Mkanik och maritima vtnskapr, Chalmrs Tid och plats: Hjälpmdl: TENTAMEN I FINIT ELEMENTMETOD MHA 2 8 JANUARI 28 8 i M hust Typgodkänd räknar. Lösningar Lärar: Ptr Möllr, tl (772 55. Bsökr sal ca. 5 samt 6 3. Lösningar: Btygsättning: Rsultatlista: Granskning: Anslås på anslagstavlan, avdlningn för dynamik, 9/; s ävn kurshmsidan. En fullständig och korrkt lösning på n uppgift gr poäng nligt vad som angs på uppgiftslappn. Smärr fl l till poängavag. Ofullständig lösning (svar på ställt problm saknas llr omfattand fl gnt något poäng. Maximal poäng är 2. Dt krävs 8 poäng för btyg 3; 2 poäng gr btyg ; för btyg 5 krävs 6 poäng. Obsrvra att ovanstånd är btygssättning på nbart tntamn; för godkänd xamination krävs dssutom godkända inlämningsuppgiftr. Anslås snast 22/ på samma ställ som lösningarna. Rsultatn sänds till btygsxpditionn snast 26/ för kursdltagar som int har alla inlämningsuppgiftr godkända vid dtta tillfäll inrapportras btygt U (unkänd. onsdag 2/ 2 5, plan 3 i Nya M hust. Tänk på: Skriv så att dn som ska rätta kan läsa och förstå hur du tänkr. Dn som rättar tntamn gissant llr antant vad du mnar/tänkr ndast vad som vrklign skrivs har btydls vid bdömningn av n lösning. Förklara/dfinira införda btckningar. Rita tydliga figurr. Ang i förkommand fall vad som är positiva/ngativa riktingar (på t.x förskjutningach kraftr. Gör du antagandn utövr d som angs i uppgiftstxtn, så ang dtta xplicit och förklara dssa. 28 8/PWM
Låt vara tt områd i ( x, y plant och btckna dss rand md ; n är n utåtriktad nhtsnormal till områdt. Vidar låtr vi v v( x, y vara n (skalär funktion och q q x ( x, y q y ( x, y T n vktorvärd funktion, som båda är dfinirad på. Då gällr divqd q T nd (divrgnstormt där divq q x q y +, samt vdivqd v q T nd ( v T qd (Grn Gauss sats där ( v T v v. Btrakta stationär värmldning gnom n sfärisk vägg. Om väggns innr och yttrradi är rspktiv, och tmpraturn är u i på insidan och u o på utsidan, så gs tmpraturn u( r som lösningn till randvärdsproblmt d 2du kr r i < r < u( u i u( u o där k är värmldningskofficintn (trmisk konduktivitt. a: Variationsfromulra problmt. (2p b: FE formulra problmt md tstfunktionr nligt Galrkins mtod och härld lmntstyvhtsmatrisn för tt lmnt md två linära basfunktionr. (2p c: Btrakta n sfär md, m och 2, m. Använd två linära lmnt för att approximra tmpraturn mitt i väggn, om u i 3 C och u o C. (2p N N 2 r j h r j + r j r j + r Lösning a: Multiplicra diffrntialkvationn md n tstfunktion v v( r och intgrra övr d 2du intrvallt: v kr. Partill intgration gr kr 2 dv du kr 2 du du v. Eftrsom är obkant vid r och vid r, måst vi här bgränsa våra val av tstfunktion så att v( v(. Variationsproblmt blir då: Bstäm u så att kr 2 dv du u( r i u i, u( u o v( v( 2 28 8/PWM
Lösning b: Approximra u md n linärkombination av basfunktionr N i ( r : u u h Na, md T basfunktionrna N N N 2 N n och nodvariablrna a a a n. Approximation sätts in i variationsproblmt och tstfunktionrna väljs nligt Galrkin, dvs v, i, 2,, n ; vi får då kr 2 dn i du h, i, 2,, n llr på matrisform: kr 2 dn T dn. a N i För tt lmnt md två linära basfunktionr på intrvallt r j r r j + har vi dn --, där är lmntts längd. Dtta gr att är kon- h h r j + r dn T dn j ---- stant. Vi får då: N N N2 h 2 r j + K kr 2 dn T dn k ---- h 2 r 2 k -------- r 3 r j + k( r j + r j [ ] rj ----------------------------- r j r j + r j Lösning c: Md två lika långa lmnt har vi nodkoordinatrna r, m, + r 2 --------------,5 m och r ; båda lmntn har längdn. Elmntstyvhtsmatrisrna blir 2 2 3 2, m h,5 m k( r K ---------------------- k( r rspktiv 3. Assmblring gr då K 2 ---------------------- k( r 2 ---------------------- a a 3 k( r 3 + ---------------------- a a 3 ( r 2 ( r 2 a k -------- ( r 2 ( r 3 ( r 3 a ( r 3 ( r 3 3 Ka Ekvationssystmt blir då k -------- ( r 2 ( r 2 3 ( r 2 r 3 3 ( ( r 3 ( r 3 ( r 3 a a 3 f f 3 där f och f 3 bror av dn okända randtrmn (s lösning a; ftrsom N och N 3 int uppfyllr kravn på tstfunktionrna ( v( v( måst vi stryka första och trdj kvationn. Vidar gr randvillkorn att a 3 C och a 3 C, så vi får k -------- ( r 2 ( r 3 ( r 3 3 C C ( r ur vilkt 2 3 C -------------------------------------,2 C ( r 3 3 28 8/PWM
