Lösningsförslg till fråg 5 Smmnfttning Följnde lceringr för unktern, som frmgår v Tbell, är de bäst vi hr funnit. Utförligre beskrivningr v ders lägen följer i texten: Fråg ), n unkter i en kvdrt n Plcering Minst vstånd Ungefärligt värde 3 3,0353 5 0,707 6 3 6 0,60095 Fråg b), n unkter å rnden v en kvdrt 3 3,0353 5 0,67 6 0,58579 Tbell
Lösningsförslg för olik värden å n För smtlig lösningsförslg hr vi lcert kvdrten med sidn m i ett koordintsystem enligt Fig. All x- och y-koordinter refererr lltså till dett koordintsystem, om ej nnt Fig nges. Vi hr också genomgående i rbetet låtit bli tt nvänd enheten meter utn låtit koordintern vr enhetslös. Vi hr i vrje enskilt fll utgått från den bäst unktlcering vi hr funnit (se Tbell ), och därefter motivert vrför det inte finns någon bättre lcering. Vi hr genomgående betecknt det kortste unktvståndet i vår referensfll (se Tbell ) med. Vi börjr med fråg ), som vser tt finn den otiml lceringen för n 3,, 5, 6 unkter i kvdrten så tt vståndet melln de två unkter som ligger närmst vrndr blir så litet som möjligt. Fråg ) Följnde sts gäller för n 3,, 5, 6 Sts : Minst en v unktern måste ligg å rnden v kvdrten. Bevis: Antg tt ingen v unktern ligger å rnden. Drg n strålr från kvdrtens medelunkt genom vr och en v unktern ut till kvdrtens rnd enligt Fig. Flytt ut vrje unkt längs sin stråle med en hstighet roortionell mot dess ursrunglig vstånd till mittunkten. Fig
När en v unktern når rnden stnnr mn ll unktern och hr nu smm n unkter, inbördes lcerde å recis smm sätt, men med längre vstånd melln sig. Vi hr helt enkelt uförstort figuren som unktern utgör, inklusive ll vstånd, med utgångsunkt från kvdrtens medelunkt. Fllet n 3 Störst möjlig vstånd fås om unktern lcers enligt Fig 3, med koordintern A (0, 0), B (, 3 ) och C ( 3, ). Avståndet melln de två unkter som ligger närmst vrndr är då 3, 0353. Fig 3 Vi skll nu vis tt det inte finns något bättre sätt tt lcer unktern. Enligt Sts måste minst en v unktern ligg å rnden. Vi kn utn vidre nt tt unkten A måste ligg i intervllet [0; 0,5] å x-xeln. Vi låter A vrier i dett intervll, och ritr en cirkel med rdien 3 runt medelunkten A. Ovsett A:s osition å x-xeln så måste de övrig unktern ligg utnför denn cirkel och å ett inbördes vstånd större än. Vi får nu två olik fll: Fll : A:s x-koordint ligger i intervllet A:s x-koordint. 0, 3 För enkelhets skull låter vi x beteckn Fig
Cirkeln runt A innesluter då kvdrtens övre vänstr hörn, vilket gör tt det mximl vståndet melln B och C blir ( x) ( ( x) ) BC () Dett uttryck är lik med då x 0, och är därefter strängt vtgnde. I dett fll kn vi lltså inte få ett minst vstånd som är större än. Fll : A:s x-koordint ligger i intervllet [ 3 ; 0,5]. Återigen låter vi x beteckn A:s x- koordint. Fig 5 Vi hr nu en möjlighet tt låt unkt B ligg i övre vänstr hörnet. Det mximl vståndet till unkten C ges då v ( ) BC x () Inte heller dett uttryck kn bli större än, vi hr dock tt uttrycket är lik med då x 3, men dett ger recis smm fll som vårt ursrunglig, förutom tt unktern hr roterts. Slutstsen är tt minst vståndet melln unktern ldrig kn bli större än 3. Fllet n Störst möjlig vstånd fås om unktern lcers enligt Fig 6, med koordintern A (0, 0), B (0, ), C (, 0) och D (, ). Avståndet melln de två unkter som ligger närmst vrndr är då.
