F3 Lite till om tidsserier Deflaterig, att justera för iflatioe tatistikes gruder dagtid 4 3,5 3,5,5 Mjölk ockerdricka HT,5 975 976 977 978 979 98 98 98 Löpade priser År Mjölk ockerdricka KPI 945 = 975,34, 347 976,43,33 38 977,63,38 46 978,9,46 469 979,7,5 5 98,4,66 57 98,87,84 64 98 3,38, 695 CB Deflaterig ammasatta ide 4 Löpade priser KPI Fasta priser År Mjölk ockerdricka 945 = 975 = Mjölk ockerdricka 975,34, 347,,34, 976,43,33 38,,3, 977,63,38 46,8,33, 978,9,46 469 35,,4,8 979,7,5 5 44,7,43,4 98,4,66 57 64,6,46, 98,87,84 64 84,4,56, 98 3,38, 695,3,69,,8,6,4,,,8,6,4,, I I 945 I 347 945 975 år år Iår 945 975 975 976 977 978 979 98 98 98 Fast pris 975 år Mjölk ockerdricka Pris år 975 Iår Fasta priser 975 års Laspeyres ide: Kvatiteter vid basåret = Ide L t Varor PQ Varor Paasche ide: Kvatiteter ievarade år t Ide P t Varor t P Q PQ t Varor t P Q t
ampligfördeligar ampligfördeligar Nyquist Kap 5 Tidigare: mycket fokus på e stokastisk variabel och dess fördelig Vi har äve tittat på simultaa fördeligar, två eller tre s.v. Nu: ta ett helt urval och titta på urvalets egeskaper. eare: vi ska aväda urvalet för att dra allmäa slutsatser empirism Ett urval eller med adra ord stickprov är e uppsättig s.v. som beteckas med versaler:,,, När de har observerats beteckas de med gemeer:,,, Ofta skriver ma ett ekelt s för att betecka stickprovet s = {,,, } ampligfördeligar 3 tatistikor Egeskaper hos stickprovet ka bl.a. vara: tickprovsmedelvärdet i Brukar kallas -bar tickprovsvariase s - i i Adele i stickprovet med g egeskap p i i i i omi haregeskape aars Notera att dessa egeskaper är fuktioer av de i stickprovet igåede observatioera Kallas urvalskarakteristikor eller med ett aat ord statistikor Medelvärdet är ett eempel på e statistika. Ia vi observerar stickprovet ka dessa statistikor betraktas som. vadå? tokastiska variabler!
3 tatistikor tickprovsmedelvärdet som s.v. ka beteckas med versal tickprovsvariase likaså och har sia respektive vätevärde variaser och fördeligar och s f f och E E och V V Estaka observatioer Atag att samtliga s.v. i urvalet,,, har samma vätevärde och varias E i = μ och V i = för alla i =,,,. Observera att vi aväder symbolera μ och för att slippa skriva E i och V i varje gåg. tickprovsmedelvärdet Vätevärde: μ i E E E E E E...... tickprovsmedelvärdet Vi atar att samtliga i är korsvis oberoede sisemella Varias: V V V V V V V i.........
