Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF903 SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖR 3-ÅRIG Media TIMEH TORSDAGEN DEN TREDJE JUNI 200 KL 4.00 9.00. Examiator: Guar Eglud, tel. 790 74 06 Tillåta hjälpmedel: Läroboke. Formel- och tabellsamlig i Matematisk statistik. Räkare. Iförda beteckigar skall förklaras och defiieras. Resoemag och uträkigar skall vara så utförliga och väl motiverade att de är lätta att följa. Numeriska svar skall ages med mist två siffrors oggrahet. Tetame består av 6 uppgifter. Varje korrekt lösig ger 0 poäg. Gräse för godkät är prelimiärt 24 poäg. Möjlighet att komplettera ges för de tetader med 22 23 poäg. Tid och plats för kompletterig kommer att ages på kurses hemsida. Det akommer på dig själv att ta reda på om du har rätt att komplettera. Tetame kommer att fias tillgäglig på elevexpeditioe sju veckor efter skrivigstillfället. Uppgift a X, Y och Z är oberoede ormalfördelade stokastiska variabler, E(X = 2, E(Y = och E(Z = 0. Alla har varias 2. Beräka (4X 3Y > 5Z. (5 p b I e produktiosprocess blir eheter felaktiga oberoede av varadra och alla med saolikhet 0.00. Ma tillverkar 8000 eheter. Beräka saolikhete att högst 0 av dessa är felaktiga. Välmotiverade approximatioer får avädas. (5 p Uppgift 2 aberäka mista-kvadrat skattige θ avθ då maerhållit observatioera x,x 2,...,x på e stokastisk variabel med täthetsfuktio { θx θ om 0 x f(x = 0 aars Beräka äve det umeriska värdet på θ då ma erhållit observatioera 0.5, 0.40, 0.28 och 0.70. (5 p b Ma erhöll θ = 0.58 baserat på = 00 observatioer. Ge ett approximativt 95 % kofidesitervall för vätevärdet på fördelige i a och beräka frå detta ett approximativt 95 % kofidesitervall för θ. (5 p
forts tetame i SF903 (f d 5B250 0 06 03 2 Uppgift 3 Kocetratioe av e aktiv igredies i ett material tros påverkas av vilke katalysator som aväds i processe. Stadardavvikelse av de aktiva kocetratioe är käd till att vara 3.0 g/l, oberoede av katalysatortekik. Tjugo observatioer av kocetratioe togs, tio frå katalysator och tio frå katalysator 2 med följade resultat: Katalysator : 57.9 66.2 65.4 65.4 65.2 62.6 67.6 63.7 67.2 7.0 Katalysator 2: 66.4 7.7 70.3 69.3 64.8 69.6 68.6 69.4 65.3 68.8 Fis det ågo aledig att tro att de aktiva kocetratioe beror på valet av katalysator? Basera ditt svar på beräkig av ett lämpligt 95%-kofidesitervall. Observatioera atas vara ormalfördelade. (0 p Uppgift 4 Vid e tillverkigsprocess kotrolleras de tillverkade ehetera av e datorstyrd sesor. Härvid är de betigade saolikhete för att e ehet klassificeras som defekt, givet att de är defekt, lika med 0.9 och de betigade saolikhete för att e ehet klassificeras som korrekt, givet att de är defekt, lika med 0.. Vidare är de betigade saolikhete att klassificera e ehet som korrekt, givet att de är korrekt, lika med 0.85 och de betigade saolikhete att klassificera e ehet som defekt, givet att de är korrekt, lika med 0.5. Vad är de betigade saolikhete att e ehet är defekt givet att de klassificerats som defekt, om saolikhete för e defekt ehet är 0.? (0 p Uppgift 5 X,...,X,X + är oberoede stokastiska variabler, N(m,σ-fördelade och X = (X +...