Studieplnering till Kurs 3b Grön lärobok Den här studieplneringen hjälper dig tt häng med i kursen. Plneringen följer lärobokens uppdelning i kpitel och vsnitt. Iblnd får du tips på en inspeld genomgång som visr hur du kn lös en viss uppgift. Genomgångrn hittr du på Elevwebben på www.nok.se/mtemtik5000. Börj med tt läs igenom den kort smmnfttningen så tt du får en snbbrepetition v vsnittet. Efter smmnfttningen finns en tbell med förslg på grundläggnde uppgifter som du kn börj med tt räkn. När du hr räknt klrt en uppgift strker du över den i tbellen (så tt du håller red på vilk uppgifter du hr räknt). Behöver du nteckn något så finns det tomm rder bredvid. Under tbellen finns en rd med tomm rutor. Där kn t.e. din lärre fll i fler uppgifter som du kn fortsätt med. I slutet v vrje kpitel får du tterligre förslg på uppgifter som hjälper dig tt repeter kpitlets innehåll. Kpitel 1 Algebr och funktioner Avsnitt Egn nteckningr Algebr och polnom Polnom och räkneregler Ett polnom är en summ v termer där vribeltermerns eponenter är nturlig tl. 2 3 2 + 10 är ett tredjegrdspolnom med tre termer. Konjugtregeln och kvdreringsreglern: ( + b)( b) = 2 b 2 ( + b) 2 = 2 + 2 b + b 2 ( b ) 2 = 2 2 b + b 2 Titt och lssn gärn på följnde länk: s. 8 Polnom och räkneregler 1105 1106 1107 1108 1109 1110 1111 1112 1113 1114 1115 1116 1127 1128 1129 1130 1131 1132 1133 1134 1135 1 Algebr och funktioner 1
Potenser = + b = ( b) = b = ( b ) ( ) = 0 = 1 = 1 1 n n = (2 ) 3 2 1 = 2 3 3 2 1 = 16 2 1144 1145 1146 1147 1148 1149 1150 Kvdrtrötter och bsolutbelopp ( ) 2 = = 0 b = b 0 b 0 = b b 18 = 9 2 = 3 2 0 b > 0 Absolutbeloppet v, skrivs och definiers som tlets vstånd till origo. om 0 = om < 0 1162 1163 1164 1165 1166 1167 Ekvtioner Ekvtionen 2 = hr lösningrn = ± Om < 0 sknr ekvtionen reell rötter. Ekvtionen 2 + p + q = 0 hr lösningrn = p 2 ± p 2 2 q Ekvtioner som kn skrivs så tt det en ledet är fktorisert och det ndr ledet är noll kn löss med nollproduktmetoden. 4(3 15)(2 + 6) = 0 1 = 0 2 (3 15) = 0 vilket ger = 5 3 (2 + 6) = 0 vilket ger = 3 1 = 0 2 = 5 3 = 3 1 Algebr och funktioner 2
Ekvtioner där den obeknt förekommer under ett rottecken klls rotekvtioner. Rotekvtioner kn löss med hjälp v kvdrering, vilket dock kn ge flsk rötter som måste prövs i den ursprunglig ekvtionen. Polnom i fktorform Ett nollställe till ett polnom p ( ) är ett tl sådnt tt p ( ) = 0. Ett ndrgrdspolnom p ( ) med nollställen och b skrivs i fktorform p ( ) = k ( )( b ) där k är en konstnt. Titt och lssn gärn på följnde länk: s. 23 Uppgift 1196 1178 1179 1180 1181 1182 1183 1184 1185 1186 1187 Rtionell uttrck Vd mens med ett rtionellt uttrck? Ett rtionellt uttrck definiers som en kvot v två polnom p() q() Ett rtionellt uttrck är inte definiert då nämnren är lik med noll. Förlängning och förkortning Ett rtionellt uttrck som inte kn förkorts är skrivet i enklste form. 5 2 15 = 5 3 5 = 3 Enklste form 2 + 8 2 16 = 2 ( + 4) ( + 4)( 4) = 2 4 1203 1204 1205 1206 1215 1216 1217 1218 1219 1226 1227 1 Algebr och funktioner 3