imultafördelige Eempel Vi kommer ihåg: om och är två s.v. med resp. margialfördeligar f och f och om f, f f så är och oberoede Med ett helt urval om stycke s.v. gäller motsvarade, om f,, f f så är,, korsvis oberoede Atag att i, i =,..., 3 är oberoede diskreta s.v. med gemesam samma frekvesfuk. f i = /3, i =,, 3 Defiiera Y som sittet av dessa, dvs. Y = + + 3. Vad har Y/3 = -bar för fördelig? Vi tittar på atalet möjliga utfall. Eligt multiplikatiospricipe får vi 3 3 = 7 möjliga utfall/urval Eempel, forts. 7 möjliga stickprov 3 3 3 3 itt 4/3 4/3 4/3 5/3 5/3 5/3 5/3 5/3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 itt 5/3 7/3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 itt 7/3 7/3 7/3 7/3 7/3 8/3 8/3 8/3 3 Frekvesfuktioe för sittet -bar 4/3 5/3 7/3 8/3 3 f /7 3/7 6/7 7/7 6/7 3/7 /7 Eempel, forts. Beräka vätevärde och varias för i E i = V i = /3,667 Beräka vätevärde och varias för E V /3/3 /9, Rita frekvesfuktioe både för i och för -bar! 4
Eempel, forts. tickprovsmedelvärdet 3,5,45,4,35,3,5,,5,,5,5,5,5 3 3,5,3,5,,5,,5,5,5,5 3 3,5 Nu vet vi vätevärde och varias för stickprovsmedelvärdet! I eemplet ia var utfallsrummet för i diskret, Ω ={,,3} För var utfallsrummet också diskret, Ω ={, 4/3, 5/3,, 7/3, 8/3, 3} Frågor som uppstår Vad gäller i adra fall? Om i a är ormalfördelade? Eller är? Fall avsitt 5. Fall, forts. Observatioer frå e ormalfördelad populatio Variase är käd Resultat: Om alla i dessutom är ormalfördelade med samma vätevärde och varias så är - bar också ormalfördelad Dvs. i ~Nμ, ~Nμ, Vi kommer ihåg trasformatioe - E -μ Z V och att Z ~ N, För har vi motsvarade trasformatio - E Z V -μ -μ och att Z ~ N, 5
Fall : Eempel Atag i ~ N4,6 för i =,,6. Beräka Pi > 4 P 4 P -4 6 4-4 PZ,5 6 Fall, forts. Vi iser att fördelige för -bar är smalare ä de ursprugliga fördelige Dvs. de har e midre varias - PZ,5 -,695,385 Variase beror på ; ju större desto midre varias. Beräka P > 4; = 6 När följer att V P 4 P -4 6/6 4-4 6/6 PZ Kom äve ihåg att E = μ - PZ -,9775,75 χ-fördelige För ormalfördelade i har vi -μ Zi i där Zi ~ N, Bilda kvadrate i - μ Z och summera st oberoede Zi över stickprovet - μ χ i i i χ-fördelige χ är e stokastisk variabel χ är χ-fördelad med parameter! frihetsgrader Notera riske för förvirrig; χ aväds som symbol både för de stokastiska variabel och dess fördelig! Vi skriver χ ~ χ Om i vill udvika förvirrig skriv t.e. Q isf χ och Q ~ χ 6
χ -fördelige 3 χ -fördelige 4 Ata att χ ~ χ. Då gäller att Utfallsrummet för χ är, Eχ = Vχ = Rimligt? Obs! χ -fördelige är ite symmetrisk När vi aväder tabelle måste vi iblad leta upp ett värde för västersida och ett aat för högersida tickprovsvarias: i - i Trasformatio sid 4: C Det gäller att C ~ χ - och EC = VC = - t-fördelige Vi skapar ytterligare e stokastisk variabel ur ågra som vi reda har! Z ~ N, χ ~ χ ν Z och χ är oberoede viktigt kapa de ya s.v. T eligt T χ Z ν t-fördelige T är t-fördelad med ν frihetsgrader Vi skriver T ~ tν Utfallsrummet för T är -, Om ν >, ET = Om ν >, VT = ν/ν- Parameter! Rimligt? t-fördelige påmier om stadardormalfördelige Z tryck bara till på toppe och lite saolikhet rier ut åt sidora! ν? 7
