p ( x) + x x. Uppgift - Grafr Vi sa göra två plottningar, n md grafr för f(x) och p(x) och n md f(x)-p(x). För åda gällr intrvallt x. Först sapar vi n vtor md d värdn för x som vi sa plotta för: x [-:.:] (.4) Dt som tilldlas ovan är värdn mllan - och för x, md intrvallt,. Därftr måst funtionrna f(x) och p(x) matas in: f x.^7 (.5) p -*x + *x.^ (.6) Eftrsom upphöjt till sa göras för varj lmnt i vtor x måst opratorn. (punt) användas. Vidar an dt nämnas att Matla int tillåtr undrförstådda multipliationstcn, vilt tydr att * måst srivas ut. Vi utför plottningn för f(x) och p(x), rsultat framgår i Figur : plot(x,f,x,p), lgnd ('f(x) x^7', 'p(x) -x+x^', 'Location', 'NW'), titl('plot av f(x) och p(x)') (.7) Kommandot plot tar paramtrar på formn (x, y, x, y, [.]) och ritar in grafrna för d olia parn av x och y-värdn. Kommandot lgnd sapar n ruta md namn på d olia grafrna så man an hålla isär dm, och titl sättr n titl. 4

.8.6 f(x) x 7 p(x) -x+x Plot av f(x) och p(x).4. -. -.4 -.6 -.8 - - -.8 -.6 -.4 -...4.6.8 Figur Åtrstår då att göra plottningn för f(x) p(x). Vi ränar först diffrnsn: d f p (.8) Nu an vi plotta, rsultat s Figur : plot (x, d), titl('plot av f(x) p(x)') (.9) 5

.8 Plot av f(x) - p(x).6.4. -. -.4 -.6 -.8 - -.8 -.6 -.4 -...4.6.8 Uppgift Figur Enligt uppgiftn, har vi n itrativ procss i flra stg. Dt vi vill producra är: o 5 6 96 (.) där är ol, är nsin, är nrgi. För att producra så många andlar ol, nsin och nrgi hövr vi doc dssutom:..... 5 96. 6 9. 96 57 (.) dvs yttrligar 96 nhtr ol, 9 nhtr nsin och 57 nhtr nrgi. Mn för att producra: 96 9 57 (.) hövr vi: 6

7. 5.7 57 9 96....... (.4) osv. Dnna procss fortsättr mdan andlarna i n n n går mot noll. Dn totala mängdn nrgislag som hövs lir därför: o + + + +... (.5) där......., A A o (.6) Från dtta an vi dra slutsatsn att: o o A A A (.7) och o A (.8) osv. Därmd får vi slutsumman: ( ) + + + + 96 6 5... 4 n A A A A A n (.9) Vi vt att för vanliga tal vars asolutvärd är mindr än ( a < ), så gällr:

a + a + a + a +... ( a ) (.) För matrisr vars norm (längd) är mindr än ( A < ), gällr dn linand formln: + A + A + A +... ( I A) (.) Därför hövr vi ontrollra att normn av vår matris A är mindr än. Vi vt att normn för A är dt största av dss gnvärdn. Egnvärdna ränar vi i Matla nligt följand: A [.;...;...] ignvalus ig(a) (.) Där ommandot ig tar fram gnvärdna till matrisn. I vårt fall har vi n -matris, så vi vt att vi sa förvänta oss gnvärdn. Matla rturnrar ocså dtta, nligt: ignvalus -.. -. (.) Vi sr att dt största av gnvärdrna,., är <. Alltså tydr dt att vi an använda forml (.) för att lösa dnna uppgift. Därmd an vi sriva om (.9) till: 5 I 6 (.4) 96 ( A) Dtta an man md fördl räna ut md Matla. Vi matar i Matla in x-nhtsmatrisn I, matrisn A, och vtorn som vi allar v: I y() A [.;...;...] (.5) v [5; 6; 96] Enhtsmatrisn sapads md ortommandot y som tar paramtrn n som står för antalt önsad radr och olonnr. Nu är dt nlt att utföra räningn: Vi får: ((I A)^(-)) * v (.6) 5 5 8