1236 1237 1238 Addition och subtrktion Förläng till MGN vid förenkling. 1 2 1 3 = 3 6 2 6 = 3 2 6 = 1 6 MGN = 6 Multiplicer båd leden med MGN vid ekvtionslösning. Lös ekvtionen 3 2 2 3 = 6 3 6 2 2 3 9 4 = 6 2 2 = 5/6 = ± 5 / 6 = 6 Multipliktion och division + 1 2 / 2 1 = + 1 2 2 2 2 1 = = ( + 1) 2 2 ( + 1) ( 1) = 1 ( 1) 1246 1247 1248 1249 1250 1257 1258 1268 1269 1270 1271 1272 1273 Funktioner Inledning En funktion är en regel som till vrje tillåtet -värde ger ekt ett -värde. Definitionsmängden är de tillåtn -värden. Värdemängden är de erhålln -värden. 1 Algebr och funktioner 4
All polnomfunktioner är kontinuerlig. Grfen till en sådn funktion kn rits utn tt lft pennn. En funktion vrs definitionsmängd är heltlen (eller en delmängd v heltlen) kn klls en diskret funktion. 1303 1304 1305 1306 1307 1308 1309 1310 1311 Rät linjens ekvtion k-form = k + m enpunktsform 1 =k( 1 ) llmän form + b + c = 0 1320 1321 3122 1323 1324 1325 1326 1327 Andrgrdsfunktioner En ndrgrdsfunktion kn skrivs = 2 + b + c, där 0 Grfen hr en mimipunkt om < 0 hr en minimipunkt om > 0 skär -eln i (0, c) är smmetrisk kring smmetrilinjen hr nollställen om ekvtionen = 0 hr reell lösningr. 1333 1334 1335 1336 1337 1338 1339 1340 1344 1345 1346 1347 1348 1349 1350 1351 1358 1359 1360 1361 1362 1363 1364 1 Algebr och funktioner 5
Potensfunktioner = C (C och är konstnter) Potensekvtionen 12 = 3, > 0 hr den positiv roten = 3 1/12 1,096 Eponentilfunktioner = C (C och är konstnter, > 0, 1) Lösning v eponentilekvtion. 8 3 = 15 3 = 15/8 lg 3 = lg (15/8) lg 3 = lg (15/8) lg (15/8) = 0,572 lg 3 1368 1369 1370 1371 1372 1373 1374 1375 Dignos 1 Gör Dignos 1 på sidn 65 för tt se vd du kn och vd du behöver trän mer på. Blndde övningr kpitel 1 I Blndde övningr kpitel 1 kn du repeter hel kpitlet. Du hittr uppgiftern på sidorn 66 69. Repetitionsuppgifter Vill du repeter så gör Repetitionsuppgiftern på sidn 238. Hr du svårt tt lös någon uppgift så finns det lösningsförslg till ll uppgiftern i kpitlets eempel. 1 Algebr och funktioner 6
Kpitel 2 Förändringshstigheter och derivtor Avsnitt Egn nteckningr Ändringskvoter och begreppet derivt Ändringskvoter Om är en funktion v så är den genomsnittlig förändringen v förändringshstigheten = förändringen v = klls ändringskvot eller differenskvot. Geometrisk tolkning: P = (, f ( )) Q = ( + h, f ( + h )) Q seknt = f ( ) P + h k PQ = f ( + h) f () = h k PQ kn tolks som sekntens k-värde eller kurvns medellutning i intervllet. Temperturen C ändrs med tiden h enligt tbellen. 8.00 10.00 24 18 = 6 2 = 3 Melln kl 8.00 och 10.00 sjunker temperturen i genomsnitt med hstigheten 3 C/h. Titt och lssn gärn på följnde länk: s. 72 Ändringskvoter 2104 2105 2106 2107 2108 2109 2110 2111 2 Förändringshstigheter och derivtor 7
