HOMOGENA DIFFERENTIALEKVATIONSSYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER Vi brr sysm v lijär omog DE (v förs ordig) md os offiir dx x x d dx x x d dx x x d där x ), x ( ),, x ( ) är ob fuior v vribl ( Ovsåd sysm srivr vi ofs på mrisform A (sys ) där x x x ( ) ( ), ( ) x ( ) x ( ) x ( ) o A m m m Exmpl: dx d dx d x x x 6x är lijär omog sysm md vå diffrilvior o vå ob Smm sysm på mrisform är A Där x x, x x A 6 --------------------------------------------------------------------------- För lös sysm (sys ) vädr vi ss K Sid v
där K är os vor o slr Vi bsämmr K o gom subsiur ss K i sysm A Vi får K AK som gr (fr förorig md slärfuio ) AK K llr ( A I ) K Därmd är gvärd o K gvor ill mris A LÖSNINGSMETODEN För lös (sys ) bsämmr vi gvärd o gvorr ill mris A gom lös följd vior: i) d( A I ) (v ) ii) För vrj lösig lösr vi följd vorvio ( A I ) K (v ) ( vorvio) dvs ( ) ( ) i) m ( ) (v ) ii) ( ) ( ) m ( ) = (v ) FALL : Mris r sy oli gvärd,, Då är mosvrd gvorr lijär obrod ( ss i lgbr-us): Därför är oså Sid v
K,, K lijär obrod ( Viss l gom bry u drmi) frå olo i Wrosis Därmd är,, fudmlläsigsmägd o därmd är d llmä lösig ill omog sysm A Uppgif Lös omog sysm A där ) A ) b) A b ) ) Lösig: ) Vi bsämmr mriss gvärd o gvorr Sg Förs lösr vi d rrisis vio, d( A I ) (v ) dvs 5 6 Vi r vå (oli) gvärd, Allså r x mris A vå oli gvärd Därför är mosvrd gvorr lijär obrod Sg Lå För vrj rll lösig λ lösr vi vorvio ( A I ) K dvs o bsämmr mosvrd gvorr Sid v
För r vi, llr, Vi får sysm (som r i rivil lösigr) ~ Härv for vi gvorr, ä för s (Viig: är i gvor!!!) Vi bövr gvor o väljr x K Tillörd lösig är K ( llr ) ii ) På smm sä får vi för får vi gvor K Tillörd lösig är K (llr ) D llmä lösig är Svr ) b) På smm sä som i -dl bsämmr vi mriss gvärd o, o väljr mosvrd gvorr rspiv Tillörd bslösigr är K ( llr ) o Sid v
K ( os vor, d är gåg) D llmä lösig är ) Sg ( ) d( A I ) gr ( ) ( ) Vi uvlr drmi fr rdj rd: d( A I ) ( ) ( ) ( )[ ( ) ] ( )( ) D rrisis vio ( )( ) r r lösigr, o som är mriss gvärd Amärig: Om vi uvlr drmi på sä, o förlr, då får vi rdjgrdsvio λ 7 λ λ 8 Om d fis llslösigr ill ovsåd vio då är d dlr ill os rm 8 Vi sr llsforr ill 8 :, 8 Tl λ är lösig (orollr själv) o därför är polyom λ 7 λ λ 8 dlbr md (λ Polyomdivisio gr Sid 5 v
Sid 6 v λ 7 λ λ 8/λ λ 6λ8 Evio λ 6λ8 gr vå lösigr ill o ; Sg För vrj gvärd λ lösr vi vorvio ) ( ) ( o bsämmr mosvrd gvor Vi får följd gvorr ( orollr dsåd svr), ( vi r vl gvor) ;, ;, Fudmllösigsmägd är,, Därmd är d llmä lösig Svr ) Uppgif Lös bgylsvärdsproblm
Sid 7 v () Lösig: Mris A r vå gvärd, Vi väljr illörd gvorr K o K Därmd bidr o fudmllösigsmägd Därför är d llmä lösig Kosr bsämmr vi md jälp v bgylsvillor () Vi r, llr som gr o Därmd är d sö lösig Svr