Fig 6 Vi skll nu vis tt dett är den otiml lceringen. Vi hr enligt Sts tt minst en v unktern måste ligg å rnden. Vi kn utn vidre nt tt unkten A måste ligg i intervllet [0; 0,5] å x-xeln. Vi betecknr unkten A:s x-koordint med. Vi drr en cirkel med rdien runt A. Denn cirkel skär kvdrtens vänster- och högersidor i vrsin unkt (i fllet då 0 kommer dess unkter tt hmn i hörnen (0, ) och (, 0) ). Vi skll nu vis tt efter tt unktern B och C hr lcerts in (se Fig 7) kommer inte unkten D tt få lts inuti kvdrten. Fig 7 Lägst möjlig lceringr för B och C är i unktern där cirkeln skär kvdrtens vänsteroch högersid. Vi kllr i fortsättningen dess unkter för B och C, med koordintern B ( 0, ) och C (, ). (3) Vi drr en linje från B till C, och märker ut mittunkten M å sträckn BC. Längden v sträckn BC ges då v BC ( ) () Vi drr nu cirklr med rdien och medelunktern B och C. De skär vrndr i en unkt ovnför BC. Dett är den lägst möjlig unkt tt lcer unkten D i, och vi kllr därför unkten för D. Vi skll nu beräkn y-koordinten för D (den får lltså inte bli större än ).
Fig 8 Punktern B, C och D bildr en tringel. Vi beräknr först längden v höjden MD i denn tringel. Den ges v ( ) BC MD (5) Därefter beräknr vi sträckn m, det vill säg unkten D:s höjd ovnför unkten M (skillnden i y-koordinter): ( ) MD m. (6) BC ( ) Vi konstterr därefter tt unkten M hr en y-koordint som är medelvärdet v unktern B:s och C:s y-koordinter, det vill säg (7) och slutligen får vi unkten D:s totl y-koordint genom tt dder uttrycken (6) och (7), det vill säg vståndet från x-xeln u till unkten M, och vståndet (skillnd i y- koordinter) från unkten M u till unkten D:
( ) ( ) (8) Summn v dess två termer är lik med då och endst då 0 (kom ihåg tt vi endst tittr å i intervllet [0; 0,5] ), men är större än för ll ndr. Därmed hr vi vist tt unkten A måste ligg i hörnet (0, 0), och enligt resonemnget i texten måste unkten B ligg i (0, ), unkten C i (, 0) och unkten D i (, ), recis enligt det ursrunglig ntgndet. Fllet n 5 Störst möjlig vstånd fås om unktern lcers enligt Fig 9, med koordintern A (0, 0), B (, 0), C (0, ), D (, ) och E (0,5; 0,5). Avståndet melln de två unkter som ligger närmst vrndr är då 0, 707. Fig 9 Det är lätt tt se tt det inte finns någon bättre lösning än denn. Vi delr kvdrten i fyr mindre kvdrter med sidn 0,5. Vr och en v dess mindre kvdrter hr en digonl med längden, och kn därför br innehåll en unkt vr, om unktvståndet skll vr större än. Men eftersom vi br hr fyr kvdrter, men fem unkter tt lcer in, kommer vi tt bli tvungn tt lcer två unkter i någon kvdrt, vilket är en motsägelse. Fllet n 6 Det otiml sättet tt lcer 6 unkter i en kvdrt är enligt Fig 0, unktern hr då koordintern A (0, 0), B (, 0), C (½, ⅓), D (0, ⅔), E (, ⅔) och F (½, ). Avståndet melln 3 de unkter som ligger närmst vrndr blir då 0, 60095. 3 6
Fig 0 Vi skll nu vis tt det inte finns något bättre sätt tt lcer unktern. Vi börjr med tt del u kvdrten i 6 likdn fält enligt Fig nedn. Digonlen i vrje sådnt fält är just 3 6. Det betyder tt om det finns ett bättre sätt tt lcer unktern, så måste det finns exkt en unkt i vrje fält. Inget fält kn innehåll två unkter, de får inte lts. Vi gör därefter en likdn udelning, men roterd 90º enligt Fig : Fig Fig Om vi lägger Fig och Fig å vrndr får vi följnde rutmönster, där vi hr numrert de 6 fälten från A till P: Fig 3 Hur skll vi lcer ut vår 6 unkter i Fig 3 så tt det finns en unkt i vrje fält, både enligt Fig och Fig?
