Användnde v formler för blk på elstiskt underlg Bilg 2 Sidn 1 v 1 Formler från [ ] hr nvänts i exelberäkningr för någr geometrier och någr lstfll. Dess exempel hr också beräknts med FEM för tt kontroller formlerns och klkylbldets noggrnnhet. De visde sig h en god överensstämmelse. Övre melln liven kn betrkts som en pln pltt med dimensionern x b, se figur nedn. Plttn utsätts för ett jämnt fördelt tryck eller någon form v punktlst. Plttn kn vr elstiskt understödd med en. De spänningr och deformtioner som beräkns på dett sätt är överlgrde de spänningr och deformtioner som beräknts för plttn som en sndwich. Figur 1 Skiss v en pnel, streckt område x b kn betrkts som en pltt. Med jämnt fördeld lst Om en jämnt utbredd lst verkr på hel plttn så råder symmetri i belstningen vid vrje liv och sidn med längden kn betrkts som fst inspänd. Oftst så nsluter övre mot styv sidor på tillexempel en continer då kn även sidn med längden b nses vr fst inspänd. Om n tr lst och understöder övre så minskr spänningr och nedböjning i dett. För tt gör ungefärlig beräkningr kn mn räkn på fllet >>b, då kn formler som gäller för blkr nvänds. Nedn redoviss formler från [] Rork...
Beräkning v rektionskrft, vertikl krft i livet Bilg 2 Sidn 2 v 1 Rektionskrften vid vrje sid v en fst inspänd blk på elstiskt underlg belstd med en jämnt utbredd lst, w (N/mm), kn beräkns med formeln. R där w C = β C 4 C C 11 2 C 5 C = SINH(x) x SIN(x) C 2 = COSH(x) x SIN(x)+SINH(x)x COS(x) C 11 = (SINH(x)) 2 - (SIN(x)) 2 C 4 = COSH(x) x SIN(x) - SINH(x) x SIN(x) C 5 = 1 - COSH(x) x COS(x) Där x = β x L och 0.25 b0 k0 4 β = insätts E1 I I b 0 t = 1 och 12 E k = c 0 får mn : tc Ec β = E1 t1 t c 0.25 E c = i n E 1 = i t 1 = ets tjocklek t c = ns tjocklek Figur 2 Definitioner v geometri som nvänds i formlern. Formlern ovn gäller för x < 6.
Bilg 2 Sidn v 1 Exempel beräknt med klkylbld och FEM Exempel 1: Jämnt fördelt lst, beräkning v rektionskrft. Tbell 1 E c (MP) Jämförelse melln med FEM och med klkylbld beräknde värden på rektionskrft. I exemplen nedn är x (β x L) < 6, liten längd och tjockt. I beräkningen är nvänt E = 18 GP för en. Utbredd lst w (N/mm 2 ) på blk Totl Lst (N/mm) Med klkylbld beräknd krft i liv R exel (N/mm) Med FEM beräknd krft i liv R fem (N/mm) 20 8 40 10 10 100 50 20 8 40 10 50 500 249 20 8 40 10 100 1000 460 457 20 8 40 10 150 1500 542 20 8 40 10 200 2000 524 519 20 8 40 10 250 2500 502 20 8 40 10 00 000 496 494 Noter tt i dess beräkningr så räknr mn på en blk med ett liv i vrje ände, i verklig fllet så finns det liv med jämn vstånd melln. Det betyder tt i verklig fllet så är belstningen på ett liv (R ) lik stor som den totl lsten. Mn kn noter tt för ett litet vstånd melln liven, ett litet b, och med dimensionern och mterilen enligt ovn så ts i stort sett hel lsten i liven om vståndet melln dem är 100 mm eller mindre. Totl lst i tbellen ovn beräkns som b w, tex med blklängden 100 mm och utbredd lst 10 N/mm så blir hel lsten 1000 N. Av denn lst så ts 2 460 = 920 N (92%) i liven resternde 8% ts v n. Om vståndet melln liven ökr så ökr den totl lsten, men enligt beräkningrn så förändrs krften i liven endst mrginellt om vstånden melln liven i dett exempel är mer än 100 mm. Cirk hlv lsten ts i liven om vståndet melln dem är 200 mm. Andelen v lsten som ts i liven är strkt beroende v vståndet melln liven. Delen v den totl lsten som ts v liven minskr med öknde vstånd melln dess, om vståndet är större än 100 mm. Men storleken på krften i liven, belstningen på vrje liv, är i exemplet nästn oberoende v vståndet melln dess om dett är större än 100 mm.
