Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF7 LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV HÖGRE ORDNINGEN INLEDNING LINJÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER E DE är lijär om de är lijär med avseede å de obekata fuktioe oc dess derivator Detta betder att e lijär ODE ka skrivas å forme a a a a a f ekv ) Om öger sida i ekv) är oll ar vi e lijär omoge DE, a ) ) ) ) a a a a ekv ) Notera att vi ka betecka :te derivata å olika sätt d d ) D d d Oftast beteckar vi västerledet i ekvatioe med L ) oc därmed själva ekvatioe med L ) f ekv) Om a ite är idetiskt oll då är ekvatio då ar ekv) ordig Geom att dela ekv) med a skriver vi ekvatioe å sk stadardform eller ormalform ) Lijär kombiatio av lösigar till e omoge ekvatio är också e lösig till ekvatioe L ) L ) L )) Bevis L ) a ) a ) a ) k ) k ) k ) { Vi aväder deriverigsregler ) ) ) oc därefter gruerar uttrck som ieåller ) res ) } Sida av
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF7 [ a [ a ) ) a ) a a = L ) L )) VSB ) a )] )] På likade sätt visar ma att oerator L ar följade egeskaer: L ) L ) L ) L )) k k L C ) CL )) oc därmed L C C C ) C L ) C L ) C L )) k k k Härav följer direkt följade sats Sats Om,,, k ) är lösigar till omogea DE ekv ) så är också lijära kombiatioe C C C ) e lösig till samma DE Bevis: k k L C C Ck k ) CL ) CL ) CL k ) = eftersom,,, k ) är lösigar ar vi L ) =,, L k ) ) C C C Med adra ord är C C C ) e lösig till ekv) k k Sats Om Y H är de allmäa lösige till omogea ekvatioe ekv ) oc e artikulär lösig till icke omogea ekv ) så är Y H de allmäa lösige till icke omogea ekv ) Bevis i) Ata att är e lösig till ekv) oc att är e lösig till ekv) Då gäller L ) oc L ) f Låt z Vi ar L ) L ) L ) f f Sida av
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF7 Alltså är e lösig till ekv ii) Ata u att är e godtcklig lösig till ekv) Vi ka skriva ) *) Eftersom L ) L ) L ) f f Alltså är e lösig till omogea ekv ) Om vi beteckar visar *) att e godtckligt lösig till ekv ) ka skrivas som Vi ar visat i) att summa är e lösig till ekv ) oc ii) att varje lösig till ekv ) ka skrivas som summa av e lösig till omogea ekv ) oc e artikulär lösig till ickeomogea ekv) Därmed ar vi bevisat satse ------------------------------------------------------------- Defiitio Begelsevärdesroblem av ordig är roblemet att itta e lösig till ekv) som ufller följade villkor begelsevillkor) i e ukt :, ) ),, ) B) Fuktioe f är e lösig till ovaståede begelsevärdesroblem å itervallet a, b) som kallas lösiges eistesitervall) om f satisfierar ekv) för alla a, b) oc dessutom f ), f ),, f ) Sats 4 EXISTENS OCH ENTYDIGHETSSATS FÖR EN LINJÄR DE AV -te ORDNINGEN T 4 Eistece of a Uique Solutio, Zill, Wrigt) Ata att koefficietera a k oc f i differetialekvatioe a a a a a f ekv) Sida av
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF7 är kotiuerliga fuktioer i ett öet itervall I a, b) oc att a i detta itervall Låt vara e ukt i itervallet a, b) oc låt,,, vara godtckliga kostater begelsevärde) Då eisterar å itervallet a, b) e oc eakt e lösig till begelsevärdesroblem, ) ),, ) Amärkig: Eligt ovasåede satse är lösige defiierad å ela itervallet a, b) om alla koefficietfuktioer är kotiuerliga där Eemel Visa med ovaståede eistes- oc etidigetssats att begelsevärdesroblem ) si, ), ) 4 ar eakt e lösig oc age lösiges eistesitervall Lösig: Vi kollar om det fis ett itervall som ieåller ukte = där gäller att V: alla koefficieter är kotiuerliga oc V ledade koefficiet är skild frå Villkor : Alla koefficieter dvs a ), f si a a oc är kotiuerliga om Villkor : De ledade koefficiete a ) är skild frå oll om Alltså är villkore i satse ufllda i ett itervall rut ukte = om itervallet ite ieåller ukte De största sådat itervall rut ukte = oc som ufller de två villkore för eistes- oc etidigetssatse är I, ) Svar: Det största eistesitervallet är I, ) ------------------------------------------------------------------------- Radvärdesroblem för e lijär DE av adra ordige Sida 4 av
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF7 För e lijär DE av adra ordige ar vi oftast villkor giva i två olika ukter = a oc =b, dvs i ädukter =radukter) till ett itervall a,b) Sådaa villkor kallas radvillkor Hår är ågra eemel å radvillkor i raduktera a oc b: i) a) 5, b) ii) a), b) iii) a) 5, b) iv) a) a), b) b) Problem att lösa e DE tillsammas med radvillkor kallas för radvärdesroblem Eemel: Bestäm de lösig till ekvatioe som ufller följade två radvillkor ) oc ) Lösig: Först bestämmer vi som valigt) de allmäa lösige till väldigt ekel ekvatio; adra derivata är give, bestäm ): som är e Första itegratioe ger C Vi itegrerar e gåg till oc får C C de allmäa lösige) Villkor dvs ) ger C C dvs C Villkor ger 7 C C oc därmed är 7 lösige till radvärdesvärdesroblemet Sida 5 av
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF7 Amärkig: Till skillad frå begelsevärdesroblem ka ett radvärdesroblem a oädligt måga lösigar trotts att alla koefficietfuktioer är kotiuerliga som vi ser i följade eemel Eemel Lös följade radvärdesroblem 9, ), ) Lösig: Ekvatioe är e omoge lijär DE av adraordige Lösigsmetode för sådaa ekvatioer ar ma lärt sig i kurse evariabelaals Vi aväder asatse r e Detta ger de karakteristiska ekvatioe r 9 som ar två komlea lösigar r i, Med jäl av de komlea lösigara defiierar vi två baslösigar fudametal lösigsmägd) e si si oc e cos cos Därmed är de allmäa lösige C C C si C cos Nu bestämmer vi vilket/ vilka lösigar blad C si C cos ufller radvillkor Villkor ) ger C si C cos C Därmed C si ufller villkor Nu aväder vi villkor : C si ) C si ) som är uflld för alla C Därmed satisfierar alla fuktioer C si radvärdesroblemet Alltså ar vårt radvärdesroblem oädligt måga lösigar, trots att koefficietfuktioer som är kostater, oc 9) är kotiuerliga fuktioer Sida av