Begreppet derivt Derivtns värde för en funktion = f ( ) i punkten där = kn skrivs f ( ) Derivtn (i en punkt) kn beskrivs som förändringshstigheten kurvns lutning. Geometrisk tolkning: f () (, f ()) P tngent f ( ) kn tolks som riktningskoefficienten för tngenten i punkten där =. = f ( ) (4, 6) 2 1 1 4 f (4) = tngentens k-värde f (4) = 6 2 4 0 = 4 4 = 1 2124 2125 2126 2127 2128 2129 2130 2131 2132 2133 2134 Gränsvärden och derivtns definition Gränsvärden f( ) går mot L då går mot kn skrivs lim f ( ) = L f( ) kn nt värden hur när gränsvärdet L som helst om mn väljer tillräckligt när. Derivtns definition f( + h ) f() f ( ) = lim h 0 h Derivtns värde i en punkt där = är lik med det gränsvärde som ändringskvoten närmr sig då h går mot 0. 2 Förändringshstigheter och derivtor 8
Geometrisk tolkning: Q f ( ) seknt P tngent +h Då h 0 övergår seknten genom P och Q i en tngent i punkten P. Ändringskvotens gränsvärde är därför tngentens k-värde i punkten (, f ( )). Dett k-värde är f ( ). Med hjälp v derivtns definition kn vi härled olik deriveringsregler. Om f( ) = 2 så är f( + h ) f( ) = ( + h )2 2 = 2 + h h h f ( ) = lim (2 + h ) = 2 h 0 Vi hr härlett tt om f( ) = 2 så är f ( ) = 2. 2202 2203 2204 2205 2209 2210 2211 2212 2213 Deriveringsregler Derivtn v polnom Om n är ett heltl > 0 = n = n n 1 = 3 2 5 + 4 = 3 2 5 1 + 0 = 6 5 2305 2306 2307 2308 2309 2310 2311 2312 2313 2314 2315 2318 2319 2320 2321 2 Förändringshstigheter och derivtor 9
Derivtn v potensfunktioner Om är ett reellt tl och > 0 = = 1 = = 1/2 = 1 2 1/2 = 1 2 = 1 3 = 3 = ( 3 ) 4 = 3 4 2330 2331 2332 2333 Derivtn v eponentilfunktioner = e = e = e k = k e k = = ln = k = k k ln = e 5 = e 5 5 = 5e 5 = 4 e 0,2 = 0,8 e 0,2 = 5 2 3 = 5 3 2 3 ln 2 = 15 ln 2 2 3 2405 2406 2407 2408 2409 2410 2411 2438 2439 2440 2441 2442 2443 2444 2454 2455 2456 2457 2458 2459 2460 Nturlig logritmer Tlet e 2,71828 e = b = ln b ln (b) = ln + ln b ln (/b) = ln ln b ln p = p ln Titt och lssn gärn på följnde länk: s. 112 Uppgift 2471 2 Förändringshstigheter och derivtor 10
2422 2423 2424 2425 2426 2427 2428 2429 Grfisk och numerisk derivering En centrl differenskvot kring punkten där = ger för små värden på h är ett br närmevärde till f ( ). f( + h ) f( h ) f () 2 h Digitl verktg för derivering nvänder oft denn metod. Om f( ) = 2 2 får vi om h = 0,001: f (2,001) f (1,999) f (2) 0,307 0,002 Kontroll med räknre ger t e: nderiv( X 2 2 X, X, 2) 0,307 2503 2504 2505 2506 2507 2508 2515 2516 2517 2518 2519 2520 Dignos 2 Gör Dignos 2 på sidn 123 för tt se vd du kn och vd du behöver trän mer på. Blndde övningr kpitel 2 I Blndde övningr kpitel 2 kn du repeter hel kpitlet. Du hittr uppgiftern på sidorn 124 126. Vill du repeter llt du hittills hr gjort i boken? Gör då Blndde övningr kpitel 1 2 på sidorn 127 129. Repetitionsuppgifter Vill du repeter så gör Repetitionsuppgiftern på sidn 239. Hr du svårt tt lös någon uppgift så finns det lösningsförslg till ll uppgiftern i kpitlets eempel. 2 Förändringshstigheter och derivtor 11