Bilg 2 Sidn 4 v 1 Tbell 2 Jämförelse melln med FEM och med klkylbld beräknde värden på rektionskrft. I exemplen nedn är x (β x L) > 6, större längd eller högre i n. I beräkningen är nvänt E = 18 GP för en. E c (MP) Utbredd lst w (N/mm 2 ) på blk Med klkylbld beräknd krft i liv R exel (N/mm) Med FEM beräknd krft i liv R fem (N/mm) 100 8 40 10 200 2 41 20 8 40 10 400 498 495 20 8 40 10 600 498 496 Mn kn noter tt storleken på krften i liven, belstningen på vrje liv, är oberoende v vståndet melln dess även om det blir gnsk långt vstånd melln dom om övrig prmetrr som tjocklek och och mterilen hålls konstnt. Redovisde värden i ovnstående tbeller visr på en mycket god överensstämmelse melln nlytisk beräkningr och beräkningr med FEM. Att h tillgång till beprövde nlytisk beräkningsmetoder förenklr optimeringen v golvet.
Bilg 2 Sidn 5 v 1 Böjmoment och böjspänning i övre Böjmomentet vid vrje sid v en fst inspänd blk på elstiskt underlg belstd med en jämnt utbredd lst w kn beräkns med formeln. M där = w 2 C C 5 2 2 β C11 C 4 C 4 C = SINH(x) x SIN(x) C 4 = COSH(x) x SIN(x) - SINH(x)x COS(x) C 11 = (SINH(x)) 2 - (SIN(x)) 2 C 4 = COSH(x) x SIN(x) - SINH(x) x SIN(x) C 5 = 1 - COSH(x) x COS(x) Formlern gäller för x < 6. För en pltt belstd med ett tryck q kn formlern nvänds genom tt w = q och 1 b 0 q 6 σ = 2 t β 2 C C 5 C C 11 4 C 4 M b 0 t = σ 1 vilket ger 12 Observer tt i dess beräkningr ts ingen hänsyn till deformtion v livet.
Exempel 2: Jämnt fördeld lst, beräkning v böjspänning i övre. Tbell E c (MP) Jämförelse melln med FEM och med klkylbld beräknde värden på mximl böjspänning. I exemplen nedn är x (β x L) < 6, liten längd och tjockt. I beräkningen är nvänt E = 18 GP för en. Utbredd lst w (N/mm 2 ) på blk Med klkylbld beräknd böjspänning σ böjexel (MP) Bilg 2 Sidn 6 v 1 Med FEM beräknd böjspänning σ böjfem (MP) 20 8 40 10 100 700 711 20 8 40 10 200 1228 1205 20 8 40 10 00 1164 1150 Tbell 4 E c (MP) Jämförelse melln med FEM och med klkylbld beräknde värden på mximl böjspänning. I exemplen nedn är x (β x L) > 6, större längd eller högre i n. I beräkningen är nvänt E = 18 GP för en. Utbredd lst w (N/mm 2 ) på blk Med klkylbld beräknd böjspänning σ böjexel (MP) Med FEM beräknd böjspänning σ böjfem (MP) 100 8 40 10 200 521 517 20 8 40 10 400 1161 1146 20 8 40 10 600 1162 1147 När vstånden melln liven är över en viss längd med smm geometri för övrigt får mn smm mximl böjspänning även om vståndet melln liven ökr ytterligre. Redovisde värden i ovnstående tbeller visr på en mycket god överensstämmelse melln nlytisk beräkningr och beräkningr med FEM. Ett exempel på resultt v FEM-beräkning redoviss i nednstående figur. Figur Beräkning v mximl böjspänning i övre för olik vstånd melln liven. Vid nslutning mot liven nses symmetri råd.
