Avd Matematisk statistik TENTAMEN I SF922, SF923 och SF924 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAGEN DEN 29:E MAJ 208 KL 0800 300 Examiator för SF922/SF923: Tatjaa Pavleko, 08-790 84 66 Examiator för SF924: Björ-Olof Skytt, 08-790 86 49 Tillåta hjälpmedel: Formel- och tabellsamlig i Matematisk statistik utdelas vid tetame), miiräkare Iförda beteckigar skall förklaras och defiieras Resoemag och uträkigar skall vara så utförliga och väl motiverade att de är lätta att följa Numeriska svar skall ages med mist två siffrors oggrahet Tetame består av 6 uppgifter Varje korrekt lösig ger 0 poäg Gräse för godkät är prelimiärt 24 poäg Möjlighet att komplettera ges för tetader med, prelimiärt, 22 23 poäg Tid och plats för kompletterig kommer att ages på kurses hemsida Det akommer på dig själv att ta reda på om du har rätt att komplettera Tetame kommer att vara rättad iom tre arbetsveckor frå skrivigstillfället och kommer att fias tillgäglig på studetexpeditioe mist sju veckor efter skrivigstillfället Uppgift Två defekta eheter har av misstag hamat tillsammas med tre felfria eheter För att fia de felfria plockar ma i tur och ordig bort e ehet i taget och testar dea Detta fortsätter tills ma atige har fuit de båda defekta eller de tre felfria a) Bestäm fördelige för X, atalet testade eheter p) b) Bestäm det geomsittliga atalet testade eheter, E X), samt äve D X) p) Uppgift 2 E komplicerad utrustig för automatisk styrig av e produktiosprocess iehåller blad aat 200 elektroiska kompoeter Tide tills e eskild kompoet går söder beskrivs av e expoetialfördelad stokastisk variabel med vätevärde 0 år Atag att olika kompoeter går söder oberoede av varadra För e y utrustig, bestäm, med lämplig och välmotiverad approximatio, saolikhete att mer ä % av de ursprugliga kompoetera har gått söder och därför blivit utbytta) iom ett år 0 p)
forts tetame i SF922/923/924 208-0-29 2 Uppgift 3 I e modell för utyttjadet av ett besprutigsflygpla atar ma att flygplaet är tillgägligt 20 % av tide, uder trasport 30 % av tide och i arbete reste av tide Ma gör mätigar vid 2 tidpukter och ser att flygplaet är tillgägligt 28 % av gågera, i trasport 40 % av gågera och i arbete reste av gågera Testa på ivå % ifall adele tid flygplaet är tillgägligt, i trasport eller i arbete sigifikat skiljer sig frå modelles atagade 0 p) Uppgift 4 Weibullfördelige är e valig fördelig för att beskriva livslägder för kompoeter E stokastisk variabel X sägs vara Weibullfördelad om P X > x) e λ x)β, x > 0 där λ > 0 och β > 0 är fördeliges parametrar a) Härled täthetsfuktioe till X 3 p) För e viss sorts kompoeter är β 2, meda λ är okäd Ma gör därför observatioer av livslägdera på oberoede kompoeter och erhåller värdea ehet: år) 026 030 034 074 09 b) Beräka maximum-likelihoodskattige av λ 4 p) c) Skatta på lämpligt sätt kvatile L 0, dvs det värde som uppfyller P X L 0 ) 0% 3 p) Uppgift E metallurg öskar skatta skillade mella haltera av ett visst äme i två prov A och B Ho gör sju bestämigar på prov A och elva bestämigar på prov B och får resultate x, x 2,, x 7 resp y, y 2,, y Ho beräkar medelvärdea av sia observatioer och får x 98, y 83 och stadardavvikelsera till s x 22 respektive s y 336 De sju resp elva observatioera atas vara oberoede och komma frå Nµ+, σ)- resp Nµ, σ)- fördeligar a) Bestäm ett 9% kofidesitervall för p) b) Ge ett 9% kofidesitervall för de okäda stadardavvikelse σ p) Uppgift 6 E valig frågeställig i sambad med plaerige av försök är Hur måga mätigar måste jag göra? Dea uppgift hadlar om dea frågeställig Vi vill mäta e storhet θ och atar att mätigara X,, X är oberoede och Nθ, )- fördelade där är kät Vi vill testa hypotese H 0 : θ 0 mot alterativet H : θ > 0 Data beteckas med x,, x
forts tetame i SF922/923/924 208-0-29 3 a) Bestäm k k, ), dvs uttryck k som e fuktio av och, så att beslutsregel Om x k förkasta H 0 Om x < k förkasta ej H 0 blir ett test på sigifikasivå % p) Ledig: Bestäm fördelige för X och utyttja defiitioe av sigifikasivå b) Ma vill att beslutsregel i a)-dele skall ha styrka 90% för alterativet θ 0 Detta iebär att ma vill ha P förkasta H 0 ) 09 då θ 0 Bestäm det mista som fuktio av ) så att detta blir uppfyllt p)