Det får inte finns unkter i ll fyr hörnrutorn, ty då kn inte de två sist unktern lcers in (de måste ligg i mittrutorn, men då är de inte tillräckligt långt från vrndr). Om vi hr unkter i tre v hörnrutorn (säg A, D och M), så måste vi även lcer unkter i rut O och L (för tt täck in övre högr hörnet både i Fig och Fig ) och i så fll måste den sist unkten finns i rut F. Dett är en möjlighet. Det finns två sätt tt lcer unkter i två v hörnrutorn. Antingen i två intilliggnde hörnrutor (säg A och D), men då måste vi lcer unkter i både N och O för tt täck in de båd övre rutorn i Fig, men unktern i N och O hmnr för när vrndr. Det ndr sättet är tt lcer unkter i två digonlt lcerde hörn (säg A och P). Då måste även rutorn C, H, I och N innehåll unkter. Dett kn vid en först nblick se ut som en möjlighet, men vi observerr tt hur vi än lcerr unktern i hörnrutorn A och P (lämligtvis i (0, 0) och (, ) ), så kommer cirklrn med rdien 3 6 runt dess unkter tt inneslut så mycket v fälten C, H, I och N tt det inte går tt lcer unkter i dess fält utn tt de kommer för när vrnn. Det är lätt tt se tt det inte går tt lcer unkter i endst en eller ingen v hörnrutorn, v smm nledning som det först två-fllet. Vi hr lltså br en möjlighet tt lcer in unktern i rutsystemet i Fig 3, och vi kn utn vidre bestämm oss för tt hörnrutorn A, D och M skll innehåll unkter, medn rut P skll vr tom. I Fig är det lltså de vit rutorn som skll innehåll unkter, medn de mörk rutorn skll vr tomm. Fig Vi observerr vidre tt ing unkter får ligg å någon v gränslinjern i Fig. Cirkeln runt en sådn unkt innesluter lltid minst två fält i ntingen Fig eller om dess rdie är större än 6 3, och därmed finns det br fyr rutor kvr tt lcer in de övrig fem unktern i. Vi utgår nu från Fig och vgränsr ytterligre de fält vri unktern kunde lcers, genom tt dr cirkelbågr med rdien 3 6 och medelunkten vld så tt ingen unkt förutom cirkelns medelunkt kn ligg inom cirkeln. Medelunkten ligger med ndr ord i ett nnt fält, och å störst möjlig vstånd. Vi vgränsr fält A genom tt dr en cirkelbåge med medelunkt (½, ½). F (0, 0) L, O (½, ) och (, ½) D, M (, ⅔) och (⅔, )
Vi hr nu väsentligt minskt det möjlig utrymmet tt lcer unkter i, och resulttet syns i Fig 5: Fig 5 Vår figur är helt symmetrisk längs digonlen (0, 0) (, ). Vi kn därför utn vidre nt tt unkten i fält F ligger nednför och till höger om denn digonl, eller möjligtvis å digonlen. Vi utgår nu från vårt referensfll, och ser vd som händer om vi försöker flytt unkten C inuti fältet F. Vi skll vis tt om den flytts från sin utgångsosition (½, ⅓), så får inte unkten F lts inuti figuren efter tt unktern D och E hr lcerts ut. Vi skll flytt unkten C dels i sidled och dels i höjdled inuti fältet F (vi låter C vrier i den vit delen v fältet F som ligger till höger om och under huvuddigonlen). Därefter drr vi en cirkel med medelunkt C och rdie 3 6. Eftersom C ligger inom vståndet 3 6 från både kvdrtens vänster- och högersid, men däremot å ett vstånd större än 3 6 från kvdrtens båd övre hörn, kommer cirkeln tt skär kvdrtens vänster- och högersid i två unkter ovnför C. Dess unkter är de lägst möjlig lceringrn för unktern D och E. Fig 6 Vi skll nu se vr unkten F kn lcers. Vi drr cirklr med medelunkter D och E och rdie 3 6. Dess skär vrndr i en unkt ovnför linjen melln D och E. Denn unkt är den lägst möjlig lceringen för unkten F (och vi kllr i fortsättningen denn skärningsunkt för F). Vi skll t red å vr unkten C kn lcers, så tt unkten F fortfrnde ligger inuti kvdrten.