Bilg 2 Sidn 7 v 1 Beräkning v mximl nedböjning v övre / kompression v n U y = 2 E M F + F 2 4 1 I β 4 E I β 4 R w 4 E I β F 5 F = SINH(0.5 x) SIN(0.5 x) F 4 = COSH(0.5 x) SIN(0.5 x) - SINH(0.5 x) COS(0.5 x) F 5 = 1 - COSH(0.5 x) COS(0.5 x) Exempel 2: Jämnt fördeld lst, beräkning v nedböjning. Tbell 5 E c (MP) Jämförelse melln med FEM och med klkylbld beräknde värden på mximl nedböjning v övre. I exemplen nedn är x (β x L) < 6, liten längd och tjockt. I beräkningen är nvänt E = 18 GP för en. Utbredd lst w (N/mm 2 ) på blk Med klkylbld beräknd nedböjning U y (mm) Med FEM beräknd nedböjning U y (mm) 20 8 40 10 100 -.0 -.1 20 8 40 10 200-17.2-15.9 20 8 40 10 00-21.7-19.6 Figur 4 Beräknd nedböjning för olik vstånd melln liven, b = 100, 200 respektive 00 mm.
Bilg 2 Sidn 8 v 1 I figuren nedn syns resultt v beräkning när längden, c-c liven, ökts Figur 5 Beräknd nedböjning med belstning jämnt utbredd lst. ern är 200, 400 och 600 mm. I figuren råder symmetri runt den högr kortsidn. Att h tillgång till beprövde nlytisk beräkningsmetoder förenklr optimeringen v golvet. På liknnde sätt kn formler för blk på elstiskt underlg utstt för en punktlst nvänds.
Med punktlst / linjelst När en ren punktlst ngriper mot övre så kn inte formlern för blkböjning Bilg 2 Sidn 9 v 1 nvänds utn tt mn gör en uppskttning v hur stor del, hur stor bredd, som är verksm v et. Om mn kn gör en sådn uppskttning eller om det är en linjelst som verkr så kn dock formlern nvänds. Med ntgnde tt en linjelst verkr mittemelln liven så råder symmetri i belstningen vid vrje liv och sidn med längden kn betrkts som fst inspänd. Beräkning v rektionskrft, vertikl krft i livet Rektionskrften vid vrje sid v en fst inspänd blk på elstiskt underlg belstd med en linjelst, W (N/mm), kn beräkns med formeln. R 2 C = W C C C 11 2 C 4 där C2 = COSH(x) SIN(x)+SINH(x) COS(x) C = SINH(x) SIN(x) C4= COSH(x) SIN(x)-SINH(x) COS(x) C11 = (SINH(x)) 2 - (SIN(x)) 2 C4 = COSH(0.5 x) SIN(0.5 x) - SINH(0.5 x) SIN(0.5 x) C = SINH(0.5 x) SIN(0.5 x) Där x = β x L Formlern ovn gäller för x < 6.
Bilg 2 Sidn 10 v 1 Exempel beräknt med klkylbld och FEM Exempel: Linjelst, beräkning v rektionskrft. Tbell 6 E c (MP) Jämförelse melln med FEM och med klkylbld beräknde värden på rektionskrft. I exemplen nedn är x (β x L) < 6, liten längd och tjockt. I beräkningen är nvänt E = 18 GP för en. Linjelst W(N/mm) på blk Med klkylbld beräknd krft i liv R exel (N/mm) Med FEM beräknd krft i liv R fem (N/mm) 20 8 40 1000 100 425 457 20 8 40 1000 200 70 70 20 8 40 1000 00-42 -7 Mn kn noter tt för ett litet vstånd melln liven, ett litet b, och med dimensionern och mterilen enligt ovn så ts i stort sett hel lsten i liven om vståndet melln dem är 100 mm. Men redn då vståndet melln liven är 200 mm så ts i stort sett hel lsten v n. Böjmoment och böjspänning i övre Böjmomentet vid vrje sid v en fst inspänd blk på elstiskt underlg belstd med en linjelst, W, kn beräkns med formeln. M=(W/bet)*(C*C4-C4*C)/C11 M där W C C = β 4 C C 11 4 C C = SINH(x) SIN(x) C4= COSH(x) SIN(x)-SINH(x) COS(x) C11 = (SINH(x)) 2 - (SIN(x)) 2 C4 = COSH(0.5 x) SIN(0.5 x) - SINH(0.5 x) SIN(0.5 x) C = SINH(0.5 x) SIN(0.5 x) Formlern gäller för x < 6. Exempel: Tbell 7 E c (MP) Jämnt fördeld lst, beräkning v böjspänning i övre. Jämförelse melln med FEM och med klkylbld beräknde värden på mximl böjspänning. I exemplen nedn är x (β x L) < 6, liten längd och tjockt. I beräkningen är nvänt E = 18 GP för en. Linjelst W(N/mm) på blk Med klkylbld beräknd böjspänning S böjexel (MP) Med FEM beräknd böjspänning S böjfem (MP) 20 8 40 10 100 10.2 10.8 20 8 40 10 200 5.7 5.5 20 8 40 10 00 0. 0.5