t-fördelige 3 t-fördelige är liksom stadardormalfördelige symmetrisk krig oll När vi aväder tabelle räcker det att slå upp värdet för högersida av fördelige och utyttja Dubbelbokig på schemat de 9 oktober; både geomgåg av teta samt gruppövig för gr. B Nytt datum för de blir 7 oktober kl. 6 i B43. Uppdaterat schema fis på hemsida PT -t α = PT > t α F4 ampligfördeligar Urval eller stickprov som e uppsättig s.v.:,,, Observeratioer av dessa s.v.:,,, Egeskaper hos stickprovet ka bl.a. vara: stickprovsmedelvärdet, stickprovsvariase, adele i stickprovet, p eller P tatistikor! tatistikor och och p har sia respektive vätevärde variaser och fördeligar E och E V och V f och f s 8
-bar ampligfördeligar Eemplet: de estaka observatioeras fördelig Atag att alla s.v. i urvalet,, har samma vätevärde och varias; E i = μ och V i =. Atag att samtliga,, är korsvis oberoede. Då gäller: E E μ V i V i,5,45,4,35,3,5,,5,,5,5,5,5 3 3,5 Eemplet: stickprovssittets fördelig,3,5,,5,,5,5,5,5 3 3,5 Fall avsitt 5. χ -fördelige Observatioer frå e ormalfördelad populatio oberoede Variase är käd Resultat: Om alla i dessutom är ormalfördelade med samma vätevärde och varias så är - bar också ormalfördelad Dvs. i ~Nμ, ~Nμ, Atag stycke oberoede Z i sådaa att alla Z i ~ N,. umma av alla dessa, är χ -fördelad med frihetsgrader och vi skriver χ ~ χ. Utfallsrummet =, Eχ = χ Vχ = fördelige är ite symmetrisk Z i i 9
Fördelige för t-fördelige tickprovsvariase: - i i Trasformatio sid 4: C - Vi skapar ytterligare e s.v.: Z ~ N, χ ~ χ ν, dvs. ν frihetsgrader Z och χ är oberoede viktigt kapa de ya s.v. T eligt T χ Z ν Det gäller att C ~ χ - och EC = VC = T är t-fördelad med ν frihetsgrader och vi skriver T ~ tν Utfallsrummet för T är -, Om ν >, ET = Om ν >, VT = ν/ν- Fall avsitt 5.5 Fall, forts. Observatioer frå e ormalfördelad populatio oberoede Variase är okäd För hade vi trasformatioe -μ Z ~ N, Oftast är är okäd; skapa istället -μ T ~? Frå sid 9, för att ta reda på fördelige för T: -μ T - -μ Z - Z där Z ~ N, och C ~ χ - C T ~ t- Z - Z
Eemplet frå Fall ammafattig Atag i ~ Nμ, för i =,,6. Beräka P > μ + ; = 6, me μ, är okäda, aväd s = 6 P μ P - μ P -μ / / P T 6/6 Jämför med fallet med käd varias; gav saolikhete,75 Obs! Tabelle är ite avädbar här! Har avät program för att beräka saolikhete. Vad som gäller för Alltid: E E i μ Oberoede observatioer: V Z -μ Z ~ N, T -μ T ~ t- - C ~ χ- PT,3973 där T ~ t5 stycke oberoede observatioer frå e ormalfördelad populatio med vätevärde μ och varias : V i Normalfördelade observatioer: Z ~ N, alt. T ~ t- Ej ormalfördelade observatioer me Z N, C Cetrala gräsvärdessatse Frå sid : Forme på sampligfördelige för e Z-trasformatio av urvalsmedelvärdet ärmar sig forme för e stadardiserad ormalfördelig då urvalsstorleke ökar. Dvs. Z - E N, V är
CG CG Gäller oavsett vilke fördelig de eskilda observatioera är draga frå. Tumregel: mist = 3 observatioer Vi ka aväda CG direkt på eller lijära fuktioer av -μ Z N, Me Ju mer populatioes fördelig skiljer sig frå e ormalfördel., desto större stickprov krävs. mi erfarehet, CG fugerar väldigt bra med symmetriska fördeligar T Z μ Nμ, N μ, Kap 5 sid 3-4 CG Adelar/proportioer När fy,5,4 =,3,,, y 3 4 fy, = 3 fy,3 =,,, y 3 4 5 6 7 fy, = 4 Adele i stickprovet med g egeskap: p i i i omi haregeskape aars Detta är iget aat ä ett medelvärde! Alltså CG!,, 3 4 5 6 7 8 9 y,, 3 4 5 6 7 8 9 y 3 Betecka med P de stokastiska variabel P i i