SVAR: Vi hövr 5 nhtr ol, nhtr nsin och 5 nhtr l. Uppgift Enligt uppgiftn har vi att gram dg 4. g ftt 55 g olhydratr 7.5 g protin 5 cal Dssutom gällr: smör x dg soc r y dg vtmjöl z dg summjöl w dg x + y + z + w (.) Från talln givn i uppgiftn an vi då ställa upp: 8 x + y + z + w 4. (.) x + y + 75z + 5w 55 (.) x + y + z + 5w 7.5 (.4) 8 x + 4y + 5z + 4w 5 (.5) för att sriva vila andlar från var och n av ingrdinsrna som gr dn totala mängdn ftt, socr, mjöl, och summjölspulvr. Dtta an srivas som matrisn: 8 8 4 75 5 x 4. 5 y 55 5 z 7.5 4w 5 (.6) Vi an lätt räna värdna på x, y, z och w md hjälp av Matla. Vi allar d olia matrisrna från vänstr till högr för A, v och. Vi matar in matris A och vtor v i Matla: 9

A [8 ; 75 5; 5; 8 4 5 4] (.7) [4.; 55; 7.5; 5] Sdan utför vi vänstrdivision och får som rsultat n vtor md proportionr nligt (.): v A\ x. y. v (.8) z.4 w. Vi vill ha 5 g dg, varför vi multiplicrar varj lmnt i vtor v md 5: v.*5 (.9) Vilt gr som rsultat: 5 5 (.) SVAR: Vi hövr 5 g socr, g smör, g vtmjöl och 5 g summjölspulvr för att laga mormors smörringar. Uppgift 4 Vi har tt plant facvr av följand utsnd: Figur

Lastrna i facvrt i figur står av ndåtritad raftr P i nodrna,5,7 och 9. I övriga nodr är lastrna noll. Vår uppgift är att varira tt oänt P i vrtialld i nod 5, så att dn maximala stångraftn lir. I avsnitt.7. av pdf-filn på hmsidan får vi n gansa dtaljrad ldning för hur man lösr tt linand prolm. Uppgift 4 a) Vi sa avgöra om maxraftn är linjärt rond av dn vrtiala raftn P i nod 5 ((8) i vår matris). Matrisrna A och läss in från filn fac.m: fac (4.) Blastningar i olia nodr avgörs md hjälp av vänstrdivision av A och. Vi tstar att lista lastningarna i ursprungslägt jämt indx (för indxt är intrvallt undrförstått): indx[:7]'; (4.) [indx A\] Vi får n tall md lastningn i d olia nodrna. Enligt talln är dt högsta asolutloppt av lastningn i nod 6; värdt där är 47.45. Dtta sr vi i talln, mn vi an ävn använda följand ommando för att Matla sa hitta värdt åt oss. (Rturvärdn angs som ommntarr ftr procnttcn). max(as(a\)) % 47.45 (4.) Först sr vänstrdivision. Kommandot as gr oss n matris md asolutloppn av rsultrand matris. Därftr hittar max dt största loppt. Vi varirar värdt på (8), dvs nod 5, och sr vila rsultat vi får: (8) ; max(as(a\)) % 56.5685 (8) 6; max(as(a\)) % 94.89 (8) 8; max(as(a\)) %.7 (4.4) (8) ; max(as(a\)) % 5.8494 (8) 6; max(as(a\)) % 88.568 Vi läggr in rsultatn i vtorr som vi sdan plottar (s Figur 4): x [ 6 8 6]; y [56.5685 94.89.7 5.8494 88.568]; plot (x, y), ylal('maxraft'), xlal('(8)'), titl('samandt mllan maxraftn och (8) är linjärt'); (4.5) http://www.math.th.s/math/studnt/courss/5b46/me/67/matla/5b46matlab.pdf

Samandt mllan maxraftn och (8) är linjärt t f a r x a M 5 5 4 6 8 4 6 (8) Figur 4 Vi sr att vi har tt linjärt samand. En altrnativ lösning är att plotta md hjälp av tt program. Rsultatt av dtta visas i Figur 5. fac p[]; raft[]; hl ; for P:: hl(8) P; xa\hl; (4.6) p[p P]; maxmax(as(x)); raft[raft max]; nd plot(p,raft) grid Sillnadn här är att jot utförs automatist, mn principn är hlt dn samma. Vi varirar värdn för högrldt, lösr ut x, sättr in värdna för maxraft och (8) i vtorr och onstatrar att vi har tt linjärt samand.