2 Ett så kallat fältproblm på tt områd md homogna Dirichltvillkor på randn, dfiniras av randvärdsproblmt div( D φ b i φ på ( y x x y η x( ξ, η y( ξ, η (, 3 där b b( x, y är n bkant källtrm ( blastning, D n bkant konstitutiv matris som är symmtrisk och positivt dfinit, samt φ φ( x, y dn sökta funktionn. (, 2 ξ a: Härld dn svaga formn av randvärdsproblmt ( och gör sdan n finit lmntformulring md tstfunktionr nligt Galrkins mtod. Ang tt uttryck för n lmntstyvhtsmatris och visa hur man får fram tt uttryck för dn så kallad matrisn. (3p b: Antag att vi vill använda isoparamtiska bilinära lmnt där bas och formfunktionr ställs upp i tt lokalt koordinatsystm ξ, η. Visa huvatorna som bhövs för att ställa upp matrisn bräknas. (Du bhövnt tckna xplicita uttryck för form llr basfunktionr, mn dfinira alla btckningar du inför. (2p B B Lösning 2a: Multiplicra diffrntialkvationn md n tstfunktion v och intgrra övmrådt: vdiv( D φ d vbd. Använd nu Grn Gauss sats; vi får: ( v T D( φ d v( D φ T nd + vbd Ingånd funktionr måst vara tillräckligt rguljära för att dtta uttryck ska ha någon mning funktionrna måst vara kvaatiskt intgrrbara och ha kvaatiskt intgrrbara första ivator. Därtill måst tstfunktionrna uppfylla v på, ftrsom intgrandn i randintgraln är obkant (( D φ T n äkänd. Tstfunktionn måst alltså satisfira homogna väsntliga randvillkor. Låt V vara rummt av funktionr som uppfyllr dssa villkor. Variationsproblmt kan då skrivas: Hitta φ V så att Välj n basfunktionr N i ur V (konform mtod och låt V h V vara rummt av alla funktionr som kan uttryckas som n linärkombination av basfunktionrna. Spcillt approximrar vi φ n i N i a i och bräknar nodvariablrna a i så att variationsproblmt satisfiras i V h (Galrkins mtod. Alltså har vi: Hitta ( v T D( φ d vbd v V V h så att ( v T D( d vbd v V h För tt lmnt md m basfunktionr, dvs tt på vilkt bara m < n av d n basfunktionrna har noll skilda funktionsvärdn, kan FE approximationn skrivas 28 8/PWM
T N Nm a, så att, där alltså am N a φ ( N a ( N a B a h N m B N. Elmntstyvhtsmatrisn för tt lmnt övr ytan fås nu som N m biagt till FE formulringns vänstrld: K B T DB d Lösning 2b: Isoparamtriska lmnt innbär att basfunktionrna används som form- funktionr avbildningn görs då som x( ξ, η x i N i y( ξ, η y i N i, där ( x i, y i är koordinatn för nod i. Eftrsom basfunktionrna är polynom, bräknar vi nklt ivatorna i x i, x och motsvarand fövatorna av. η i y η i N i ( ξ, η Basfunktionrnas ivator md avsnd på x och y (som bhövs för att ställa upp B fås md kdjrgln: i i η + η + η J T där alltså J T. Md J T ---------- η, dtj, fås då d sökta iva- dtj η η η η η torna som J T η 5 28 8/PWM
3 Md lämplig dfinition av d inr produktrna a (*, * och (*, *, kan dn svaga formulringn av problmt i förgånd uppgift skrivas Bstäm φ V så att a( φ, v ( b, v v V V h där V är rummt av alla tillräckligt rguljära funktionr som uppfyllr homogna väsntliga randvillkor. Låt vidar V vara finita lmntrummt som spänns upp av d valda basfunktionrna; FE formulringn kan då skrivas Bstäm V h så att a(, v ( b, v v V h där alltså är finita lmntapproximationn av φ. a: Givt att d inr produktrna är symmtriska och linära (i båda argumntn, visa att flt φ ärtogonalt mot alla v V h, md avsnd på a (*, * (dvs visa Galrkin ortogonalitt. (p 2 2 b: Visa att a φ a, där * a a (*, * är nrginormn. (2p a Lösning 3a: Subtrahra FE problmt från variationsproblmt. Då fås a( φ, v a(, v, som gällr för dn gmnsamma dfinitionsmängdn, dvs för funktion V h. Eftrsom a (.,. är linär i första argumntt fås alltså a( φ, v a(, v v V h Lösning 3b: Kvaa båda sidor av likhtn:. Vi ska alltså visa att a(, a( φ, φ a(,. Utnyttja att a (.,. är symmtrisk och linä båda argumntn: a 2 φ a 2 2 a a(, a( φ, φ a( φ, φ a(, φ a( φ, φ a( φ, a(, φ + a(, a( φ, φ + a(, 2a( φ, { använd att φ + i sista trmn} a( φ, φ + a(, 2a( +, a( φ, φ + a(, 2a(, 2a(, { så sista trmn är nligt Galrkinortogonalitt } V h a( φ, φ a(, 6 28 8/PWM