Adelar/proportioer Atag att vi gör oberoede observatioer Atag att de saa adele/proportioe är π där < π < Låt Y = P vara atalet i urvalet med egeskape Vad har Y för fördelig? Y ~ Bi,π Adelar/proportioer 3 Trasformera Y tillbaks till P EP = EY/ = π VP = VY/ = π-π/ Me P är ett medelvärde och eligt CG P Nπ, π-π är med vätevärde och varias EY = π VY = π-π Eempel Eempel, forts. Atag att 5 % skulle rösta på republikaera i det kommade presidetvalet i UA Vi tar ett urval av storlek = å PZ,5 -,5,5,48 PZ -,4 - Φ,4,34446 Vad är saolikhete att P,5? Me bättre med halvkorrektio Defiiera Z P -,5,5,48 P -,5,4996 och eligt CG så Z N, P Z,5 -,5 PZ -,3,5,48 - Φ,3,38 Eakt beräkig ger,386 3
Avslutig CG F5 CG rep är typiskt baserad på e summa av oberoede lika fördelade s.v. Kom ihåg: - E Z V är N, Egetlige säger CG att summor av olf s.v. går mot e ormalfördelig. Väldigt måga statistikor bygger på summor av olf s.v. Hur är det med stickprovsvariase t.e.? Frå sid : Forme på sampligfördelige för e Z-trasformatio av urvalsmedelvärdet ärmar sig forme för e stadardiserad ormalför-delig då urvalsstorleke ökar. Dvs. är -μ Z N, Gäller oavsett vilke fördelig de eskilda observatioera är draga frå. Tumregel: mist = 3 observatioer CG Utveckla och aväd CG Vi ka aväda CG direkt på eller lijära fuktioer av -μ Z T Z μ N, Nμ, N μ, Kap 5 sid 3-4 Eempel : Atag att i ~ Poλ W = summa av oberoede i Då är W ~ Poλ Me eligt CG: W Nλ,λ Eempel : Atag att Z i ~ N, Då gäller att Z i ~ χ W = summa av oberoede Z i Då är W ~ χ Me eligt CG: W N, 4
Kap 6 Uppskattig Uppskattig Ofta vill ma kua säga ågot om ett populatiosmedelvärde μ eller gruppmedelvärde alt. Utfallet av ett eperimet täks vara fördelat eligt ågo modell och vi vill kua säga gt om vätevärdet E i = μ De eda iformatio vi har är stickprovet och de statistikor vi ka beräka Vissa statistikor käs mer aturliga att aväda som uppskattigar för olika parametrar ä adra. E. stickprovs- -medelvärdet skattar μ -variase skattar -adele P skattar π Kallas för puktskattigar. det eskilda värde som ma aväder som bästa gissig för värdet på de okäda parameter Begrepp och termer Osäkerhet i skattigar Uppskattig eller bara skattig tatistika som aväds för att skatta parameter, i detta fall μ, kallas e skattig av μ eg. estimator Det umeriska värde som ma seda observerar kallas e skattig av μ eg. estimate Defiitioe av begreppet osäkerhet på sid 5 ger e god sammafattig: När saolikhete är stor att skattige ligger lågt frå det saa värdet så är osäkerhete stor. När saolikhete är lite att skattige ligger lågt frå det saa värdet så är osäkerhete lite. 5