Kpitel 3 Kurvor, derivtor och integrler Avsnitt Egn nteckningr Vd säger förstderivtn om grfen? Etrempunkter och etremvärden Etrempunkter är ett gemensmt nmn för lokl mimipunkter och lokl minimipunkter. Funktionsvärdet i en etrempunkt klls etremvärde. I en lokl mimipunkt är funktionsvärdet större än funktionsvärdet i punktern i närheten. I en lokl minimipunkt är funktionsvärdet mindre än funktionsvärdet i punktern i närheten. Vände och vtgnde = f ( ) b Om f ( ) > 0 för < < b så väer f för < < b = f ( ) b Om f ( ) < 0 för < < b så vtr f för < < b 3101 3102 3103 3104 3105 3108 3109 3110 3111 3112 Hur nvänds förstderivtn för tt rit kurvor? 1 Bestäm först f ( ). 2 Lös sedn ekvtionen f ( ) = 0 Ant tt f ( ) = 0 för = 3 Undersök om f ( ) välr tecken för = 4 Bestäm etrempunktern. 3 Kurvor, derivtor och integrler 12
Rit kurvn = 3 3 2 + 2 med hjälp v derivt. 1 Derivtn = 3 2 6 2 = 0 ger 3 2 6 = 0 med röttern = 0 och = 2 3 Undersök tecknet för, motiver eventuell m eller min. 0 2 ' + 0 0 + 2 2 m min T e ( 1) = 9 > 0 väer för < 0 4 Etrempunktern = 0 ger = 2 Mimipunkt: (0, 2) = 2 ger = 2 Minimipunkt. (2, 2) 3 1 7 3 3117 3118 3119 3120 3121 3122 3123 Störst och minst värde Vid bestämning v en funktions störst respektive minst värde i ett begränst intervll måste vi undersök och jämför: Funktionsvärden i de punkter i intervllet där f ( ) = 0. Funktionsvärden i intervllets ändpunkter. 9 Mimivärde Ändpunkt och störst värde Minimivärde och minst värde Ändpunkt 3 3132 3133 3134 3135 3136 3137 3138 3139 3 Kurvor, derivtor och integrler 13
Derivtor och tillämpningr Andrderivtn Derivtn v en funktions derivt skrivs f ( ) eller och klls ndrderivtn. f ( ) = 3 ger f ( ) = 3 2 och f ( ) = 6 = e 2 ger = 2 e 2 och = 4 e 2 Andrderivtn och grfen Om f ( ) = 0 och f ( ) > 0 hr f ett minimum för =. Om f ( ) = 0 och f ( ) < 0 hr f ett mimum för =. Om f ( ) = 0 och f ( ) = 0 måste teckenvälingen för f ( ) undersöks. Minimum Mimum ' 0 + + 0 '' + Terrsspunkter ' 0 + 0 + '' 0 0 En smptot till en kurv är en rät linje sådn tt vståndet från en punkt på linjen till kurvn går mot noll då punktens vstånd från origo går mot oändligheten. Titt och lssn gärn på följnde länkr: s. 145 Polnomfunktioner s. 158 Uppgift 3262 3 Kurvor, derivtor och integrler 14
3202 3203 3204 3205 3206 3207 3208 3209 3210 3211 3212 3233 3234 3235 3236 3237 3238 3239 3240 3245 3246 3247 3248 3249 3250 3251 3257 3258 3259 3260 3264 3265 3266 3272 3273 3274 3275 3276 3277 3278 Från derivt till funktion Primitiv funktioner F () är en primitiv funktion till f (), om F ( ) = f ( ) för ll. Given funktion f () n, n 1 e k, k 0 Smtlig primitiv funktioner F () n +1 n +1 + C k e k + C 3303 3304 3305 3306 3307 3308 3309 3310 3311 3317 3318 3319 3320 3321 3322 3 Kurvor, derivtor och integrler 15
Integrler b Gränsvärdet lim f ( ) beteckns b f ( ) d 0 och ut läses integrlen v f( ) från till b. Smbolen klls integrltecken, och b är integrtionsgränser och funktionen f klls integrnd. 3402 3403 3404 3405 3406 3407 Integrlberäkning med primitiv funktion b b f ( ) d = [ F ( )] = F (b) F ( ) där F( ) är en primitiv funktion till f ( ) 4 3 d = 4 4 4 = 64 4 = 60 2 2 Beräkning v ren A: b A = f ( ) d A b = f ( ) 3411 3412 3413 3414 3415 3416 3421 3422 3423 3424 3425 3426 3427 Dignos 3 Gör Dignos 3 på sidn 191 för tt se vd du kn och vd du behöver trän mer på. Blndde övningr kpitel 3 I Blndde övningr kpitel 3 kn du repeter hel kpitlet. Du hittr uppgiftern på sidorn 192 194. Vill du repeter llt du hittills hr gjort i boken? Gör då Blndde övningr kpitel 1 3 på sidorn 195 199. Repetitionsuppgifter Vill du repeter så gör Repetitionsuppgiftern på sidn 241. Hr du svårt tt lös någon uppgift så finns det lösningsförslg till ll uppgiftern i kpitlets eempel. 3 Kurvor, derivtor och integrler 16