Fig 7 Vi beräknr koordintern för F å följnde vis: Drg en linje melln D och E och märk ut mittunkten G å denn linje. Låt u beteckn skillnden i y-koordinter ( höjdskillnden ) melln D och E. Då blir vståndet melln D och E DE u. (9) Drg normlen h uåt från G. Cirklrn med medelunkter D och E skär vrndr i den unkt F å h som ligger å vståndet 3 6 från D res. E. Längden v sträckn GF blir då GF 3 u 3 u 6 (0) 36 Vi beräknr nu unkten F:s höjd över G, det vill säg skillnden i y-koordinter. Vi observerr tt tringeln GFH (där unkten H ligger rkt nednför unkten F och rkt till höger om unkten G) är likformig med tringeln EDI, och längden v sträckn HF ges därför v 3 u 9u HF 36 u () u 6 vilket lltså är lik med unkten F:s höjd över mittunkten G å sträckn DE. Vi hr fortfrnde inte beräknt unktern D:s och E:s y-koordinter då unkten C förflytts inuti fältet F. Vi börjr med tt låt C flytt s enheter i sidled (x-led i riktning åt vänster). I utgångsläget hr unkten C x-koordinten 0,5. Den ursrunglig tringeln CEJ (se Fig 8) med sidorn 3 6, 0,5 och ⅓ kommer lltså tt få de ny sidlängdern CE 3 6, CJ, 5 s EJ 3 36 0,5 s enligt Fig 8: 0 smt ( )
Fig 8 På smm vis kommer tringeln CDK tt få de ny måtten CD 3 6, CK 0, 5 s smt ( 0,5 ) DK 3 36 s. När unkten C rör sig åt vänster kommer lltså unkten D tt flytts uåt och unkten E flytts nedåt, och mittunkten G å sträckn DE kommer tt få den ny y-koordinten 3 36 ( 0,5 s) 3 36 ( 0,5 s) 3. () Höjdskillnden, det vill säg skillnden i y-koordinter melln D och E (i uttrycket (9) benämnd u) fås genom 3 3 9s 9s 9s 9s u DK EJ ( 0,5 s) ( 0,5 s) (3) 36 36 3 Uttrycket (3) skll sätts in i (), där det skll kvdrers. För tt sr utrymme kvdrerr vi uttrycket innn vi sätter in det: 9s 9s 9s 9s 8s 99s 8s u 3 9. () Nu sätter vi in dett uttryck i (), vilket ger: 8s 99s 8s 8s 99s 8s HF 9, (5) 6
vilket lltså är unkten F:s höjd ovnför mittunkten G å sträckn DE. Den smmnlgd y- koordinten för unkten F fås lltså genom tt dder uttrycken (5) och (), vilket ger: 8s 99s 8s 8s 99s 9 6 8s 3 36 ( 0,5 s) 3 36 ( 0,5 s) 3. (6) Till dett skll vi nturligtvis också dder den sträck t som vi förflyttr unkten C i y-led (uåt) inom fältet F. Vi är ute efter de unkter (s, t) som är sådn tt unkten F:s y- koordint inte överstiger, det vill säg lösningsmängden till olikheten 8s 99s 8s 8s 99s 9 6 8s 3 36 ( 0,5 s) ( 0,5 s) 3 36 t 3 (7) Enklst är det tt här uttryck t som en funktion v s, där t är koordinten i höjdled