q [kraft/längd] Vi vill här bstämma d spänningar σ D( u som uppkommr i n ramkonstruktion, på grund av n randlast md intnsitt (kraft/längd q. Ramn är symmtrisk md avsnd på y axln; av figurn framgåckså lastns placring samt upplagsförhållandna. Om tjocklkn t i z ld är konstant, så kan dn svaga formn av d styrand diffrntialkvationrna nligt 2D lasticittstori skrivas sym y x ( v T D ud v T td (2 Tjocklk t (konstant Här btcknar och områdt rspktiv randn. Vidar T är D n givn konstitutiv matris (symmtrisk och positivt dfinit, v v x v y är n vktor md tstfunktionr, u u x u y T är dn obkanta förskjutningsvktorn, t t x σ xx n x + σ xy n y t y σ xy n x + σ yy n y är traktionvktorn och T. Obsrvra att i (2 har vi int infört randvillkorn. Eftrsom problmt är symmtriskt nöjr vi oss md att stua halva områdt (nligt figurn. a: Ang för dtta fall samtliga randvillkor. Utvckla sdan randintgraln i (2 md hänsyn till randvillkorn samt md baktand av villkorn på tstfunktionrna. (2p b: FE formulra problmt ta hänsyn till randvillkorn. Av din lösning ska dt framgå hur dn obkanta vktorn u approximras. Visa också hur matrisn sr ut för tt lmnt md no. (2p c: I vilkt llr vilka områdn ska man förvänta sig att diskrtisringsflt är störst, om dlas in i lmnt som alla är ungfär lika stora? Motivra ditt svar. (p d: Antag att vi har tillgång till n funktion som md numrisk intgration bräknar lmntstyvhtsmatrisn för tt nods isoparamtriskt lmnt, för Poissons kvation. Vilka föräningar bhövr göras för att iställt gnrra lmntstyvhtsmatrisn till tt lasticittsproblm? (p B K B T DB dtjdξ dη 7 28 8/PWM
Lösning a: Dla in i dlrän nligt figurn. På dn fria oblastad randn är normal och tangntialspänningn fri noll; på dn blastad randn är tangntialspänningn noll grund mdan t y σ yy q t. På symmtrirandn är tangntialspänning och horisontll förskjutning noll. Utmd infästningn,, är vrtikal förskjutning och tangntialspänning noll. Sammanfattningsvis har vi q fri q sym q t x t y på fri t x, t y ----- på t q u x, t y på sym t x, u y på grund grund Utvckla nu randintgraln och sätt in kantblastningn v T td v T d v T t q t d v x v x + + y d + v x v y fri q sym grund t y d På sym och grund är t x rspktiv t y obkanta ( raktionskraftr/yta, så för att bl av md dssa väljr vi v x och v y så att v x på sym och v y på grund. Randtrmn blir då v T td v T q t d q Lösning b: Approximra dn obkanta förskjutningsvktorn gnom u u xh u yh Na där N N N 2 N n N N 2 N n innhållr valda basfunktionr, och a a x a y a x2 a y2 a xn a yn T äbkanta nodvariablr. Vi har då u u h Na Ba där B N N N n N N n Sätt in approximationn i dn svaga formn och välj tstfunktionr nligt Galrkin v N, N, 2, N N 2,, N n, N n Om kvationrna samlas radvis i tt kvationssystm fås 8 28 8/PWM
DBda q N N N n N n d q t llr Ka f md K B T DBd och f N T d q t För tt lmnt md no har vi noll skilda basfunktionch alltså u N N N 2 N 3 N N N 2 N 3 N. Vi har alltså B N N N N N Lösning c: Vid dt inåtvända hörnt har vi n singularitt där spänningarna (förstaivator änas snabbt övr n kort sträcka, dvs vi har stora anaivator här. Därför måst man förvänta sig störst diskrtisringsfl fl i områdt närmast dnna punkt. Lösning d: Md Poissons kvation har vi bara n obkant funktion u u h så approximationn på lmntt är u N a md basfunktionrna N N och motsvarand nod- N2 N3 N variablr samlad i a, samt diffrntialopratorn (iställt för, så vi har B matrisn: B N. Basfunktionrnas ivatorna bräknas som innan ftrsom dn isoparamtriska avbildningn äföränad, mn vi måst nu ställa upp n annan b ovan. u( x, y matris (s uppgift Dn konstitutiva matrisn D, som i dt (2D skalära problmt är n 2 2 matris, ä lasticittsproblmt n 3 3 matris, så lmntstyvhtsmatrisn blir nu 8 8, jämfört md i fallt Poissons kvation. B 9 28 8/PWM