Avd Matematisk statistik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I SF922/923/924 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK I TISDAGEN DEN 29 MAJ 208 KL 800 300 a) Möjliga värde på X är Ω X {2, 3, 4} och P X 2) Uppgift 2 ) 3 2 3) ) 0 2 dvs saolikhete att två av två på måfå draga eheter är defekta hypergeometrisk fördelig) Vidare så är 2 ) 3 2 ) 3 0 P X 3) 3) + ) ) 3) 3 0 + 2 0 3 0 2 dvs saolikhete för att atige är tre av tre draga hela, eller så av två draga är e hel och e trasig och detta följs av e trasig Slutlige, 2 ) 3 P X 4) 2) ) 6 0 3 dvs saolikhete att av tre draga är e defekt och två hela Notera att saolikhetera summeras till, vilket aturligtvis ka avädas för att räka ut tex P X 3) ur de två adra b) Vätevärdet beräkas och E X) k E X 2) k kp X k) 2 k 2 P X k) 2 2 0 + 3 3 0 + 4 6 0 7 2 3 0 + 32 3 0 + 42 6 0 27 0 dvs V X) E X 2 ) E X)) 2 27 3) 2 04 så D X) 04 067 Uppgift 2 Låt X beskriva livslägde för e kompoet Då X är expoetialfördelad med E X) λ 0 så är parameter λ /0 Saolikhete att kompoete går söder iom ett år beräkas till p P X ) 0 f X x) dx 0 λe λx dx [ e λx] 0 e λ e 00 0092
forts tetame i SF922/923/924 208-0-29 2 Låt Y beskriva atalet kompoeter av de ursprugliga 200) som gått söder iom ett år Då är Y e Bi, p) Np, p p)) N903, 4)-fördelad stokastisk variabel Normalapproximatioe motiveras av att p p) 7 > 0) Alltså är P Y/ > 0) P Y p p p) > 0 p p p) ) Φ 264) 0999 0004 Exakt räkig ger 00047) Uppgift 3 Detta är test av give fördelig Låt x, x 2, x 3 vara atalet gåger som flygplaet var tillgägligt, uder trasport eller i arbete av de mättillfällea Data sammafattas av Sysselsättig Tillgäglig Trasport Arbete Observerade frekveser, x i 7 0 8 2 Modell, p i 020 030 00 p i 7 2 2 Vi vill testa om H 0 : p 02, p 2 03, p 3 0 Eftersom p > så är p i > för varje i vilket medför att χ 2 -test ka avädas Vi bildar Q obs och jämför de observerade frekvesera x, x 2, x 3 och de förvätade frekvesera i modelle Q obs 3 x i p i ) 2 323 p i Om modelle är korrekt dvs uder H 0 ) är Q obs ett utfall frå e χ 2 2)-fördelad stokastisk variabel Vi förkastar H 0 för stora värde på Q obs och ur tabell får vi att χ 2 00 99 Eftersom Q obs 323 < χ 2 002) 99 så ka vi ite utesluta att modelle är korrekt Svar: H 0 ska ej förkastas, vi ka ite utesluta att modelle är korrekt a) För x > 0 och med P X > x) e λx)β så är Uppgift 4 F X x) P X x) P X > x) e λx)β och f X x) d dx F Xx) 0 e λx)β λ β βx β ) λ β βx β e λx)β, och f X x) 0 om x 0 Not: β ger expoetialfördelige med itesitet λ) b) Baserat på mätigar x,, x, utfall av oberoede Weibull-fördelade stokastiska variabler X,, X med kät värde på β) är ML-skattige av λ det värde som maximerar llλ)) lf X x ) f X x )) {ober} β lλ) + lβ) + β ) lf Xi x i )) lx i ) λ β x β i l λ β βx β i e λx i) β)
forts tetame i SF922/923/924 208-0-29 3 Nu är om d dλ llλ)) β λ βλβ λ β x β i β λ xβ i [ λ β ] 0 x β i Alltså, ML-skattige av λ är λ obs β xβ i x2 i 7233 703 Notera att då β skall λ skattas med /x) c) Vi söker L 00 så att 00 P X L 00 ) F X L 0 ) e λl 0) β dvs som skattas med L 0 l090)) /β /λ L 0,obs l090)) /2 /λ obs l090)/703 09 a) De sammavägda variasskattige s 2 är Uppgift s 2 6s2 x + 0s 2 y 6 894 Kofidesitervallet ges av I x y ± t α/2 x + y 2)s + ) x y 98 83 ± t 002 6)s 7 + 23 ± 22 894 7 + ) 23 ± 307 2) b) Kofidesitervallet för σ 2 ges av ) 6s 2 I σ 2 χ 2 0026), 6s 2 497, 2073) χ 2 0976) eftersom kvatilera χ 2 0026) och χ 2 0976) är 288 respektive 69 Drar vi rote ur gräsera så erhåller vi ett kofidesitervall för σ, dvs I σ 223, 4) Uppgift 6 a) X är Nθ, / )-fördelad Om H 0 är sa, dvs θ 0, så ska P X > k) 00 Vi får
forts tetame i SF922/923/924 208-0-29 4 ) ) X 00 P X 0 > k) P > k 0 k 0 Φ dvs vi har k 0 σ 0 λ 00 som ger k 0 + λ 00 0 + 64 b) Om θ 0 så är X N0, / )-fördelad, dvs 09 P förkasta H 0 ) P X > k) P X > 0 + 64 ) P X 0 > Detta ger utyttja λ 09 λ 00 ) ) σ0 0 + 64 0 X 0 P Φ 64 0 ) ) > 64 0 64 0 λ 00 64 + λ 00) 2 0 2 σ 2 0 34 σ 2 0