FALL : Mris r gvärd v muliplii Vi brr fll då gvärd r muliplii = (På lid sä lösr m fll md ögr mulipliir) A gvärd, säg är dubblro ill d rrisis vio d( A I ) Vi bövr fi vå lijär obrod lösigr som ör ill Fll ) Om lösigsrumm ill vorvio ( A I ) K ( dvs Kr ( A I ) ) r dimsio = då vi välj vå lijärobrod gvorr K o K o därmd bild vå illörd lijär obrod lösigr K o K Fll b) Om lösigsrumm ill vorvio ( A I ) K ( dvs Kr ( A I ) ) r dimsio = då väljr vi gvorr K bildr lösig bslösig sör vi md jälp v ss ( K P) (*) För välj K o P så blir lösig subsiurr vi (*) i A ( sys) o får K D dr K ( K P) A( K P) Förs förorr vi vio md o får K ( K P) A( K P) Om vi idifirr offiir frmför får vi AK K llr ( A I ) K (v ) som visr K är illörd gvor (som vi r rd bsäm) Om vi idifirr os vorr får vi ( A I ) P K (v b) Allså, bsämmr vi K o P md jälp v följd vior ( A I ) K (v ) ( A I ) P K (v b) Nor gåg ill lösig ill (v ) är gvor som vi bsämmr i börj v uppgif Därmd r vi vr lös ds (v b) Sid 8 v
Uppgif Lös sysm A där ) A b) A Lösig ) ( ) d( A I ) llr ( ), ( ) Allså är gvärd v muliplii= Frå ( ) ( ) får vi ( ) ( ) dvs sysm s där s är godylig l Allså r lösigs rumm { } dimsio= Vi väljr gvor x K (för s=) E lösig är K För bsämm bslösig lösr vi vio ( A I ) P K (v b) Vi r ( ) p ( ) p Härv p Vi r p o p är godylig l Vi väljr x p P o därmd Därför ( K P) Sid 9 v
Sid v Slulig är d llmä lösig Lösig b) Mris A r vå gvärd: λ= md lg muliplii o λ= md lg muliplii = (Korollr själv) Egvorr: För λ = får vi å, Därmd är illörd grum E (λ =) =sp{, } o r dimsio För λ= r vi mosvrd gvärd ä o illörd grum E (λ =) =sp{ } Fudmllösigsmägd är,, Därmd är d llmä lösig
FALL : Mris r omplx gvärd A d rrisis vio d( A I ) (v ) r ojugrd omplx lösigr bi, Om K är gvor som svrr mo som svr mo bi Mosvrd lösigr är omplx vorfuior Y K o Y K K Y bi då är ojug K gvor K För få rll bslösigr vädr vi följd lijär ombiior (som är, lig suprposiiospriip, oså lösigr ill sysm =A) Y Y Y Y R( Y ) Y Y Y Y o Im( Y ) i i Allså vi l l förl välj K (d lösig som svrr mo bi ) o därfr R( K ) o Im( K ) På d sä får vi vå rll bslösigr ill sysm Uppgif Lös sysm 5 A där A 6 Lösig: Frå d( A I ) r vi d rrisis vio som gr 5 i, För 5 i r vi vorvio ( i) 5 u ( i) u 5v ( i) v u ( i) v Evior är brod ( frsom d( A I ) ) så vi välj v dm o bsämm gvor Vi väljr x dr v u ( i) v llr Sid v
( i) v u Om vi väljr v = r vi u i o därmd är K u ( i) gvor v E lösig är Y K ( i) (5i) som vi förlr (Eulrs forml) K ( i) (5i) ( i) 5 ( Eulrs forml ) (os isi ) (os si ) (si os ) os i si = i i 5 os os si 5 si os 5 i si Härv väljr vi os si R( K ) os 5 si os o Im( K ) = si D llmä lösig är 5 os si os 5 5 si os si Sid v