Osäkerhet i skattigar kattiges egeskaper E statistika som väljs för att skatta e parameter är e s.v. Om dea har e stor varias så är det större saolikhet att de ska hama lågt bort dvs. stor osäkerhet Om de har e lite varias så är saolikhete relativt sett midre att de ska hama lågt bort dvs. lite osäkerhet Vätevärdesriktig: I det läga loppet kommer vi i sitt pricka rätt. Bias och ubiased Kosistes: V / När går variase mot oll Betyder att saolikhete att ligga lågt frå μ miskar är ökar Osäkerhete miskar. E μ Jämför med Figur 6. sid 5 katta μ katta μ Vätevärdesriktig eg. ubiased och osäkerhet Atag att vi drar ett stickprov av storlek frå e ormalfördelad populatio med käd varias Vi aväder som puktskattig för μ Vi vill uttala oss om osäkerhete krig puktskattige. ~ Nμ, -μ Z ~ N, 6
aolikhete att ligga i ett itervall aolikhete att hamar i itervallet μ -,96,μ,96 Pμ -,96 P-,96 P-,96 Z,96 P Z,96 - P Z -,96,96-,975 -,95 μ,96 -μ,96 se äve Tabell aolikhete att ligga i ett itervall Upprepade stickprov ger olika medelvärde 95 % saolikhet att hamar i itervallet µ -.96 / µ +.96 / Area =.95 µ Lägg itervallet rut det observerade istället! 95% av alla stickprovsmedelvärde hamar här Fördelig för stick- provsmedelvärdet.5% av alla stickprovs- medelvärde hamar här.5% av alla stickprovsmedelvärde hamar här Väd på det tokastiska itervall Byt plats på och μ: Dvs. låt gräsera för itervallet vara slumpmässiga 95 % av alla möjliga itervall täcker μ Ma skattar ett itervall, ite bara e pukt Pμ -,96 P- -,96 P,96 P,96,95 μ,96 -μ -,96 μ,96 μ,96 visste vi reda -.96 / µ tickprovsmedelvärde här ger KI som INTE täcker i µ tickprovsmedelvärde här ger KI som täcker i µ Jämför med Figur 6. sid 8 +.96 / tickprovsmedelvärde här ger KI som INTE täcker i µ 7
Kofidesitervall Kofidesgrade När vi observerat ett och skapar ett KI så är det ite stokastiskt Det är m.a.o. ite korrekt att säga att det är 95 % saolikhet att itervallet täcker μ Me om vi upprepar hela procedure skulle 95 % av alla KI täcka i μ Kofidesgrade är 95 % grade av tilltro Kallas ett 95 % kofidesitervall för μ Lägde på itervallet kallas de statistiska felmargiale Varför just 95 %? Varför ite 5, 75, 9 eller 99,9 %? Ma ka välja kofidesgrade helt fritt me 95 % är valigt om ite det valigaste. Hur säker vill ma vara? Bredare itervall högre kofides fler KI täcker μ Högre kofides bredare itervall Vad krävs för % kofides? Ett oädligt itervall -, Kofidesitervall Kofidesgrade Notera att för givet värde på så bestäms itervallets lägd, dvs. felmargiale, av Kofidesgrade 95 % ger oss värdet,96 Tabell Vilket värde skulle vi få vid 9 %? 99 %? tickprovsstorleke eftersom V större stickprov mer iformatio Bestäm kofidesgrad = -α E. 95 %,95 = -α α =,5 Hälfte av α läggs i vardera svas e Figur 6.3 sid lå upp värdet för z α/ i Tabell E. z,5 =,96 95 % KI E. z,5 =,6449 9 % KI E. z,5 =,5758 99 % KI 8
Formler K.I. för μ Formler K.I. för μ. Normalfördelade observatioer, variase är käd 3. Ej ormalfördelig me stort stickprov, variase är käd z α/ Tabell z α/ Tabell. Normalfördelade observatioer, variase är okäd; aväd s 4. Ej ormalfördelig me stort stickprov, variase är okäd t - α/ s Tabell 3 z α/ s e till att ha stort! Eempel Bredvidläsig Atag att vi observerar följade = 33, s = 6, = 5 Bestäm ett 95 % KI för μ,95 = -α α/ =,5 Frihetsgrader = - = 4 4 I Tabell 3 avläses t,5,64 Ett 95 % KI för μ ges av t -,5 s = 33,64 4 5 Nyquist: Kap 4 och Thuré: Kap 5 Dessa avsitt kommer ite att eamieras eplicit me det rekommederas att i läser igeom dem = 33 ±,65 eller 3,35, 34,65 9