4 t f a r x a M 8 6 4 8 6 4 4 6 8 4 6 8 (8) Figur 5 Vi an ävn onstatra att vi grafist an stämma värdt för (8) sådant att maxraft lir till omring 7. Vi an md hjälp av Basic Fitting på Tools-mnyn (altrnativ linar) stämma vår linjs vation. Vi får att p.948 och m p 7.7. Ellr så användr vi polyfit, nligt ndan: polyfit (p, raft, ) (4.7) Inparamtrar var (x-värdn, y-värdn, viln grad vi anpassar till). Rturvärdn är samma som d vi fic från Basic Fitting. Härifrån an vi nlt stämma tt ättr värd för (8), nligt räta linjns vation: ( y m) 7.7 y x + m x 7. (4.8).948 Uppgift 4 ) Enligt data från filn fac.m för godtycligt P, an vtor srivas som följr [ P ] T (4.9) llr [ (+P-) ] T (4.)

llr [ ] T + (P-)[ ] T (4.) Evationn (4.) an srivas ortar som + (P - ) 8 (4.) där [ ] T, (4.) är dn högrldsvtor som rhålls för P, och 8 [ ] T, (4.4) är dn åttond nhtsvtorn av dimnsion 7. Därmd har vi visat lihtn (4.). Uppgift 4 c) Md hjälp av lihtn (4.) an vi sriva om matrisvationn Ax, nligt följand: A x + (P - ) 8 (4.5) Vi an nu dla upp vtor x i n summa av två vtorr y och z, d.v.s. x y + z (4.6) så att A (y + z) + (P - ) 8 (4.7) llr A y (4.8) A z (P - ) 8 (4.9) Då vår matrisvation är n linjär vation, sr vi att lösningn för vtor y är just dn lösningn vi tidigar fått för P. Kofficintmatrisn A är i åda vationrna (4.8) och (4.9) dnsamma. Uppgift 4 d) Md hjälp av vationn (4.4) an vi sriva följand: A x + (P - ) 8 (4.) 4

llr x A - + (P - ) A - 8 (4.) Då dn maximala stångraftn finns i stångn 6, atar vi lmntt x 6 inom vtorn x och srivr: x 6 A - (6) + (P - ) A - (6) 8 (4.) där A - (6) är dn sxtond radn i matrisn A -. Då vtorn 8 har formn 8 [ ] T (4.) är dt ara dt 8: lmntt i radvtorn A - (6) som gr n produt som är sild från noll. Dt 8: lmntt i radvtorn A - (6), tcnar vi md A - (6,8). Därmd får vi från (4.): x max x 6 A - (6) + (P - ) A - (6,8) (4.4) llr P [ x max - A - (6) ]/ A - (6,8) (4.5) llr slutlign P [ x max - A - (6) ]/ A - (6,8) + (4.6) För att nu unna räna fram P för tt givt värd av x max, hövr vi ara räna fram matrisn A - och sdan xtrahra radvtorn A - (6), samt räna värdt på produtn A - (6), som är tt vanligt tal. Sdan hövr vi xtrahra lmntt i sxtond radn och åttond olumnn av matrisn A -, d.v.s. A - (6,8), som ocså är tt vanligt tal. Dtta gr oss paramtrarna av dn linjära vationn: P x max + m (4.7) som vi annars fått fram numrist ocså. Gnom analys av vationrna (4.6) och (4.7) sr vi att och m angs av: / A - (6,8) (4.8) m - A - (6) / A - (6,8) + (4.9) Värdna för A läss in md hjälp av filn fac.m, och vi matar in värdna för (4.): fac [ ] ' (4.) Vi vill att Matla sa rturnra flr värdsiffror än vad dn normalt gör (4 iställt för 4). Vi utnyttjar ommandot format för dtta: format long (4.) 5

A - ränas och rsultatt lagras i matrisn B. B A^(-) (4.) Rad 6 i matris B läggs in i n ny vtor C. C B(6,:) (4.) Värdt för i vation (4.8) ränas gnom att ta /C(8): /C(8) % gr.666... (4.4) Värdt för m i vation (4.9) vation hämtas från olumn 8 i vtor C Dtta gr alltså: m -(C*)/C(8)+ % gr -9.9999... (4.5).67 (4.6) m 4 (4.7) Nu an P nlt ränas. För x max lir dt: P x + m,666 9,9999 7. (4.8) max Dtta stämmr ocså övrns md dt värd vi fic fram numrist tidigar. Alltså har vi visat hur man an räna ut P för tt godtycligt x max åd analytist och numrist, och att samandt mllan P och x max är linjärt. Rfrnsr:. http://www.math.th.s/math/studnt/courss/5b46/me/67/matla/5b46ma TLAB.pdf Vtorr, matrisr och linjära vationssystm, KTH, 5B46 Gomtri och Algra för IT och ME s hmsida.. http://www.cs.uc.ca/spidr/cavrs/matlaguid/nod7.html Matla Guid - Matrix Oprations 6