Bilg 2 Sidn 11 v 1 När vstånden melln liven är över en viss längd med smm geometri för övrigt får mn en belstning endst loklt och ingen belstning där et nsluter mot livet. Redovisde värden i ovnstående tbeller visr på en mycket god överensstämmelse melln nlytisk beräkningr och beräkningr med FEM. Ett exempel på resultt v FEM-beräkning redoviss i nednstående figur. Figur 6 Beräkning v mximl böjspänning i övre för olik vstånd melln liven. Belstningen är en linjelst i mitten.vid nslutning mot liven nses symmetri råd. Noter tt den lokl belstningen, mitt melln liven, blir den högst belstningen när det är reltivt långt melln liven. Noter också tt nivån på mximl spänning är ungefär lik för ll tre längdern i exemplet ovn men tt för stor vstånd melln liven så minskr böjspänningen vid livet och blir som högst mittemelln liven. Beräkning v mximl nedböjning v övre / kompression v n U y = 2 E M F + 2 1 I β 4 R E I β F 4 F = SINH(0.5 x) SIN(0.5 x) F 4 = COSH(0.5 x) SIN(0.5 x) - SINH(0.5 x) COS(0.5 x)
Exempel : Tbell 8 E c (MP) Linjelst, beräkning v mximl nedböjning. Bilg 2 Sidn 12 v 1 Jämförelse melln med FEM och med klkylbld beräknde värden på mximl nedböjning v övre. I exemplen nedn är x (β x L) < 6, liten längd och tjockt. I beräkningen är nvänt E = 18 GP för en. Linjelst W(N/mm) på blk Med klkylbld beräknd nedböjning U y (mm) Med FEM beräknd nedböjning U y (mm) 20 8 40 10 100-0.060-0.062 20 8 40 10 200-0.187-0.175 20 8 40 10 00-0.200-0.185 Figur 7 Beräknd nedböjning för olik vstånd melln liven, b = 100, 200 respektive 00 mm, då ll belsts med linjelsten 10 N/mm. Nedböjningen, kompressionen v n, ökr med öknde vstånd melln liven. Men vid stor vstånd så blir ökningen liten, nedböjningen går mot ett mxvärde då vståndet melln liven öks. Smmnfttning / Slutstser För dimensionering v och kn smm nlytisk metoder som för en blk på elstiskt underlg nvänds om plttn är lång i förhållnde till bredden och lsten är en utbredd lst eller en linjelst. Övre som vgränss v liv kn oftst betrkts som en långsml pltt med bredden lik stor som vstånden melln liven.
Bilg 2 Sidn 1 v 1 Krftfördelningen melln och liv kn bestämms, hur stor del som ts v liven och hur stor del som belstr n. Dess beräknde lster kn sedn nvänds för tt dimensioner liven och n. Den totl nedböjningen kn bestämms. Den är lik stor som kompressionen v n vilket ger den töjning som uppstår i n. Mximlt böjmoment och därmed spänning i övre kn också bestämms med stor noggrnnhet. Vid dimensionering v övre skll mn givetvis också t hänsyn till blnd nnt den spänning som uppstår på grund v böjning v hel sndwich-plttn. Nedböjningen, kompressionen v n, ökr med öknde vstånd melln liven. Men vid stor vstånd så blir ökningen liten, nedböjningen går mot ett mxvärde då vståndet melln liven öks. Liknnde förhållnden råder för böjspänningen i et, om inte vstånden melln liven är litet så är mximl spänning nästn oberoende v vstånden melln liven. Kommentrer Att h tillgång till beprövde nlytisk beräkningsmetoder förenklr optimeringen v golvet. Även om formlern gäller för en linjelst och inte för en punktlst, ger de en god förståelse v hur spänningr och nedböjningr förändrs med förändrde prmetrr, såsom stjocklek, ns, vstånd melln liv, mm om belstningen är en punktlst. För en linjelst så är nedböjningen linjär mot lsten, dett gäller även för en punktlst.