+X är det aritmetiska medelvärdet av de första av dessa. Vi vill aväda X för att prediktera värdet på X +, dvs. vi försöker förutsäga värdet på de ästkommade observatioe. rediktiosfelet är e stokastisk variabel Z defiierad som Z = X + X. a Beräka vätevärdet och stadardavvikelse för prediktiosfelet Z samt bestäm saolikhetsfördelige för Z. Noggraa motiverigar krävs. (5 p b Beräka gräsvärdet lim ( Z > σ, där Z ärabsolutbeloppetochdefiierasav x = x,omx > 0och x = x,omx 0. (5 p Uppgift 6 De stokastiska variabel X är N(0, fördelad. Beräka fördeligsfuktioe för de stokastiska variabel Y = Φ(X, där Φ( är fördeligsfuktioe för X. Motivera oggrat! (0 p
Avd. Matematisk statistik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I SF903 (f d 5B250 SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖR 3- ÅRIG MEDIA TIMEH TORSDAGEN DEN TREDJE JUNI 200 KL 4.00 9.00. Uppgift a Vi har att (4X 3Y > 5Z = (5Z 4X + 3Y 0. Sätt U = 5Z 4X + 3Y. Vi får att E(5Z 4X + 3Y = 5 0 4 2 + 3 = 5 och V(U = V(5Z 4X + 3Y = 25V(Z+6V(X+9V(Y = 00, dvs D(Z = 0 Alltså får vi att U N(-5,0 och ( 0 ( 5 (U 0 = Φ = Φ(0.5 = 0.695 0 b Låt X vara atalet felaktiga eheter. Då är X atalet gåger hädelse felaktig ehet tillverkad har uppkommit i 8000 oberoede försök och således är X Bi(8000,0.00. Vi ka ite aväda tabell och därför approximerar vi. Saolikhete p < 0. och poissoapproximatio är tillåte, X är approximativt o(8000 0.00=o(8. Vi erhåller i tabell 7. (X 0 = 0.86 Uppgift 2 Sätt fördeliges vätevärde till m. Kvadratsumma Q = i= (x i m 2 skall miimeras. Derivata Q = 2 i= (x i m är 0 för m = m = x, vilket ger miimum. Eftersom m = x 0 θxθ dx = 0 θxθ dx = θ[ xθ+ θ+ ] 0 = θ erhåller vi att MK-skattige av θ θ+ θ uppfyller = x, vilket iebär att θ + θ = x. Med siffror isatta erhålls x = 0.3825 och x alltså θ = 0.694. b Om X har fördelige i a är E(X 2 = 0 x2 θx θ dx = θ och variase är θ+2 σ2 = E(X 2 m 2 = ( θ ( θ θ+2 θ+ 2 θ =. Eligt cetrala gräsvärdessatse är X approximativt N(m,σ/ och ett kofidesitervall för m ges av x ± λ α/2 d där d är e (θ+ 2 (θ+2 skattig av stadardavvikelse σ/. Me skattige av σ ges av σ θ = (θ + 2 (θ +2. Eftersom x = θ erhålls umeriskt att x = 0.367 och θ + σ = 0.300. Atalet observatioer = 00 och λ 0.025 =.96. Detta ger att itervallet 0.367 ±.96 0.300/0 = 0.367 ± 0.0588 = (0.3083, 0.4259 är ett approximativt 95 % kofidesitervallet för m. Me att 0.3083 m 0.4259 är ekvivalet med att 0.3083 θ 0.4259, d.v.s. θ+ 0.3083(+θ θ 0.4259(+θ vilket i si tur är ekvivalet med att 0.4457 θ 0.749 varför detta sista itervall är ett approximativt 95 % kofidesitervall för θ. Uppgift 3 Två oberoede stickprov. Observatioera frå katalysator atas vara N(µ,3 och de frå katalysator 2 N(µ 2,3. Kofidesitervall för µ µ 2 ges av x ȳ±λ 0.025 σ + 2 där x är