Kpitel 4 Geometrisk summ och linjär optimering Avsnitt Egn nteckningr Geometrisk summ Geometrisk tlföljd En geometrisk tlföljd är en följd v tl, uppställd i en bestämd ordning och enligt en bestämd regel sådn tt kvoten k v ett tl och det närmst föregående tlet är konstnt. Det n:te tlet i följden kn då skrivs n = 1 k n 1 I den geometrisk tlföljden 5, 10, 20, 40, är kvoten 2. Formel för en geometrisk summ Summn s n v de n först tlen i en geometrisk tlföljd beräkns med formeln n n 1( k - 1) 1( 1 - k ) s n = = k - 1 1 - k I den geometrisk summn 64 + 64 0,5 + 64 0,5 2 + 64 0,5 3 + +... + 64 0,5 7 är 1 = 64, k = 0,5 och n = 8 8 64( 1-0, 5 ) s 8 = = 127,5 1-0, 5 Modell med geometrisk tlföljd En förälder sätter vid slutet v 10 på vrndr följnde år in 5 000 kr åt sitt brn på ett konto med en fst ränt på 3,00 %. Efter den 10:e insättningen är behållningen i kronor den geometrisk summn 5 000 + 5 000 1,03 +. + 5 000 1,03 9 1 = 5 000, k = 1,03 och n = 10 s 10 = 5 000(1,0310 1) 1,03 1 57 300 Titt & lssn gärn på följnde länk: s. 203 Uppgift 4111 4 Geometrisk summ och linjär optimering 17
4103 4104 4105 4106 4107 4115 4116 4117 4118 4119 4120 4121 4122 Linjär optimering Områden i -plnet Olikheten 2 beskriver, i ett koordintsstem, det hlvpln som ligger över linjen = 2. Ett område i -plnet kn beskrivs med ett sstem v olikheter med två vribler. 2 4 2 De heldrgn linjern mrkerr tt det vit området är slutet, vilket betder tt punktern på tringelns sidor tillhör området. 5 1 = 2 = 2 = 4 1 5 10 4203 4204 4205 4206 4207 4208 4217 4218 4219 4220 4221 4222 Störst och minst värde i ett område Låt (, ) vr en punkt som tillhör ett slutet område som beskrivs v linjär olikheter. En linjär funktion, t e en vinst- eller kostnds-funktion, m = 2 + 3 ntr då sitt störst värde och sitt minst värde när (, ) är en v områdets hörnpunkter. 5 1 (1, 1) (3, 5) 2 + 3 = 21 (m) 1 5 10 2 + 3 = 5 (min) 4 Geometrisk summ och linjär optimering 18
Titt & lssn gärn på följnde länk: s. 218 Störst och minst värde i ett område 4227 4228 4229 4230 4231 4234 4235 4236 Dignos 4 Gör Dignos 4 på sidn 231 för tt se vd du kn och vd du behöver trän mer på. Blndde övningr kpitel 4 I Blndde övningr kpitel 4 kn du repeter hel kpitlet. Du hittr uppgiftern på sidorn 232 233. Vill du repeter llt du hittills hr gjort i boken? Gör då Blndde övningr kpitel 1 4 på sidorn 234 237. Repetitionsuppgifter Vill du repeter så gör Repetitionsuppgiftern på sidn 243. Hr du svårt tt lös någon uppgift så finns det lösningsförslg till ll uppgiftern i kpitlets eempel. 4 Geometrisk summ och linjär optimering 19