räknt från unkten (½, ⅓) och uåt, och s är koordinten i sidled räknt från unkten (½, ⅓) och åt vänster. Möjlig lceringr för unkten C blir då den del v fältet F som ligger under och till vänster om grfen t(s). Vi får: 8s 99s 8s 8s 99s 8s 3 3 ( 0,5 s) ( 0,5 s) 9 36 36 t (8) 6 3 som ger följnde grf: Fig 9 Koordintern s och t är ju beräknde från unkten (½, ⅓), men vi är intresserde v grfen t(s) lcering i vårt ursrunglig koordintsystem. Vi utför därför vribelbytet
x 0,5 s y 3 t vilket efter diverse förenklingr ger denn ny funktion y(x): y 36x 7x 3 3 36x 3 96x 59x 360x 936x 99 36x 36x 5 (9) som hr följnde grf: Fig 0 De unkter som utgör möjlig lceringr för unkten C är nu den del v fältet F som ligger under och till vänster om grfen y(x). Vi kllr dett fält för R. Kom ihåg tt vi dessutom br är intresserde v unkter som ligger till höger om och under digonlen (0, 0) (, ), som är inritd i Fig nedn. I koordintsystemet ritr vi även in cirkelbågen z 3 36 x, det vill säg den cirkel inom vilken unkten C inte kn ligg, eftersom den då är för när unkt A. Fig
Då observerr vi tt hel fältet R (mörkgrått) innesluts v cirkelbågen z (ljusgrå), med undntg för unkten (½, ⅓) som ligger recis å z. Grfern är ritde med det symbolhnternde mtemtikrogrmmet Derive 6 från Texs Instruments, och olikheten y(x) < z(x) kn även viss lgebriskt med dett rogrm. Om vi hämtr y(x) från uttrycket (9) och sätter det lik med uttrycket z(x), ger Derive lösningrn 3 3 377 987 987 377 x, (0) 9 9 8 vilket är skärningsunkten som ligger ovnför digonlen, och x () vilket ger tt C måste h koordintern (½, ⅓). Dett visr tt vår ursrunglig lösning vr den end möjlig. Fråg b) Fllet n 3 Eftersom unktern redn ligger å rnden i vårt fll med n 3 i fråg ), där det vr tillåtet tt även lcer unkter i kvdrtens inre, så hr vi nturligtvis ingen bättre lösning då vi begränsr oss till kvdrtens rnd. Fllet n Även här hr vi funnit den otiml lösningen redn i fråg ). Innn vi går in å fllen n 5 och n 6, skll vi bevis någr stser som gäller just för n 5: Sts : Vi kn inte lcer 5 eller fler unkter å rnden v en kvdrt så tt vståndet melln de två unkter som ligger närmst vrndr är. Bevis: Minst en v de fyr sidorn måste innehåll två (eller fler) unkter. Avståndet melln dess unkter är mindre än, såvid inte båd unktern ligger i sidns ändunkter. Men i så fll måste övrig tre unkter ligg å motstående sid, och då är vståndet melln två v dess unkter mindre än.