forts tetame i SF903 (f d 5B250 0 06 03 2 medelvärdet av data frå katalysator, ȳ är medelvärdet för observatioera frå katalysator 2, σ 2 = 3 2 = 9 och = 2 = 0 (kombiera FS. och 0.2 a. Eftersom λ 0.025 =.96 erhåller vi itervallet 65.22 68.48±.96 3 /0+/0 = 3.2 ±2.63. Eftersom 0 ite tillhör itervallet ka vi på sigifikasivå 5% dra slutsatse att katalysatorera skiljer sig åt. Uppgift 4 Iför följade beteckigar: K = e ehet är korrekt. D = e ehet är defekt. K = e ehet klassificeras som korrekt. D = e ehet klassificeras som defekt. Eligt uppgifte har ma att (D = 0. och och ( D D = 0.9, ( K D = 0. ( K K = 0.85, ( D K = 0.5. SÖKT är de betigade saolikhete för att( e ehet är defekt givet att de klassificerats som defekt, dvs. med beteckigara ova, D D. För att bestämma dea saolikhet utyttjas Bayes formel, som ger ( D D ( D D (D = ( D. Eligt lage om total saolikhet ka ämare i högra ledet uttryckas som ( D = ( D D (D+ ( D K (K som är lika med = 0.9 0.+0.5 0.9 = 0.225, ty (K = (D = 0.. Således får ma ( D D = 0.9 0. 0.225 = 0.4. SVAR: Saolikhete för att e ehet är defekt givet att de klassificerats som defekt är lika med = 0. (a Uppgift 5 E(Z = E ( X + X = E(X + E ( X = m m = 0, ty E ( X = (E(X +...+E(X = m = m. Eftersom X,..., X är oberoede N(m, σ-fördelade variabler, gäller att X = (X +...+X N ( m,σ/
forts tetame i SF903 (f d 5B250 0 06 03 3 Eftersom X,..., X, X + är oberoede N(m,σ-fördelade variabler, är äve X och X + oberoede stokastiska variabler och vi får V (Z = V ( X + X = V (X + +V ( ( X = σ 2 + σ2 = σ2 +. Detta ger D(Z = σ +. Då X och X + är oberoede stokastiska variabler är Z = X + X e lijär kombiatio av oberoede ormalfördelade stokastiska variabler och vi får ( SVAR a: Z N (E(Z,D(Z = N 0,σ +. (b Defiitioe på absolutbeloppet ger N(0,. Eftersom Z är e kotiuerlig stokas- Z Eligt upgiftes del (a gäller, att σ + tisk variabel fås härav att (Z < σ = σ ( Z > σ = (Z < σ+ (Z > σ. Z + < σ σ + = Φ + där Φ(x är fördeligsfuktioe för N(0,. Komplemetsatse och samma stadardiserig ger att (Z > σ = (Z σ = Φ. ( Symmetriegeskape ger Φ lika med + ( = Φ + ( Z > σ = 2 Φ +,. Därmed är de sökta saolikhete +. Eftersom +, då växer mot oädlighete, får vi lim ( Z > σ = 2 ( Φ(. Här aväder vi räkare (alterativt tabell. i Formel- och tabellsamlige, vilket ger att Φ( = 0.843 = 0.59. SVAR b: lim ( Z > σ = 0.38. Uppgift 6 Y ka bara ata värde mella 0 och eftersom Φ( är e fördeligsfuktio, dvs e saolikhet (och dessa ligger som bekat mella 0 och. Eftersom Φ(x = 2 π x e t2 /2 dt,
forts tetame i SF903 (f d 5B250 0 06 03 4 faas att d dx Φ(x = 2 π e x2 /2 > 0. Således är Φ(x mootot växade, och dess ivers Φ existerar. Lå t 0 y. (Y y = (Φ(X y = (X Φ (y = {ty X N(0,} = Φ ( Φ (y = y Alltså få s 0, y < 0, (Y y = y, 0 y <,, y. Dea är fördeligsfuktioe för de likformiga fördelige på [0, ]. SVAR : Y U(0,.