TENTAMEN Kurs: HF9 Matmatik, momnt TEN anals atum: dc Skrivtid 8:-: Eaminator: Armin Halilovic Rättand lärar: Erik Mlandr, Elias Said, Jonas Stnholm För godkänt btg krävs av ma poäng Btgsgränsr: För btg A, B, C,, E krävs, 9,, rspktiv poäng Komplttring: 9 poäng på tntamn gr rätt till komplttring btg F Vm som har rätt till komplttring ramgår av btgt F på MINA SIOR Komplttring skr c:a två vckor tr att tntamn är rättad Om komplttring är godkänd rapportras btg E, annars rapportras F Hjälpmdl: Endast biogat ormlblad miniräknar är int tillåtn Till samtliga inlämnad uppgitr ordras ullständiga lösningar Skriv ndast på n sida av papprt Skriv namn och prsonnummr på varj blad Inlämnad uppgitr skall markras md krss på omslagt Skriv klass på omslagt, A, B llr C llr omrgistrrad nna tntamnslapp år j bhållas tr tntamnstillällt utan ska lämnas in tillsammans md lösningar Uppgit p a p Bstäm dinitionsmängdn till unktionn ln b p Bstäm invrsn till unktionn arc c p Bräkna gränsvärdt d p rivra unktionn Uppgit p Vi btraktar unktionn a Bstäm samtliga asmptotr lodräta/vågräta/snda b Bstäm samtliga stationära punktr och dras karaktär min/ma/trrass c Rita gran Var god vänd!
Uppgit p Bstäm alla stationära punktr samt ang dras tp ma, min llr sadl till unktionn, Uppgit p Använd Talorutvckling ör att bstämma gränsvärdt ln OBS! L Hospital rgl år int användas ör bstämning av gränsvärdt Uppgit p a p Bräkna d b p Bräkna volmn av dn kropp som uppstår då områdt, rotrar kring -aln Uppgit p: Bräkna dd där är dt ringormad områd som liggr mllan cirklarna och Tips: polära koordinatr Uppgit 7 p Bräkna volmn av dt områd som gs av,, z Uppgit 8 p Grarna till unktionrna och g skär varandra i två punktr Låt vara dt bgränsad områd som liggr mllan grarna mllan dssa två punktr Bräkna koordinatrna ör tngdpunktn ör Lcka till
Uppgit p a p Bstäm dinitionsmängdn till unktionn ln b p Bstäm invrsn till unktionn arc c p Bräkna gränsvärdt d p rivra unktionn a ln Funktionn, är dinirad om > < < > använd tabll llr rita n parabl b arc Lös ut : arc llr c Insättning av : L Hospital: 8 d Använd produkt-, kvot- och kdjrglrna Svar: a initionsmängd: < < b
c 8 d Rättningsmall: a - d, Rätt llr l Uppgit p Vi btraktar unktionn a Bstäm samtliga asmptotr lodräta/vågräta/snda b Bstäm samtliga stationära punktr och dras karaktär min/ma/trrass c Rita gran a Lodräta asmptotr då nämnarn är noll: ± ± Nämnarn saknar nollställn, dvs unktionn saknar lodräta asmptotr Vågräta asmptotr: Undrsök ± samt Alltså n vågrät asmptot åt högr och åt vänstr tta innbär att dt int inns någon snd asmptot b Stationära punktr: rivatans tckn avgörs av täljarn, trsom nämnarn alltid är positiv Sätt in och : > < Punktn är alltså unktionn mapunkt värd: c Funktionns gra sr ut så här:
Svar: a Lodräta asmptotr saknas En vågrät asmptot åt högr och åt vänstr Snda asmptotr saknas b Funktionn har n mapunkt c S ovan Rättningsmall: a Korrkt vågrät asmptot llr visar att lodräta asmptotr saknas: b Finnr stationär punkt ör, p Bstämmr punktns karaktär korrkt p c I stora drag korrkt gra p p Uppgit p Bstäm alla stationära punktr samt ang dras tp ma, min llr sadl till unktionn, Stationära punktr: llr Vi har nbart n stationär punkt, Andra drivator: A, AC B, B, < punktn, C,, är sadlpunkt Gran till, :
Svar: En stationr punkt, som är n sadlpunkt Rättningsmall: Rätt stationära punkt gr p Fl stationär punkt gr p Uppgit p Använd Talorutvckling ör att bstämma gränsvärdt ln OBS! L Hospital rgl år int användas ör bstämning av gränsvärdt Vi utvcklar täljarn tills vi år örsta ick-noll trm Samma gör vi md nämnarn t är int nödvändigt att bstämma rsttrmn i dnna uppgit Talorutvckling kring punktn ör unktionrna ln och g ln, g, g ;, g, g B Här är B och C bgränsad uttrck då går mot Man kan ävn C bstämma rsttrmn mn dt är int nödvändigt B B C C Svar: Rättningsmall: Rätt Talorutvckling av ordning av n unktion kring punktn gr p Båda Talorutvcklingar l gr p Allt rätt p Uppgit p a p Bräkna d b p Bräkna volmn av dn kropp som uppstår då områdt, rotrar kring -aln
a Partialbråksuppdlning: A B Vi multiplicrar md och år: A B llr A B A B Vi idntiirar koicintr och år två kvationr: A B A B kv kv gr A A / och därtr B A / ärmd d d ln ln b b V π d π d a C d partill intgration d C ärmd V π [ ] π Svar: a ln ln C b V π Rättningsmall: a Rätt partillintgration gr p Fl partillintgration gr p b Rätt uppställning av intgraln md gränsr dvs korrkt till π d gr p Allt rättp Uppgit p: Bräkna dd där är dt ringormad områd som liggr mllan cirklarna och Tips: polära koordinatr I polära koordinatr md r som variabl ör radi och θ som variabl ör vinkl så bstäms områdt av att r och θ < π Md r θ, r θ år vi att och dd rdrdθ Användr vi dtta år vi: π r r r dd rdr dθ π rdr π[ ] π
Svar: π Korrkt variablbt i intgral och korrkta gränsr gr poäng Allt korrkt poäng Uppgit 7 p Bräkna volmn av dt områd som gs av,, z Låt vara områdt i -plant som gs av, Sökt volm kommr då bli 9 V d d d 9 d Svar: 9/ Korrkt uppställd intgral poäng Allt korrkt poäng Uppgit 8 p Grarna till unktionrna och g 9 skär varandra i två punktr Låt vara dt bgränsad områd som liggr mllan grarna mllan dssa två punktr Bräkna koordinatrna ör tngdpunktn ör Skärningspunktrna mllan grarna gs av kvationn g Löss dnna ås g llr Mllan dssa två punktr liggr gran av g övr gran av - och -koordinatrna ör tngdpunktn av gs av: c dd Aran och c dd Aran Här har vi att Aran samt g dd och sist att dd d d d d d Vi år alltså att c dd Aran d d 9 9 9 d 8 7 8 9 d
och c Aran Svar: c, dd 8 c Korrkta skärningspunktr poäng Korrkt ara poäng Korrkt n av dubblintgralr poäng Allt korrkt poäng