Sts 3: Ingen unkt kn h fler än två närmst grnnr. (Definitionen v närmst grnne är den enskild unkt som ligger llr närmst unkten i fråg. Om en unkt hr två närmst grnnr så ligger dess å exkt smm vstånd). Bevis: Låt unkten A h unkten B som närmst grnne. Rit en cirkel med medelunkt A och rdie AB. All närmst grnnr till A måste ligg å cirkeln. Men denn cirkel hr enligt Sts en rdie mindre än, och kn därför inte skär motstående sid från unkten A (i fllet då A ligger i ett hörn kn inte cirkeln nå någon v de motstående sidorn). Cirkeln kn därmed br skär kvdrtens sidor å ytterligre ett ställe, förutom i unkten B. Sts Om vi skll lcer n unkter å rnden v en kvdrt så tt vståndet melln de två unkter som ligger närmst vrndr blir så stort som möjligt, så måste vrje unkt h sin närmst och näst närmst grnne å smm vstånd, det vill säg h två närmst grnnr. Bevis: Antg motstsen, det vill säg tt vi hr funnit en otiml lösning, men där en v de två unkter som ligger llr närmst vrndr hr kortre vstånd till sin närmst grnne än till sin näst närmst grnne. Då kn vi förflytt unkten längs rnden i riktning mot den näst närmst grnnen. Dett kommer tt ök vståndet till den närmre grnnen, ovsett om de ligger å smm sid v kvdrten eller ej (enligt Sts 3 kn inte närmst grnnen ligg å motstående sid): I fllet då unkten och dess närmst grnne ligger å smm sid, inses omedelbrt tt vståndet melln dem ökr. I fllet då unkten och dess närmst grnne ligger å olik sidor ökr vståndet från x y till ( x s) y enligt Fig.. Fig Eftersom vi kunde ök vståndet melln de två unkter som låg närmst vrndr, innebär dett tt vi i själv verket inte hde funnit en otiml lösning. Vi får lltså en motsägelse. Sts 5 Om vi skll lcer n unkter å rnden v en kvdrt så tt vståndet melln de två unkter som ligger närmst vrndr blir så stort som möjligt, så kommer ll unkter tt ligg å smm vstånd från sin två närmste grnnr. (Det vill säg: Vi får smm unktvstånd hel vägen runt ). Bevis Dett följer direkt ur sts 3 och : Vrje unkt hr exkt två närmst grnnr, och de ligger å smm vstånd. Närmst grnnens närmst grnne å ndr sidn ligger också å smm vstånd, och så vidre.
Fllet n 5 Det otiml sättet tt lcer fem unkter längs rnden v en kvdrt är enligt Fig 3, med unkter i koordintern A (0, 0), B (, 0), C (, ), D (, ) och E (0, ). Det minst vståndet melln två unkter blir då 0, 67. Fig 3 Plceringrn för dess fem unkter finner vi å följnde vis: Enligt Sts 5 hr vi tt ll fem unktvstånden runt kvdrten måste vr lik, och vi ntr tt en v unktern måste vr lcerd i ett v kvdrtens hörn (vi kommer senre tt vis tt så är fllet). Låt unkt A vr lcerd i (0, 0). Låt unkten B ligg å x-xeln å vståndet från A, och låt unktern C och D vr lcerde så tt vståndet melln dem också är, men så tt C ligger å kvdrtens högersid och D å kvdrtens ovnsid, och båd ligger lik långt från Q (, ). Fig Då hr vi tt QC QD 0, 5. Vi skll nu finn det som är sådnt tt även BC. Vi beräknr längden v sträckn BC enligt: och vi skll lltså lös ekvtionen ( ) ( 0,5 ) BC ()
( ) ( ) ( ) 0 0 0,5 0,5 (3) Insättning v värdet (3) i ekvtionen ger tt vi hr en lösning. (Den ndr lösningen till ndrgrdsekvtionen är större än och därför orimlig.) Därefter är det lätt tt hitt koordintern för de övrig unktern. Vi skll nu vis tt det inte finns någon bättre lösning än dett referensfll. Vi gör dett genom tt förflytt unkten A sträckn s åt höger längs x-xeln. Vi låter sträckorn AB, BC, DE och EA h längden, vilket innebär tt unktern B, C, D och E också kommer tt flytts då A flytts. Vi skll vis tt sträckn CD lltid kommer tt bli kortre än då vi gör dess förflyttningr. Vi hr redn döt hörnet (, ) till Q, och inför nu beteckningrn P, R och S å hörnen (0, 0), (, 0) och (0, ) enligt Fig 5. Fig 5 Vi får nu följnde vstånd: ( ) ( ) ( ) ( ) s DQ s SD s ES s PE s CQ s RC s BR
Vi kn nu beräkn längden v sträckn CD som en funktion v s enligt formeln ( s ) ( ) CD s () Vi sätter in värdet istället för i (), och får då som resultt ett mycket komlicert uttryck, som är svårt tt vgör huruvid det är större eller mindre än. Vi kn dock med hjäl v ett symbolhnternde mtemtikrogrm (Derive 6 från Texs Instruments) konstter tt funktionen är lik med för s 0 (vilket vi visste), och tt funktionen är mindre än i hel intervllet 0 < s < ( )/. Vi behöver inte kontroller större s än så, ty då hr vi smm sitution, igen, men segelvänd. Eftersom längden v sträckn CD lltid är lik med eller kortre än, med likhet endst då s 0, kn vi konstter tt vår ursrunglig lcering v unktern vr den otiml. Fllet n 6 Det otiml sättet tt lcer sex unkter längs rnden v en kvdrt är enligt Fig 6, med unkter i koordintern A (0, 0), B (, 0), C (, ), D (, ), E (, ) och F (0, ). Det minst vståndet melln två unkter blir då 0, 58579. Fig 6 Vi skll nu vis tt det inte finns något bättre sätt tt lcer ut unktern. Vi hr enligt Sts 5 tt vstånden melln två intilliggnde unkter längs linjen måste vr smm överllt, vilket gör tt unktern måste ligg enligt en viss symmetri. Om vi numrerr unktern moturs så hr vi tt unktern A och D måste ligg recis mitt emot vrndr (lik långt från kvdrtens mittunkt och 80º i förhållnde till vrndr), liksom B och E, smt C och F. Vi utgår därför från vårt referensfll och ser vd som händer om vi förflyttr unkten A sträckn s åt höger längs x-xeln. (Vi behöver inte låt s överstig 0, 07, ty
därefter får vi smm fll, br segelvänt). Dett innebär enligt symmetrin tt unkten D flytts sträckn s åt motstt håll längs linjen y. Vi lcerr nu ut unkten B å x-xeln, å vståndet från A. Därefter lcerr vi ut unkten C å kvdrtens högersid, å vståndet från D (se Fig 7). Vi skll nu vis tt längden v sträckn BC kommer tt understig så snrt unkten A flytts från (0, 0). Fig 7 Punkten C ligger å vståndet s från (, ), så den hr y-koordinten s. Punkten B ligger å vståndet s från (, 0), så längden v sträckn BC ges v: ( s ) ( s ) BC (5) Det är inte lätt tt omedelbrt se tt dett uttryck är mindre än för ll s i intervllet 0,. Det är däremot lätt tt se tt uttrycket är lik med då s 0, och om vi kn vis tt uttryckets derivt är negtiv för ll s så hr vi därmed vist (något strkre än) tt sträckn BC lltid är lik med eller kortre än. För enkelhets skull deriverr vi (5) utn rottecknet, det selr ju ingen roll eftersom uttrycket lltid är ositivt. Derivtn blir (efter tt vi hr erstt med ): s 6 s (6) Det är lätt tt konstter tt derivtn är negtiv då s 0, och det innebär heller ing 0 svårigheter tt t frm derivtns nollställe s. Eftersom dett nollställe är större än, så hr vi i själv verket tt funktionen är vtgnde i hel intervllet 0,, och därmed hr vi vist tt BC br blir kortre och kortre ju mer vi flyttr unkten A åt höger. Vår ursrunglig lösning är lltså den otiml.
Där med hr vi vist hur n 3,, 5, 6 unkter skll lcers i eller å rnden v en kvdrt så tt vståndet melln de unkter som ligger närmst vrndr skll bli så stort som möjligt. Björn Winterfjord Cecili Börjesson NTI-Gymnsiet, Göteborg